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9.2   수능 핵심

유리함수의 적분

Integrals of Rational Functions

정의 · 공식과 증명

이 절은 8.4의 도함수 공식표를 거꾸로 적용해(9.1의 692번, 미분 검산법) 일차식을 분모로 갖는 함수의 부정적분(699·700번)을 먼저 확립하고, 분모가 여러 인수의 곱으로 인수분해되는 진분수를 그 간단한 조각들의 합으로 쪼개는 부분분수분해(701번)를 도입합니다. 서로 다른 일차인수(702·703번), 중복된 일차인수(704번)의 경우를 차례로 다룬 뒤, 약분 불가능한 이차인수가 등장하는 경우(705번, 아크탄젠트가 필요해 대학 배지로 표시)로 마무리합니다. 분자가 일차식인 이차인수 항의 처리, 세 번 이상 중복된 인수 등 더 복잡한 조합은 이 절의 도구를 그대로 결합해 처리할 수 있으므로 별도로 다루지 않습니다.

699정리일차식 분모의 로그형 부정적분∫1ax+bdx = 1aln|ax+b| + C (a≠0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

u(x):=ax+b라 합시다. 8.4 f653(거듭제곱함수의 도함수, 정수 지수, n=1인 경우 (x)′=1)과 8.4 f652(상수함수의 도함수, (b)′=0)에 의해, 8.3 f648(선형성)에 의해

u′(x) = (ax+b)′ = a·(x)′ + (b)′ = a

입니다. 한편 695번의 증명 과정에서, g(t):=ln|t| (t≠0)의 도함수가 t>0인 경우와 t<0인 경우로 나누어 g′(t)=1/t임이 이미 확인되었습니다. u(x)≠0, 즉 x≠−b/a인 x에서 8.3 f651(연쇄법칙)을 h(x):=g(u(x))=ln|ax+b|에 적용하면

h′(x) = g′(u(x))·u′(x) = 1ax+b·a = aax+b

이므로, F(x):=1aln|ax+b|라 하면

F′(x) = 1a·aax+b = 1ax+b

가 x≠−b/a인 모든 x에서 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫1ax+bdx = 1aln|ax+b|+C입니다. (검산 : a=1, b=0을 대입하면 695번과 정확히 일치합니다.) 695번의 univ-note와 같은 이유로, x≠−b/a인 정의역은 두 구간으로 떨어져 있어 엄밀하게는 각 구간에서 독립된 적분상수를 허용해야 하지만, 관행에 따라 하나의 C로 통일해 씁니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 695번(1/x의 부정적분, 그 증명 과정에서 확인한 g′(t)=1/t) · 8.3의 648번 · 8.3의 651번 · 8.4의 652번 · 8.4의 653번

증명 끝

700정리거듭제곱 일차식 분모의 부정적분∫1(ax+b)ⁿdx = −1a(n−1)(ax+b)ⁿ⁻¹ + C (n≥2인 자연수, a≠0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

k:=−(n−1)이라 하면 n≥2이므로 k≤−1인 정수(≠0)입니다. F(x):=−1a(n−1)(ax+b)^k라 둡시다. 8.4 f653(거듭제곱함수의 도함수, 정수 지수)에 의해 t^k의 t에 대한 도함수는 kt^k−1(t≠0)이고, 699번의 증명에서 확인한 대로 (ax+b)′=a이므로, 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해

[(ax+b)^k]′ = k(ax+b)^k−1·a

가 x≠−b/a에서 성립합니다. 따라서

F′(x) = −1a(n−1)·k(ax+b)^k−1·a = −kn−1(ax+b)^k−1

인데 k=−(n−1)이므로 −kn−1 = n−1n−1 = 1이고, k−1=−(n−1)−1=−n이므로

F′(x) = (ax+b)⁻ⁿ = 1(ax+b)ⁿ

가 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫1(ax+b)ⁿdx = F(x)+C입니다. (검산 : a=1, b=0을 대입하면 ∫x⁻ⁿdx = −1(n−1)xⁿ⁻¹+C로, 9.1의 694번(r=−n≠−1인 정수 지수 경우)과 정확히 일치합니다.)

y=1(x−1)²(700번 공식의 a=1, b=−1, n=2인 경우)는 점근선 x=1 양쪽에서 모두 양의 무한대로 발산합니다 ― 짝수 거듭제곱이라 부호가 바뀌지 않기 때문입니다. x=0, x=2(점근선으로부터 각각 1만큼 떨어진 대칭인 두 점)에서 값이 똑같이 1임을 점선으로 표시했습니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 694번(검산과의 일관성) · 699번(u′=a) · 8.3의 651번 · 8.4의 653번

