11.5 대학 과정
수렴급수의 성질
Properties of Convergent Series
정의 · 공식과 증명
1010–1015번은 11.4의 f770(무한급수의 수렴·발산과 합)에서 부분합 수열의 극한으로 정의한 개념을 바탕으로, 수렴하는 급수들이 만족하는 대수적 성질을 확립합니다. 1010번은 급수의 선형성(상수배·합·차)을, 1011번은 유한 개 항을 바꾸어도 수렴성 자체는 바뀌지 않는다는 사실(단, 수렴할 경우 그 합의 값 자체는 바뀔 수 있음)을 증명합니다. 1012번은 1010번의 직접적인 따름정리로 수렴급수와 발산급수의 합이 항상 발산함을 보이고, 발산급수끼리의 합은 이와 달리 예측할 수 없음을 반례로 확인합니다. 1013번은 부분합 수열이 어떤 값에 수렴하는지 미리 알지 못해도 수렴 여부만을 판정할 수 있는 코시의 판정법을 도입하는데, 이는 1014번의 토대이며 11.6(수렴판정법)의 비판정법·근판정법은 1014번을 거쳐 이 판정법에 기댑니다(비교판정법은 단조유계 수렴 정리에 기댑니다). 1014번은 이 코시 판정법을 이용해 이 절에서 가장 중요한 결과인 절대수렴은 수렴을 함의한다는 정리를 증명하며, 11.7(교대급수)·11.8(멱급수)에서 핵심적으로 재사용됩니다. 마지막으로 1015번에서 두 결과를 구체적인 예로 수치 검산합니다.
1010정리급수의 선형성(Linearity of Convergent Series)∞Σk=1cak = c∞Σk=1ak, ∞Σk=1(ak±bk) = ∞Σk=1ak ± ∞Σk=1bk
증명법 : 직접증명법(부분합에 수열 극한의 사칙연산을 적용)
∞Σk=1ak = A, ∞Σk=1bk = B가 둘 다 수렴한다고 합시다(11.4 f770). 이 급수들의 부분합을 각각 Sn:=nΣk=1ak, Tn:=nΣk=1bk라 하면(11.4 f769), 가정에 의해 limn→∞Sn=A, limn→∞Tn=B입니다.
⑴ 상수배. 유한합의 분배법칙에 의해 nΣk=1cak = c·Sn이 모든 n에서 성립하므로,
| limn→∞(cSn) = c·limn→∞Sn = cA | 11.4 보조정리 ⑴(상수배) |
이고, 11.4 f769·f770의 정의에 의해 좌변은 정확히 ∞Σk=1cak의 값이므로 ∞Σk=1cak = cA = c∞Σk=1ak입니다.
⑵ 합·차. 마찬가지로 유한합의 결합·교환법칙에 의해 nΣk=1(ak±bk) = Sn±Tn이 모든 n에서 성립하므로,
| limn→∞(Sn±Tn) = limn→∞Sn ± limn→∞Tn = A±B | 11.4 보조정리 ⑴(합·차) |
이고, 같은 이유로 ∞Σk=1(ak±bk) = A±B = ∞Σk=1ak ± ∞Σk=1bk입니다.
