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9.7   심화·배경

점화식(축소공식)

Reduction Formulas

정의 · 공식과 증명

이 절은 지수·삼각형이 섞인 xⁿe^ax·xⁿsin(bx)· xⁿcos(bx)(730·731번), 로그형 (ln x)ⁿ(732번), 그리고 삼각함수의 거듭제곱 sinⁿx·cosⁿx·tanⁿx·cotⁿx·secⁿx·cscⁿx(733–736번)의 부정적분을 점화식(reduction formula)으로 정리합니다. 점화식이란 지수 n에 대한 원시함수를 한 단계 낮은 지수 n−2(또는 n−1)의 같은 꼴의 원시함수로 되돌리는 등식으로, 통상 부분적분을 반복 적용해 얻지만 이 사이트의 일관된 전략대로 원시함수 후보를 미리 제시하고 692번(9.1)의 미분 검산법으로 직접 확인합니다 ― 즉 «점화식이 성립한다»는 것은 «n−2(또는 n−1)차수의 원시함수가 이미 주어져 있다고 가정할 때, 제시된 식이 n차수의 원시함수가 됨»을 뜻하는 조건부 등식이며, 9.1·9.4·9.6에서 이미 확립한 낮은 차수(n=0 또는 n=1)의 결과를 기저로 반복 적용하면 임의의 자연수 n에 대한 명시적 닫힌 형태를 얻습니다. 부분적분을 실제로 수행하지 않고도 결과를 검증할 수 있다는 점에서, 이 사이트가 9.1–9.6 전체에서 유지해 온 «후보 제시 후 미분 검산» 원칙이 반복(점화) 구조에서도 그대로 통함을 보여 줍니다.

730정리xⁿe^ax의 점화식∫xⁿe^axdx = 1axⁿe^ax − na∫xⁿ⁻¹e^axdx (n≥1인 자연수, a≠0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 사용)

n≥1인 자연수, a≠0이라 합시다. xⁿ⁻¹e^ax의 어떤 원시함수를 G(x)라 하면(9.1 f698(n=0)을 기저로 이 정리 자체를 반복 적용해 항상 구할 수 있습니다 ― 아래 예시 참고) G′(x)=xⁿ⁻¹e^ax입니다. F(x):=1axⁿe^ax − naG(x)라 두고, u(x):=xⁿ, v(x):=e^ax로 놓으면 8.4 f653(거듭제곱함수의 도함수)·8.4 f657·8.3 f651(연쇄법칙)에 의해 u′(x)=nxⁿ⁻¹, v′(x)=ae^ax이므로, 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해

F′(x) = 1a[u′(x)v(x)+u(x)v′(x)] − naxn−1eax = 1a[nxn−1eax+axneax] − naxn−1eax	649번
= naxn−1eax + xneax − naxn−1eax	전개
= xneax	동류항 정리

가 모든 x에서 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫xⁿe^axdx=F(x)+C입니다. 이 등식은 원시함수를 한 단계 낮은 지수 n−1의 같은 꼴 문제로 되돌리는 점화식(축소공식)이며, n=0에서 성립하는 9.1 f698을 기저로 반복 적용하면 임의의 자연수 n에 대한 명시적 닫힌 형태를 얻습니다.

예시(a=1, n=2를 두 단계로 축소).

n=1 : ∫xe^xdx = xe^x − 1·∫e^xdx = xe^x − e^x + C (9.1 f698이 기저)

n=2 : ∫x²e^xdx = x²e^x − 2∫xe^xdx = x²e^x − 2(xe^x−e^x) = e^x(x²−2x+2) + C

위 예시의 F(x)=e^x(x²−2x+2)(파랑 실선)의 접선(빨강) 기울기는 참조곡선 y=x²e^x(회색 점선)의 그 점 높이와 정확히 같습니다(x₀=1, 기울기 e≈2.718 ― F′(x)=x²e^x 자체이므로 당연한 항등식이지만, 두 단계 축소로 얻은 닫힌 형태가 옳음을 시각적으로 재확인합니다).

