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9.4   수능 관련

삼각함수의 적분

Integrals of Trigonometric Functions

정의 · 공식과 증명

이 절은 8.4 f656(탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트함수의 도함수)까지 확립된 도함수 결과를 692번의 미분 검산법으로 거꾸로 사용해, sin(ax+b)·cos(ax+b) 등 일차식이 인수로 들어간 기본형(713–716번)을 먼저 정리합니다. 이어서 4.16(거듭제곱을 배각으로)·4.5(피타고라스 항등식)를 이용해 sin²·cos²·tan²·cot² 꼴(717·718번)을, 4.5(피타고라스 항등식)를 이용해 sin³·cos³ 꼴(719번)을 처리하고, 마지막으로 4.15(곱을 합으로 변형하는 공식)로 sin(ax)cos(bx) 등 서로 다른 인수의 곱(720번)을 다룹니다. n≥4인 sinⁿx·cosⁿx의 거듭제곱 축소(reduction) 공식은 부분적분이 필요하므로 9.7로 미루고, tan·sec의 거듭제곱이 뒤섞인 적분에 필요한 치환 기법도 이 절의 범위를 넘어서므로 다루지 않습니다(1300 Math Formulas의 9.4 절 범위와 일치).

713정리사인·코사인의 일반 인수 부정적분∫sin(ax+b)dx = −1acos(ax+b) + C,   ∫cos(ax+b)dx = 1asin(ax+b) + C (a≠0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

a≠0이라 하고 g(x):=ax+b라 하면 8.3 f648·8.4 f653에 의해 g′(x)=a입니다. F(x):=−1acos(ax+b)라 두면, 8.4 f655(코사인함수의 도함수)와 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해

F′(x) = −1a·[−sin(ax+b)]·a = sin(ax+b)

가 모든 x에서 성립합니다. 마찬가지로 G(x):=1asin(ax+b)라 두면, 8.4 f654(사인함수의 도함수)와 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해

G′(x) = 1a·cos(ax+b)·a = cos(ax+b)

가 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫sin(ax+b)dx=F(x)+C, ∫cos(ax+b)dx=G(x)+C입니다. (검산 : a=1, b=0을 대입하면 9.1의 696번(∫sin x dx=−cos x+C, ∫cos x dx=sin x+C)과 정확히 일치합니다.)

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 696번 · 8.3의 648번 · 8.3의 651번 · 8.4의 653번 · 8.4의 654번 · 8.4의 655번

증명 끝

714정리탄젠트·코탄젠트의 일반 인수 부정적분(로그형)∫tan(ax+b)dx = −1aln|cos(ax+b)| + C,   ∫cot(ax+b)dx = 1aln|sin(ax+b)| + C (a≠0)

증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용, 9.1 695번과 같은 두 경우 논법)

a≠0이라 하고, 먼저 ∫tan(ax+b)dx를 구합니다. cos(ax+b)≠0인 x에서 ln|cos(ax+b)|의 부호가 cos(ax+b)>0인 경우와 cos(ax+b)<0인 경우로 나뉩니다.

① cos(ax+b)>0인 경우. ln|cos(ax+b)|=ln(cos(ax+b))이고, u(x):=cos(ax+b)>0에 8.4 f660(ln의 도함수)·8.3 f651(연쇄법칙)을 적용하면 u′(x)=−a sin(ax+b)(8.4 f655·8.3 f651)이므로

ddx[ln|cos(ax+b)|] = u′(x)u(x) = −a sin(ax+b)cos(ax+b) = −a·tan(ax+b)

② cos(ax+b)<0인 경우. ln|cos(ax+b)|=ln(−cos(ax+b))이고, v(x):=−cos(ax+b)>0에 같은 방식을 적용하면 v′(x)=a sin(ax+b)이므로

ddx[ln|cos(ax+b)|] = v′(x)v(x) = a sin(ax+b)−cos(ax+b) = −a·tan(ax+b)

로 ①과 정확히 같은 결과를 얻습니다. 두 경우 모두 ddx[ln|cos(ax+b)|]=−a·tan(ax+b)이므로, F(x):=−1aln|cos(ax+b)|라 두면 F′(x) = −1a·[−a·tan(ax+b)] = tan(ax+b)가 cos(ax+b)≠0인 모든 x에서 성립합니다.

