4.21 대학 과정
쌍곡선함수와의 관계
Relations to Hyperbolic Functions
정의 · 공식과 증명
이 절이 인용하려는 원서(1300 Math Formulas)의 4.21절은 삼각함수와 쌍곡선함수(sinh·cosh·tanh 등) 사이의 관계식을 다루는데, 이 사이트에는 쌍곡선함수 자체가 지금까지 어디에도 정의되어 있지 않습니다(9.5 «쌍곡선함수의 적분»도 건너뛴 절이라 플레이스홀더 상태입니다). 그래서 이 절은 두 단계로 구성됩니다 — 먼저 815–820번에서 쌍곡선함수 여섯 개를 지수함수만으로 엄밀하게 정의하고 기본 항등식·덧셈정리·배각공식을 증명한 뒤(순전히 실수 범위의 대수), 그다음 821–822번에서 이 절의 원래 주제인 «삼각함수와의 관계»를 다룹니다. 이렇게 이 절 안에서 정의부터 세우면, 나중에 9.5(쌍곡선함수의 적분)를 작성할 때도 그대로 재사용할 수 있습니다.
815정의쌍곡선사인·쌍곡선코사인(Hyperbolic Sine and Cosine)sinh x := ex−e−x2, cosh x := ex+e−x2 (x∈ℝ)
배경. 8.4 f657번이 자연지수함수 ex가 실수 전체에서 정의된 함수임을 이미 확립해 두었으므로(그 존재 자체는 2.5 f104번의 axiom-note가 명시하듯 실수의 완비성에 근거한 대학 해석학 내용이며, 여기서는 이미 주어진 결과로 사용합니다), ex와 e−x의 합·차를 2로 나눈 두 함수를 다음과 같이 정의합니다 :
sinh x := ex−e−x2 · cosh x := ex+e−x2
«쌍곡선(hyperbolic)»이라는 이름의 이유는 이 두 함수가 실제로 쌍곡선 x²−y²=1 위의 점을 매개변수화한다는 데서 옵니다 — 818번(피타고라스 항등식의 쌍곡선판)에서 실제로 이를 증명합니다. 정의 자체는 단순한 대수(지수함수의 합·차)이므로 별도의 증명이 필요하지 않습니다.
사용 : 8.4의 f657번 · 2.5의 f104번
816정의나머지 네 쌍곡선함수(Remaining Hyperbolic Functions)tanh x := sinh xcosh x, coth x := cosh xsinh x (x≠0), sech x := 1cosh x, csch x := 1sinh x (x≠0)
4.2 f410번이 tan·cot·sec·csc를 sin·cos의 비·역수로 정의한 것과 완전히 같은 방식으로, 나머지 네 쌍곡선함수를 815번의 sinh·cosh의 비·역수로 정의합니다 :
tanh x := sinh xcosh x · coth x := cosh xsinh x · sech x := 1cosh x · csch x := 1sinh x
cosh x = ex+e−x2 ≥ 2ex·e−x2 = 1>0(815번의 정의식에서 ex, e−x>0이므로 산술평균≥기하평균, 등호는 x=0)이 모든 실수 x에서 성립하므로 tanh·sech는 정의역 제한이 필요 없습니다. 반면 sinh x=0은 ex=e−x, 즉 e2x=1⇔x=0(지수함수의 단사성, 8.4 f657번이 전제하는 ex의 강한 증가성에 의함)에서만 일어나므로, coth·csch는 x≠0에서 정의합니다.
사용 : 4.2의 f410번 · 815번 · 8.4의 f657번
817정리쌍곡선함수의 우함수·기함수 성질(Even and Odd Properties)cosh(−x)=cosh x, sech(−x)=sech x (우함수); sinh(−x)=−sinh x, tanh(−x)=−tanh x, coth(−x)=−coth x, csch(−x)=−csch x (기함수)
증명법 : 직접증명법(815번의 정의식에 x→−x를 그대로 대입, 8.1 f618번의 정의로 판정)
815번의 정의에 x 대신 −x를 대입하면 :
| sinh(−x) = e−x−ex2 = −ex−e−x2 = −sinh x | 815번의 정의, 부호를 앞으로 뺌 |
| cosh(−x) = e−x+ex2 = ex+e−x2 = cosh x | 815번의 정의, 덧셈의 교환법칙 |
8.1 f618번(우함수·기함수의 정의)에 의해 cosh는 우함수, sinh는 기함수입니다.
