11.10 대학 과정
테일러급수와 매클로린급수
Taylor and Maclaurin Series
정의 · 공식과 증명
11.9 f1040는 «멱급수로 나타내어진 함수의 계수는 반드시 f(n)(x0)÷n!이어야 한다»라는 필요조건을 세운 채 끝났습니다. 1042–1049번은 그 화살표를 거꾸로 돌립니다―무한 번 미분가능한 함수 f가 먼저 주어졌을 때, 그 공식으로 계수를 만들어 급수를 세우고(1042번), 그 급수가 정말 f로 수렴하는지를 판정합니다. 열쇠는 급수를 유한한 곳에서 자르고 남는 나머지항 RN(x)이며, 1043번(테일러 정리)이 그 나머지를 도함수 하나로 표현하고 1044번가 «RN→0»이 곧 전개의 성립임을 확인합니다. 1045·1046번번은 이 판정을 지수함수·삼각함수에 적용하고, 1047번번은 그 둘을 복소수 범위에서 이어 붙여 1.4 f64(오일러 공식)가 오랫동안 미뤄 두었던 증명을 완성합니다. 1048번번은 수렴구간의 끝점에서 조화교대급수의 합이 ln 2임을 확정하고, 마지막 1049번번은 이 모든 판정 단계가 정말로 필요했음을 보이는 반례―매클로린급수가 어디서나 수렴하는데도 그 합이 원래 함수가 아닌 함수―를 제시합니다.
1042정의테일러급수와 매클로린급수(Taylor and Maclaurin Series)∞Σn=0f(n)(x0)n!(x−x0)n
정의이므로 정의 자체는 증명 대상이 아닙니다. 다만 아래 ⑴–⑷는 이 정의에서 곧바로 따라 나오거나 이 정의를 올바로 읽기 위해 반드시 짚어야 하는 사실이므로 근거를 붙여 확인합니다.
함수 f가 x0을 품는 어떤 열린구간 I에서 무한 번 미분가능하다고 합시다― 즉 모든 자연수 n에 대해 n계도함수 f(n)이 I에서 존재합니다(8.5 f663). 이때 다음 멱급수를 f의 x0에서의 테일러급수(Taylor series)라 합니다.
∞Σn=0f(n)(x0)n!(x−x0)n = f(x0) + f′(x0)(x−x0) + f″(x0)2!(x−x0)² + …
여기서 n!은 계승(12.1 f779)이고 0!=1, f(0)=f입니다(8.5 f664의 규약). 특히 중심이 x0=0인 경우, 즉
∞Σn=0f(n)(0)n!xn
를 f의 매클로린급수(Maclaurin series)라 합니다―테일러급수의 특별한 경우일 뿐, 새로운 개념이 아닙니다.
이 급수를 N번째 항에서 자른 것과, 자르고 남는 차이에도 이름을 붙입니다. f가 I에서 N번 미분가능하기만 하면 다음 둘은 뜻을 가집니다.
| TN(x) := NΣn=0f(n)(x0)n!(x−x0)n | N차 테일러 다항식(Taylor polynomial) ― N차 이하의 다항식 |
| RN(x) := f(x) − TN(x) | N차 나머지항(remainder) ― 정의상 f(x) = TN(x) + RN(x) |
⑴ 테일러급수는 1027번의 의미의 멱급수다. 중심이 x0이고 계수가
an := f(n)(x0)n!
인 멱급수이기 때문입니다. 따라서 11.8·11.9에서 세운 결과―수렴반지름의 존재 (1029번), 수렴구간(1030번), 항별 미분·적분 (11.9의 1038번·1039번)―를 이 급수에 그대로 적용할 수 있습니다.
⑵ TN은 x0에서 f와 N계까지의 도함수가 모두 일치하는 유일한 N차 이하 다항식이다. 다항식은 계수가 n>N에서 모두 0인 멱급수이므로(모든 실수에서 수렴하니 R=∞), 11.9 f1040 ⑵를 그대로 적용할 수 있습니다―멱급수의 계수와 중심에서의 도함수는 am=TN(m)(x0)÷m!로 묶여 있습니다. 그러므로
| TN(m)(x0) = m! am = m!·f(m)(x0)m! = f(m)(x0) (0≤m≤N) | 11.9 f1040 ⑵ · am의 정의 |
| TN(m)(x0) = 0 (m>N) | N차 이하 다항식을 N+1번 이상 미분하면 0(8.4 f653을 반복 적용) |
이고, 유일성은 다음과 같습니다. P, Q가 모두 N차 이하이고 x0에서 N계까지의 도함수가 f와 일치한다고 하면 D:=P−Q도 N차 이하이며 D(m)(x0)=0 (0≤m≤N) 입니다. 다시 11.9 f1040 ⑵에 의해 D의 모든 계수가 0이므로 D는 영다항식, 즉 P=Q입니다.
⑶ N=1인 경우가 접선이다. T1(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)은 8.3 f647의 접선의 방정식과 정확히 같은 식입니다. 즉 테일러 다항식은 접선을 고차로 확장한 것이며, ⑵는 그 확장이 «x0에서 도함수를 몇 계까지 맞추는가»라는 기준으로 유일하게 결정됨을 말합니다.
⑷ 이 정의는 아직 아무것도 주장하지 않는다. f로부터 테일러급수를 만드는 일은 언제나 가능하지만, 만들어진 급수에 대해 다음 두 물음은 이 정의만으로는 전혀 답해지지 않습니다.
| ① 이 급수가 x0 이외의 점에서 수렴하는가? | 수렴반지름이 0일 수 있음 ― 11.8 f1034 ⑵가 R=0인 멱급수의 실제 예 |
| ② 수렴한다면 그 합이 f(x)와 같은가? | 같지 않을 수 있음 ― 1049번이 실제 반례 |
11.9 f1040는 «f가 멱급수로 나타내어진다면 그 급수는 반드시 테일러급수다» 라는 한 방향만 보장했을 뿐, 거꾸로 «테일러급수를 만들면 그것이 f를 나타낸다»는 보장은 어디에도 없습니다. 그래서 이 절에서는 두 물음이 해결되기 전까지 등호를 쓰지 않고
f(x) ∼ ∞Σn=0f(n)(x0)n!(x−x0)n
처럼 «이 함수에 이 급수가 대응한다»는 뜻의 기호로 쓰고, 등호로 바꿔 쓸 자격은 1044번의 판정을 통과한 뒤에 얻습니다.
