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9.6   수능 관련

지수·로그함수의 적분

Integrals of Exponential and Logarithmic Functions

정의 · 공식과 증명

이 절은 9.1 f698(지수함수 e^x·a^x의 부정적분)과 8.4 f657·f651(연쇄법칙)을 이용해 인수가 일차식인 e^ax(722번)와 x가 곱해진 xe^ax(723번)로 확장합니다. 이어서 8.4 f660(자연로그함수의 도함수)을 692번의 미분 검산법으로 거꾸로 사용해 ln x 자체(724번)· 1x ln x 꼴(725번)·x ln x 및 그 일반화 xⁿln x(726·727번)의 부정적분을 확립합니다. 마지막으로 지수함수와 삼각함수가 섞인 e^axsin(bx)·e^axcos(bx)의 부정적분(728·729번)을 다룹니다 ― 통상 부분적분을 두 번 반복해 연립방정식을 풀어 얻는 결과이지만, 이 사이트의 일관된 전략대로 원시함수 후보를 미리 제시하고 692번으로 직접 검산해 부분적분 없이 증명합니다.

722정리지수함수 e^ax의 부정적분(일반 인수)∫e^axdx = 1ae^ax + C (a≠0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

a≠0이라 하고 F(x):=1ae^ax라 두면, 8.4 f657(자연지수함수의 도함수)과 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해

F′(x) = 1a·e^ax·a = e^ax

가 모든 x에서 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫e^axdx=F(x)+C입니다. (검산 : a=1을 대입하면 9.1의 698번(∫e^xdx=e^x+C)과 정확히 일치합니다.)

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 698번 · 8.3의 651번 · 8.4의 657번

증명 끝

723정리xe^ax의 부정적분∫xe^axdx = 1a²e^ax(ax−1) + C (a≠0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 사용)

a≠0이라 하고 F(x):=1a²e^ax(ax−1)라 둡니다. u(x):=e^ax, v(x):=ax−1로 놓으면, 8.4 f657·8.3 f651(연쇄법칙)에 의해 u′(x)=a e^ax이고, 8.3 f648(선형성)에 의해 v′(x)=a이므로, 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해

F′(x) = 1a²[u′(x)v(x)+u(x)v′(x)] = 1a²[a eax(ax−1) + eax·a]	649번
= 1a²·a eax[(ax−1)+1] = 1aeax·ax	인수분해
= xeax	약분(a≠0)

가 모든 x에서 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫xe^axdx=F(x)+C입니다.

예시. a=1인 경우 : ∫xe^xdx=e^x(x−1)+C이고, x₀=0에서 F′(0)=0·e⁰=0으로 피적분함수 xe^x의 x=0에서 값(0)과 정확히 일치합니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 8.3의 648번 · 8.3의 649번 · 8.3의 651번 · 8.4의 657번

증명 끝

724정리자연로그함수 ln x의 부정적분∫ln x dx = x ln x − x + C (x>0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 사용)

x>0에서 F(x):=x ln x − x라 둡니다. u(x):=x, v(x):=ln x로 놓아 8.3 f649(곱의 미분법)를 적용하고 8.4 f660(자연로그함수의 도함수)을 쓰면

F′(x) = 1·ln x + x·1x − 1 = ln x + 1 − 1 = ln x

가 x>0에서 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫ln x dx=F(x)+C입니다.

F(x)=x ln x − x(파랑 실선)의 접선 기울기는 그 점의 참조곡선 y=ln x(회색 점선) 값과 정확히 일치합니다(x₀=2, 기울기 ln2≈0.693).

사용 : 692번(미분 검산법) · 8.3의 649번 · 8.4의 660번

증명 끝

725정리1x ln x의 부정적분(로그형)∫1x ln xdx = ln|ln x| + C (x>0, x≠1)

증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법(692번의 미분 검산법, 9.1 695번· 9.4 714번과 같은 두 경우 논법)

x>0, x≠1이라 합시다. ln|ln x|의 표현은 ln x>0(곧 x>1)인 경우와 ln x<0(곧 0<x<1)인 경우로 나뉩니다.

