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9.8   수능 핵심

정적분

Definite Integral

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 정적분을 구분구적법(리만 합의 극한)으로 엄밀하게 정의하고(738번), 연속함수는 항상 적분가능하다는 사실을 받아들인 뒤(739번, 받아들이는 사실), 가법성·선형성·대소 관계(740–743번)를 리만 합 자체의 성질로부터 직접 증명합니다. 이어서 적분의 평균값 정리(744번, 641번 최대·최소 정리와 640번 사잇값 정리를 사용)와 미적분의 기본정리를 두 부분(745번 제1부, 746번 제2부 ― Newton–Leibniz 공식)으로 나누어 증명합니다. 제1부는 연속의 정의(638번)를 ε−δ 꼴 그대로 써서 정적분을 변수 상한으로 갖는 함수의 미분을 계산하고, 제2부는 그 결과와 8.6 672번(평균값 정리)을 결합해 정적분의 실제 계산법(부정적분의 두 값의 차)을 정당화합니다. 마지막으로 이 계산법을 발판 삼아 정적분의 치환적분법·부분적분법(747–748번)을 정리합니다. 정적분의 표기 b∫af(x)dx는 적분 기호 위·아래에 구간의 끝점을 실제로 쌓아 표시하는 새 컴포넌트(.intop, 이 절부터 도입)를 사용합니다 ― 그 외의 극한·연속·최대최소정리 등은 8.2에서, 수열의 극한은 11.4에서, 미분법의 선형성·곱의 미분법·연쇄법칙은 8.3에서, 원시함수·부정적분의 선형성은 9.1에서 이미 확립한 도구를 그대로 재사용합니다.

738정의정적분(구분구적법)b∫af(x)dx := limn→∞ S_n,   S_n:=nΣk=1 f(x_k)Δx (Δx:=b−an, x_k:=a+kΔx)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 닫힌구간 [a,b](a<b)에서 정의되어 있다고 합시다. 자연수 n에 대해 [a,b]를 n등분한 폭을 Δx:=b−an이라 하고, k=1,…,n에 대해 각 소구간의 오른쪽 끝점 x_k:=a+kΔx를 대표값으로 잡아, n개의 직사각형의 넓이의 합 (리만 합, Riemann sum)을

S_n := nΣk=1 f(x_k)Δx

라 둡시다. n을 한없이 크게 할 때(Δx가 한없이 0에 가까워질 때) S_n이 어떤 일정한 실수값에 한없이 가까워지면(정확히는 수열 {S_n}이 수렴하면, 11.4의 770번), 그 값을 f의 [a,b]에서의 정적분(definite integral)이라 하고

b∫af(x)dx := limn→∞ S_n

으로 나타내며, 이 극한 절차를 구분구적법(method of exhaustion by rectangles)이라 부릅니다. 특히 a=b이면 모든 소구간의 폭이 0이므로 S_n=0(모든 n)이고, 정의에 의해 곧바로

a∫af(x)dx := 0

이 됩니다. 또한 f가 상수함수 f(x)≡c이면 S_n=nΣk=1 cΔx = c·nΔx = c(b−a)로 n에 관계없이 항상 같은 값이므로

b∫ac dx = c(b−a) (c는 상수)

가 즉시 따라옵니다 ― 이 두 특수한 경우는 이후 745·746번의 증명에서 직접 사용됩니다.

f(x)=x², [0,1]을 6등분한 오른쪽 끝점 리만 합 S₆=91216≈0.4213 (직사각형 6개, 파란 영역). n을 더 크게 할수록 직사각형의 폭이 좁아지며 실제 넓이 13≈0.3333에 한없이 가까워짐

참고. 여기서 n→∞ 극한은 11.4 770번(ε−N)으로 정한 수열의 극한이고, 그 성질(합·상수배·대소)은 11.4의 보조정리(수열 극한의 기본 성질)로 씁니다. 위 정의는 오른쪽 끝점을 표본점으로, n등분만을 쓴 특수한 리만 합이며, 분할과 표본점을 자유롭게 고른 일반 리만 합은 739번에서 다룹니다.