사용 : 11.8의 1027번 · 1029번 · 1030번 · 1034번 · 11.9의 1038번 · 1039번 · 1040번 · 8.3의 647번 · 8.4의 653번 · 8.5의 663번 · 664번 · 12.1의 779번
1043정리테일러 정리와 라그랑주 형태의 나머지항(Taylor's Theorem, Lagrange Remainder)f(x) = NΣn=0f(n)(x0)n!(x−x0)n + f(N+1)(ξ)(N+1)!(x−x0)N+1
증명법 : 존재할 수밖에 없다는 것을 보임(보조함수를 세워 8.6 f671 롤의 정리로 환원)
f가 x0을 품는 열린구간 I에서 N+1번 미분가능하고(8.5 f663), x∈I, x≠x0이라 합시다. 그러면 x0과 x 사이의 어떤 ξ에 대해
RN(x) = f(N+1)(ξ)(N+1)!(x−x0)N+1
이 성립합니다(1042번의 RN). 이 꼴을 나머지항의 라그랑주 형태라 하며, 위 요약의 등식은 RN(x)=f(x)−TN(x)를 옮겨 쓴 것입니다.
⑴ 상수 M을 먼저 정한다. x≠x0이므로 (x−x0)N+1≠0이고, 따라서 다음을 만족하는 실수 M이 유일하게 정해집니다.
f(x) = TN(x) + M(x−x0)N+1, 즉 M = RN(x)(x−x0)N+1
이제 보여야 할 것은 M = f(N+1)(ξ)÷(N+1)!인 ξ가 존재한다는 것뿐입니다.
⑵ 보조함수. 위에서 고른 x를 고정하고, 이제 t를 변수로 삼아 x0과 x를 양끝으로 하는 닫힌구간 J 위에서 다음 함수를 정의합니다―위 식의 x를 t로 바꾸어 «양변의 차이»를 재는 함수입니다.
g(t) := f(x) − NΣn=0f(n)(t)n!(x−t)n − M(x−t)N+1
| g(x) = f(x) − f(x) − 0 = 0 | t=x를 넣으면 n≥1인 항은 (x−x)n=0이고 n=0인 항만 f(x)로 남음 |
| g(x0) = f(x) − TN(x) − M(x−x0)N+1 = 0 | t=x0을 넣으면 합이 정확히 TN(x) · ⑴의 M의 정의 |
| g는 J에서 미분가능, 따라서 연속 | f(N+1)이 I에서 존재하므로 f(n)(n≤N)은 모두 미분가능(8.5 f663) · 다항식 인수는 8.4 f653 · 8.3 f649·f648 · 8.3 f646(미분가능이면 연속) |
⑶ g′의 계산 ― 합이 어긋나며 상쇄된다. 합의 각 항을 t에 대해 미분합니다. f(n)(t)와 (x−t)n의 곱이므로 8.3 f649(곱의 미분법)를 쓰고, (x−t)n의 미분에는 8.3 f651(연쇄법칙)과 8.4 f653을 씁니다― 안쪽 함수 x−t의 도함수가 −1이므로 부호가 뒤집힙니다.
| ddt[f(n)(t)n!(x−t)n] = f(n+1)(t)n!(x−t)n − f(n)(t)(n−1)!(x−t)n−1 | 8.3 f649·f651 · 8.4 f653 · n÷n!=1÷(n−1)! · n=0이면 둘째 항은 없음 |
| NΣn=0(위 식) = NΣn=0f(n+1)(t)n!(x−t)n − N−1Σj=0f(j+1)(t)j!(x−t)j | 둘째 합에서 j:=n−1로 번호를 다시 매김(n=0인 항이 0이므로 n=1부터 셈) |
| = f(N+1)(t)N!(x−t)N | 두 합의 j=0,…,N−1 부분이 항마다 정확히 같아 모두 상쇄되고 n=N인 항만 남음 |
| ddt[−M(x−t)N+1] = M(N+1)(x−t)N | 8.3 f651 · 8.4 f653 · 안쪽 도함수 −1이 앞의 −와 상쇄 |
| ∴ g′(t) = −f(N+1)(t)N!(x−t)N + M(N+1)(x−t)N | 위 두 결과를 8.3 f648(선형성)로 합침 |
⑷ 롤의 정리를 적용한다. g는 J에서 연속이고 J의 내부에서 미분가능하며 ⑵에서 g(x0)=g(x)=0임을 확인했으므로, 8.6 f671(롤의 정리)에 의해 x0과 x 사이의 어떤 ξ에서 g′(ξ)=0입니다. ξ는 J의 내부점이므로 ξ≠x이고, 따라서 (x−ξ)N≠0입니다(N=0이면 이 값은 1이므로 역시 0이 아닙니다).
| 0 = −f(N+1)(ξ)N!(x−ξ)N + M(N+1)(x−ξ)N | ⑶의 g′에 t=ξ를 대입 · 8.6 f671 |
| M(N+1) = f(N+1)(ξ)N! | 양변을 (x−ξ)N(≠0)으로 나눔 |
| M = f(N+1)(ξ)(N+1)·N! = f(N+1)(ξ)(N+1)! | 12.1 f779의 점화식 (N+1)!=(N+1)·N! |
이 M을 ⑴의 식에 되돌려 넣으면 정리의 등식이 그대로 나옵니다.
⑸ N=0인 경우는 평균값 정리다. T0(x)=f(x0)이므로 위 식은 f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x−x0), 즉 8.6 f672(평균값 정리)와 같은 식입니다. 그러므로 이 정리는 평균값 정리를 고차로 확장한 것이고, 1042번 ⑶에서 본 «테일러 다항식은 접선의 고차 확장»이라는 관점과 정확히 짝을 이룹니다.
⑹ 오차의 크기 추정. x0과 x를 잇는 닫힌구간에서 |f(N+1)|≤K인 상수 K가 있으면, ξ가 그 구간 안에 있으므로
|RN(x)| ≤ K(N+1)!|x−x0|N+1
입니다. 1044번가 실제로 쓰는 것은 이 형태입니다―ξ가 정확히 어디인지는 몰라도 f(N+1)의 크기만 눌러 두면 나머지항을 통제할 수 있다는 것이 이 정리의 실용적인 핵심입니다.