사용 : 11.4의 769번 · 770번 · 보조정리(수열 극한의 기본 성질)
증명 끝
1011정리유한 개 항의 변경은 수렴성에 영향을 주지 않는다(Convergence Is Unaffected by Finitely Many Terms)ak=bk (k>N인 모든 k) ⇒ ∞Σk=1ak 수렴 ⇔ ∞Σk=1bk 수렴
증명법 : 두 개의 조건문이 성립함을 증명(사실 두 방향이 완전히 대칭이므로 한 번의 계산으로 동시에 처리)
어떤 자연수 N에 대해, k>N인 모든 k에서 ak=bk라 합시다(즉 두 수열은 처음 N개 항만 다를 수 있습니다). 두 급수의 부분합을 Sn, Tn이라 하고,
C := NΣk=1(bk−ak) (유한합이므로 항상 존재하는 하나의 실수)
로 둡니다. n≥N인 모든 n에 대해
| Tn−Sn = nΣk=1(bk−ak) = NΣk=1(bk−ak) + nΣk=N+1(bk−ak) | 유한합을 앞 N개·나머지로 분리 |
| = C + 0 = C | k>N에서 bk−ak=0(가정)이므로 뒤쪽 합은 0 |
를 얻습니다. 즉 Tn = Sn + C가 n≥N인 모든 n에서 성립합니다(두 부분합 수열은 어느 시점부터 항상 같은 상수만큼 차이납니다). 상수수열 C는 C에 수렴하므로(11.4 f770), 11.4 보조정리 ⑴(합)에 의해
limn→∞Sn이 존재 ⇔ limn→∞Tn = limn→∞(Sn+C)가 존재
입니다(한쪽이 수렴하면 상수 C를 더하거나 뺀 다른 쪽도 반드시 수렴 ― 합의 극한을 양방향으로 적용). 11.4 f770의 정의에 의해 이는 정확히 ∞Σk=1ak 수렴 ⇔ ∞Σk=1bk 수렴이라는 뜻이고, 수렴하는 경우 두 합은 ∞Σk=1bk = ∞Σk=1ak + C로 정확히 C만큼 차이납니다.
주의. 그러므로 급수의 수렴·발산 여부는 유한 개의 항을 바꾸어도 절대 바뀌지 않지만, 수렴하는 경우 그 합의 실제 값은(C≠0이면) 달라질 수 있습니다 ― 이 절 1015번에서 구체적인 수로 확인합니다.
사용 : 11.4의 769번 · 770번 · 보조정리(수열 극한의 기본 성질)
증명 끝
1012정리1010번의 따름정리 ― 수렴급수와 발산급수의 합(Sum of a Convergent and a Divergent Series)∞Σk=1ak 수렴, ∞Σk=1bk 발산 ⇒ ∞Σk=1(ak+bk) 발산
증명법 : 귀류법
∞Σk=1ak = A가 수렴하고 ∞Σk=1bk는 발산한다고 합시다. 결론을 부정해, ∞Σk=1(ak+bk) = D가 수렴한다고 가정합니다. 그러면 1010번(선형성, 차)을 두 수렴급수 ∞Σk=1(ak+bk)와 ∞Σk=1ak에 적용하면
∞Σk=1bk = ∞Σk=1[(ak+bk)−ak] = D−A
가 수렴한다는 결론을 얻습니다. 그러나 이는 ∞Σk=1bk가 발산한다는 가정에 모순됩니다. 그러므로 귀류법에 의해 ∞Σk=1(ak+bk)는 발산합니다.
주의(반례로 확인) ― 발산급수끼리의 합은 이와 달리 예측할 수 없습니다. ak:=1/k, bk:=−1/k라 하면, 11.4 f772(조화급수의 발산)에 의해 ∞Σk=1ak는 발산하고, 만약 ∞Σk=1bk가 수렴한다면 1010번(상수배, c=−1)에 의해 ∞Σk=1ak = ∞Σk=1(−bk)도 수렴해야 하므로 모순 ― 즉 ∞Σk=1bk도 발산합니다. 하지만 ak+bk=0이 모든 k에서 성립하므로, ∞Σk=1(ak+bk) = ∞Σk=10은 (부분합이 항상 0이므로) 수렴합니다. 반대로 ck:=1/k도 마찬가지로 발산하고 ak+ck=2/k인데, 만약 이 급수가 수렴한다면 1010번(상수배, c=12)에 의해 1/k=(12)(2/k)도 수렴해야 하므로 모순 ― 즉 ∞Σk=1(ak+ck)는 발산합니다. 발산+발산의 결과는 이렇게 경우에 따라 다릅니다 ― «발산+발산=발산»이라는 일반 법칙은 없습니다.