∫cot(ax+b)dx도 완전히 같은 방식으로 얻습니다. sin(ax+b)>0인 경우와 sin(ax+b)<0인 경우 모두 ddx[ln|sin(ax+b)|]=a·cot(ax+b)로 일치하므로(cos(ax+b)·a가 분자에 남고 부호가 분자·분모에서 함께 뒤집혀 상쇄되는 것은 ①·②과 동일한 구조), G(x):=1aln|sin(ax+b)|라 두면 G′(x)=cot(ax+b)가 sin(ax+b)≠0인 모든 x에서 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫tan(ax+b)dx=F(x)+C, ∫cot(ax+b)dx=G(x)+C입니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 695번(같은 두 경우 논법) · 8.3의 651번 · 8.4의 654번 · 8.4의 655번 · 8.4의 660번

증명 끝

715정리시컨트·코시컨트 계열의 일반 인수 부정적분∫sec²(ax+b)dx=1atan(ax+b)+C, ∫csc²(ax+b)dx=−1acot(ax+b)+C, ∫sec(ax+b)tan(ax+b)dx=1asec(ax+b)+C, ∫csc(ax+b)cot(ax+b)dx=−1acsc(ax+b)+C (a≠0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법을 8.4 f656의 네 공식에 연쇄법칙과 함께 각각 적용, 9.1 697번의 일반화)

a≠0이라 합시다. 8.4 f656(탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트함수의 도함수)과 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해 각 원시함수 후보의 도함수를 계산해 692번으로 검산합니다 :

[1atan(ax+b)]′ = 1a·sec²(ax+b)·a = sec²(ax+b)	8.4 f656 · 8.3 f651
⇒ ∫sec²(ax+b)dx = 1atan(ax+b) + C	692번
[−1acot(ax+b)]′ = −1a·[−csc²(ax+b)]·a = csc²(ax+b)	8.4 f656 · 8.3 f651
⇒ ∫csc²(ax+b)dx = −1acot(ax+b) + C	692번
[1asec(ax+b)]′ = 1a·sec(ax+b)tan(ax+b)·a = sec(ax+b)tan(ax+b)	8.4 f656 · 8.3 f651
⇒ ∫sec(ax+b)tan(ax+b)dx = 1asec(ax+b) + C	692번
[−1acsc(ax+b)]′ = −1a·[−csc(ax+b)cot(ax+b)]·a = csc(ax+b)cot(ax+b)	8.4 f656 · 8.3 f651
⇒ ∫csc(ax+b)cot(ax+b)dx = −1acsc(ax+b) + C	692번

(검산 : a=1, b=0을 대입하면 네 공식 모두 9.1의 697번과 정확히 일치합니다.)

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 697번 · 8.3의 651번 · 8.4의 656번

증명 끝

716정리시컨트·코시컨트의 일반 인수 부정적분(로그형)∫sec(ax+b)dx = 1aln|sec(ax+b)+tan(ax+b)| + C,   ∫csc(ax+b)dx = −1aln|csc(ax+b)+cot(ax+b)| + C (a≠0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

a≠0이라 합시다. u(x):=sec(ax+b)+tan(ax+b)라 두면, 8.4 f656·8.3 f651(연쇄법칙)에 의해

u′(x) = a·sec(ax+b)tan(ax+b) + a·sec²(ax+b) = a·sec(ax+b)·[tan(ax+b)+sec(ax+b)] = a·sec(ax+b)·u(x)

입니다. u(x)≠0임을 먼저 확인합니다 : tan·sec의 정의를 이용해 통분하면 u(x) = sin(ax+b)cos(ax+b) + 1cos(ax+b) = 1+sin(ax+b)cos(ax+b)인데, 4.2(사인의 치역)에 의해 −1≤sin(ax+b)≤1이므로 분자 1+sin(ax+b)≥0이고, 등호는 sin(ax+b)=−1일 때뿐입니다. 이때는 4.5 f425(피타고라스 항등식)에 의해 cos(ax+b)=0이 되어 정의역(cos(ax+b)≠0)에서 이미 제외되므로, 정의역 위에서 항상 1+sin(ax+b)>0이고 분모 cos(ax+b)≠0이므로 u(x)≠0입니다.