나머지 넷은 816번의 정의에 방금 증명한 두 성질을 대입하는 순수 대수입니다 :
| tanh(−x) = sinh(−x)cosh(−x) = −sinh xcosh x = −tanh x | 816번의 정의, sinh(−x)=−sinh x·cosh(−x)=cosh x 대입 |
| coth(−x) = cosh(−x)sinh(−x) = cosh x−sinh x = −coth x | 816번의 정의, 같은 대입 |
| sech(−x) = 1cosh(−x) = 1cosh x = sech x | 816번의 정의, cosh(−x)=cosh x 대입 |
| csch(−x) = 1sinh(−x) = 1−sinh x = −csch x | 816번의 정의, sinh(−x)=−sinh x 대입 |
4.2의 tan·cot·csc가 사인의 기함수성을 물려받아 기함수가 되고 sec만 코사인의 우함수성을 물려받아 우함수가 되는 것(4.3~4.8 계열에서 반복 확인된 패턴)과 정확히 같은 대응 관계가 여기서도 그대로 나타납니다 — 부모 함수(sinh 또는 cosh) 중 어느 쪽이 분모·분자에 있는지에 따라 갈립니다.
사용 : 8.1의 f618번 · 815번 · 816번
증명 끝
818정리쌍곡선함수의 기본 항등식(Fundamental Hyperbolic Identity)cosh2x − sinh2x = 1; 1−tanh2x = sech2x; coth2x−1 = csch2x
증명법 : 직접증명법(815번을 그대로 전개, 4.5 f425번(피타고라스 항등식)과 부호만 반대인 것을 대조)
(a) cosh2x−sinh2x=1. 815번의 정의를 그대로 제곱해 전개합니다 :
| cosh2x−sinh2x = (ex+e−x)24 − (ex−e−x)24 | 815번의 정의 |
| = (ex+e−x)2−(ex−e−x)24 | 분모가 같으므로 분자끼리 뺌 |
| = 4exe−x4 | (a+b)2−(a−b)2=4ab (2.2 f74번 계열의 전개), a=ex,b=e−x |
| = exe−x = 1 | 2.3 f82번(지수의 덧셈)의 실수지수판, exe−x=e0=1 |
이 항등식은 4.5 f425번(sin2θ+cos2θ=1)과 형태가 거의 같지만 두 제곱 사이의 부호가 더하기가 아니라 빼기라는 점만 다릅니다 — 이 부호 차이가 4.2 f409번에서 정의한 P(θ)=(cosθ,sinθ)가 원 x2+y2=1을, Q(t)=(cosh t, sinh t)가 쌍곡선 x2−y2=1을 각각 매개변수화하는 이유이며(아래 그림 참고), 821번(오스본의 규칙)에서 이 부호 반전의 패턴을 일반화합니다.
(b) 1−tanh2x=sech2x. (a)의 양변을 cosh2x(≠0, 816번에서 확인)로 나누면 :
1−sinh2xcosh2x = 1cosh2x ⇔ 1−tanh2x = sech2x
(816번의 정의 tanh x=sinh xcosh x, sech x=1cosh x를 대입한 것입니다.)
(c) coth2x−1=csch2x (x≠0). (a)의 양변을 대신 sinh2x(x≠0에서 ≠0)로 나누면 :
cosh2xsinh2x−1 = 1sinh2x ⇔ coth2x−1 = csch2x
사용 : 4.5의 f425번 · 4.2의 f409번 · 2.2의 f74번 · 2.3의 f82번 · 815번 · 816번
증명 끝
819정리쌍곡선함수의 덧셈정리(Addition Formulas)sinh(x±y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y; cosh(x±y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y
증명법 : 직접증명법(815번의 정의를 그대로 전개, 지수법칙 ex+y=exey만 사용)
4.9의 삼각함수 덧셈정리(f449번)는 회전 합동이라는 기하학적 보조정리가 필요했지만, 이 절의 덧셈정리는 815번의 정의가 이미 지수함수로 되어 있으므로 순수 대수(지수법칙 ex+y=exey, 2.3 f82번의 실수지수판)만으로 곧바로 얻어집니다—새로운 기하학적 도구가 필요하지 않습니다.