739받아들이는 사실연속함수의 적분가능성f가 [a,b]에서 연속이면, 폭이 충분히 작은 모든 분할·표본점의 리만 합이 한 실수 I에 얼마든지 가깝다 (따름 : S_n→I)

받아들이는 사실입니다. 증명하려면 실수의 완비성이 필요하므로(아래 참고), 이 책에서는 증명하지 않고 받아들여 씁니다. 먼저 말을 정합니다. [a,b](a<b)의 분할은 a=t₀<t₁<…<t_m=b인 점들이고, 소구간 [t_k−1,t_k]의 폭 가운데 가장 큰 것을 그 분할의 폭이라 합니다. 소구간마다 점 ξ_k∈[t_k−1,t_k](표본점)를 하나씩 골라 만든 합

R := mΣk=1 f(ξ_k)(t_k−t_k−1)

을 (일반) 리만 합이라 합니다. 받아들이는 내용은 다음과 같습니다 ― f가 [a,b]에서 연속(8.2의 638번)이면 실수 I가 있어서, 임의의 양수 ε에 대하여 양수 δ가 있고, 폭이 δ보다 작은 모든 분할과 그 위의 모든 표본점에 대하여 |R−I|<ε입니다. 이런 I는 하나뿐입니다 ― I, I′이 모두 그렇다면, 각각의 δ 가운데 작은 것보다 폭이 작은 분할 하나(아래처럼 충분히 많이 등분)의 리만 합 R에서 |I−I′| ≤ |I−R|+|R−I′| < 2ε(2.7의 146번, 삼각부등식)이 모든 양수 ε에서 성립하므로 I=I′입니다.

따름(증명) ― 738번의 극한이 있고, 그 값이 I. 738번의 S_n은 n등분(폭 b−an)과 오른쪽 끝점으로 만든 리만 합입니다. 양수 ε에 대해 위의 δ를 잡고, 아르키메데스 성질(11.4)로 N>b−aδ인 자연수 N을 고르면, n≥N일 때 폭이 b−an ≤ b−aN < δ이므로 |S_n−I|<ε입니다. 곧 11.4 770번의 뜻으로 limn→∞ S_n = I이고, 738번에 의해 b∫af(x)dx = I입니다. 그러므로 이후(740–748번)에서는 정적분을 «폭이 작은 어떤 리만 합으로도 얼마든지 가깝게 잡히는 수»로 써도 됩니다.

참고(왜 받아들이는가). 증명에는 f가 [a,b]에서 «균등연속»이라는 사실과, 서로 가까워지는 리만 합들이 어떤 한 실수로 모인다는 실수의 완비성이 필요합니다. 8.2의 640·641번과 같은 이유로 이 책에서는 받아들입니다.

사용 : 8.2의 638번(연속의 정의) · 11.4의 770번(수열의 극한) · 11.4의 아르키메데스 성질 · 2.7의 146번(삼각부등식)

740정리정적분의 가법성(구간의 분할)c∫af(x)dx = b∫af(x)dx + c∫bf(x)dx (a<b<c)

증명법 : 직접증명법(739번의 리만 합으로 세 적분의 차를 어림)

a<b<c이고 f가 [a,c]에서 연속이라 합시다(그러면 [a,b], [b,c]에서도 연속). I₁:=b∫af(x)dx, I₂:=c∫bf(x)dx, I:=c∫af(x)dx로 두고 양수 ε를 하나 잡습니다. 739번을 세 구간 [a,b], [b,c], [a,c]에 각각 적용해 얻은 δ 가운데 가장 작은 것을 δ라 합시다. [a,b]와 [b,c]를 각각 폭이 δ보다 작게 나누고(예 : 739번의 따름처럼 충분히 많이 등분) 표본점도 골라 리만 합 R₁, R₂를 만들면, 두 분할을 b에서 이어 붙인 것은 [a,c]의 폭 δ 미만인 분할이고, 그 위의 리만 합은 정확히 R₁+R₂입니다(유한합을 b에서 둘로 나눔). 739번에 의해

|R₁−I₁| < ε,   |R₂−I₂| < ε,   |(R₁+R₂)−I| < ε

이므로, 삼각부등식(2.7의 146번)으로

|I−(I₁+I₂)| ≤ |I−(R₁+R₂)| + |R₁−I₁| + |R₂−I₂| < 3ε

입니다. 고정된 수 d:=|I−(I₁+I₂)|≥0이 모든 양수 ε에 대해 3ε보다 작으므로 d=0입니다(d>0이면 ε:=d/3에서 d<d가 되어 모순). 따라서

c∫af(x)dx = b∫af(x)dx + c∫bf(x)dx

를 얻습니다.