u(x)≠0이므로(u(x)의 부호는 분자가 항상 양이라 cos(ax+b)의 부호와 같습니다), 714번의 두 경우 논법과 완전히 같은 방식으로(u(x)>0인 경우와 u(x)<0인 경우 모두)

ddx[ln|u(x)|] = u′(x)u(x) = a·sec(ax+b)·u(x)u(x) = a·sec(ax+b)

가 성립합니다. F(x):=1aln|u(x)|라 두면 F′(x) = 1a·a·sec(ax+b) = sec(ax+b)이므로, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫sec(ax+b)dx=F(x)+C입니다.

∫csc(ax+b)dx도 완전히 같은 방식으로 얻습니다. v(x):=csc(ax+b)+cot(ax+b) = 1+cos(ax+b)sin(ax+b)이고, 4.5 f425에 의해 cos(ax+b)=−1이면 sin(ax+b)=0이 되어 정의역에서 제외되므로 분자 1+cos(ax+b)>0, 곧 v(x)≠0입니다. 8.4 f656에 의해

v′(x) = a·[−csc(ax+b)cot(ax+b)] + a·[−csc²(ax+b)] = −a·csc(ax+b)·v(x)

이므로, G(x):=−1aln|v(x)|라 두면 G′(x) = −1a·[−a·csc(ax+b)] = csc(ax+b)가 sin(ax+b)≠0인 모든 x에서 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫csc(ax+b)dx=G(x)+C입니다.

예시(아래 그림). a=1, b=0인 경우 : x=π4에서 sec x=√2이고, ∫sec x dx = ln|sec x+tan x|+C입니다.

y=sec x는 x=±π2, 3π2에서 발산하는 점근선을 가지며, 위 증명의 정의역 조건 cos x≠0과 정확히 일치합니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 714번(같은 두 경우 논법) · 4.2의 412번(사인의 치역) · 4.5의 425번 · 8.3의 651번 · 8.4의 656번

증명 끝

717정리배각공식을 이용한 사인·코사인 제곱의 부정적분∫sin²(ax)dx = x2 − sin(2ax)4a + C,   ∫cos²(ax)dx = x2 + sin(2ax)4a + C (a≠0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

a≠0이라 하고 F(x):=x2 − sin(2ax)4a라 둡시다. 8.3 f648(선형성)· 8.4 f653(거듭제곱함수의 도함수, 상수항 x의 계수)와 8.4 f654(사인함수의 도함수)·8.3 f651(연쇄법칙)에 의해

F′(x) = 12 − 14a·cos(2ax)·2a = 12 − cos(2ax)2 = 1−cos(2ax)2

인데, 4.16 f489(사인의 제곱을 배각으로, θ=ax를 대입)에 의해 우변은 정확히 sin²(ax)입니다. 따라서 F′(x)=sin²(ax)가 모든 x에서 성립하고, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫sin²(ax)dx=F(x)+C입니다.

∫cos²(ax)dx도 완전히 같은 방식으로 얻습니다. G(x):=x2 + sin(2ax)4a라 두면

G′(x) = 12 + cos(2ax)2 = 1+cos(2ax)2

인데, 4.16 f490(코사인의 제곱을 배각으로, θ=ax를 대입)에 의해 우변은 정확히 cos²(ax)이므로, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫cos²(ax)dx=G(x)+C입니다.

검산. x₀=π3인 경우(아래 그림) : sin²π3=34이고, F(x)=x2−sin(2x)4(a=1)의 x₀=π3에서의 접선 기울기도 정확히 34로 일치합니다.