(a) cosh x cosh y+sinh x sinh y. 815번의 정의를 대입해 전개합니다 :
| cosh x cosh y+sinh x sinh y = ex+e−x2+ex−e−x2 | 815번의 정의 |
| = (ex+e−x)(ey+e−y)+(ex−e−x)(ey−e−y)4 | 두 분수를 통분(분모 4로 동일), 분자를 각각 전개 |
| = 2exey+2e−xe−y4 | 전개 후 ex−y·ey−x 항이 서로 상쇄됨(부호가 반대인 두 항씩 짝지어 소거), exey=ex+y·e−xe−y=e−(x+y)(2.3 f82번) |
| = cosh(x+y) | 815번의 정의를 x+y에 적용 |
(b) sinh x cosh y+cosh x sinh y. 같은 방식으로 :
| sinh x cosh y+cosh x sinh y = ex−e−x2+ey+e−y2 | 815번의 정의 |
| = (ex−e−x)(ey+e−y)+(ex+e−x)(ey−e−y)4 | 통분 후 전개, 이번에는 ex−y·ey−x 항이 서로 상쇄 |
| = 2exey−2e−xe−y4 = sinh(x+y) | exey=ex+y·e−xe−y=e−(x+y)(2.3 f82번), 815번의 정의 |
x−y 형태(뺄셈정리). 위 두 결과에 y를 −y로 치환하면, 817번(sinh·cosh의 우·기함수 성질)에 의해 sinh(−y)=−sinh y, cosh(−y)=cosh y이므로 :
cosh(x−y) = cosh x cosh y−sinh x sinh y · sinh(x−y) = sinh x cosh y−cosh x sinh y
네 식을 한데 모으면 진술한 ± 형태의 두 공식이 됩니다.
증명 끝
820정리쌍곡선함수의 배각공식(Double-Angle Formulas)sinh 2x = 2 sinh x cosh x; cosh 2x = cosh2x+sinh2x = 2cosh2x−1 = 1+2sinh2x
증명법 : 직접증명법(819번에 y=x를 대입, 4.10 배각공식(f459·f460번)과 완전히 같은 전략)
4.10이 4.9의 덧셈정리에 φ=θ를 대입해 배각공식을 얻었던 것과 정확히 같은 방식으로, 819번(덧셈정리)에 y=x를 대입합니다 :
| sinh 2x = sinh(x+x) = sinh x cosh x+cosh x sinh x = 2 sinh x cosh x | 819번에 y=x 대입 |
| cosh 2x = cosh(x+x) = cosh2x+sinh2x | 819번에 y=x 대입 |
cosh 2x의 나머지 두 형태는 818번(a)(cosh2x−sinh2x=1)를 이용해 한쪽 항을 다른 쪽으로 치환하면 됩니다 :
| cosh 2x = cosh2x+sinh2x = cosh2x+(cosh2x−1) = 2cosh2x−1 | 818번(a)에서 sinh2x=cosh2x−1 대입 |
| cosh 2x = cosh2x+sinh2x = (sinh2x+1)+sinh2x = 1+2sinh2x | 818번(a)에서 cosh2x=sinh2x+1 대입 |
세 형태 모두 4.10 f460번(cos 2θ의 세 표현)과 정확히 같은 구조—부호만 반대(cosh2+sinh2 대 cos2−sin2)—를 보이는 것도 818번(a)의 부호 반전이 낳는 또 하나의 결과입니다.
사용 : 4.10의 f459·f460번 · 818번(a) · 819번
증명 끝
821정리삼각함수와의 형식적 대응 — 오스본의 규칙(Osborn’s Rule)sin↔sinh, cos↔cosh로 바꾸고 sin을 둘 이상 곱한 항(즉 sin2,···이 짝수 번 등장하는 항)의 부호를 바꾸면 삼각함수 항등식이 쌍곁선함수 항등식이 된다
증명법 : 직접증명법(818·819·820번과 4.5·4.9·4.10의 대응하는 항등식을 나란히 대조)
815–820번에서 증명한 쌍곡선 항등식과 4장 앞부분에서 이미 증명된 삼각 항등식을 나란히 놓으면, 다음과 같은 형식적 대응이 관찰됩니다 :
| 4.5 f425번 sin2θ+cos2θ=1 | ↔ 818번(a) cosh2x−sinh2x=1 |
| 4.9 f449번 cos(x±y)=cos x cos y∓sin x sin y | ↔ 819번 cosh(x±y)=cosh x cosh y±sinh x sinh y |
| 4.9 f449번 sin(x±y)=sin x cos y±cos x sin y | ↔ 819번 sinh(x±y)=sinh x cosh y±cosh x sinh y(부호 안 바뀜) |
| 4.10 f460번 cos 2θ=2cos2θ−1 | ↔ 820번 cosh 2x=2cosh2x+1이 아니라 2cosh2x−1(부호 안 바뀜) |
패턴을 정리하면 : sin↔sinh, cos↔cosh로 기호를 바꿔 쓰되, 바꿔 쓴 결과에서 사인이 짝수 번(2번,4번,…) 곱해진 항—예컨대 sin2θ, sin x sin y—이 나타날 때마다 그 항의 부호를 반대로 뒤집으면 삼각 항등식이 쌍곡선 항등식으로 정확히 변환됩니다(코사인이 몇 번 곱해지는지는 부호에 영향을 주지 않습니다). 위 표의 cos(x±y)→cosh(x±y)는 sin x sin y 항(사인이 2번)의 부호가 뒤집혀 ∓→±가 되고, sin(x±y)→sinh(x±y)는 sin x cos y·cos x sin y 어느 항도 사인이 2번 곱해지지 않으므로(각 항에 사인이 정확히 1번) 부호가 그대로 유지됩니다—818·819·820번의 증명을 618–820번 순서대로 다시 훑어보면 이 규칙이 우연이 아니라 매 단계에서 실제로 성립하고 있음을 확인할 수 있습니다.