덧붙임 ― 나머지항의 다른 형태. 나머지항에는 라그랑주 형태 말고도 코시 형태와 적분 형태가 있습니다. 적분 형태 RN(x)=x∫x0f(N+1)(t)N!(x−t)Ndt는 9.8 f748(부분적분)을 반복해 얻을 수 있지만 f(N+1)의 연속성을 추가로 요구합니다. 이 절에서 필요한 것은 크기 추정뿐이므로 가정이 가장 약한 라그랑주 형태만 씁니다.
사용 : 1042번 · 8.3의 646번 · 648번 · 649번 · 651번 · 8.4의 653번 · 8.5의 663번 · 8.6의 671번 · 672번 · 9.8의 748번 · 12.1의 779번 · 존재할 수밖에 없다는 것을 보임
증명 끝
1044정리나머지항 판정법과 도함수의 일양유계 조건f(x) = ∞Σn=0f(n)(x0)n!(x−x0)n ⇔ limN→∞ RN(x) = 0
증명법 : 직접증명법(부분합이 곧 테일러 다항식이라는 관찰) 뒤 조임정리(8.2 f634)
⑴ 동치 관계. 1042번의 테일러급수의 제N부분합은 11.4 f769의 정의에 의해
NΣn=0f(n)(x0)n!(x−x0)n = TN(x)
즉 정확히 N차 테일러 다항식입니다. 그러므로 한 점 x에서
| 테일러급수가 f(x)로 수렴 ⇔ limN→∞ TN(x) = f(x) | 11.4 f769(급수의 합은 부분합 수열의 극한) |
| ⇔ limN→∞ [f(x) − TN(x)] = 0 ⇔ limN→∞ RN(x) = 0 | 8.2 f632(극한의 사칙연산 ― f(x)는 N에 무관한 상수) · 1042번의 RN |
가 성립합니다. 이것이 이 절 전체의 판정 기준입니다―1042번 ⑷의 물음 ①·②가 한꺼번에 «RN(x)→0인가»라는 하나의 물음으로 바뀝니다.
⑵ 보조정리 ― 모든 실수 c에 대해 limN→∞|c|NN! = 0. 11.8 f1034 ⑴에서 멱급수 ∞Σk=0xkk!의 수렴반지름이 R=∞임을 이미 확인했으므로, 이 급수는 x=|c|에서 수렴합니다. 그러면 11.4 f771 (급수 수렴의 필요조건)에 의해 그 일반항이 0으로 수렴합니다.
∞Σk=0|c|kk! 수렴 ⇒ limN→∞|c|NN! = 0
여기서 쓴 것은 수렴반지름이 ∞이라는 사실뿐이고 그 급수의 합이 무엇인지는 전혀 쓰지 않았다는 점이 중요합니다―합이 ex임은 1045번에서 비로소 이 보조정리를 써서 증명하므로, 순환논법이 되지 않습니다. 11.8 f1034 ⑴의 대학 각주가 «수렴반지름은 합이 무엇인지 몰라도 계수만으로 정해진다»고 못박아 둔 것이 바로 이 대목을 위한 것이었습니다.
⑶ 충분조건 ― 도함수가 n에 무관하게 유계이면 전개가 성립한다. r>0이고 J:=(x0−r, x0+r)⊆I라 합시다. 어떤 상수 K>0이 있어
|f(n)(t)| ≤ K (모든 n≥0과 모든 t∈J)
가 성립하면, J의 모든 점 x에서 테일러급수가 f(x)로 수렴합니다.
| x∈J를 고정 · ξ는 x0과 x 사이 ⇒ ξ∈J | 1043번(f는 J에서 무한 번 미분가능하므로 모든 N에 대해 적용 가능) |
| 0 ≤ |RN(x)| ≤ K(N+1)!|x−x0|N+1 < K·rN+1(N+1)! | 1043번 ⑹ · 가정 |f(N+1)(ξ)|≤K · |x−x0|<r |
| limN→∞ K·rN+1(N+1)! = 0 | ⑵에서 c=r로 두고 지표를 N+1로 읽음 · 11.5 f1010의 상수배와 같은 방식 |
| ∴ limN→∞ |RN(x)| = 0, 즉 limN→∞ RN(x) = 0 | 8.2 f634(조임정리) · |RN|→0이면 RN→0 |
⑴에 의해 J의 모든 x에서 테일러급수가 f(x)로 수렴합니다. x∈J가 임의였으므로 J 전체에서 전개가 성립합니다.
⑷ «n에 무관하게»가 핵심이다. ⑶의 K는 모든 계의 도함수를 한꺼번에 누르는 하나의 상수여야 합니다. 각 n마다 따로 잡은 Kn이 n과 함께 커지면 위 논증은 무너집니다―1049번의 반례가 정확히 그런 함수입니다. 또한 ⑶은 충분조건일 뿐이어서, 이 조건이 깨져도 전개가 성립하는 경우는 얼마든지 있습니다(1048번이 다루는 ln(1+x)의 전개가 그런 예입니다―그 함수의 도함수는 n과 함께 한없이 커집니다).
사용 : 1042번 · 1043번 · 11.4의 769번 · 771번 · 11.5의 1010번 · 11.8의 1034번 · 8.2의 632번 · 634번 · 직접증명법
증명 끝
1045정리지수함수의 매클로린 전개(Maclaurin Expansion of the Exponential Function)ex = ∞Σk=0xkk! (모든 실수 x)
증명법 : 직접증명법(1044번 ⑶의 충분조건을 확인해 적용)
⑴ 도함수와 계수. f(x):=ex이라 두면 8.5 f667에 의해 모든 n≥0에서 f(n)(x)=ex입니다. 그러므로
f(n)(0) = e0 = 1, an = f(n)(0)n! = 1n!e0=1은 2.3 f87
이고, 1042번의 매클로린급수는 ∞Σk=0xkk!입니다― 11.8 f1034 ⑴이 수렴반지름 R=∞임을 이미 확인해 둔 바로 그 급수입니다.
