4.20 수능 핵심
삼각방정식
Trigonometric Equations
정의 · 공식과 증명
이 절은 미지수 θ가 삼각함수의 인수로 나타나는 방정식(삼각방정식)의 해를 구하는 표준적인 방법을 다룹니다. 가장 기본이 되는 네 가지 등식—sinθ=sinα, cosθ=cosα, tanθ=tanα, cotθ=cotα—의 완전한 해집합을 먼저 확정하고(496·497·498·499번), 그 결과를 인수분해·치환과 결합해 더 복잡한 삼각방정식을 실제로 푸는 절차를 예시로 보입니다(500번). 이 절이 해소해야 할 선행 인용은 없습니다(pending-forward-refs.json 재확인 완료 — 4.20을 needs_section으로 지정한 항목은 없습니다).
495정의삼각방정식과 일반해해집합 전체를 정수 매개변수로 나타낸 식
정의(삼각방정식). 미지수 θ가 sinθ, cosθ, tanθ, cotθ 등 삼각함수의 인수로만 나타나는 방정식을 삼각방정식이라 합니다. 다른 방정식과 마찬가지로 그 해는 방정식을 참으로 만드는 θ의 값이고, 해집합은 그런 θ 전체의 집합입니다.
주기성에서 나오는 관찰. 4.7 f437번에 의해 sin, cos는 주기 2π를 가지고(sin(θ+2kπ)=sinθ, cos(θ+2kπ)=cosθ, k∈ℤ), 4.7 f439번에 의해 tan, cot는 주기 π를 가집니다 (tan(θ+π)=tanθ, cot(θ+π)=cotθ). 따라서 sin·cos만으로 이루어진 삼각방정식에서 θ=α가 한 해이면 θ=α+2kπ(k∈ℤ)도 모두 해이고, tan·cot만으로 이루어진 방정식에서는 θ=α+kπ(k∈ℤ)도 모두 해입니다. 다만 이 관찰만으로는 이 형태의 해만 있는지(즉 주기의 정수배를 더한 것 말고 다른 "가지"의 해가 더 있는지)는 알 수 없습니다—예를 들어 sinθ=sinα는 θ=α+2kπ뿐 아니라 θ=π−α+2kπ도 해입니다(496번에서 증명). 이는 주기성만으로는 따라 나오지 않고, sin(π−θ)=sinθ라는 별도의 대칭성 (4.6 화각공식)에서 비롯됩니다.
정의(일반해). 삼각방정식의 일반해(general solution)란, 정수 매개변수 n(또는 k)∈ℤ에 대한 식 θ=θ(n)의 형태로 그 방정식의 해집합 전체를 정확히—즉 n이 모든 정수를 지날 때 그 방정식의 해가 하나도 빠짐없이, 그리고 해가 아닌 값이 하나도 섞이지 않고—나타내는 식을 말합니다. 496~499번은 가장 기본적인 네 가지 등식의 일반해를 이런 의미의 필요충분조건(⇔)으로 증명하며, 500번은 이를 이용해 정해진 범위(예 : [0,2π))에서 구체적인 해를 나열하는 방법을 보입니다.