증명 끝

701정의부분분수분해P(x)Q(x) = S(x) + T(x)Q(x)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

두 다항식 P(x), Q(x)(Q≠0, deg Q≥1)에 대해 R(x):=P(x)Q(x)를 유리함수라 부릅니다. deg P < deg Q이면 R을 진분수, 그렇지 않으면 가분수라고 합니다. 다항식의 나눗셈(고등학교 다항식 단원의 기존 지식 ― 나눗셈정리 : 임의의 다항식 P, Q(Q≠0)에 대해 P(x)=Q(x)S(x)+T(x)이고 deg T < deg Q 또는 T=0인 다항식 S, T가 유일하게 존재)에 의해, 가분수는 항상

R(x) = S(x) + T(x)Q(x)

꼴, 곧 다항식 S(x)(적분은 9.1의 694번으로 항별 처리)와 진분수 T(x)/Q(x)의 합으로 나눌 수 있습니다. 이 절에서 다루는 부분분수분해(partial fraction decomposition)는 이 진분수 T(x)/Q(x)를, 분모 Q(x)의 인수분해 형태(서로 다른 일차인수·중복된 일차인수·약분 불가능한 이차인수 등)에 따라 분모가 각 인수의 거듭제곱인 더 간단한 분수들의 합으로 표현하는 방법을 말합니다. 이렇게 나뉜 각 항은 9.1의 693번(선형성)에 의해 따로 적분한 뒤 더할 수 있으므로, 그 각 항의 적분(일차인수는 699·700번, 이차인수는 705번)을 미리 갖추어 두는 것이 이어지는 702–705번의 목표입니다.

핵심 원리(다항식의 항등식의 성질, 702–705번에서 반복 사용) ― 두 다항식 f(x), g(x)가 (유한개의 예외를 제외한) 무수히 많은 x에서 같은 값을 가지면 f와 g는 항등식(모든 x에서 성립)이고, 항등식이면 동류항의 계수가 서로 같습니다(역도 성립). 더 구체적으로, 차수가 n 이하인 두 다항식이 서로 다른 (n+1)개 이상의 x값에서 같은 값을 가지면 두 다항식은 항등식입니다 ― 차수가 n 이하인 0이 아닌 다항식은 근을 많아야 n개 가진다는, 고등학교 다항식·방정식 단원의 기존 지식의 직접적인 결과입니다(차 D(x):=f(x)−g(x)는 차수 n 이하인데 (n+1)개의 서로 다른 근을 가지므로, D가 0이 아니라면 모순 ― 따라서 D≡0).

사용 : 9.1의 693번(선형성) · 9.1의 694번 · 699번 · 700번

702정리서로 다른 두 일차인수를 갖는 진분수의 부분분수분해와 적분P(x)(x−α)(x−β) = Ax−α + Bx−β

증명법 : 존재성·유일성 논증

α≠β인 두 실수, P(x)는 차수가 1 이하인 다항식(진분수 조건)이라 합시다. 다음이 성립하는 상수 A, B가 유일하게 존재함을 보입니다 :

P(x)(x−α)(x−β) = Ax−α + Bx−β (x≠α, β)

유일성. 위 등식이 성립한다고 가정하고 양변에 (x−α)(x−β)를 곱하면, x≠α,β인 무수히 많은 x에서

P(x) = A(x−β) + B(x−α)

가 성립합니다. 701번의 핵심 원리에 의해 이는 실제로 모든 x에서 성립하는 항등식이므로, x=α, x=β를 대입해도 성립합니다 :

x=α ⇒ P(α) = A(α−β)	항등식에 x=α 대입
⇒ A = P(α)α−β	α≠β이므로 나눗셈 가능
x=β ⇒ P(β) = B(β−α)	항등식에 x=β 대입
⇒ B = P(β)β−α	α≠β이므로 나눗셈 가능

즉 그런 A, B가 존재한다면 이 값뿐입니다.

존재성. 거꾸로 A:=P(α)α−β, B:=P(β)β−α로 정의하고, D(x):=P(x)−A(x−β)−B(x−α)라 합시다. D는 차수가 1 이하인 다항식이고, 위 계산에 의해 D(α)=P(α)−A(α−β)=0, D(β)=P(β)−B(β−α)=0으로 서로 다른 두 근을 가지므로, 701번의 핵심 원리에 의해 D≡0입니다. 따라서 P(x)=A(x−β)+B(x−α)가 모든 x에서 성립하고, 양변을 (x−α)(x−β)(≠0인 x에서)로 나누면 원하는 분해를 얻습니다.