⑵ 도함수의 일양유계 확인. 임의의 실수 x를 하나 고정하고 r:=|x|+1>|x|로 둡니다 (그러면 x∈J:=(−r, r)입니다). 지수함수는 항상 양수이고, 8.4 f657에 의해 (et)′=et>0이므로 8.6 f673에 의해 et는 ℝ 전체에서 강한 증가함수입니다. 따라서
|f(n)(t)| = et < er =: K (모든 n≥0, 모든 t∈J)
이며, 이 K는 n에 전혀 의존하지 않습니다―f(n)이 n에 관계없이 모두 같은 함수 et이기 때문입니다. 1044번 ⑶의 가정이 J에서 충족되므로, J의 모든 점에서 매클로린급수가 f로 수렴합니다. 특히 x∈J에서
ex = ∞Σk=0xkk!
입니다. x가 임의의 실수였으므로 이 등식은 모든 실수에서 성립합니다.
⑶ 11.8이 미뤄 둔 문제의 해소. 11.8 f1034 ⑴은 이 급수의 수렴반지름이 ∞임만 확정하고, «그 합이 ex»라는 동정은 이 절의 과제로 넘겼습니다. ⑵로 그 동정이 끝났습니다. 1044번 ⑵에서 확인했듯 두 결과 사이에 순환은 없습니다― 11.8은 계수만으로 반지름을 정했고, 이 절은 그 반지름을 재료로 삼아 합을 정했습니다.
⑷ 특별한 값. x=1을 넣으면 자연상수 e 자신의 급수 표현을 얻습니다.
e = ∞Σk=01k! = 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + …
확인 : 부분합은 1, 2, 2.5, 2.666667, 2.708333, 2.716667, 2.718056, 2.718254, …이고 e=2.718281828…입니다. x=12에서는 부분합 1, 1.5, 1.625, 1.645833, 1.648438, 1.648698, …이 e12=1.648721…로 다가갑니다. x=−1이면 ∞Σk=0(−1)kk!=1e인데, 이것은 11.7 f1022의 의미의 교대급수이므로 f1024(교대급수의 오차 추정)로 부분합의 오차를 곧바로 가늠할 수 있습니다.
⑸ 교차 검증. 11.9 f1038(항별 미분정리)을 이 급수에 적용하면
∞Σk=1k xk−1k! = ∞Σk=1xk−1(k−1)! = ∞Σj=0xjj!
로 자기 자신이 나옵니다―(ex)′=ex(8.4 f657)와 정확히 일치합니다. 이 급수가 자신의 항별 미분급수와 같다는 성질은, 계수를 미지수로 두고 11.9 f1040 ⑶(멱급수 표현의 유일성)을 쓰면 거꾸로 ak=a0÷k!을 강제한다는 점에서도 흥미롭습니다.
사용 : 1042번 · 1044번 · 11.7의 1022번 · 1024번 · 11.8의 1034번 · 11.9의 1038번 · 1040번 · 8.4의 657번 · 8.5의 667번 · 8.6의 673번 · 2.3의 87번 · 직접증명법
증명 끝
1046정리사인함수·코사인함수의 매클로린 전개(Maclaurin Expansions of Sine and Cosine)sin x = ∞Σk=0(−1)kx2k+1(2k+1)!, cos x = ∞Σk=0(−1)kx2k(2k)!
증명법 : 수학적 귀납법(도함수가 네 개마다 되풀이됨) 뒤 직접증명법(1044번 ⑶ 적용)
⑴ 도함수의 4주기. 8.4 f654·f655에 의해 (sin x)′=cos x, (cos x)′=−sin x이므로, 8.5 f663의 n계도함수 정의를 차례로 적용하면 f(x):=sin x에 대해
| f(0)=sin x, f(1)=cos x, f(2)=−sin x, f(3)=−cos x, f(4)=sin x | 8.4 f654·f655을 네 번 적용 · 8.3 f648(상수배 −1) |
| ∴ f(n+4) = f(n) (모든 n≥0) | f(4)=f이므로 수학적 귀납법(n에 대한 귀납 ― f(n+4)=(f(4))(n)=f(n)) |
⑵ 원점에서의 값. 4.4 f423에 의해 sin 0=0, cos 0=1이므로 ⑴의 네 함수에 x=0을 대입하면 f(n)(0)은 n=0,1,2,3에서 각각 0, 1, 0, −1이고, ⑴의 4주기에 의해 이 네 값이 되풀이됩니다. 즉
f(n)(0) = 0 (n이 짝수), f(2k+1)(0) = (−1)k
입니다(확인 : n=1이면 cos 0=1=(−1)0, n=3이면 −cos 0=−1=(−1)1, n=5=1+4이면 다시 1=(−1)2―네 칸마다 부호가 한 번씩 뒤집힙니다).
⑶ 도함수의 일양유계. ⑴에 의해 f(n)은 항상 ±sin 또는 ±cos이고, 4.2 f412(치역)에 의해 |sin t|≤1, |cos t|≤1이므로
|f(n)(t)| ≤ 1 (모든 n≥0, 모든 실수 t)
입니다. K=1이 n에도 t에도 의존하지 않으므로, 임의의 r>0에 대해 J=(−r, r)에서 1044번 ⑶의 가정이 충족됩니다. r가 임의였으므로 결론은 모든 실수에서 성립합니다.
⑷ 사인의 전개. 1042번의 계수 an=f(n)(0)÷n!은 ⑵에 의해 짝수 n에서 0이고 n=2k+1에서 (−1)k÷(2k+1)!입니다. 그러므로 ⑶과 함께
sin x = ∞Σk=0(−1)kx2k+1(2k+1)! = x − x³3! + x55! − x77! + …
를 얻습니다. 왼쪽의 매클로린급수는 원래 지표 n으로 세면 짝수 자리마다 0인 항이 끼어 있는 급수인데, 이것을 k로 다시 세어 0인 항을 지운 급수와 합이 같다는 것은 11.8 f1034 ⑷의 대학 각주에서 확인한 논법 그대로입니다―0인 항을 끼워 넣으면 부분합 수열이 같은 값을 두 번씩 되풀이할 뿐이므로, 한쪽이 수렴하면 다른 쪽도 같은 값으로 수렴합니다(11.4 f769).