참조곡선 y=sin²x(옅은 점선)의 x₀=π3에서의 값과, 부정적분 F(x)=x2−sin(2x)4(실선)의 같은 점에서의 접선 기울기가 34로 일치함을 보여줍니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 4.16의 489번 · 4.16의 490번 · 8.3의 648번 · 8.3의 651번 · 8.4의 653번 · 8.4의 654번

증명 끝

718정리피타고라스 항등식을 이용한 탄젠트·코탄젠트 제곱의 부정적분∫tan²(ax)dx = 1atan(ax) − x + C,   ∫cot²(ax)dx = −1acot(ax) − x + C (a≠0)

증명법 : 직접증명법(피타고라스 항등식으로 피적분함수를 바꿔 693번 선형성 적용)

a≠0이라 합시다. 4.5 f426(탄젠트·시컨트의 피타고라스 항등식, θ=ax 대입)에 의해 1+tan²(ax)=sec²(ax), 곧

tan²(ax) = sec²(ax) − 1

이 cos(ax)≠0인 모든 x에서 성립합니다. 9.1 f693(선형성)에 의해

∫tan²(ax)dx = ∫sec²(ax)dx − ∫1dx

인데, 우변 첫째 항은 715번에 의해 1atan(ax)+C₁, 둘째 항은 9.1 f694(r=0인 경우)에 의해 x+C₂이므로, 두 상수를 하나로 합쳐 ∫tan²(ax)dx = 1atan(ax) − x + C를 얻습니다.

∫cot²(ax)dx도 완전히 같은 방식으로 얻습니다. 4.5 f427(코탄젠트·코시컨트의 피타고라스 항등식, θ=ax 대입)에 의해 cot²(ax)=csc²(ax)−1이 sin(ax)≠0인 모든 x에서 성립하고, 693번의 선형성과 715번(∫csc²(ax)dx=−1acot(ax)+C)·9.1 f694(r=0)를 적용하면 ∫cot²(ax)dx = −1acot(ax) − x + C를 얻습니다.

(검산 : 두 결과 모두 미분하면 각각 8.4 f656·8.3 f651에 의해 sec²(ax)−1=tan²(ax), csc²(ax)−1=cot²(ax)로 원래 피적분함수와 정확히 일치합니다.)

사용 : 693번(선형성) · 9.1의 694번(r=0인 경우) · 715번 · 4.5의 426번 · 4.5의 427번

증명 끝

719정리홀수 거듭제곱 사인·코사인 세제곱의 부정적분∫sin³x dx = −cos x + 13cos³x + C,   ∫cos³x dx = sin x − 13sin³x + C

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

F(x):=−cos x + 13cos³x라 둡시다. 8.3 f648(선형성)·8.4 f654(사인함수의 도함수)에 의해 첫째 항의 도함수는 sin x이고, 둘째 항은 (cos x)³에 8.4 f653(거듭제곱함수의 도함수, 지수 3)과 8.3 f651(연쇄법칙)을 적용해

ddx[13cos³x] = 13·3cos²x·(−sin x) = −cos²x·sin x

이므로

F′(x) = sin x − cos²x·sin x = sin x·(1−cos²x)

인데, 4.5 f425(피타고라스 항등식)에 의해 1−cos²x=sin²x이므로

F′(x) = sin x·sin²x = sin³x

가 모든 x에서 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫sin³x dx=F(x)+C입니다.

∫cos³x dx도 완전히 같은 방식으로 얻습니다. G(x):=sin x − 13sin³x라 두면, 같은 계산으로

G′(x) = cos x − sin²x·cos x = cos x·(1−sin²x) = cos x·cos²x = cos³x

가 4.5 f425에 의해 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫cos³x dx=G(x)+C입니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 4.5의 425번 · 8.3의 648번 · 8.3의 651번 · 8.4의 653번 · 8.4의 654번

증명 끝

720정리곱을 합으로 변형하는 공식을 이용한 서로 다른 인수의 곱의 부정적분∫sin(ax)cos(bx)dx = −cos((a+b)x)2(a+b) − cos((a−b)x)2(a−b) + C,   ∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a−b)x)2(a−b) + sin((a+b)x)2(a+b) + C,   ∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a−b)x)2(a−b) − sin((a+b)x)2(a+b) + C (a≠±b)

증명법 : 직접증명법(4.15의 곱-합 변형 공식으로 피적분함수를 먼저 합으로 바꾼 뒤 693번 선형성과 713번 적용)

a≠±b라 합시다(a=b 또는 a=−b이면 아래 변형에서 분모 a−b 또는 a+b가 0이 되어 정의되지 않습니다). 4.15 f484(사인·코사인의 곱을 합으로, A=ax, B=bx 대입)에 의해

sin(ax)cos(bx) = 12[sin((a+b)x) + sin((a−b)x)]