사용 : 739번(받아들이는 사실과 그 따름) · 2.7의 146번(삼각부등식)

증명 끝

741정의정적분 구간의 반전 규약a∫bf(x)dx := −b∫af(x)dx (a<b)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 738번의 리만 합은 왼쪽 끝점이 오른쪽 끝점보다 작은 경우(a<b)만을 다룹니다. b<a인 경우에도 기호 a∫bf(x)dx가 뜻을 갖도록, 다음과 같이 약속합니다(b<a일 때) :

a∫bf(x)dx := −b∫af(x)dx

따름 ― 순서에 상관없는 가법성. 이 규약과 738번의 a∫af(x)dx=0을 합치면, f가 연속인 구간 안의 모든 실수 p, q에 대해 q∫pf(x)dx = −p∫qf(x)dx입니다(p<q, p>q이면 규약, p=q이면 양변이 0). 이제 그 구간 안의 세 실수 a, b, c가 어떤 순서로 놓이든

b∫af(x)dx + c∫bf(x)dx = c∫af(x)dx

임을 보입니다. S(a,b,c):=b∫af(x)dx+c∫bf(x)dx+a∫cf(x)dx로 두면, a∫cf(x)dx=−c∫af(x)dx이므로 보일 식은 S(a,b,c)=0과 같습니다. (i) 세 점을 차례로 돌려도(a,b,c → b,c,a) 같은 세 항의 합이라 S의 값은 그대로입니다. (ii) 두 점을 맞바꾸면 S(b,a,c)=a∫bf(x)dx+c∫af(x)dx+b∫cf(x)dx=−(b∫af(x)dx+a∫cf(x)dx+c∫bf(x)dx)=−S(a,b,c)로 부호만 바뀝니다. (iii) 세 점 가운데 둘이 같으면 S=0입니다 ― 예컨대 a=b이면 S=0+c∫af(x)dx+a∫cf(x)dx=0이고, b=c, c=a일 때도 같습니다. (iv) 셋이 모두 다르면 작은 순서대로 x<y<z라 할 때 740번이 곧 S(x,y,z)=0입니다. (a,b,c)는 x, y, z를 어떤 순서로 늘어놓은 것이므로 (i)·(ii)를 몇 번 써서 (x,y,z)로 바꿀 수 있고, 그동안 S의 값은 부호만 바뀌므로 S(a,b,c)=±S(x,y,z)=0입니다.

사용 : 738번 · 740번

742정리정적분의 선형성b∫a[pf(x)+qg(x)]dx = pb∫af(x)dx + qb∫ag(x)dx

증명법 : 직접증명법(738번의 리만 합 사용)

a<b이고 f,g가 [a,b]에서 연속, p,q가 상수라고 합시다(그러면 pf+qg도 연속, 8.2 639번 ⑴; a≥b인 경우는 741번의 규약에 의해 양변의 부호가 함께 뒤집혀 그대로 성립하므로 a<b인 경우만 다룹니다). 738번의 등분할을 그대로 사용하면 pf+qg의 리만 합은

Sn(pf+qg) = nΣk=1 [pf(xk)+qg(xk)]Δx	738번(리만 합의 정의)
= pnΣk=1 f(xk)Δx + qnΣk=1 g(xk)Δx = pSn(f) + qSn(g)	유한합의 분배·결합법칙

이 모든 n에 대해 성립합니다. n→∞ 극한을 취하면 좌변은 739번의 따름에 의해 b∫a[pf(x)+qg(x)]dx로 수렴하고, 우변은 739번의 따름(S_n(f), S_n(g)가 각 적분으로 수렴)과 11.4 보조정리 ⑴(수열 극한의 상수배·합)에 의해 pb∫af(x)dx+qb∫ag(x)dx로 수렴하므로

b∫a[pf(x)+qg(x)]dx = pb∫af(x)dx + qb∫ag(x)dx

를 얻습니다.