적분. 9.1의 693번(선형성)과 699번(a=1인 경우)에 의해

∫P(x)(x−α)(x−β)dx = A∫1x−αdx + B∫1x−βdx = A ln|x−α| + B ln|x−β| + C

예시. P(x)=x+5, α=1, β=−2인 경우 : A=P(1)/(1−(−2))=6/3=2, B=P(−2)/(−2−1)=3/(−3)=−1. 검산 :

2x−1 − 1x+2	A=2, B=−1 대입
= 2(x+2) − (x−1)(x−1)(x+2)	통분
= x+5(x−1)(x+2)	분자 전개·정리

이므로 예상대로 원래의 함수와 일치하고,

∫x+5(x−1)(x+2)dx = 2ln|x−1| − ln|x+2| + C

입니다.

사용 : 9.1의 693번 · 699번 · 701번(핵심 원리, 부분분수분해의 정의)

증명 끝

703정리서로 다른 n개의 일차인수를 갖는 경우로 일반화P(x)(x−α₁)(x−α₂)⋯(x−α_n) = nΣi=1 A_ix−α_i

증명법 : 존재성·유일성 논증(702번의 확장)

α₁,…,α_n(n≥2)이 서로 다른 실수이고, P(x)는 차수가 n−1 이하인 다항식(진분수 조건)이라 합시다. 702번과 완전히 같은 논증을 n개의 근으로 확장하면, 다음이 성립하는 상수 A₁,…,A_n이 유일하게 존재합니다 :

P(x)(x−α₁)(x−α₂)⋯(x−α_n) = nΣi=1 A_ix−α_i

양변에 분모 전체를 곱하면 x≠α₁,…,α_n인 무수히 많은 x에서

P(x) = A₁(x−α₂)⋯(x−α_n) + A₂(x−α₁)(x−α₃)⋯(x−α_n) + ⋯ + A_n(x−α₁)⋯(x−α_n−1)

가 성립하고, 701번의 핵심 원리에 의해 이는 모든 x에서 성립하는 항등식입니다. 특정한 i에 대해 x=α_i를 대입하면, j≠i인 항은 전부 인수 (x−α_i)를 포함해 0이 되고 i번째 항만 남으므로

P(α_i) = A_i·(α_i−α₁)⋯(α_i−α_i−1)(α_i−α_i+1)⋯(α_i−α_n)

를 얻고(α_i를 제외한 나머지 (n−1)개의 인수와의 차를 모두 곱한 값), 이 곱은 α들이 서로 달라 0이 아니므로 A_i가 유일하게 결정됩니다(유일성). 존재성은 702번과 같은 방식으로, 이렇게 정의된 A_i들을 대입한 차 D(x)가 차수 n−1 이하이면서 n개의 서로 다른 근 α₁,…,α_n을 가지므로 701번의 핵심 원리에 의해 D≡0임을 보이면 됩니다.

적분은 9.1의 693번과 699번을 n번 적용해 ∫P(x)(x−α₁)(x−α₂)⋯(x−α_n)dx = A₁ln|x−α₁|+⋯+A_nln|x−α_n|+C로 얻습니다.

예시(n=3). P(x)=1, α₁=1, α₂=2, α₃=−1인 경우, 1(x−1)(x−2)(x+1)에서 :

A1 = 1(1−2)(1−(−1)) = 1−1·2	α1=1 대입
= −12	정리
A2 = 1(2−1)(2−(−1)) = 11·3 = 13	α2=2 대입
A3 = 1(−1−1)(−1−2) = 1(−2)(−3) = 16	α3=−1 대입

검산(x=0) : −12·1−1 + 13·1−2 + 16·11 = 12 − 16 + 16 = 12이고, 원래 함수의 값도 1(0−1)(0−2)(0+1)=12로 일치합니다.