이므로, 693번(선형성)과 713번(∫sin(cx)dx=−1ccos(cx)+C, c=a+b와 c=a−b에 각각 적용)에 의해

∫sin(ax)cos(bx)dx = 12·[−cos((a+b)x)a+b − cos((a−b)x)a−b] + C = −cos((a+b)x)2(a+b) − cos((a−b)x)2(a−b) + C

를 얻습니다. 같은 방식으로 4.15 f486(코사인의 곱을 합으로)에 의해 cos(ax)cos(bx) = 12[cos((a−b)x) + cos((a+b)x)]이므로, 713번(∫cos(cx)dx=1csin(cx)+C)을 적용하면

∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a−b)x)2(a−b) + sin((a+b)x)2(a+b) + C

를 얻고, 4.15 f487(사인의 곱을 합으로)에 의해 sin(ax)sin(bx) = 12[cos((a−b)x) − cos((a+b)x)]이므로

∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a−b)x)2(a−b) − sin((a+b)x)2(a+b) + C

를 얻습니다. 세 결과 모두 692번의 미분 검산법으로 직접 다시 확인할 수 있습니다(713번의 증명과 같은 연쇄법칙 계산을 (a−b), (a+b)라는 두 인수 각각에 적용하는 것과 같습니다).

예시. a=3, b=2인 경우 : ∫sin(3x)cos(2x)dx = −cos(5x)10 − cos x2 + C입니다.

사용 : 693번(선형성) · 713번 · 4.15의 484번 · 4.15의 486번 · 4.15의 487번

증명 끝

721정리활용 ― 여러 공식을 결합한 부정적분∫[4sin(2x) + 6cos²x − 2sec²(3x)]dx = −2cos(2x) + 3x + 32sin(2x) − 23tan(3x) + C

증명법 : 직접증명법(693번 선형성으로 세 항을 나눈 뒤 713·715·717번을 각각 적용, 692번으로 최종 검산)

9.1 f693(선형성)에 의해 세 항을 따로 적분할 수 있습니다.

∫4sin(2x)dx = 4·[−12cos(2x)] = −2cos(2x)	713번(a=2)
∫6cos²x dx = 6·[x2 + sin(2x)4] = 3x + 32sin(2x)	717번(a=1)
∫−2sec²(3x)dx = −2·13tan(3x) = −23tan(3x)	715번(a=3)

세 결과를 693번으로 다시 합치면 F(x):=−2cos(2x) + 3x + 32sin(2x) − 23tan(3x)에 대해 ∫[4sin(2x)+6cos²x−2sec²(3x)]dx=F(x)+C를 얻습니다.

검산. x₀=π12에서 피적분함수의 값은 8.4 f654·f656 등을 직접 대입해 계산하면 4sinπ6+6cos²π12−2sec²π4 = 1+3√32인데, F′(x₀)도 692번의 미분 검산법이 보장하는 대로 같은 값(≈3.598)으로 정확히 일치합니다 (F 자체의 값은 접점을 표시하는 데만 쓰이며 F′(x₀)의 값과는 무관합니다).

사용 : 692번(미분 검산법) · 693번(선형성) · 713번 · 715번 · 717번

증명 끝

이 절은 713–721번으로 일차식이 인수로 들어간 기본형(713–716번)과 거듭제곱·서로 다른 인수의 곱(717–720번)의 부정적분 도구를 갖추었고, 721번에서 이를 결합해 실전형 계산을 예시했습니다. n≥4인 sinⁿx·cosⁿx의 거듭제곱 축소 공식은 부분적분(9.7)이 필요하므로 미루었고, tan^mx secⁿx처럼 탄젠트와 시컨트의 거듭제곱이 뒤섞인 적분에 필요한 치환 기법도 이 절의 범위를 넘어서므로 다루지 않았습니다(1300 Math Formulas의 9.4 절 범위와 일치). 유리함수의 적분(9.2)에 필요한 바이어슈트라스 치환(t=tan(x2))도 마찬가지로 다루지 않습니다.