① x>1인 경우. ln|ln x|=ln(ln x)이고, u(x):=ln x>0에 8.4 f660(자연로그함수의 도함수)·8.3 f651(연쇄법칙)을 적용하면 u′(x)=1x이므로

ddx[ln(ln x)] = u′(x)u(x) = 1xln x = 1x ln x

② 0<x<1인 경우. ln|ln x|=ln(−ln x)이고, v(x):=−ln x>0에 8.4 f660·8.3 f648(선형성, 상수배)을 적용하면 v′(x)=−1x이므로

ddx[ln(−ln x)] = v′(x)v(x) = −1x−ln x = 1x ln x

로 ①과 정확히 같은 결과를 얻습니다. 두 경우 모두 ddx[ln|ln x|]=1x ln x이므로, 692번의 미분 검산법에 의해 x>0, x≠1인 모든 x에서 ∫1x ln xdx=ln|ln x|+C입니다.

y=ln|ln x|는 x=1을 경계로 두 갈래(0<x<1 빨강, x>1 파랑)로 나뉘며, 둘 다 x=1에서 −∞로 발산하고 x=1e·e에서 값이 0으로 같습니다. x₀=2에서 접선(초록) 기울기는 12ln2≈0.721로 725번 공식의 값과 일치합니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 695번(같은 두 경우 논법) · 9.4의 714번(같은 두 경우 논법) · 8.3의 648번 · 8.3의 651번 · 8.4의 660번

증명 끝

726정리x ln x의 부정적분∫x ln x dx = x²(ln x2 − 14) + C (x>0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 사용)

x>0에서 F(x):=x²2ln x − x²4라 둡니다. 첫째 항에 u(x):=x², v(x):=ln x로 8.3 f649(곱의 미분법)를 적용하고, 8.4 f653(거듭제곱함수의 도함수, n=2)·f660(자연로그함수의 도함수)을 쓰면

ddx[x²2ln x] = 12[2x·ln x + x²·1x] = x ln x + x2	649·653·660번
ddx[x²4] = x2	653번(n=2)
⇒ F′(x) = x ln x + x2 − x2 = x ln x	위 두 줄의 차

가 x>0에서 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫x ln x dx=F(x)+C입니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 8.3의 649번 · 8.4의 653번 · 8.4의 660번

증명 끝

727정리xⁿln x의 부정적분(일반화)∫xⁿln x dx = xⁿ⁺¹(ln xn+1 − 1(n+1)²) + C (x>0, n≠−1)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 사용, 726번의 일반화)

x>0, n≠−1(n∈R)이라 하고 F(x):=xⁿ⁺¹n+1ln x − xⁿ⁺¹(n+1)²라 둡니다. n+1은 0이 아닌 실수이므로, 726번과 같은 구조로 8.3 f649(곱의 미분법)와 8.4 f662(일반 실수 거듭제곱함수의 도함수, (x^r)′=rx^r−1, r=n+1에 적용)·f660(자연로그함수의 도함수)을 쓰면

ddx[xn+1n+1ln x] = 1n+1[(n+1)xn·ln x + xn+1·1x] = xnln x + xnn+1	649·662·660번
ddx[xn+1(n+1)²] = (n+1)xn(n+1)² = xnn+1	662번
⇒ F′(x) = xnln x + xnn+1 − xnn+1 = xnln x	위 두 줄의 차

가 x>0에서 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 ∫xⁿln x dx=F(x)+C입니다. (검산 : n=1을 대입하면 726번과 정확히 일치합니다.)

