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9.5   대학 과정

쌍곡선함수의 적분

Integrals of Hyperbolic Functions

정의 · 공식과 증명

쌍곡선함수 sinh·cosh·tanh·coth·sech·csch 자체의 정의는 이미 4.21 f815·f816에서 확립되어 있지만, 그 도함수는 아직 어디에도 없습니다―그래서 이 절은 먼저 4.21의 정의식(e^x, e^−x의 조합)을 8.4의 지수함수 미분법으로 직접 미분해 sinh·cosh의 도함수(917번), 이어서 몫의 미분법으로 나머지 네 함수의 도함수(918번)를 세웁니다. 이 도함수들 위에서, 9.1 f692의 미분 검산법(원시함수 후보를 미리 제시하고 미분해 확인하는 이 챕터 전체의 표준 증명법)을 그대로 적용해 sinh·cosh(919번)·sech²·csch²(920번)·tanh·coth(921번)의 부정적분을 얻고, 마지막으로 sech(922번)·csch(923번)의 부정적분을―각각 9.2 f705의 아크탄젠트 도함수 인용과 4.21 f820(배각공식)을 재사용해―확립합니다. 924번은 지금까지의 결과를 선형결합에 적용하는 계산 예입니다.

917정리쌍곡선함수의 도함수(sinh, cosh)(sinh x)′ = cosh x,   (cosh x)′ = sinh x

증명법 : 직접증명법(4.21 f815의 정의식을 8.4·8.3의 지수함수 미분법으로 직접 미분)

4.21 f815에서 sinh x := e^x−e^−x2,   cosh x := e^x+e^−x2로 정의했습니다. 8.4 f657(e^x의 도함수)과 8.3 f651(연쇄법칙, u(x)=−x에 적용하면 (e^−x)′=e^−x·(−1)=−e^−x)에 의해

(sinh x)′ = ddx[e^x−e^−x2] = e^x−(−e^−x)2 = e^x+e^−x2 = cosh x

이고(8.3 f648의 선형성으로 두 항을 각각 미분), 같은 방법으로

(cosh x)′ = ddx[e^x+e^−x2] = e^x+(−e^−x)2 = e^x−e^−x2 = sinh x

가 모든 실수 x에서 성립합니다.

사용 : 4.21의 815번 · 8.3의 648번 · 8.3의 651번 · 8.4의 657번

증명 끝

918정리쌍곡선함수의 도함수(tanh, coth, sech, csch)(tanh x)′=sech²x,   (sech x)′=−sech x tanh x  ― 등

증명법 : 직접증명법(8.3 f650의 몫의 미분법과 917번을 4.21 f816의 정의식에 적용)

tanh. 4.21 f816에서 tanh x := sinh xcosh x로 정의했습니다. 8.3 f650(몫의 미분법)과 917번(sinh′=cosh, cosh′=sinh)에 의해

(tanh x)′ = cosh x·cosh x − sinh x·sinh xcosh²x = cosh²x−sinh²xcosh²x = 1cosh²x = sech²x

입니다―분자는 4.21 f818(a)(cosh²x−sinh²x=1)에 의해 1이 되고, 마지막 등호는 4.21 f816의 정의(sech:=1cosh) 그대로입니다.

coth. coth x := cosh xsinh x(x≠0)이므로, 같은 방법으로

(coth x)′ = sinh x·sinh x − cosh x·cosh xsinh²x = sinh²x−cosh²xsinh²x = −1sinh²x = −csch²x  (x≠0)

sech. sech x := 1cosh x = (cosh x)⁻¹이므로, 8.3 f650(분자가 상수 1인 몫의 미분법)과 917번에 의해

(sech x)′ = 0·cosh x − 1·sinh xcosh²x = −sinh xcosh²x = −sinh xcosh x·1cosh x = −tanh x·sech x

csch. csch x := 1sinh x(x≠0)이므로, 마찬가지로

(csch x)′ = 0·sinh x − 1·cosh xsinh²x = −cosh xsinh²x = −cosh xsinh x·1sinh x = −coth x·csch x  (x≠0)