496정리사인 방정식의 일반해sinθ=sinα ⇔ θ=nπ+(−1)nα (n∈ℤ)
증명법 : 직접증명법(4.14의 합·차를 곱으로 바꾸는 공식으로 인수분해한 뒤 4.2 f411번의 영점 조건 적용)
주장. 임의의 실수 α에 대해, 다음은 서로 동치입니다 :
sinθ = sinα ⇔ θ = nπ + (−1)nα (n∈ℤ)
1단계—두 갈래 형태로 먼저 정리. sinθ−sinα=0에 4.14 f480번(사인의 차를 곱으로, A=θ, B=α)을 적용합니다 :
| sinθ − sinα = 2cos(θ+α2) sin(θ−α2) | 4.14 f480번(A=θ, B=α) |
| sinθ=sinα ⇔ cos(θ+α2) sin(θ−α2) = 0 | 위 등식의 좌변이 0인 것과 동치 |
| ⇔ cos(θ+α2) = 0 또는 sin(θ−α2) = 0 | 실수의 곱이 0 ⇔ 두 인수 중 하나가 0 |
4.2 f411번(cos x=0 ⇔ x=π2+kπ, sin x=0 ⇔ x=kπ, k∈ℤ)을 각 인수에 적용합니다 :
| cos(θ+α2) = 0 ⇔ θ+α2 = π2+kπ | 4.2 f411번(cos의 영점) |
| ⇔ θ+α = π+2kπ ⇔ θ = π−α+2kπ | 양변에 2를 곱하고 α를 이항 |
| sin(θ−α2) = 0 ⇔ θ−α2 = kπ | 4.2 f411번(sin의 영점) |
| ⇔ θ−α = 2kπ ⇔ θ = α+2kπ | 양변에 2를 곱하고 α를 이항 |
∴ sinθ=sinα ⇔ θ=α+2kπ 또는 θ=π−α+2kπ (k∈ℤ)
2단계—두 갈래를 하나의 식 θ=nπ+(−1)nα로 통합. n∈ℤ를 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나눕니다.
| n=2k (짝수) : θ=2kπ+(−1)2kα = 2kπ+α = α+2kπ | (−1)짝수=1, 첫째 갈래와 정확히 일치 |
| n=2k+1 (홀수) : θ=(2k+1)π+(−1)2k+1α = (2k+1)π−α | (−1)홀수=−1 |
| (2k+1)π−α = π+2kπ−α = π−α+2kπ | 항 재배열—둘째 갈래와 정확히 일치 |
즉 n이 짝수(n=2k)일 때 θ=nπ+(−1)nα는 정확히 첫째 갈래(α+2kπ)를, n이 홀수(n=2k+1)일 때는 정확히 둘째 갈래(π−α+2kπ)를 냅니다. 모든 정수 n은 짝수 아니면 홀수이므로(배중률), n이 ℤ 전체를 지나면 두 갈래가 각각 정확히 한 번씩, 빠짐없이 나오고 다른 값은 섞이지 않습니다—따라서 두 표현은 같은 해집합을 나타내는 동치인 일반해입니다.
수치 검산(α=30°). n=0 : θ=30°, sin30°=0.5. n=1 : θ=180°−30°=150°, sin150°=0.5. n=2 : θ=360°+30°=390°≡30°, sin390°=0.5. n=−1 : θ=−180°+30°=−150°≡210°—아닙니다, 실제로는 n=−1π+(−1)−130°=−180°−30°=−210°≡150° (mod 360°)—모두 sinα=0.5와 정확히 일치합니다(Python으로 n=−2~3 전수 재확인, 오차 없음).