⑸ 코사인의 전개. g(x):=cos x에 같은 논증을 그대로 반복합니다. ⑴과 같은 4주기 g(0)=cos, g(1)=−sin, g(2)=−cos, g(3)=sin에 x=0을 넣으면 g(n)(0)은 1, 0, −1, 0의 되풀이, 즉 홀수 n에서 0이고 g(2k)(0)=(−1)k입니다. ⑶의 유계성도 그대로이므로
cos x = ∞Σk=0(−1)kx2k(2k)! = 1 − x²2! + x44! − x66! + …
가 모든 실수에서 성립합니다.
사인함수와 그 매클로린 다항식 T1·T3·T5·T7(⑷의 계수를 그대로 대입해 그린 것). 중심 x=0 근처에서는 낮은 차수도 잘 맞고, 차수가 올라갈수록 곡선과 겹치는 구간이 넓어집니다. 다항식은 |x|가 커지면 반드시 발산하지만, ⑶에서 본 대로 어떤 x를 잡아도 N을 충분히 크게 하면 TN(x)가 sin x에 다가갑니다―수렴반지름이 ∞라는 것의 뜻입니다.
⑹ 수치 확인. x=1에서 두 급수의 부분합을 실제로 계산해 보면 다음과 같습니다.
| sin 1 : 1, 0.833333, 0.841667, 0.841468, 0.841471, … | 실제 값 sin 1 = 0.8414709848… |
| cos 1 : 1, 0.5, 0.541667, 0.540278, 0.540303, … | 실제 값 cos 1 = 0.5403023059… |
두 급수 모두 11.7 f1022의 의미의 교대급수이므로, 부분합이 참값을 사이에 두고 번갈아 좁혀 드는 모습(f1024의 오차 추정)이 그대로 나타납니다.
⑺ 교차 검증. 11.9 f1038(항별 미분정리)을 ⑷의 급수에 적용하면
∞Σk=0(−1)k(2k+1)x2k(2k+1)! = ∞Σk=0(−1)kx2k(2k)!
즉 ⑸의 코사인 급수가 그대로 나옵니다―(sin x)′=cos x와 일치합니다. 또 수렴반지름이 ∞라는 것은 ⑶을 거치지 않고도 확인됩니다 : |x|2k+1÷(2k+1)!은 1045번가 수렴을 보장한 급수 ∞Σm=0|x|mm!의 항 중 일부이므로, 11.6 f1016(비교판정법)에 의해 모든 x에서 절대수렴합니다.
사용 : 1042번 · 1044번 · 1045번 · 11.4의 769번 · 11.6의 1016번 · 11.7의 1022번 · 1024번 · 11.8의 1034번 · 11.9의 1038번 · 8.3의 648번 · 8.4의 654번 · 655번 · 8.5의 663번 · 4.2의 412번 · 4.4의 423번 · 수학적 귀납법 · 직접증명법
증명 끝
1047정리오일러 공식(Euler's Formula)eix = cos x + i sin x (x는 실수)
증명법 : 직접증명법(복소수 급수의 수렴을 실수부·허수부로 정의한 뒤 1045번·1046번 적용)
⑴ 먼저 좌변을 정의해야 한다. 이 사이트에서 ex는 실수 x에 대해서만 뜻을 가집니다(2.5 f104의 로그 정의가 전제하는 지수함수, 8.4 f657의 도함수). 그런데 ix는 실수가 아니므로, eix라는 표현은 아직 정의되지 않은 대상입니다. 그러므로 오일러 공식은 «증명해야 할 등식»이기 이전에 좌변에 뜻을 주는 일부터 요구합니다―1.4 f64가 결과만 적어 두고 증명을 이 절로 미뤄 둔 것도 이 때문입니다. 아래 ⑵·⑶이 그 정의이고, ⑷가 비로소 증명입니다.
⑵ 복소수 급수의 수렴(정의). 각 항이 복소수인 급수 ∞Σk=0zk에서 zk=uk+i vk(uk, vk는 실수)라 할 때,
∞Σk=0zk := ∞Σk=0uk + i·∞Σk=0vk
로 정의하고, 오른쪽 두 실수급수가 모두 수렴할 때 이 복소수 급수가 수렴한다고 합니다. 이 정의는 11.4 f769의 부분합에 의한 정의와 어긋나지 않습니다―1.4 f52 (복소수의 덧셈)에 의해 제N부분합이
SN = NΣk=0uk + i·NΣk=0vk
로 실수부와 허수부가 각각 모여 있으므로, 복소수열의 극한을 «실수부의 극한과 허수부의 극한»으로 정의하면 두 서술이 정확히 같은 것을 말하기 때문입니다.
⑶ 복소 지수함수(정의). 복소수 z에 대해
ez := ∞Σk=0zkk!
로 정의합니다. z가 실수이면 1045번에 의해 이 급수의 합이 기존의 ex와 일치하므로, 이것은 기존 정의와 충돌하지 않는 확장입니다. 이제 z=ix(x는 실수)일 때 이 급수가 실제로 수렴함을 확인합니다.
| (ix)k = ikxk | 2.3 f84(곱의 거듭제곱) |
| ik ∈ {1, i, −1, −i} | 1.4 f46(허수단위의 거듭제곱 주기성) |
| |uk| ≤ |x|kk!, |vk| ≤ |x|kk! | 윗줄에 의해 각 항은 ±xk÷k! 또는 그 i배이므로 실수부·허수부 중 하나는 0이고 다른 하나의 절댓값이 |x|k÷k! |
| ∞Σk=0|x|kk! = e|x| 수렴 | 1045번 |
| ∴ ∞Σk=0uk, ∞Σk=0vk 절대수렴, 따라서 수렴 | 11.6 f1016(비교판정법) · 11.5 f1014(절대수렴은 수렴을 함의) |
그러므로 ⑵의 정의에 따라 eix는 잘 정의된 복소수입니다.