사용 : 738번 · 739번 · 11.4의 보조정리(수열 극한의 기본 성질) · 8.2의 639번

증명 끝

743정리정적분의 대소 관계와 절댓값 부등식f≤g ⇒ b∫af dx≤b∫ag dx,   |b∫af dx|≤b∫a|f|dx

증명법 : 직접증명법(738번의 리만 합과 수열 극한의 대소 관계 사용)

① 대소 관계. a<b이고 [a,b] 위의 모든 x에서 f(x)≤g(x)라 합시다(f,g는 [a,b]에서 연속). 738번의 리만 합에서 각 항마다 f(x_k)≤g(x_k)이고 Δx>0이므로 f(x_k)Δx≤g(x_k)Δx이며, 유한합의 부등식이 그대로 이어져 S_n(f)≤S_n(g)가 모든 n에서 성립합니다. 739번의 따름에 의해 두 수열은 각각 두 적분으로 수렴하므로, 11.4 보조정리 ⑴(수열 극한의 대소)에 의해

b∫af(x)dx ≤ b∫ag(x)dx

② 절댓값 부등식. |f|도 f와 마찬가지로 [a,b]에서 연속입니다(f가 연속이면 절댓값 함수와의 합성 8.2 639번에 의해 |f|도 연속). [a,b]의 모든 x에서 −|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|이므로, ①을 두 번 적용하면(먼저 f→f, g→|f|로, 다음은 f→−|f|, g→f로)

b∫a(−|f(x)|)dx ≤ b∫af(x)dx ≤ b∫a|f(x)|dx

이고, 좌변은 742번(선형성, p=−1)에 의해 b∫a(−|f(x)|)dx=−b∫a|f(x)|dx와 같으므로

−b∫a|f(x)|dx ≤ b∫af(x)dx ≤ b∫a|f(x)|dx

를 얻습니다. 실수 t와 M≥0에 대해 −M≤t≤M ⇔ |t|≤M이므로(1.3의 기본 부등식), 이는 정확히

|b∫af(x)dx| ≤ b∫a|f(x)|dx

를 뜻합니다.

사용 : 738번 · 742번 · 739번 · 11.4의 보조정리(수열 극한의 기본 성질) · 8.2의 639번(연속함수의 성질)

증명 끝

744정리적분의 평균값 정리b∫af(x)dx = f(c)(b−a)인 c∈[a,b]가 존재 (f가 [a,b]에서 연속, a<b)

증명법 : 존재할 수밖에 없다는 것을 보임(641번의 최대·최소 정리 + 640번의 사잇값 정리 사용)

a<b이고 f가 [a,b]에서 연속이라 합시다. 8.2 641번(최대·최소 정리)에 의해 f는 [a,b]에서 최솟값 m=f(p)와 최댓값 M=f(q)를 어떤 p,q∈[a,b]에서 갖습니다. [a,b]의 모든 x에서 m≤f(x)≤M이므로, 743번(대소 관계)을 상수함수 m,M에 적용하고 738번의 상수함수 정적분 (b∫am dx=m(b−a), b∫aM dx=M(b−a))을 사용하면

m(b−a) ≤ b∫af(x)dx ≤ M(b−a)

이고, b−a>0으로 나누면

m ≤ 1b−ab∫af(x)dx ≤ M

입니다. f(p)=m, f(q)=M이므로 우변 가운데 값은 f(p)와 f(q) 사이에 놓입니다. p=q인 경우(예 : f가 상수함수)에는 c:=p로 두면 곧바로 끝나고, p≠q인 경우에는 f가 p와 q 사이의 닫힌구간(⊆[a,b])에서 연속이므로, 8.2 640번(사잇값 정리)에 의해

f(c) = 1b−ab∫af(x)dx

인 c가 p와 q 사이에(따라서 c∈[a,b]에) 존재합니다. 양변에 b−a를 곱하면

b∫af(x)dx = f(c)(b−a)

를 얻습니다. 기하적으로는, 높이 f(c)·밑변 b−a인 직사각형의 넓이가 곡선 아래 넓이와 정확히 같아지는 «평균 높이» f(c)가 존재한다는 뜻입니다.

f(x)=x², [0,2]에서 2∫0x²dx=8/3이므로 평균 높이는 4/3. f(c)=4/3을 만족하는 c≈1.1547이 [0,2] 안에 존재하며(점 c), 높이 43·밑변 2인 직사각형(초록 점선)의 넓이가 곡선 아래 넓이(붉은 음영)와 같음