사용 : 4.14의 f480번 (사인의 차를 곱으로) · 4.2의 f411번 (여섯 삼각함수의 정의역·영점)
증명 끝
497정리코사인 방정식의 일반해cosθ=cosα ⇔ θ=2nπ±α (n∈ℤ)
증명법 : 직접증명법(496번과 같은 방식—합·차를 곱으로 바꾸는 공식으로 인수분해)
주장. 임의의 실수 α에 대해, 다음은 서로 동치입니다 :
cosθ = cosα ⇔ θ = 2nπ ± α (n∈ℤ)
cosθ−cosα=0에 4.14 f482번 (코사인의 차를 곱으로, A=θ, B=α)을 적용합니다 :
| cosθ − cosα = −2sin(θ+α2) sin(θ−α2) | 4.14 f482번(A=θ, B=α) |
| cosθ=cosα ⇔ sin(θ+α2) sin(θ−α2) = 0 | −2≠0이므로 좌변이 0인 것과 동치 |
| ⇔ sin(θ+α2) = 0 또는 sin(θ−α2) = 0 | 실수의 곱이 0 ⇔ 두 인수 중 하나가 0 |
| sin(θ+α2) = 0 ⇔ θ+α = 2kπ ⇔ θ = −α+2kπ | 4.2 f411번(sin의 영점, sin x=0⇔x=kπ) |
| sin(θ−α2) = 0 ⇔ θ−α = 2kπ ⇔ θ = α+2kπ | 같은 방식 |
∴ cosθ=cosα ⇔ θ=α+2kπ 또는 θ=−α+2kπ ⇔ θ=2kπ±α (k∈ℤ)
496번과의 대조—통합이 이미 자연스러움. 사인의 경우(496번)와 달리, 여기서는 두 갈래(α+2kπ와 −α+2kπ)가 처음부터 ± 하나의 부호 선택으로 자연스럽게 합쳐집니다—496번처럼 짝수·홀수로 나누는 추가 단계가 필요하지 않습니다. 이는 cosθ−cosα를 인수분해했을 때 두 인수 모두 sin(·)=0 조건(같은 형태)이 되기 때문이며(사인의 경우는 cos(·)=0과 sin(·)=0으로 형태가 서로 달랐음), 이 비대칭은 4.14 f480·f482번 자체의 우변 구조(사인의 차는 cos×sin, 코사인의 차는 sin×sin)에서 그대로 물려받은 것입니다.
수치 검산(α=60°). k=0 : θ=60° 또는 θ=−60°≡300°, cos60°=cos300°=0.5. k=1 : θ=420°≡60° 또는 θ=300°—모두 cosα=0.5와 정확히 일치합니다(Python으로 k=−1~2 전수 재확인, 오차 없음).
사용 : 4.14의 f482번 (코사인의 차를 곱으로) · 4.2의 f411번 (여섯 삼각함수의 정의역·영점)
증명 끝
498정리탄젠트 방정식의 일반해tanθ=tanα ⇔ θ=nπ+α (n∈ℤ)
증명법 : 직접증명법(비를 통분해 사인의 뺄셈정리로 환원)
주장. θ, α가 모두 tan의 정의역에 있을 때(즉 4.2 f411번에 의해 θ, α≠ π2+kπ), 다음은 서로 동치입니다 :
tanθ = tanα ⇔ θ = nπ + α (n∈ℤ)
| tanθ=tanα ⇔ sinθcosθ = sinαcosα | 4.2 f410번(tan의 정의) |
| ⇔ sinθcosα = cosθsinα | 양변에 cosθcosα≠0을 곱함(교차 곱셈, 두 각 모두 정의역 안이므로 정당) |
| ⇔ sinθcosα − cosθsinα = 0 | 우변을 좌변으로 이항 |
| ⇔ sin(θ−α) = 0 | 4.9 f453번(사인의 뺄셈정리, sin(θ−α)=sinθcosα−cosθsinα) |
| ⇔ θ−α = nπ | 4.2 f411번(sin의 영점, sin x=0⇔x=nπ) |
| ⇔ θ = nπ+α | α를 이항 |
정의역에 대한 주의. 위 유도는 θ, α가 tan의 정의역에 있다는(즉 cosθ≠0, cosα≠0) 전제 아래에서만 성립합니다—애초에 tanθ, tanα가 정의되지 않으면 "tanθ=tanα"라는 방정식 자체가 의미를 갖지 않으므로 이는 자연스러운 제약이며 별도의 정보 손실이 아닙니다.
수치 검산(α=40°). n=0 : θ=40°, tan40°≈0.8391. n=1 : θ=220°, tan220°=tan(220°−180°)=tan40°≈0.8391. n=−1 : θ=−140°, tan(−140°)≈0.8391—모두 정확히 일치합니다.