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 698번(기저, n=0) · 8.3의 649번 · 8.3의 651번 · 8.4의 653번 · 8.4의 657번

증명 끝

731정리xⁿsin(bx)·xⁿcos(bx)의 점화식∫xⁿsin(bx)dx = −1bxⁿcos(bx) + nb∫xⁿ⁻¹cos(bx)dx, ∫xⁿcos(bx)dx = 1bxⁿsin(bx) − nb∫xⁿ⁻¹sin(bx)dx (n≥1인 자연수, b≠0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 사용 ― 730번과 같은 구조이지만 두 공식이 서로의 낮은 차수를 요구하는 상호 축소 관계입니다)

n≥1인 자연수, b≠0이라 합시다. xⁿ⁻¹cos(bx)의 어떤 원시함수를 C(x), xⁿ⁻¹sin(bx)의 어떤 원시함수를 S(x)라 합시다(둘 다 9.4 f713(n=0)을 기저로 아래 두 식을 번갈아 반복 적용해 구할 수 있습니다). u(x):=xⁿ으로 공통으로 놓고, 8.4 f653·8.3 f651에 의해 u′(x)=nxⁿ⁻¹임을 먼저 확인합니다.

① sin 공식. F(x):=−1bxⁿcos(bx) + nbC(x)라 두면, v(x):=cos(bx)에 8.4 f655·8.3 f651에 의해 v′(x)=−b sin(bx)이므로, 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해

F′(x) = −1b[u′(x)v(x)+u(x)v′(x)] + nbxn−1cos(bx) = −1b[nxn−1cos(bx)−bxnsin(bx)] + nbxn−1cos(bx)	649번
= −nbxn−1cos(bx) + xnsin(bx) + nbxn−1cos(bx)	전개
= xnsin(bx)	동류항 정리

② cos 공식. G(x):=1bxⁿsin(bx) − nbS(x)라 두면, w(x):=sin(bx)에 8.4 f654·8.3 f651에 의해 w′(x)=b cos(bx)이므로, 같은 방식으로

G′(x) = 1b[u′(x)w(x)+u(x)w′(x)] − nbxn−1sin(bx) = 1b[nxn−1sin(bx)+bxncos(bx)] − nbxn−1sin(bx)	649번
= nbxn−1sin(bx) + xncos(bx) − nbxn−1sin(bx) = xncos(bx)	전개·동류항 정리

가 모두 모든 x에서 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 두 점화식이 성립합니다. sin 공식은 xⁿ⁻¹이 곱해진 cos 적분으로, cos 공식은 xⁿ⁻¹이 곱해진 sin 적분으로 차수를 낮추므로, 두 식을 번갈아 적용하면 n이 짝수·홀수인 경우 모두 9.4 f713(n=0, b=0 아닌 경우의 사인·코사인 기본 적분)까지 내려갑니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.4의 713번(기저, n=0) · 8.3의 649번 · 8.3의 651번 · 8.4의 653번 · 8.4의 654번 · 8.4의 655번

증명 끝

732정리(ln x)ⁿ의 점화식∫(ln x)ⁿdx = x(ln x)ⁿ − n∫(ln x)ⁿ⁻¹dx (n≥1인 자연수, x>0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 사용, 730번과 같은 구조)

n≥1인 자연수, x>0이라 합시다. (ln x)ⁿ⁻¹의 어떤 원시함수를 G(x)라 하면(n=0에서 ∫1dx=x인 것을 기저로 이 정리를 반복 적용해 구할 수 있습니다 ― 9.1 f694에서 r=0을 대입한 경우와 같습니다) G′(x)=(ln x)ⁿ⁻¹입니다. F(x):=x(ln x)ⁿ − nG(x)라 두고, u(x):=x, v(x):=(ln x)ⁿ으로 놓으면 u′(x)=1이고, v는 8.4 f662(일반 실수 거듭제곱함수의 도함수 꼴, (ln x)를 안쪽 함수로 하는 합성)·8.4 f660(자연로그함수의 도함수)·8.3 f651(연쇄법칙)에 의해 v′(x)=n(ln x)ⁿ⁻¹·1x이므로, 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해

F′(x) = [u′(x)v(x)+u(x)v′(x)] − n(ln x)n−1 = (ln x)n + x·n(ln x)n−1·1x − n(ln x)n−1	649번
= (ln x)n + n(ln x)n−1 − n(ln x)n−1	약분
= (ln x)n	동류항 정리

가 x>0에서 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫(ln x)ⁿdx=F(x)+C입니다. (검산 : n=1을 대입하면 F(x)=x ln x−x가 되어 9.6의 724번과 정확히 일치합니다.)