사용 : 4.21의 816번 · 4.21의 818번 · 8.3의 650번 · 917번

증명 끝

919정리sinh·cosh의 부정적분∫sinh x dx = cosh x+C,   ∫cosh x dx = sinh x+C

증명법 : 직접증명법(9.1 f692의 미분 검산법 사용)

917번에 의해 (cosh x)′=sinh x가 모든 실수 x에서 성립하므로, 9.1 f692(미분과 부정적분은 서로 되돌리는 연산)에 의해

∫sinh x dx = cosh x + C

이고, 마찬가지로 917번에서 (sinh x)′=cosh x이므로

∫cosh x dx = sinh x + C

입니다.

919번―y=sinh x, y=cosh x의 그래프와, [0, 1.2] 구간에서 sinh x의 그래프 아래(빗금 친) 넓이. 이 넓이가 정확히 cosh(1.2)−cosh(0)=cosh(1.2)−1≈0.8107과 같다는 것은 9.8 f746(미적분의 기본정리 제2부)에 이 정리의 첫 식(원시함수 cosh x)을 그대로 대입한 결과입니다.

사용 : 917번 · 9.1의 692번

증명 끝

920정리sech²·csch²의 부정적분∫sech²x dx = tanh x+C,   ∫csch²x dx = −coth x+C

증명법 : 직접증명법(9.1 f692의 미분 검산법 사용)

918번에 의해 (tanh x)′=sech²x가 모든 실수 x에서 성립하므로, 9.1 f692에 의해

∫sech²x dx = tanh x + C

이고, F(x):=−coth x(x≠0)라 두면 918번에 의해

F′(x) = −(coth x)′ = −(−csch²x) = csch²x

가 x≠0인 모든 x에서 성립하므로

∫csch²x dx = −coth x + C  (x≠0)

입니다.

사용 : 918번 · 9.1의 692번

증명 끝

921정리tanh·coth의 부정적분∫tanh x dx = ln(cosh x)+C,   ∫coth x dx = ln|sinh x|+C

증명법 : 직접증명법(9.1 f692의 미분 검산법, 로그함수의 연쇄법칙 미분)

tanh. 4.21 f818(a)에서 cosh²x=1+sinh²x≥1이므로 cosh x>0이 모든 실수 x에서 성립합니다―따라서 절댓값 없이 그냥 ln(cosh x)를 생각할 수 있습니다. F(x):=ln(cosh x)라 두면, 8.4 f660(자연로그함수의 도함수)과 8.3 f651(연쇄법칙)과 917번(cosh′=sinh)에 의해

F′(x) = 1cosh x·sinh x = sinh xcosh x = tanh x

가 모든 실수 x에서 성립하므로(4.21 f816의 정의), 9.1 f692에 의해 ∫tanh x dx = ln(cosh x)+C입니다.

coth. G(x):=ln|sinh x|(x≠0)라 두면, 9.1 f695의 증명에서 확립한 사실 ddt[ln|t|]=1t(t≠0)을 t=sinh x에 8.3 f651(연쇄법칙)로 합성하고 917번(sinh′=cosh)을 쓰면

G′(x) = 1sinh x·cosh x = cosh xsinh x = coth x

가 x≠0인 모든 x에서 성립하므로, 9.1 f692에 의해 ∫coth x dx = ln|sinh x|+C (x≠0)입니다.