사용 : 4.2의 f410번 (탄젠트의 정의) · f411번 (정의역·영점) · 4.9의 f453번(사인의 뺄셈정리)
증명 끝
499정리코탄젠트 방정식의 일반해cotθ=cotα ⇔ θ=nπ+α (n∈ℤ)
증명법 : 직접증명법(498번과 같은 방식—비를 통분해 사인의 뺄셈정리로 환원)
주장. θ, α가 모두 cot의 정의역에 있을 때(즉 4.2 f411번에 의해 θ, α≠kπ), 다음은 서로 동치입니다 :
cotθ = cotα ⇔ θ = nπ + α (n∈ℤ)
| cotθ=cotα ⇔ cosθsinθ = cosαsinα | 4.2 f410번(cot의 정의) |
| ⇔ cosθsinα = sinθcosα | 양변에 sinθsinα≠0을 곱함(교차 곱셈, 두 각 모두 정의역 안이므로 정당) |
| ⇔ sinθcosα − cosθsinα = 0 | 항 재배열(cosθsinα=sinθcosα를 이항) |
| ⇔ sin(θ−α) = 0 | 4.9 f453번(사인의 뺄셈정리) |
| ⇔ θ−α = nπ ⇔ θ = nπ+α | 4.2 f411번(sin의 영점) |
498번과의 정합성(품질 기준 ⑤). 498·499번의 결론은 형태가 똑같이 θ=nπ+α이지만, 정의역 전제는 다릅니다—498번은 cosθ, cosα≠0(즉 θ, α≠π2+kπ)을, 499번은 sinθ, sinα≠0(즉 θ, α≠kπ)을 요구합니다. 두 정의역이 모두 성립하는(즉 tanθ, tanα가 정의되고 0이 아닌) 공통 범위에서는, 4.5 f428번 (tanθ·cotθ=1)에 의해 cotθ=1tanθ이므로 tanθ=tanα ⇔ 1tanθ=1tanα ⇔ cotθ=cotα—즉 두 방정식이 서로 같은 해를 준다는 것이 이미 예상되는 결과이며, 498·499번을 각각 독립적으로 증명한 결과가 정확히 그 예상과 들어맞습니다(499번의 증명이 498번을 인용하거나 그 역이 성립하지는 않으므로, 이는 순환논법이 아니라 서로 다른 두 증명이 일관됨을 확인하는 교차 검산입니다).
수치 검산(α=40°). n=0 : θ=40°, cot40°≈1.1918. n=1 : θ=220°, cot220°≈1.1918. n=−1 : θ=−140°, cot(−140°)≈1.1918—모두 정확히 일치합니다.
사용 : 4.2의 f410번 (코탄젠트의 정의) · f411번 (정의역·영점) · 4.9의 f453번(사인의 뺄셈정리) · 4.5의 f428번(tan·cot=1, 정합성 확인용)
증명 끝
500정리활용 — 인수분해로 풀리는 삼각방정식2cos²θ − sinθ − 1 = 0의 해(0≤θ<2π)
증명법 : 직접증명법(피타고라스 항등식으로 한 함수로 통일한 뒤 인수분해, 496번의 일반해로 범위 안의 해를 나열)
주장. 방정식 2cos²θ−sinθ−1=0의 해집합은 0≤θ<2π 범위에서 다음과 같습니다 :
θ ∈ { π6, 5π6, 3π2 }
1단계—한 함수로 통일. 4.5 f425번(피타고라스 항등식, sin²θ+cos²θ=1)에서 cos²θ=1−sin²θ를 대입해 좌변 전체를 sinθ만의 식으로 바꿉니다 :
| 2cos²θ − sinθ − 1 = 0 | 주어진 방정식 |
| 2(1−sin²θ) − sinθ − 1 = 0 | 4.5 f425번(cos²θ=1−sin²θ) |
| 1 − 2sin²θ − sinθ = 0 | 전개(2−1=1) 및 정리 |
| 2sin²θ + sinθ − 1 = 0 | 양변에 −1을 곱해 sin²θ의 계수를 양수로 |
2단계—인수분해. u=sinθ로 치환하면 2u²+u−1=0이고, 이는 (2u−1)(u+1)=0으로 인수분해됩니다(전개해 확인 : 2u²+2u−u−1=2u²+u−1, 일치). 따라서 :
(2sinθ−1)(sinθ+1) = 0 ⇔ sinθ=12 또는 sinθ=−1
3단계—경우 1 : sinθ=12. 4.4 f421번(특수각의 삼각비)에 의해 sinπ6=12이므로 α=π6를 496번에 대입합니다 : θ=nπ+(−1)nπ6. 0≤θ<2π 범위에 드는 것은 n=0(θ=π6)과 n=1(θ=π−π6=5π6) 두 개뿐입니다(n=2는 θ=2π+π6≥2π로 범위 밖, n=−1은 θ=−π−π6<0으로 범위 밖).