사용 : 1010번(선형성) · 11.4의 772번(조화급수의 발산)
증명 끝
1013정의·정리코시의 판정법(Cauchy Criterion for Series)∞Σk=1ak 수렴 ⇔ ∀ε>0 ∃N∈ℕ, ∀n>m≥N, |am+1+…+an|<ε
먼저 이 정리를 서술하는 데 필요한 개념을 정의합니다. 실수열 {Sn}이 코시 수열(Cauchy sequence)이라는 것은, ∀ε>0에 대해 어떤 자연수 N이 존재해 n,m≥N인 모든 n,m에 대해 |Sn−Sm|<ε이 성립하는 것을 뜻합니다 ― 직관적으로, 수열의 항들이 서로 얼마나 멀리 떨어져 있는지가(극한값이 무엇인지 몰라도) 결국 임의로 작아진다는 뜻입니다. 급수 ∞Σk=1ak의 부분합 Sn에 대해, n>m인 경우 11.4 f769(부분합의 정의)에 의해
Sn−Sm = nΣk=1ak − mΣk=1ak = am+1+am+2+…+an
이므로(부분합에서 공통된 앞 m개 항이 상쇄), {Sn}이 코시 수열이라는 것은 정확히 위 정리문의 조건과 같습니다 ― 이제 이것이 급수의 수렴과 동치임을 증명합니다.
증명법 : 두 개의 조건문이 성립함을 증명
(⇒) 수렴하면 코시 수열. ∞Σk=1ak = S라 합시다(11.4 f770). ε>0이 임의로 주어졌다고 합시다. Sn→S이므로(11.4 f770), ε/2에 대해 어떤 N이 존재해 n≥N ⇒ |Sn−S|<ε/2입니다. 이제 n>m≥N이면,
| |Sn−Sm| = |(Sn−S)−(Sm−S)| | ±S를 더했다 뺌(항등식) |
| ≤ |Sn−S| + |Sm−S| | 2.7의 f146(삼각부등식, |x−y|=|x+(−y)|≤|x|+|y|) |
| < ε/2 + ε/2 = ε | n,m≥N이므로 위에서 확보한 두 부등식 |
를 얻습니다. 즉 {Sn}은 코시 수열입니다. 이 방향은 완전히 초등적으로 증명되며, 대학 수준의 별도 결과를 전혀 필요로 하지 않습니다.
(⇐) 코시 수열이면 수렴. 이제 {Sn}이 코시 수열이라고 가정합니다. 극한값을 미리 모르므로, 먼저 수렴하는 부분수열을 찾고 수열 전체가 그 극한으로 간다는 것을 보입니다. 쓰는 것은 실수의 완비성 공리에서 이미 증명한 9.9의 단조유계 수렴 정리(보조정리)뿐입니다.
① 코시 수열은 유계. ε=1로 코시 조건을 쓰면 N0이 있어 n≥N0에서 |Sn−SN0|<1이고, 2.7 f146(삼각부등식)으로 |Sn| ≤ |SN0| + |Sn−SN0| < |SN0|+1입니다. |S1|, …, |SN0−1|, |SN0|+1 가운데 가장 큰 수(유한개이므로 늘 있음)를 B로 두면 모든 n에서 |Sn|≤B입니다(11.4 보조정리 ⑶과 같은 방법).
② 단조인 부분수열이 있다. 자연수 n1<n2<n3<…를 골라 만든 수열 Sn1, Sn2, …를 {Sn}의 부분수열이라 합니다(늘 nj≥j). 번호 p보다 뒤의 모든 n에서 Sn≤Sp일 때 p를 봉우리라 부릅시다. 봉우리가 무한히 많으면 그것들을 작은 것부터 n1<n2<…로 두어 Sn1≥Sn2≥…(증가하지 않음)입니다. 봉우리가 유한 개(0개 포함)이면 마지막 봉우리보다 뒤의 번호 n1을 잡습니다. n1은 봉우리가 아니므로 Sn2>Sn1인 n2>n1이 있고, n2도 봉우리가 아니므로 같은 방법을 되풀이해 Sn1<Sn2<Sn3<…(증가)를 얻습니다.