사용 : 738번 · 743번 · 8.2의 640번(받아들이는 사실) · 8.2의 641번(받아들이는 사실)

증명 끝

745정리미적분의 기본정리 제1부G(x):=x∫af(t)dt  ⇒  G′(x)=f(x)

증명법 : 직접증명법(연속의 ε−δ 정의 638번으로 차분몫을 직접 어림)

a<b이고 f가 [a,b]에서 연속이라 하고, x∈[a,b]에 대해 G(x):=x∫af(t)dt로 둡시다(739번에 의해 [a,x]에서의 정적분이 있고, x=a이면 738번에 의해 0). 보일 것은 세 가지입니다 ― (가) a<x<b인 모든 x에서 G′(x)=f(x), (나) 끝점에서는 한쪽 미분계수(8.3의 644번)가 f의 값과 같다 : G′₊(a)=f(a), G′₋(b)=f(b), (다) G는 [a,b]에서 연속.

① 차분몫을 적분으로. x∈[a,b], h≠0, x+h∈[a,b]라 합시다. 741번의 따름(순서에 상관없는 가법성)을 a, x, x+h에 쓰면 G(x+h)−G(x)=x+h∫xf(t)dt입니다. 또 상수 f(x)에 대해 738번(상수함수의 정적분)과 741번으로 x+h∫xf(x)dt=f(x)·h (h<0이면 −x∫x+hf(x)dt=−f(x)(−h))이므로, 742번(선형성)에 의해

G(x+h)−G(x)h − f(x) = 1hx+h∫x[f(t)−f(x)]dt

② ε−δ로 어림. 양수 ε를 잡습니다. f는 x에서 연속이므로(8.2의 638번, 끝점에서는 한쪽) δ>0이 있어 |t−x|<δ인 [a,b]의 모든 t에서 |f(t)−f(x)|<ε2입니다. 0<|h|<δ이면 x와 x+h 사이의 모든 t가 |t−x|≤|h|<δ를 만족하므로, 그 사이의 닫힌구간(길이 |h|)에서 743번 ②(절댓값 부등식)과 ①(대소 관계, 상수 ε2)을 쓰면 |x+h∫x[f(t)−f(x)]dt| ≤ ε2|h|입니다(h<0이면 741번으로 적분의 부호만 바뀝니다). 따라서

|G(x+h)−G(x)h − f(x)| ≤ ε2 < ε  (0<|h|<δ)

③ 결론. ε가 임의였으므로 이는 8.2 629번의 뜻으로 limh→0 G(x+h)−G(x)h = f(x)입니다. a<x<b이면 h를 양쪽에서 움직일 수 있으므로 이것이 8.3 642번의 미분계수, 곧 (가)입니다. x=a이면 h>0만, x=b이면 h<0만 쓸 수 있으므로 한쪽 미분계수(644번), 곧 (나)입니다. (다) : ②를 ε=2로 쓰면 δ₁>0이 있어 0<|h|<δ₁에서 |G(x+h)−G(x)| ≤ (|f(x)|+1)|h|입니다. 양수 ε′이 주어지면 δ′:=min(δ₁, ε′|f(x)|+1)로 두어 |h|<δ′에서 |G(x+h)−G(x)|<ε′이므로 G는 x에서 연속입니다(638번, 끝점에서는 한쪽).

사용 : 738번 · 739번 · 741번 · 742번 · 743번 · 8.2의 629번 · 8.2의 638번 · 8.3의 642번 · 8.3의 644번

증명 끝

746정리미적분의 기본정리 제2부(Newton–Leibniz 공식)b∫af(x)dx = F(b)−F(a) (F는 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 F′=f)

증명법 : 직접증명법(745번과 8.6 672번 평균값 정리 사용)

a<b이고 f가 [a,b]에서 연속이며, F가 [a,b]에서 연속이고 a<x<b인 모든 x에서 F′(x)=f(x)라 합시다. 특히 F가 [a,b]에서 f의 원시함수(9.1 689번, 끝점에서는 한쪽 미분계수)이면 이 가정을 만족합니다 ― 끝점에서 한쪽 미분계수가 있으면 그쪽으로 연속이기 때문입니다(8.3 646번의 증명을 한쪽 극한으로 그대로 따라감).