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 694번(기저, r=0 경우) · 9.6의 724번(n=1 검산) · 8.3의 649번 · 8.3의 651번 · 8.4의 660번 · 8.4의 662번

증명 끝

733정리sinⁿx의 점화식∫sinⁿx dx = −1nsinⁿ⁻¹x cos x + n−1n∫sinⁿ⁻²x dx (n≥2인 자연수)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 + 4.5 f425 피타고라스 항등식 사용)

n≥2인 자연수라 합시다. sinⁿ⁻²x의 어떤 원시함수를 G(x)라 하면(n=0에서 ∫1dx=x, n=1에서 9.1 f696을 기저로 이 정리를 반복 적용해 구할 수 있습니다) G′(x)=sinⁿ⁻²x입니다. F(x):=−1nsinⁿ⁻¹x cos x + n−1nG(x)라 두고, u(x):=sinⁿ⁻¹x, v(x):=cos x로 놓으면 8.4 f662·f654·8.3 f651에 의해 u′(x)=(n−1)sinⁿ⁻²x cos x이고 v′(x)=−sin x이므로, 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해

F′(x) = −1n[u′(x)v(x)+u(x)v′(x)] + n−1nsinn−2x	649번
= −1n[(n−1)sinn−2x cos²x − sinnx] + n−1nsinn−2x	전개
= −n−1nsinn−2x(cos²x−1) + 1nsinnx	묶기
= n−1nsinnx + 1nsinnx = sinnx	4.5 f425(cos²x−1=−sin²x)

가 모든 x에서 성립하므로(마지막 줄에서 cos²x−1=−sin²x를 대입해 sinⁿ⁻²x·sin²x=sinⁿx로 정리했습니다), 692번의 미분 검산법에 의해 ∫sinⁿx dx=F(x)+C입니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 696번(기저, n=1) · 4.5의 425번 · 8.3의 649번 · 8.3의 651번 · 8.4의 654번 · 8.4의 662번

증명 끝

734정리cosⁿx의 점화식∫cosⁿx dx = 1ncosⁿ⁻¹x sin x + n−1n∫cosⁿ⁻²x dx (n≥2인 자연수)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 + 4.5 f425 피타고라스 항등식 사용, 733번과 같은 구조)

n≥2인 자연수라 합시다. cosⁿ⁻²x의 어떤 원시함수를 G(x)라 하면(733번과 마찬가지로 n=0, n=1(9.1 f696)을 기저로 구할 수 있습니다) G′(x)=cosⁿ⁻²x입니다. F(x):=1ncosⁿ⁻¹x sin x + n−1nG(x)라 두고, u(x):=cosⁿ⁻¹x, v(x):=sin x로 놓으면 u′(x)=−(n−1)cosⁿ⁻²x sin x, v′(x)=cos x이므로, 8.3 f649에 의해

F′(x) = 1n[u′(x)v(x)+u(x)v′(x)] + n−1ncosn−2x	649번
= 1n[−(n−1)cosn−2x sin²x + cosnx] + n−1ncosn−2x	전개
= −n−1ncosn−2x sin²x + n−1ncosn−2x + 1ncosnx	묶기
= n−1ncosnx + 1ncosnx = cosnx	4.5 f425(sin²x=1−cos²x)

가 모든 x에서 성립하므로(넷째 줄에서 −(n−1)cosⁿ⁻²x sin²x + (n−1)cosⁿ⁻²x = (n−1)cosⁿ⁻²x(1−sin²x)=(n−1)cosⁿx로 정리했습니다), 692번의 미분 검산법에 의해 ∫cosⁿx dx=F(x)+C입니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 696번(기저, n=1) · 4.5의 425번 · 8.3의 649번 · 8.3의 651번 · 8.4의 655번 · 8.4의 662번

증명 끝

735정리tanⁿx·cotⁿx의 점화식∫tanⁿx dx = 1n−1tanⁿ⁻¹x − ∫tanⁿ⁻²x dx, ∫cotⁿx dx = −1n−1cotⁿ⁻¹x − ∫cotⁿ⁻²x dx (n≥2인 자연수)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 4.5 f426·f427 피타고라스 항등식 사용)

n≥2인 자연수라 합시다. tanⁿ⁻²x의 어떤 원시함수를 G(x), cotⁿ⁻²x의 어떤 원시함수를 H(x)라 하면(n=0에서 ∫1dx=x, n=1에서 9.4 f714를 기저로 각각 반복 적용해 구할 수 있습니다) G′(x)=tanⁿ⁻²x, H′(x)=cotⁿ⁻²x입니다.