③ 그 부분수열은 수렴. ①에 의해 {Snj}은 위로도 아래로도 B로 유계입니다. 증가하는 경우에는 단조유계 수렴 정리에 의해 어떤 실수 S로 수렴합니다. 증가하지 않는 경우에는 {−Snj}이 감소하지 않고 위로 유계(≤B)이므로 단조유계 수렴 정리로 −Snj→S′이고, 11.4 보조정리 ⑴(상수배 −1)에 의해 Snj→−S′=:S입니다. (②와 ③을 합친 «유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다»는 볼차노–바이어슈트라스 정리와 같은 내용입니다.)
④ 수열 전체가 S로 수렴. ε>0이 주어지면 코시 조건(ε/2)으로 N을 잡아 n,m≥N에서 |Sn−Sm|<ε/2이 되게 합니다. ③에 의해 j를 충분히 크게 잡아 |Snj−S|<ε/2이면서 j≥N이게 할 수 있고, 그러면 nj≥j≥N입니다. 따라서 n≥N이면
|Sn−S| ≤ |Sn−Snj| + |Snj−S| < ε/2 + ε/2 = ε (2.7 f146)
이므로 11.4 f770의 뜻으로 Sn→S, 곧 ∞Σk=1ak가 수렴합니다(그리고 그 합이 S입니다).
ⓘ 이 정리의 쓸모. (⇒) 방향은 이미 수렴을 알고 있을 때 부분합들이 서로 가까워짐을 보장하고, (⇐) 방향은 극한값 S가 무엇인지 전혀 모르는 상태에서도 (즉 급수의 합을 실제로 구하지 않고도) 코시 조건만 확인하면 수렴 여부를 판정할 수 있게 해줍니다 ― 1014번에서 바로 이런 방식으로 사용됩니다.
사용 : 11.4의 769번 · 770번 · 2.7의 146번(삼각부등식) · 11.4의 보조정리 · 9.9의 단조유계 수렴 정리(보조정리)
증명 끝
1014정리절대수렴은 수렴을 함의한다(Absolute Convergence Implies Convergence)∞Σk=1|ak| 수렴 ⇒ ∞Σk=1ak 수렴
증명법 : 직접증명법(유한합의 일반화된 삼각부등식을 먼저 확립한 뒤, 1013번의 코시 판정법을 적용)
준비 : 유한합에 대한 일반화된 삼각부등식. 임의의 실수 am+1,…,an(n>m)에 대해
|am+1+am+2+…+an| ≤ |am+1|+|am+2|+…+|an|
이 성립함을 수학적 귀납법으로 보입니다 (항의 개수 n−m에 대하여). n=m+1(항이 1개)일 때는 |am+1|≤|am+1|로 등호가 성립해 자명합니다. 어떤 n>m에서 부등식이 성립한다고 가정하면(귀납가정),
| |am+1+…+an+an+1| = |(am+1+…+an)+an+1| | 결합법칙(괄호 묶기) |
| ≤ |am+1+…+an| + |an+1| | 2.7의 f146(삼각부등식) |
| ≤ (|am+1|+…+|an|) + |an+1| | 귀납가정 |
이 되어 n+1에서도 성립합니다. 따라서 모든 n>m에서 성립합니다.
본 증명. ∞Σk=1|ak|가 수렴한다고 합시다. 이 급수(음이 아닌 항 |ak|로 이루어진 급수)에 1013번(코시 판정법, ⇒ 방향)을 적용하면, 임의의 ε>0에 대해 어떤 N이 존재해
n>m≥N ⇒ |am+1|+|am+2|+…+|an| < ε
입니다(절댓값들의 합이므로 이 값 자체가 이미 0 이상이라 바깥쪽에 다시 절댓값을 씌울 필요는 없지만, 1013번의 조건과 형태를 맞추면 ||am+1|+…+|an||도 같은 값입니다). 이제 준비한 일반화된 삼각부등식을 같은 N, 같은 n,m에 적용하면
|am+1+am+2+…+an| ≤ |am+1|+|am+2|+…+|an| < ε
를 얻습니다. 즉 ∞Σk=1ak의 부분합 수열도 (같은 N으로) 코시 조건을 만족합니다. 1013번(코시 판정법, ⇐ 방향)에 의해 ∞Σk=1ak는 수렴합니다.