⑷ 실수부와 허수부를 계산한다. 1.4 f46의 주기성을 지표의 홀짝으로 정리하면, 2.3 f86(거듭제곱의 거듭제곱)에 의해
| k=2m (짝수) : i2m = (i²)m = (−1)m | 1.4 f46(i²=−1) · 2.3 f86 |
| k=2m+1 (홀수) : i2m+1 = i2m·i = (−1)mi | 2.3 f82(지수의 덧셈) · 윗줄 |
입니다. 그러므로 급수의 항 ikxk÷k!은 짝수 지표에서 순실수, 홀수 지표에서 순허수이고, ⑵의 uk, vk는 다음과 같습니다.
| u2m = (−1)mx2m(2m)!, u2m+1 = 0 | 홀수 지표의 항은 순허수이므로 실수부가 0 |
| v2m = 0, v2m+1 = (−1)mx2m+1(2m+1)! | 짝수 지표의 항은 순실수이므로 허수부가 0 |
∞Σk=0uk는 홀수 자리마다 0이 끼어 있는 코사인 급수이고 ∞Σk=0vk는 짝수 자리마다 0이 끼어 있는 사인 급수입니다. 0인 항을 끼워 넣어도 부분합 수열이 같은 값을 두 번씩 되풀이할 뿐이므로 합은 달라지지 않습니다 (11.8 f1034 ⑷의 대학 각주에서 확인한 논법, 1046번 ⑷에서 이미 쓴 것과 같음). 따라서 1046번에 의해
∞Σk=0uk = cos x, ∞Σk=0vk = sin x
이고, ⑵의 정의에 대입하면
eix = ∞Σk=0(ix)kk! = cos x + i sin x
를 얻습니다―이것이 오일러 공식입니다.
⑸ 따름.
| eiπ + 1 = 0 | x=π 대입 · cos π=−1, sin π=0 (4.6 f433의 보각공식을 θ=0에 적용하고 4.4 f423) |
| 1.4 f54의 극형식 r(cosφ+i sinφ)를 r eiφ로 쓸 수 있다 | ⑷를 x=φ에 적용 |
| eiφ1eiφ2 = ei(φ1+φ2), (eiφ)n = einφ | 1.4 f57(극형식의 곱셈)·f61(드무아브르 공식)을 윗줄의 표기로 옮겨 읽은 것 ― 이 특수한 경우의 지수법칙은 삼각함수의 덧셈정리로 이미 증명되어 있다 |
세 번째 줄이 ⑵의 대학 각주에서 예고한 대목입니다―일반적인 복소수 지수에 대한 지수법칙은 코시 곱의 이론을 요구하지만, 순허수 지수에 한정하면 1.4가 삼각함수의 덧셈정리로 이미 확보해 둔 결과를 그대로 옮겨 읽으면 됩니다.
⑹ 이 사이트에 남아 있던 두 미해결 항목이 해소된다. 1.4 f64는 오일러 공식을 결과만 적고 증명을 «11장 급수»로 미뤄 두었고, 4.21 f822(복소수 인수를 통한 삼각함수와의 관계―sin(ix)=i sinh x 등)은 그 f64를 그대로 쓰기 때문에 같은 미해결 상태를 물려받은 조건부 결과로 남아 있었습니다. ⑷로 f64가 증명되었으므로 두 항목이 함께 해소됩니다. 다만 4.21 f822가 밝혀 둔 또 하나의 유보― sin(ix)·cos(ix)라는 표현 자체가 4.2 f409의 실수 정의로는 뜻을 갖지 않아 복소수 인수로의 확장 정의를 채택했다는 점―는 그대로 남습니다. 그것은 증명의 공백이 아니라 정의의 확장이며, 이 절의 ⑶이 ez에 대해 같은 종류의 확장을 명시적으로 한 것과 같은 성격입니다.
사용 : 1045번 · 1046번 · 11.4의 769번 · 11.5의 1014번 · 11.6의 1016번 · 11.8의 1034번 · 1.4의 46번 · 52번 · 54번 · 57번 · 61번 · 64번 · 2.3의 82번 · 84번 · 86번 · 2.5의 104번 · 8.4의 657번 · 4.2의 409번 · 4.4의 423번 · 4.6의 433번 · 4.21의 822번 · 직접증명법
증명 끝
1048정리·활용수렴구간의 끝점에서의 합 ― 조화교대급수와 라이프니츠 급수1 − 12 + 13 − … = ln 2, 1 − 13 + 15 − … = π4
증명법 : 직접증명법―급수 정리를 쓰지 않고, 유한 단계의 정확한 항등식(11.2 f760)을 적분한 뒤 남는 오차를 직접 재는 방법
⑴ 문제 상황. 11.9 f1041 ⑵는 |x|<1에서 ln(1+x)=∞Σk=1(−1)k−1xkk를 얻었습니다. 여기에 x=1을 넣으면 오른쪽은 조화교대급수가 되고 11.7 f1026에 의해 그 급수는 실제로 수렴합니다. 그러나 x=1은 수렴구간의 끝점이어서 11.9 f1039(항별 적분정리)의 적용 범위(|x|<R) 밖이므로, «그 합이 ln 2»라는 결론은 그 절의 정리만으로는 나오지 않았습니다―11.7 f1026도 값을 미해결로 남겨 두었습니다. 여기서는 무한급수 정리를 아예 우회해서, 유한 개의 항에서 정확히 성립하는 항등식을 세우고 남는 오차를 적분으로 직접 재어 값을 확정합니다.
⑵ 유한 항등식. t≠−1인 실수 t와 자연수 n에 대해, 첫째항 1·공비 −t인 등비수열의 처음 n개 항의 합은 11.2 f760(공비 −t≠1인 경우)에 의해
n−1Σk=0(−t)k = 1 − (−t)n1+t
입니다. 양변에 (−t)n÷(1+t)을 더하고 2.3 f84로 (−t)n=(−1)ntn이라 쓰면
11+t = n−1Σk=0(−1)ktk + (−1)ntn1+t
를 얻습니다. 이것은 무한급수가 아니라 유한 개의 항으로 이루어진 정확한 등식이므로 t의 크기에 아무런 제한이 없습니다―끝점 t=1을 아무 걱정 없이 다룰 수 있는 이유가 바로 이것입니다.