① tan 공식. F(x):=1n−1tanⁿ⁻¹x − G(x)라 두면, 8.4 f662·f656·8.3 f651(연쇄법칙, (tan x)′=sec²x)에 의해

F′(x) = 1n−1·(n−1)tann−2x·sec²x − tann−2x = tann−2x(sec²x−1)	656·662번
= tann−2x·tan²x = tannx	4.5 f426(sec²x−1=tan²x)

② cot 공식. K(x):=−1n−1cotⁿ⁻¹x − H(x)라 두면, 8.4 f656((cot x)′=−csc²x)에 의해

K′(x) = −1n−1·(n−1)cotn−2x·(−csc²x) − cotn−2x = cotn−2x(csc²x−1)	656·662번
= cotn−2x·cot²x = cotnx	4.5 f427(csc²x−1=cot²x)

가 모두 정의역(tan은 x≠π2+kπ, cot은 x≠kπ)에서 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 두 점화식이 성립합니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.4의 714번(기저, n=1) · 4.5의 426번 · 4.5의 427번 · 8.3의 651번 · 8.4의 656번 · 8.4의 662번

증명 끝

736정리secⁿx·cscⁿx의 점화식∫secⁿx dx = 1n−1secⁿ⁻²x tan x + n−2n−1∫secⁿ⁻²x dx, ∫cscⁿx dx = −1n−1cscⁿ⁻²x cot x + n−2n−1∫cscⁿ⁻²x dx (n≥2인 자연수)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 + 4.5 f426·f427 피타고라스 항등식 사용)

n≥2인 자연수라 합시다. secⁿ⁻²x의 어떤 원시함수를 G(x), cscⁿ⁻²x의 어떤 원시함수를 H(x)라 하면(n=0에서 ∫1dx=x, n=1에서 9.4 f716을 기저로, n=2에서는 9.1 f697(∫sec²x=tan x, ∫csc²x=−cot x)을 직접 기저로 삼아 구할 수 있습니다) G′(x)=secⁿ⁻²x, H′(x)=cscⁿ⁻²x입니다.

① sec 공식. F(x):=1n−1secⁿ⁻²x tan x + n−2n−1G(x)라 두고, u(x):=secⁿ⁻²x, v(x):=tan x로 놓으면 8.4 f662·f656·8.3 f651에 의해 u′(x)=(n−2)secⁿ⁻²x tan x(주 : (sec x)′=sec x tan x를 연쇄법칙으로 secⁿ⁻²x에 적용), v′(x)=sec²x이므로, 8.3 f649에 의해

F′(x) = 1n−1[u′(x)v(x)+u(x)v′(x)] + n−2n−1secn−2x	649번
= 1n−1secn−2x[(n−2)tan²x + sec²x] + n−2n−1secn−2x	묶기
(n−2)tan²x + sec²x = (n−2)(sec²x−1) + sec²x = (n−1)sec²x − (n−2)	4.5 f426(tan²x=sec²x−1)
⇒ F′(x) = secn−2x·sec²x − n−2n−1secn−2x + n−2n−1secn−2x = secnx	대입·정리

② csc 공식. 같은 방식으로 K(x):=−1n−1cscⁿ⁻²x cot x + n−2n−1H(x)라 두고 p(x):=cscⁿ⁻²x, q(x):=cot x로 놓으면 p′(x)=−(n−2)cscⁿ⁻²x cot x, q′(x)=−csc²x이므로

K′(x) = −1n−1[p′(x)q(x)+p(x)q′(x)] + n−2n−1cscn−2x = 1n−1cscn−2x[(n−2)cot²x + csc²x] + n−2n−1cscn−2x	649번·묶기
(n−2)cot²x + csc²x = (n−1)csc²x − (n−2) ⇒ K′(x) = cscnx	4.5 f427(cot²x=csc²x−1), ①과 동일한 정리

가 모두 정의역에서 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 두 점화식이 성립합니다. (검산 : n=2를 대입하면 두 식 모두 우변의 ∫sec⁰x dx=x·0=0, ∫csc⁰x dx도 마찬가지로 계수 n−2n−1=0이 되어 각각 ∫sec²x dx=tan x, ∫csc²x dx=−cot x로 줄어들어 9.1 f697과 정확히 일치합니다.)