9.1 f694(거듭제곱함수의 부정적분, x^r/(r+1)+C, r≠−1)와 같은 이유로 n=−1인 경우는 x⁻¹ln x=ln xx가 되어 분모의 (n+1)²가 정의되지 않으므로 이 공식에서 제외됩니다 ― ∫ln xxdx는 u:=ln x로 놓았을 때 얻어지는 전혀 다른 형태((ln x)²2+C)의 결과이며, 이 절의 범위를 넘어서므로 별도로 다루지 않습니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.1의 694번(n≠−1 조건의 평행성) · 726번 · 8.3의 649번 · 8.4의 660번 · 8.4의 662번

증명 끝

728정리e^axsin(bx)의 부정적분∫e^axsin(bx)dx = e^ax(a sin bx − b cos bx)a²+b² + C (a²+b²>0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 사용 ― 통상 부분적분을 두 번 반복해 얻는 결과이지만, 원시함수 후보를 미리 제시하고 직접 미분해 확인합니다)

a²+b²>0이라 합시다(곧 a, b가 동시에 0은 아닙니다). F(x):=e^ax(a sin bx − b cos bx)a²+b²라 두고, u(x):=e^ax, w(x):=a sin bx − b cos bx로 놓습니다. 8.4 f657·8.3 f651에 의해 u′(x)=a e^ax이고, 8.4 f654·f655(사인·코사인함수의 도함수)·8.3 f651(연쇄법칙)에 의해 w′(x)=ab cos bx + b²sin bx입니다. 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해

(a²+b²)F′(x) = u′(x)w(x)+u(x)w′(x) = a eax(a sin bx−b cos bx) + eax(ab cos bx+b²sin bx)	649번
= eax[a²sin bx − ab cos bx + ab cos bx + b²sin bx]	전개
= eax(a²+b²)sin bx	동류항 정리

이므로 양변을 a²+b²(>0)로 나누면 F′(x)=e^axsin bx가 모든 x에서 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫e^axsin(bx)dx=F(x)+C입니다.

검산. a=0인 경우 F(x)=−b cos bxb² = −cos bxb로, 9.4의 713번(∫sin(bx)dx=−1bcos bx+C)과 정확히 일치합니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.4의 713번(a=0 특수경우 검산) · 8.3의 649번 · 8.3의 651번 · 8.4의 654번 · 8.4의 655번 · 8.4의 657번

증명 끝

729정리e^axcos(bx)의 부정적분∫e^axcos(bx)dx = e^ax(a cos bx + b sin bx)a²+b² + C (a²+b²>0)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법, 8.3 f649 곱의 미분법 사용, 728번과 같은 구조)

a²+b²>0이라 합시다. G(x):=e^ax(a cos bx + b sin bx)a²+b²라 두고, u(x):=e^ax, z(x):=a cos bx + b sin bx로 놓습니다. u′(x)=a e^ax는 728번과 같고, 8.4 f654·f655·8.3 f651에 의해 z′(x)=−ab sin bx + b²cos bx입니다. 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해

(a²+b²)G′(x) = u′(x)z(x)+u(x)z′(x) = a eax(a cos bx+b sin bx) + eax(−ab sin bx+b²cos bx)	649번
= eax[a²cos bx + ab sin bx − ab sin bx + b²cos bx]	전개
= eax(a²+b²)cos bx	동류항 정리

이므로 양변을 a²+b²(>0)로 나누면 G′(x)=e^axcos bx가 모든 x에서 성립합니다. 692번의 미분 검산법에 의해 ∫e^axcos(bx)dx=G(x)+C입니다.

검산. a=0인 경우 G(x)=b sin bxb² = sin bxb로, 9.4의 713번(∫cos(bx)dx=1bsin bx+C)과 정확히 일치합니다.

사용 : 692번(미분 검산법) · 9.4의 713번(a=0 특수경우 검산) · 728번(u′(x) 재사용) · 8.3의 649번 · 8.3의 651번 · 8.4의 654번 · 8.4의 655번

증명 끝

이 절은 722–729번으로 지수형(722·723번)·로그형(724–727번)· 지수와 삼각함수가 섞인 꼴(728·729번)의 부정적분 도구를 갖추었습니다. xⁿe^ax에서 n≥2인 경우처럼 723번을 반복 적용해야 하는 거듭제곱 축소(reduction) 공식은 9.7로 미루었고, (ln x)ⁿ(n≥2)의 부정적분에 필요한 비슷한 축소 기법도 이 절의 범위를 넘어서므로 다루지 않았습니다(1300 Math Formulas의 9.6 절 범위와 일치).