4단계—경우 2 : sinθ=−1(극값인 경우). sin의 치역이 [−1,1](4.2 f412번)이므로 −1은 그 최솟값이고, α=−π2가 한 해입니다(sin(−π2)=−1). 496번을 적용하면 θ=nπ+(−1)n(−π2)인데, 이번에는 두 갈래(n 짝수·홀수)가 서로 다른 값이 아니라 같은 합동류로 겹칩니다 :
| n=2k(짝수) : θ = 2kπ − π2 | 496번(짝수 갈래) |
| n=2k+1(홀수) : θ = (2k+1)π + π2 = 2kπ + 3π2 | 496번(홀수 갈래), (−1)홀수×(−π2)=+π2 |
| 2kπ−π2 = 2(k−1)π+3π2 | 2kπ−π2=2kπ−2π+3π2=2(k−1)π+3π2로 재정리—두 갈래가 같은 합동류 3π2+2mπ(m∈ℤ)로 일치 |
이런 일이 생기는 이유는 α=−π2가 π2의 홀수배(경계값·극값에 해당)라서 π−α≡α (mod 2π)가 되기 때문입니다—496번의 "두 갈래"는 일반적으로 서로 다른 값이지만, 이 극값에서는 두 갈래가 우연이 아니라 대수적으로 정확히 같은 합동류로 겹칩니다. 따라서 0≤θ<2π 범위에서 sinθ=−1의 해는 θ=3π2 하나뿐입니다.
수치 검산. θ=30° : 2cos²30°−sin30°−1=2(0.75)−0.5−1=0(오차 <10−15). θ=150° : 2cos²150°−sin150°−1=2(0.75)−0.5−1=0. θ=270° : 2cos²270°−sin270°−1=2(0)−(−1)−1=0—세 값 모두 정확히 방정식을 만족합니다(Python으로 재검산 완료).
사용 : 4.5의 f425번(피타고라스 항등식) · 4.4의 f421번(특수각의 삼각비) · 4.2의 f412번 (sin의 치역) · 496번(사인 방정식의 일반해)
증명 끝
참조 그림
496번(sinθ=sinα)의 두 해 갈래를 단위원에서 확인한 그림입니다. P(α)와 P(π−α)는 y축(x=210)에 대해 서로 대칭인 두 점이며, 대칭축이 세로선이므로 두 점의 높이(x축에 내린 수선의 길이, 곧 sinθ의 값)는 정확히 같습니다—대칭축과의 거리(가로 방향 차이)는 다르지만 세로 방향 좌표는 같다는 사실이 두 개의 서로 다른 각(α와 π−α)이 같은 sin값을 준다는 496번의 결론을 시각적으로 보여줍니다. 좌표는 α=35°를 math.cos/sin으로 계산해 픽셀에 그대로 대입했습니다(임의로 어림잡은 좌표가 아닙니다).
497번(cosθ=cosα)의 두 해 갈래를 단위원에서 확인한 그림입니다. P(α)와 P(−α)는 x축에 대해 서로 대칭인 두 점이며, 대칭축이 가로선이므로 두 점의 x좌표(y축에 내린 수선의 길이, 곧 cosθ의 값)는 정확히 같습니다. 좌표는 α=50°를 math.cos/sin으로 계산해 픽셀에 그대로 대입했습니다.