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 697번(n=2 검산) · 9.4의 716번(기저, n=1) · 4.5의 426번 · 4.5의 427번 · 8.3의 649번 · 8.3의 651번 · 8.4의 656번 · 8.4의 662번

증명 끝

737정리활용 예제 ― ∫sin⁴x dx의 닫힌 형태∫sin⁴x dx = −14sin³x cos x − 38sin x cos x + 38x + C

증명법 : 직접증명법(733번을 두 단계로 반복 적용해 닫힌 형태를 얻은 뒤, 692번의 미분 검산법으로 최종 결과를 직접 재확인)

733번(sinⁿx의 점화식)을 n=4, 그다음 n=2에 차례로 적용해 ∫sin⁴x dx를 닫힌 형태로 구해 봅시다.

n=2 : ∫sin²x dx = −12sin x cos x + 12∫sin⁰x dx = −12sin x cos x + 12x + C (∫sin⁰x dx=∫1dx=x가 기저)

n=4 : ∫sin⁴x dx = −14sin³x cos x + 34∫sin²x dx

n=2의 결과를 n=4의 식에 대입하면

∫sin⁴x dx = −14sin³x cos x + 34[−12sin x cos x + 12x] + C	n=2 대입
= −14sin³x cos x − 38sin x cos x + 38x + C	정리

를 얻습니다. F(x):=−14sin³x cos x − 38sin x cos x + 38x라 두고 692번의 미분 검산법으로 직접 재확인하면(8.3 f649·4.5 f425 사용), F′(x)=sin⁴x가 모든 x에서 성립함이 확인됩니다 ― 이는 위의 두 단계 대입이 옳게 이루어졌음을 독립적으로 보증합니다.

수치 검산. x₀=2(라디안)에서 F′(x₀)=sin⁴(2)≈0.6836이고, 실제 F(x)를 미분한 값도 같은 x₀=2에서 0.6836으로 일치합니다(F(2)≈0.9701).

F(x)=−14sin³x cos x − 38sin x cos x + 38x(파랑 실선)의 접선(빨강) 기울기는 참조곡선 y=sin⁴x(회색 점선)의 그 점 높이와 정확히 같습니다(x₀=2, 기울기≈0.684).

n≥6인 sinⁿx나 cosⁿx도 733·734번을 필요한 만큼 반복 적용하면 같은 방식으로 닫힌 형태를 얻을 수 있으며, 그 계산 과정은 이 예제와 동일한 패턴의 반복일 뿐이므로 별도로 나열하지 않습니다.

사용 : 733번 · 692번(미분 검산법) · 8.3의 649번 · 4.5의 425번

증명 끝

이 절은 730–737번으로 지수·삼각 결합형(730·731번)·로그형(732번)· 삼각함수 거듭제곱형(733–736번)의 점화식을 갖추었고, 737번에서 이를 실제로 두 단계 반복 적용해 닫힌 형태를 얻는 과정을 보였습니다. sin^mx cosⁿx나 tan^mx secⁿx처럼 서로 다른 두 삼각함수가 동시에 거듭제곱으로 섞인 적분은, 홀수 지수 쪽을 4.5 f425–f427(피타고라스 항등식)로 다른 함수로 바꿔치기하거나(9.4 719번의 sin³x·cos³x가 이미 보인 방식) 짝수 지수 쪽에 이 절의 733–736번을 반복 적용하는 조합으로 처리할 수 있으나, 조합의 경우의 수가 많아 별도의 정리로 증명하지 않습니다(1300 Math Formulas의 9.7 절 범위와 일치 ― 과도한 일반화로 미검증 주장을 하지 않기 위함, 9.2·9.3에서 이미 채택한 방침과 동일).