G(x):=x∫af(t)dt로 두면 745번에 의해 G는 [a,b]에서 연속이고 a<x<b에서 G′(x)=f(x)입니다. h:=F−G라 하면 h는 [a,b]에서 연속(8.2 639번 ⑴)이고, a<x<b에서 h′(x)=F′(x)−G′(x)=0(8.3 648번)입니다. a<x≤b인 x를 하나 잡으면, h는 [a,x]에서 연속이고 (a,x)에서 미분가능하므로 8.6 672번(평균값 정리)에 의해 h(x)−h(a)=h′(c)(x−a)인 c∈(a,x)가 있고, h′(c)=0이므로 h(x)=h(a)입니다. x=b로 두면 G(a)=0(738번)이므로 F(b)−G(b)=F(a)−G(a)=F(a), 곧

b∫af(x)dx = G(b) = F(b)−F(a)

를 얻습니다(a=b이면 양변이 0이고, a>b이면 741번으로 양변의 부호가 함께 바뀌므로 그대로 성립). 이 식이 바로 정적분을 실제로 계산할 때 쓰는 표준 방법 ― 부정적분(원시함수) 하나를 찾아 양 끝점에서의 값의 차를 구하는 것 ― 을 정당화합니다. 이하에서는 F(b)−F(a)를 [F(x)]_a^b로 줄여 씁니다.

사용 : 738번 · 741번 · 745번 · 9.1의 689번 · 8.2의 639번 · 8.3의 646번 · 8.3의 648번 · 8.6의 672번(평균값 정리)

증명 끝

747정리정적분의 치환적분법b∫af(g(x))g′(x)dx = g(b)∫g(a)f(u)du

증명법 : 직접증명법(746번의 Newton–Leibniz 공식 + 8.3 f651 연쇄법칙, f를 끝값으로 늘린 함수 사용)

a<b이고, g가 [a,b]에서 미분가능(끝점에서는 한쪽 미분계수, 9.1 689번의 약속)하며 g′이 [a,b]에서 연속이고, f가 g의 값 g(x)(x∈[a,b])를 모두 포함하는 구간 J에서 연속이라 합시다.

① g의 값의 범위. g는 [a,b]에서 연속(8.3 646번, 끝점은 한쪽으로 같은 증명)이므로 8.2 641번(최대·최소 정리, 받아들이는 사실)에 의해 최솟값 m과 최댓값 M을 갖고, 모든 x∈[a,b]에서 m≤g(x)≤M입니다. m, M은 g의 값이라 J에 속하고 J는 구간이므로 [m,M]⊆J, 곧 f는 [m,M]에서 연속입니다. m=M이면 g가 상수라 g′=0이고 g(a)=g(b)이므로 양변이 모두 0입니다(738번). 이제 m<M이라 합시다.

② 끝값으로 늘린 함수. 실수 전체에서

f̃(u) := f(m) (u<m),   f(u) (m≤u≤M),   f(M) (u>M)

로 두면 f̃은 모든 실수에서 연속입니다(8.2의 638번). u<m이나 u>M이면 u 근처에서 상수이고, m<u<M이면 u 근처에서 f와 같습니다(δ를 u에서 m, M까지의 거리 이하로 줄임). u=m이면 오른쪽(t≥m)은 f의 m에서의 한쪽 연속에서 얻은 δ로, 왼쪽(t<m)은 f̃(t)=f(m)이라 |f̃(t)−f̃(m)|=0이므로 같은 δ로 됩니다(u=M도 같음).

③ 늘린 함수의 원시함수. p:=m−1, q:=M+1로 두고 F(u):=u∫pf̃(t)dt (u∈[p,q])라 하면, 745번에 의해 p<u<q인 모든 u에서 F′(u)=f̃(u)(양쪽 미분계수)입니다. 특히 [m,M]의 모든 u에서 F′(u)=f(u)이고, F는 (p,q)에서 연속(646번)입니다.