사용 : 9.1의 693번 · 699번 · 701번(핵심 원리) · 702번(n=2인 경우)

증명 끝

704정리중복도 2인 일차인수를 포함하는 경우의 부분분수분해와 적분P(x)(x−α)²(x−β) = Ax−α + B(x−α)² + Kx−β

증명법 : 존재성·유일성 논증

α≠β인 두 실수, P(x)는 차수가 2 이하인 다항식(진분수 조건)이라 합시다. 다음이 성립하는 상수 A, B, K가 유일하게 존재함을 보입니다 :

P(x)(x−α)²(x−β) = Ax−α + B(x−α)² + Kx−β (x≠α, β)

양변에 (x−α)²(x−β)를 곱하고 701번의 핵심 원리로 무수히 많은 x에서의 등식을 모든 x에서의 항등식으로 확장하면

P(x) = A(x−α)(x−β) + B(x−β) + K(x−α)²

를 얻습니다. x=β, x=α를 차례로 대입하면(각 경우 나머지 두 항이 인수 (x−β) 또는 (x−α)를 남겨 0이 됩니다) :

x=β ⇒ P(β) = K(β−α)²	A, B의 항이 (x−β) 인수로 0
⇒ K = P(β)(β−α)²	(β−α)²>0이므로 나눗셈 가능
x=α ⇒ P(α) = B(α−β)	A의 항은 (x−α)로, K의 항은 (x−α)²로 0
⇒ B = P(α)α−β	α≠β이므로 나눗셈 가능

A는 두 점 대입만으로는 결정되지 않으므로(우변이 x²의 계수를 하나 더 가진 차수 2 다항식이기 때문), 701번의 핵심 원리(항등식이면 동류항의 계수가 같음)로 x²의 계수를 비교합니다. 우변의 x² 계수는 A(x−α)(x−β)에서 A, K(x−α)²에서 K이고(B(x−β)는 1차식이라 기여가 없습니다), 좌변 P(x)의 x² 계수를 p₂라 하면(P가 1차 이하이면 p₂=0)

A + K = p₂  ⇒  A = p₂ − K

존재성. 위에서 구한 A, B, K를 대입하고 D(x):=P(x)−A(x−α)(x−β)−B(x−β)−K(x−α)²라 합시다. A의 구성 방식(A+K=p₂)에 의해 D의 x² 계수가 정확히 0이 되어 D는 차수 1 이하이고, B·K의 구성 방식에 의해 D(α)=D(β)=0으로 서로 다른 두 근을 가지므로, 701번의 핵심 원리에 의해 D≡0입니다. 따라서 위 항등식이 모든 x에서 성립하고, 원하는 분해를 얻습니다.

적분. 9.1의 693번(선형성)·699번·700번(a=1, n=2인 경우 ∫1(x−α)²dx=−1x−α+C)에 의해

∫P(x)(x−α)²(x−β)dx = A ln|x−α| − Bx−α + K ln|x−β| + C

예시. P(x)=1, α=1, β=−1인 경우 : K=P(−1)(−1−1)²=14, B=P(1)1−(−1)=12, p₂=0(P가 상수함수)이므로 A=0−14=−14. 검산(x=0) : −14·1−1 + 12·1(−1)² + 14·11 = 14+12+14=1이고, 원래 함수의 값도 1(0−1)²(0+1)=1로 일치합니다. 따라서

∫1(x−1)²(x+1)dx = −14ln|x−1| − 12(x−1) + 14ln|x+1| + C

(첫째·셋째 항의 계수는 각각 A=−14, K=14이고, 700번의 ∫1(x−1)²dx=−1x−1에 B=12를 곱해 둘째 항 −12(x−1)을 얻습니다.) 중복도가 3 이상이거나 인수가 더 많이 섞인 경우도 같은 방법(점 대입과 계수 비교를 필요한 만큼 반복)으로 처리할 수 있습니다.

사용 : 9.1의 693번 · 699번 · 700번 · 701번(핵심 원리)

증명 끝

705정리약분 불가능한 이차식을 분모로 갖는 경우 ― 아크탄젠트 적분∫1x²+a²dx = 1atan⁻¹xa + C (a>0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

대학 지금까지(699–704번) 다룬 분모는 모두 실근을 갖는 일차인수(또는 그 거듭제곱)였습니다. 그러나 분모가 되는 이차식이 실근을 갖지 않으면(701번의 방식으로는 더 이상 일차인수로 쪼갤 수 없으면), 로그가 아니라 아크탄젠트(tan⁻¹, arctan)가 필요합니다. tan⁻¹의 엄밀한 정의(−π/2<t<π/2에서 tan의 역함수)는 4.17 f802번에서 확립되어 있고, 그 도함수는 원리적으로 8.4 f659번(역함수의 미분법)을 8.4 f656번(tan의 도함수 sec²)과 결합해 직접 유도할 수 있지만, 이 절은 유리함수의 부분분수분해라는 원래 주제에 집중하기 위해 그 유도를 다시 반복하지 않고 결론만 인용합니다 :