이 대응은 지금까지는 각 항등식을 개별적으로 증명해서 관찰한 경험적 패턴입니다—즉 815–820번의 증명 결과들을 나열해 놓고 보니 그렇게 되어 있더라는 것이지, 아직 «왜 항상 그렇게 되는지»를 하나의 정리로 증명한 것은 아닙니다. 그 근본적인 이유—사인이 짝수 번 곱해질 때만 부호가 뒤집히는 진짜 이유—는 822번에서 복소수를 매개로 밝힙니다.
사용 : 4.5의 f425번 · 4.9의 f449번 · 4.10의 f460번 · 818번 · 819번 · 820번
증명 끝
822정리대학복소수 인수를 통한 삼각함수와의 관계(Relations via Complex Argument)sin(ix) = i sinh x; cos(ix) = cosh x; tan(ix) = i tanh x
증명법(조건부) : 1.4 f64번(오일러 공식)을 ±ix에 대입해 연립
1.4 f64번(오일러 공식)은 eiθ=cosθ+i sinθ(θ∈ℝ)입니다. 이를 x∈ℝ와 −x에 각각 적용하면 :
| eix = cos x+i sin x | 1.4 f64번, θ=x |
| e−ix = cos x−i sin x | 1.4 f64번, θ=−x; 4.6 f432번(음각공식)의 cos(−x)=cos x·sin(−x)=−sin x 대입 |
두 식을 815번의 정의식과 나란히 놓고 비교합니다—815번은 sinh u=eu−e−u2, cosh u=eu+e−u2이므로, u=ix를 대입하면 :
| sinh(ix) = eix−e−ix2 = (cos x+i sin x)−(cos x−i sin x)2 = i sin x | 815번에 u=ix 대입, 방금 얻은 e±ix 대입 |
| cosh(ix) = eix+e−ix2 = (cos x+i sin x)+(cos x−i sin x)2 = cos x | 815번에 u=ix 대입, 같은 대입 |
sinh(ix)=i sin x의 양변에 −i를 곱하면(i2=−1이므로 −i·i=1) sin x=−i sinh(ix)를 얻는데, 이는 사실 진술한 sin(ix)=i sinh x와 다른 방향의 식입니다—진술한 형태를 얻으려면 처음부터 오일러 공식을 θ=ix(허수 인수)에 대입해야 합니다. z=ix를 오일러 공식 형태의 정의 cos z:=eiz+e−iz2, sin z:=eiz−e−iz2i(위 univ-note에서 채택한 확장 정의)에 직접 대입하면 :
| cos(ix) = ei·ix+e−i·ix2 = e−x+ex2 = cosh x | 확장 정의에 z=ix 대입, ei·ix=e−x·e−i·ix=ex |
| sin(ix) = ei·ix−e−i·ix2i = e−x−ex2i = i sinh x | 확장 정의에 z=ix 대입, 같은 지수 계산 |
tan(ix)는 정의(816번의 형식을 tan에도 그대로 적용, tan z:=sin zcos z)로부터 곧바로 따라옵니다 :
tan(ix) = sin(ix)cos(ix) = i sinh xcosh x = i tanh x
이 세 식이 바로 821번에서 관찰만 했던 오스본 규칙의 진짜 근거입니다—cos(ix)=cosh x는 부호가 바뀌지 않는 반면 sin(ix)=i sinh x는 계수 i가 붙으므로, 삼각 항등식에 sin이 짝수 번 곱해진 항(sin2, sin x sin y 등)을 이 대입으로 옮기면 i2=−1이 곱해져 부호가 자동으로 뒤집히고, 홀수 번 곱해진 항은 i가 홀수 번 남아 있다가 sinh 쪽 항등식 전체에 걸리는 공통 인수로 흡수되어(예 : sin(x+y)=sin x cos y+cos x sin y의 양변에 x→ix,y→iy를 대입하면 양변 모두 i가 정확히 한 번씩 남아 나누어떨어짐) 부호가 유지됩니다.