사용 : 4.21의 816번 · 4.21의 818번 · 8.3의 651번 · 8.4의 660번 · 917번 · 9.1의 692번 · 9.1의 695번

증명 끝

922정리sech의 부정적분∫sech x dx = tan⁻¹(sinh x) + C

증명법 : 직접증명법(9.1 f692의 미분 검산법, 9.2 f705에서 인용한 아크탄젠트의 도함수를 재사용)

9.2 f705번의 증명에서 이미 인용한 대로 (tan⁻¹t)′=11+t²(t∈R, 4.17 f802의 정의·8.4 f659와 f656의 결합―근거는 705번을 참고)입니다. F(x):=tan⁻¹(sinh x)라 두면, 이 사실을 u(x):=sinh x에 8.3 f651(연쇄법칙)로 합성하고 917번(sinh′=cosh)을 쓰면

F′(x) = 11+sinh²x·cosh x = cosh x1+sinh²x

이고, 분모는 4.21 f818(a)(cosh²x−sinh²x=1, 즉 1+sinh²x=cosh²x)에 의해 cosh²x와 같으므로

F′(x) = cosh xcosh²x = 1cosh x = sech x

가 모든 실수 x에서 성립합니다(4.21 f816의 정의, cosh x>0이므로 분모가 0이 되지 않음). 9.1 f692에 의해 ∫sech x dx = tan⁻¹(sinh x) + C입니다.

사용 : 9.2의 705번(아크탄젠트 도함수의 인용 근거와 같은 방식) · 4.21의 816번 · 4.21의 818번 · 8.3의 651번 · 917번 · 9.1의 692번

증명 끝

923정리csch의 부정적분∫csch x dx = ln|tanh(x2)| + C  (x≠0)

증명법 : 직접증명법(9.1 f692의 미분 검산법, 4.21 f820의 배각공식 재사용)

G(x):=ln|tanh(x2)|(x≠0, tanh는 t=0에서만 0이므로 tanh(x2)≠0 ⇔ x≠0)라 둡니다. u:=x2라 하면 u′(x)=12(8.3 f648)이고, 9.1 f695의 증명에서 확립한 사실 ddt[ln|t|]=1t(t≠0)을 t=tanh u에, 918번(tanh′=sech²)을 tanh u에 각각 8.3 f651(연쇄법칙)로 두 번 합성하면

G′(x) = 1tanh u·sech²u·12 = sech²u2tanh u = 1cosh²u2·sinh ucosh u = 12sinh u cosh u

이고(4.21 f816의 정의로 sech·tanh를 sinh·cosh로 고쳐 쓴 뒤 분모·분자에 cosh²u를 곱해 정리), 4.21 f820(배각공식 sinh 2t=2sinh t cosh t)에서 t=u=x2로 두면 2sinh u cosh u=sinh 2u=sinh x이므로

G′(x) = 1sinh x = csch x

가 x≠0인 모든 x에서 성립합니다. 9.1 f692에 의해 ∫csch x dx = ln|tanh(x2)| + C (x≠0)입니다.

사용 : 4.21의 816번 · 4.21의 820번 · 8.3의 648번 · 8.3의 651번 · 918번 · 9.1의 692번 · 9.1의 695번

증명 끝

924정리—활용선형결합의 부정적분(계산 예)∫(3sinh x−sech²x)dx = 3cosh x−tanh x+C

증명법 : 직접증명법(9.1 f693의 선형성에 919·920번을 대입, 9.1 f692로 재검산)

9.1 f693(부정적분의 선형성)과 919번(∫sinh x dx=cosh x+C)·920번(∫sech²x dx=tanh x+C)에 의해

∫(3sinh x−sech²x)dx = 3∫sinh x dx − ∫sech²x dx = 3cosh x−tanh x+C

입니다. 9.1 f692의 미분 검산법으로 재확인하면, F(x):=3cosh x−tanh x에 917·918번을 적용해

F′(x) = 3sinh x−sech²x

가 되어 원래 피적분함수와 정확히 일치합니다(x=0에서 수치로도 확인 : F′(0)=3sinh 0−sech²0=3·0−1²=−1이고, 피적분함수의 x=0에서의 값도 3sinh 0−sech²0=−1로 같습니다―4.21 f815의 sinh 0=0, cosh 0=1에서 sech 0=1cosh 0=1).

사용 : 9.1의 692번 · 9.1의 693번 · 917번 · 918번 · 919번 · 920번 · 4.21의 815번

증명 끝