(tan⁻¹t)′ = 11+t² (t∈R)

수능 준비생은 이 결론과, 뒤이은 계산(연쇄법칙을 적용해 실제 적분 공식을 얻는 과정)만 알면 충분합니다.

a>0이라 하고, 위 사실을 이용해 F(x):=1atan⁻¹xa의 도함수를 구합니다. u(x):=xa라 하면 8.3 f648·8.4 f653에 의해 u′(x)=1a이고, 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해

F′(x) = 1a·11+u(x)²·u′(x) = 1a·11+(xa)²·1a

이고, 분모의 1+(xa)²를 통분해 a²+x²a²로 고쳐 쓰면

F′(x) = 1a²·a²a²+x² = 1x²+a²

가 모든 실수 x에서 성립합니다(x²+a²>0이므로 분모가 0이 되는 경우가 없습니다). 692번의 미분 검산법에 의해 ∫1x²+a²dx = 1atan⁻¹xa+C입니다.

완전제곱을 통한 일반화. 판별식(2.6 f121) D=p²−4q<0인(=실근 없음, 곧 인수분해가 불가능한) 이차식 x²+px+q에 대해, 2.6 f120의 증명과 같은 방식으로 완전제곱을 만들면(2.2 f74 역이용)

x²+px+q = (x+p2)² + (q−p²4)

이고, D<0 ⇔ q−p²4 > 0(D=p²−4q<0의 양변을 −4로 나누어 정리, 2.6 f121)이므로

a := q−p²4 > 0

로 두면 x²+px+q = (x+p2)²+a² 꼴이 됩니다. u:=x+p2라 하면 8.3 f651(연쇄법칙, u′=1)에 의해, 위에서 구한 u에 대한 원시함수 F(u)를 F(u(x))로 그대로 옮겨도 그 도함수가 F′(u(x))·u′(x)=F′(u(x))=1/(u(x)²+a²)이므로 여전히 원시함수입니다. 따라서

∫1x²+px+qdx = 1atan⁻¹x+p2a + C

예시. ∫1/(x²+2x+5)dx : p=2, q=5, D=4−20=−16<0(실근 없음), q−p²4=5−1=4이므로 a=2. 따라서

∫1x²+2x+5dx = 12tan⁻¹x+12 + C

입니다.

y=1x²+4(705번 공식의 a=2인 경우)는 실근이 없는 이차식을 분모로 가지므로 점근선이 전혀 없는 매끄러운 곡선입니다 ― 700번의 y=1(x−1)²(중복된 일차인수, 위)처럼 발산하는 점근선을 갖는 그래프와 대비됩니다. 로그가 아니라 아크탄젠트가 필요한 이유가 바로 이 차이 ― 분모가 0이 되는 실수 x 자체가 없다는 것 ― 입니다.

대학 일반적인 진분수 유리함수의 부분분수분해에서 분모에 약분 불가능한 이차인수(x²+px+q)가 있으면, 그 항의 분자는 상수가 아니라 일차식 Mx+N 꼴입니다(701번의 이론에서 분자의 차수는 분모의 차수보다 하나 작을 수 있기 때문). 이때는 분자를 완전제곱식의 미분 (2x+p)의 배수와 나머지 상수로 나누어, 앞부분은 로그(692번 방식, u=x²+px+q로 치환), 뒷부분은 위 아크탄젠트 공식으로 각각 처리합니다 ― 이 절에서는 그 도구(699–705번)만 갖추어 두고, 실제 결합은 이어지는 절들의 몫으로 남겨 둡니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 8.3의 648번 · 8.3의 651번 · 8.4의 653번 · 2.2의 74번(합의 제곱) · 2.6의 120번(완전제곱 방법) · 121번(판별식)

증명 끝

이 절은 699–705번으로 일차인수(단순·중복)와 약분 불가능한 이차인수가 분모에 등장하는 진분수의 적분 도구를 모두 갖추었습니다. 세 번 이상 중복된 일차인수, 여러 인수가 섞인 일반적인 경우, 이차인수의 분자가 일차식(Mx+N)인 경우는 위에서 확립한 방법(점 대입·계수 비교· 로그와 아크탄젠트의 결합)을 그대로 조합해 처리할 수 있으므로 별도로 다루지 않았습니다. 유리함수가 아닌 무리함수·삼각함수의 적분에 필요한 치환 기법은 9.3·9.4에서 이어집니다.