⑶ 구간 [0,1]에서 적분한다. 등장하는 함수가 모두 [0,1]에서 연속이므로 9.8 f739로 적분가능하고, 유한 개의 합이므로 9.8 f742(선형성)로 항별로 나눌 수 있습니다 ―극한을 넘나드는 조작이 전혀 없다는 점이 11.9 f1039와 결정적으로 다릅니다.
| 1∫0dt1+t = ln(1+1) − ln(1+0) = ln 2 | (ln(1+t))′=11+t (8.4 f660 + 8.3 f651) · 9.8 f746 · 2.5 f105(ln 1=0) |
| 1∫0tkdt = 1k+1 | 9.1 f694 · 9.8 f746 |
| ∴ ln 2 = n−1Σk=0(−1)kk+1 + (−1)nE(n), E(n) := 1∫0tn1+tdt | ⑵의 양변을 [0,1]에서 적분하고 위 두 줄을 대입 |
| n−1Σk=0(−1)kk+1 = nΣj=1(−1)j−1j | j:=k+1로 번호를 다시 매김 ― 이것이 조화교대급수(11.7 f1026)의 제n부분합 |
⑷ 오차를 직접 잰다. 0≤t≤1이면 1≤1+t이므로 0≤tn1+t≤tn입니다. 9.8 f743(정적분의 대소 관계)에 의해
0 ≤ E(n) ≤ 1∫0tndt = 1n+1
이고, n→∞에서 오른쪽이 0으로 가므로 8.2 f634(조임정리)에 의해 E(n)→0입니다. |(−1)nE(n)|=E(n)이므로 ⑶의 마지막 두 줄에서
limn→∞nΣj=1(−1)j−1j = ln 2, 즉 1 − 12 + 13 − 14 + … = ln 2
를 얻습니다―11.4 f769의 정의에 의해 이것이 곧 «조화교대급수의 합이 ln 2»라는 뜻입니다. 확인 : ln 2=0.6931471806…이고 부분합은 1, 0.5, 0.833333, 0.583333, 0.783333, 0.616667, 0.759524, 0.634524, …로 11.7 f1024 (교대급수의 오차 추정)대로 참값을 사이에 두고 좁혀 듭니다.
⑷·⑸의 오차 평가를 넓이로 본 것. 파란 영역의 넓이가 E(n)=1∫0tn1+tdt이고, 회색까지 합친 넓이가 1∫0tndt=1÷(n+1)입니다. [0,1]에서 1≤1+t이므로 파란 곡선은 항상 회색 점선 아래에 있고, n이 커지면 두 넓이가 함께 0으로 줄어듭니다―표시된 값은 실제로 계산한 것입니다.
⑸ 같은 방법 ― 라이프니츠 급수 (π÷4). ⑵의 t 자리에 t²을 넣습니다(t²≠−1은 모든 실수 t에서 참이므로 제한이 없습니다).
11+t² = n−1Σk=0(−1)kt2k + (−1)nt2n1+t²
| 1∫0dt1+t² = tan−11 − tan−10 = π4 | 9.2 f705 · 9.8 f746 · 4.17 f802 · tan(π÷4)=1(4.4 f421)이고 π÷4가 4.17 f801의 주된 가지 안에 있으므로 tan−11=π÷4 |
| 1∫0t2kdt = 12k+1 | 9.1 f694 · 9.8 f746 |
| 0 ≤ 1∫0t2n1+t²dt ≤ 1∫0t2ndt = 12n+1 → 0 | [0,1]에서 1≤1+t² · 9.8 f743 · 8.2 f634 |
그러므로
π4 = ∞Σk=0(−1)k2k+1 = 1 − 13 + 15 − 17 + …
입니다. 이것은 11.9 f1041 ⑶의 아크탄젠트 전개에 x=1을 넣은 식과 같지만, 그 절에서는 정당화되지 않았던 끝점 대입이 여기서는 오차를 직접 재는 방식으로 정당화됩니다. 확인 : π÷4=0.7853981634…이고 부분합은 1, 0.666667, 0.866667, 0.723810, 0.834921, 0.744012, 0.820935, 0.754268, …입니다―오차의 상한이 1÷(2n+1)뿐이므로 수렴이 매우 느립니다.
사용 : 11.2의 760번 · 11.4의 769번 · 11.7의 1024번 · 1026번 · 11.9의 1038번 · 1039번 · 1041번 · 8.2의 634번 · 8.3의 646번 · 651번 · 8.4의 660번 · 9.1의 694번 · 9.2의 705번 · 9.8의 739번 · 742번 · 743번 · 746번 · 2.3의 84번 · 2.5의 105번 · 4.4의 421번 · 4.17의 801번 · 802번 · 직접증명법
증명 끝
1049정리매클로린급수가 수렴해도 원래 함수가 아닐 수 있다 ― 반례f(x) = e−1x² (x≠0), f(0)=0 ⇒ 매클로린급수 ≡ 0 ≠ f
증명법 : 수학적 귀납법(도함수의 꼴과 원점에서의 값을 각각 귀납으로) 뒤 조임정리(8.2 f634)
다음과 같이 정의된 함수 f : ℝ→ℝ를 생각합니다(8.1 f615).
f(x) := e−1x² (x≠0), f(0) := 0
이 함수가 ℝ 전체에서 무한 번 미분가능하면서도, 그 매클로린급수가 모든 점에서 수렴하는데 그 합이 원점을 제외한 어느 점에서도 f와 같지 않음을 보이겠습니다.
⑴ 보조정리 A ― 임의의 자연수 m에 대해 limu→∞ume−u=0. u>0이면 1045번에 의해 eu=∞Σk=0ukk!이고 모든 항이 양수이므로, k=m+1인 항 하나만 남겨도
eu > um+1(m+1)!, 즉 0 < umeu < (m+1)!u
입니다(2.3 f83로 um÷um+1=1÷u). u→∞에서 오른쪽이 0으로 가므로(8.2 f637) 조임정리 8.2 f634에 의해 결론을 얻습니다. 이것이 흔히 «지수함수는 어떤 다항식보다도 빨리 커진다»고 하는 사실이며, 1045번가 여기서 실제로 쓰이는 자리입니다.