사용(조건부, f64번 미해결) : 1.4의 f64번[선행 인용, 미증명] · 4.6의 f432번 · 815번 · 816번 · 821번
증명 끝(조건부—f64번이 완성되는 대로 이 절도 함께 완성됨)
823정리종합 계산 예sinh(ln2)=34, cosh(ln2)=54, tanh(ln2)=35; sinh(ln2+ln3)=3512
증명법 : 직접증명법(815·816·818·819번을 구체적인 값 x=ln2, y=ln3에 대입)
기본값 계산. x=ln2라 하면 ex=2, e−x=12(로그의 정의, 2.5 f104번). 815·816번에 대입하면 :
| sinh(ln2) = 2−122 = 3/22 = 34 | 815번의 정의 |
| cosh(ln2) = 2+122 = 5/22 = 54 | 815번의 정의 |
| tanh(ln2) = 3/45/4 = 35 | 816번의 정의 |
818번(a)로 검산하면 cosh2(ln2)−sinh2(ln2) = 54−34 = 1616 = 1로 실제로 성립합니다.
덧셈정리 검산. 같은 방식으로 y=ln3(ey=3, e−y=13)에서 sinh(ln3)=43, cosh(ln3)=53입니다. 819번(덧셈정리)으로 sinh(ln2+ln3)을 두 가지 방법으로 계산해 서로 일치하는지 확인합니다 :
| [방법 1] sinh(ln2+ln3) = sinh(ln6) = 6−162 = 35/62 = 3512 | 815번의 정의(로그의 곱셈법칙, 2.5 f108번로 ln2+ln3=ln6) |
| [방법 2] sinh(ln2)cosh(ln3)+cosh(ln2)sinh(ln3) = 34·53+54·43 = 1512+2012 = 3512 | 819번(덧셈정리), 위에서 구한 네 값 대입 |
두 방법 모두 3512로 정확히 일치합니다—이는 815–819번이 서로 정합적으로 맞물려 있음을 구체적인 수로 재확인하는 것입니다.
사용 : 2.5의 f104번·f108번 · 815번 · 816번 · 818번(a) · 819번
증명 끝
삼각함수(왼쪽)와 쌍곡선함수(오른쪽)를 나란히 그린 것 — 왼쪽에서 각 θ가 늘어나면 점 P(θ)는 단위원 위를 돌고, 오른쪽에서 매개변수 t가 늘어나면 점 Q(t)는 쌍곡선 x²−y²=1의 오른쪽 가지를 따라 위로 움직입니다—818번(a)의 항등식 cosh²t−sinh²t=1이 정확히 이 쌍곡선의 방정식이므로, Q(t)가 그 곡선 위에 있다는 사실 자체가 곧 818번(a)의 기하학적 뜻입니다. 좌표는 실제 θ=t=0.9(라디안·쌍곡선 매개변수)를 그대로 대입해 계산했습니다(원은 반지름 90px, 쌍곡선은 축척 46px/단위).
815–816번에서 정의한 세 쌍곡선함수의 그래프—cosh x(파랑)는 (0,1)을 최솟값으로 갖는 우함수, sinh x(빨강)·tanh x(초록)는 원점 대칭인 기함수입니다. tanh x는 y=±1을 수평점근선으로 가지며(|x|가 커지면 e−x 또는 ex 항이 0에 가까워져 815·816번의 정의식이 각각 ±1에 수렴), sinh·cosh는 x→∞일 때 둘 다 ex2에 점근합니다(둘의 차 e−x가 0으로 사라지므로 두 곡선이 오른쪽에서 점점 붙어 보입니다). 좌표는 815·816번의 정의식 sinh x=(ex−e−x)/2, cosh x=(ex+e−x)/2, tanh x=sinh x/cosh x를 x∈[−2.6,2.6](tanh는 [−3.2,3.2])에 0.02 간격으로 그대로 대입해 계산했습니다.