④ 좌변. H(x):=F(g(x)) (x∈[a,b])로 둡시다. g(x)∈[m,M]⊆(p,q)입니다. a<x<b이면 g는 x에서, F는 g(x)에서 미분가능하므로 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해

H′(x) = F′(g(x))g′(x) = f(g(x))g′(x)

입니다. H는 [a,b]에서 연속(8.2 639번 ⑵)이고, 피적분함수 f(g(x))g′(x)=f̃(g(x))g′(x)도 [a,b]에서 연속(639번 ⑵·⑴)이므로, 746번에 의해

b∫af(g(x))g′(x)dx = H(b)−H(a) = F(g(b))−F(g(a))

⑤ 우변. g(a), g(b)∈[m,M]이고 그 사이의 닫힌구간에서 f̃=f이므로, 그 구간 위의 두 함수의 리만 합은 모두 같고 g(b)∫g(a)f(u)du=g(b)∫g(a)f̃(u)du입니다(739번, 741번). F는 그 구간에서 연속이고 안쪽에서 F′=f̃이므로 746번에 의해(g(a)>g(b)이면 741번으로 부호를 함께 바꾸고, g(a)=g(b)이면 양변이 0)

g(b)∫g(a)f(u)du = F(g(b))−F(g(a))

입니다. ④와 ⑤의 우변이 같으므로 b∫af(g(x))g′(x)dx = g(b)∫g(a)f(u)du를 얻습니다. (직관적으로는 u=g(x)로 치환할 때 dx·du의 관계를 du=g′(x)dx로 바꾸고, 적분 구간의 끝점도 x=a,b에서 u=g(a),g(b)로 함께 바꾸는 것과 같습니다. ②의 늘린 함수는 g(x)가 J의 끝값에 닿는 경우 ― 예컨대 [−1,1]에서만 연속인 1−u²에 u=sin x를 넣는 경우 ― 에도 연쇄법칙을 양쪽 미분으로 쓰기 위한 장치입니다.)

예시. 1∫02xe^x²dx를 계산합시다. g(x):=x²(g′(x)=2x), f(u):=e^u로 놓으면 g(0)=0, g(1)=1이므로

1∫02xe^x²dx = 1∫0e^udu = [e^u]₀¹ = e−1 (746번, 9.1 f698)

사용 : 738번 · 739번 · 741번 · 745번 · 746번 · 8.2의 638번 · 8.2의 639번 · 8.2의 641번(받아들이는 사실) · 8.3의 646번 · 8.3의 651번 · 9.1의 689번 · 9.1의 698번

증명 끝

748정리정적분의 부분적분법b∫au(x)v′(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b − b∫au′(x)v(x)dx

증명법 : 직접증명법(746번의 Newton–Leibniz 공식 + 8.3 f649 곱의 미분법 사용)

a<b이고, u,v가 [a,b]에서 미분가능(끝점에서는 한쪽 미분계수)하며 u′,v′이 [a,b]에서 연속이라 합시다. u, v는 [a,b]에서 연속(8.3 646번, 끝점은 한쪽)이므로 uv와 u′v, uv′, u′v+uv′은 모두 [a,b]에서 연속(8.2 639번 ⑴)입니다. a<x<b에서 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해 (uv)′=u′v+uv′이므로, 746번을 적용하면

b∫a[u′(x)v(x)+u(x)v′(x)]dx = u(b)v(b)−u(a)v(a) = [u(x)v(x)]_a^b

이고, 좌변에 742번(선형성)을 적용해 두 적분의 합으로 나누면

b∫au′(x)v(x)dx + b∫au(x)v′(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b

이므로, 좌변 첫째 항을 이항하면

b∫au(x)v′(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b − b∫au′(x)v(x)dx

를 얻습니다.

예시. u(x):=x, v′(x):=e^x(v(x)=e^x, u′(x)=1)로 두면

1∫0xe^xdx = [xe^x]₀¹ − 1∫0e^xdx = (e−0) − [e^x]₀¹ = e − (e−1) = 1

이 결과는 9.7 f730의 점화식에 n=1, a=1을 대입한 부정적분 ∫xe^xdx=(x−1)e^x+C와 정확히 일치합니다 ― 746번으로 검산하면 F(1)−F(0)=(1−1)e¹−(0−1)e⁰=0−(−1)=1로 위와 같습니다.

사용 : 742번 · 746번 · 8.2의 639번 · 8.3의 646번 · 8.3의 649번 · 9.7의 730번

증명 끝