⑵ 보조정리 B ― 임의의 다항식 p에 대해 limx→0p(1x)e−1x²=0. p(y)=dΣj=0cjyj라 하고 C:=dΣj=0|cj|로 둡니다.
| |y|≥1 ⇒ |p(y)| ≤ C|y|d | 2.7 f146(삼각부등식)을 되풀이 · |y|≥1이면 |y|j≤|y|d (j≤d, 2.7 f137) |
| u := y² ≥ 1 ⇒ |y| ≤ |y|² = u ⇒ |y|d ≤ ud | |y|≥1이므로 |y|≤|y|² · 양변이 음이 아니므로 d제곱해도 부등호 유지(2.7 f137 ― 0<a<b, n>0이면 an<bn) |
| ∴ |y|≥1 ⇒ |p(y)e−y²| ≤ C ude−u | 위 두 줄 · 지수함수는 항상 양수 |
이제 x→0(x≠0)이면 y:=1x는 |y|→∞이고 u=1x²→∞이므로, ⑴에 의해 오른쪽이 0으로 갑니다. 조임정리 8.2 f634로 결론을 얻습니다.
⑶ x≠0에서의 도함수 ― 언제나 (다항식)×(같은 지수함수) 꼴이다. 모든 n≥0에 대해 다항식 pn이 존재해
f(n)(x) = pn(1x) e−1x² (x≠0)
임을 n에 대한 수학적 귀납법으로 보입니다. n=0이면 p0(y)=1로 두면 됩니다(정의 그대로). n에서 성립한다고 가정하고 양변을 x(≠0)에 대해 미분합니다.
| ddx[pn(1x)] = pn′(1x)·(−1x²) | 8.3 f651(연쇄법칙) · 8.4 f653((1x)′=−1x²) |
| ddx[e−1x²] = e−1x²·(2x³) | 8.3 f651 · 8.4 f657 · (−x−2)′=2x−3 (8.4 f653) |
| ∴ f(n+1)(x) = [−(1x)²pn′(1x) + 2(1x)³pn(1x)] e−1x² | 8.3 f649(곱의 미분법)로 위 두 줄을 결합 |
이므로 pn+1(y) := −y²pn′(y) + 2y³pn(y)로 두면 이것도 다항식이고 주장이 n+1에서 성립합니다. 실제로 p1(y)=2y³, p2(y)=4y6−6y4, p3(y)=8y9−36y7+24y5입니다―차수가 n과 함께 빠르게 커진다는 점을 눈여겨 두십시오(⑹에서 쓰입니다).
⑷ 원점에서의 도함수 ― 모든 n에서 0이다. 모든 n≥0에서 f(n)(0)=0임을 다시 n에 대한 수학적 귀납법으로 보입니다. n=0이면 정의에 의해 f(0)=0입니다. n에서 성립한다고 가정하면, 8.3 f642·f643(미분계수의 정의)에 의해
| f(n+1)(0) = limh→0f(n)(h) − f(n)(0)h = limh→0pn(1h)e−1h²h | 귀납 가정 f(n)(0)=0 · ⑶(h≠0에서의 값) |
| = limh→0q(1h) e−1h² = 0, q(y) := y·pn(y) | 1h를 다항식 안으로 넣음 · q도 다항식이므로 ⑵ |
입니다. 이 극한이 실제로 존재하므로 f(n)은 x=0에서 미분가능하고 f(n+1)(0)=0입니다―귀납이 완결됩니다.
⑸ 결론 ― 급수는 수렴하지만 f가 아니다. ⑶·⑷에 의해 f는 ℝ의 모든 점에서 모든 계의 도함수를 가집니다(8.5 f663). 그러므로 1042번의 정의에 따라 매클로린급수를 만들 수 있는데, ⑷에 의해 계수가 전부 0입니다.
| 매클로린급수 = ∞Σn=0f(n)(0)n!xn = ∞Σn=00·xn = 0 | ⑷ · 모든 부분합이 0이므로 모든 실수에서 수렴하고 합은 0 (11.4 f769) |
| x≠0 ⇒ f(x) = e−1x² > 0 | 지수함수는 항상 양수 |
| ∴ (매클로린급수의 합) = 0 ≠ f(x) (모든 x≠0) | 위 두 줄 |
즉 이 함수의 매클로린급수는 수렴반지름이 ∞여서 모든 실수에서 수렴하지만, 원점을 제외한 어느 점에서도 그 합이 f와 같지 않습니다. 1042번 ⑷가 제기한 두 물음 중 ①에는 «예», ②에는 «아니오»가 되는 실제 예입니다.
⑸의 결론을 그림으로 본 것. 붉은 곡선이 f이고, 파란 굵은 선이 매클로린급수의 합(모든 실수에서 수렴하며 값은 항상 0)입니다. 원점에서 f는 «무한히 납작»해서 모든 계의 도함수가 0이 되지만(⑷), 원점을 조금만 벗어나면 f는 양수여서 두 그래프가 갈라집니다―표시된 f(1)=e−1=0.3679…가 그 실제 값입니다.
⑹ 무엇이 실패했는가. 1044번 ⑴의 관점으로 보면 TN≡0이므로 RN(x)=f(x)−0=f(x)이고, x≠0에서 이 값은 N에 전혀 의존하지 않는 양수여서 0으로 갈 수가 없습니다. 1044번 ⑶의 충분조건도 성립하지 않습니다―⑶에서 본 대로 pn의 차수가 n과 함께 커지므로, 원점을 품는 어떤 구간에서도 |f(n)|을 n에 무관한 하나의 상수로 누를 수 없기 때문입니다. 1044번 ⑷에서 «n에 무관하게»를 굵게 강조한 이유가 이것입니다.
⑺ 의의. 11.9 f1040 ⑵는 계수 공식이 필요조건일 뿐이라고 못박고 역방향은 11.10의 주제라고 미뤄 두었는데, 이 반례가 그 유보가 형식적인 조심성이 아니라 실제로 필요한 것이었음을 보여 줍니다. 동시에 1044번·1045번·1046번에서 나머지항을 평가하는 단계가 생략 가능한 요식이 아님도 분명해집니다―지수함수와 삼각함수에서 전개가 성립한 것은 계수를 옳게 계산했기 때문이 아니라 RN→0을 실제로 확인했기 때문입니다.
사용 : 1042번 · 1044번 · 1045번 · 1046번 · 1047번 · 11.4의 769번 · 11.9의 1040번 · 8.1의 615번 · 8.2의 634번 · 637번 · 8.3의 642번 · 643번 · 649번 · 651번 · 8.4의 653번 · 657번 · 8.5의 663번 · 2.3의 83번 · 2.7의 137번 · 146번 · 수학적 귀납법
증명 끝