주의. 이 정리의 역은 성립하지 않습니다 ― 즉 ∞Σk=1ak가 수렴한다고 해서 ∞Σk=1|ak|도 반드시 수렴하는 것은 아닙니다(그런 경우를 조건수렴한다고 부릅니다). 예를 들어 11.7(교대급수)에서 다룰 ak:=(−1)k/k는 |ak|=1/k가 11.4 f772(조화급수의 발산)에 의해 발산하므로 이 정리로는 ∞Σk=1ak의 수렴 여부를 전혀 판정할 수 없지만, 11.7의 교대급수판정법(라이프니츠 판정법)이라는 다른 도구로 실제로는 수렴함을 보입니다 ― 11.7 f1026에서 이 구체적인 사례로 조건수렴임을 완전히 확인합니다.
사용 : 1013번(코시 판정법) · 2.7의 146번(삼각부등식) · 선행학습 수학적 귀납법 · 11.4의 772번
증명 끝
1015정리·활용종합 예제 ― 선형성·유한개 항 변경·절대수렴(Worked Examples)ak=(12)k, bk=(13)k
⑴ 선형성(1010번) 확인. ak:=(12)k, bk:=(13)k (k≥1)라 하면, 11.4 f774(무한등비급수의 합, 첫째항·공비 형태)에 의해
A := ∞Σk=1ak = 121−12 = 1, B := ∞Σk=1bk = 131−13 = 12
이고, 1010번(합)에 의해 (ak+bk)의 급수는 A+B=32로 수렴합니다. 아래 그림은 세 부분합 수열이 실제로 각각 1, 12, 32로 수렴해가는 모습을 n=1,…,6까지 보여줍니다(회색 점선이 각 극한값).
⑵ 유한 개 항 변경(1011번) 확인. 위 급수 ∞Σk=1ak에서 첫째항만 a1=12에서 5로 바꾼 새 수열 bk(b1:=5, bk:=ak for k≥2)를 생각합시다. 1011번의 증명에서 C = b1−a1 = 5−12 = 92이므로, 새 급수도 수렴하고 그 합은
∞Σk=1bk = ∞Σk=1ak + C = 1 + 92 = 112
입니다. (검산 : 직접 b1+{k≥2인 부분} = 5 + (1−12) = 5+12 = 112로 일치합니다. ― 여기서 1−12=12는 k=2부터 시작하는 나머지 등비급수의 합입니다.)
⑶ 절대수렴(1014번) 확인. ck:=(−12)k라 하면 |ck|=(12)k이고, 이는 방금 ⑴에서 A=1로 수렴함을 확인한 바로 그 급수이므로 ∞Σk=1|ck|는 수렴합니다. 1014번에 의해 ∞Σk=1ck도 수렴합니다. (검산 : 11.4 f774를 첫째항−12, 공비−12인 등비급수에 직접 적용해도 |−12|=12<1이므로 수렴하고, 그 합은 −121−(−12) = −13으로, 1014번이 보장하는 수렴이 실제 값과 모순 없이 일치합니다.)
⑷ 코시 판정법(1013번)의 쓸모 ― ε-밴드로 보기. ⑴의 ak=(12)k 급수는 S=1로 수렴하므로(부분합 Sn=1−(12)n), ε=0.05에 대해 N=5로 잡으면 S5=3132=0.96875부터 모든 부분합이 [S−ε, S] 구간(그림의 회색 밴드) 안에 들어옵니다. 예를 들어 n=7, m=5인 꼬리합은
a6+a7 = (12)6+(12)7 = 3128 = S7−S5 < 0.05 = ε
로, 코시 판정법의 조건이 (극한값 S=1을 몰랐다고 가정해도) 그대로 확인됩니다.