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11.7   대학 과정

교대급수

Alternating Series

정의 · 공식과 증명

1022–1026번은 지금까지 급수의 합 자체를 구하지 않고 수렴 여부만 판정하던 11.6의 다섯 판정법에, 부호가 번갈아 바뀌는 특수한 구조 덕분에 수렴 여부와 근사 오차를 동시에 알려주는 여섯 번째 도구(라이프니츠 판정법)를 추가합니다. 1022번은 교대급수의 정의와 부호 관례를 확립하고, 1023번(라이프니츠 판정법)은 짝수·홀수 부분합을 각각 9.9 f929(단조유계 수렴 정리)로 수렴시킨 뒤 두 극한이 일치함을 보여 전체 수렴을 확립하며, 그 증명에서 얻어지는 «S가 인접한 부분합 사이에 있다»는 사잇값 성질이 1024번(오차 추정)의 바탕이 됩니다. 1025번은 11.5 f1014가 느슨하게 언급만 하고 지나간 절대수렴·조건수렴을 공식적으로 정의하며, 마지막으로 1026번은 f1014가 예고했던 a_k=(−1)^k/k(조화교대급수)의 조건수렴을 실제로 완성해 그 예고에 화답합니다.

1022정의교대급수(Alternating Series)∞Σk=1(−1)^k+1a_k = a₁−a₂+a₃−a₄+…  (a_k>0인 모든 k)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 모든 k에서 a_k>0인 수열 {a_k}에 대해, 부분합(11.4 f769)이

∞Σk=1(−1)^k+1a_k = a₁−a₂+a₃−a₄+…

꼴로 항의 부호가 번갈아 바뀌는 급수를 교대급수(alternating series)라 부릅니다.

부호 관례에 대한 약속. 교대급수는 흔히 첫 항의 부호에 따라 두 가지로 표기됩니다―위처럼 (−1)^k+1a_k로 첫 항이 양수인 경우와, (−1)^ka_k=−a₁+a₂−a₃+…로 첫 항이 음수인 경우입니다. 두 표기는 정확히 부호가 반대이므로

∞Σk=1(−1)^ka_k = −∞Σk=1(−1)^k+1a_k

이고, 11.5 f1010(선형성, 상수배 −1)에 의해 한쪽이 수렴하면 다른 쪽도 정확히 같은 조건에서 수렴합니다―합의 부호만 반대일 뿐, 수렴·발산·절대수렴·조건수렴 여부는 완전히 동일합니다. 따라서 이 절의 모든 정리는 첫 항이 양수인 표기 (−1)^k+1a_k로 통일해 서술하며, 이는 일반성을 잃지 않습니다.

사용 : 11.4의 769번 · 11.5의 1010번

1023정리라이프니츠 판정법(Leibniz's Test, 교대급수판정법)a_k>0,  a_k+1≤a_k (∀k),  limk→∞a_k=0  ⇒  ∞Σk=1(−1)^k+1a_k 수렴

증명법 : 직접증명법(짝수·홀수 부분합을 각각 단조유계 수열로 확립한 뒤 두 극한이 일치함을 보임)

모든 k에서 a_k>0, a_k+1≤a_k(감소하지 않음이 아니라 증가하지 않음, 즉 단조감소), limk→∞a_k=0이라 합시다. S_n:=nΣk=1(−1)^k+1a_k로 둡니다(11.4 f769).

⑴ 짝수 번째 부분합 {S_2n}은 감소하지 않으며(단조증가 계열), 위로 유계입니다. 인접한 두 짝수 부분합의 차를 보면

S_2(n+1)−S_2n = a_2n+1−a_2n+2 ≥ 0 (a_k+1≤a_k를 k=2n+1에 적용)

이므로 {S_2n}은 감소하지 않는 수열입니다. 또한 항을 다음과 같이 다시 묶으면

S_2n = a₁ − (a₂−a₃) − (a₄−a₅) − … − (a_2n−2−a_2n−1) − a_2n

이고, 괄호 안은 각각 ≥0(단조감소)이며 마지막 항 −a_2n≤0이므로, 음이 아닌 값들을 a₁에서 빼는 셈이 되어 모든 n에서 S_2n≤a₁입니다(n=1일 때는 괄호가 없이 S₂=a₁−a₂≤a₁로 자명하게 성립). 따라서 {S_2n}은 감소하지 않으면서 위로 유계인 수열입니다.

대학 9.9 f929에서 함수에 대해, 11.6 f1016에서 수열에 대해 이미 재사용한 것과 같은 단조유계 수렴 정리(실수의 완비성 공리로부터 직접 유도되는 존재성 정리)에 의해, {S_2n}은 어떤 실수 L(≤a₁)로 수렴합니다.

⑵ 홀수 번째 부분합 {S_2n−1}은 증가하지 않으며(단조감소 계열), 아래로 유계입니다. 인접한 두 홀수 부분합의 차를 보면

S_2n+1−S_2n−1 = −a_2n+a_2n+1 = −(a_2n−a_2n+1) ≤ 0

이므로 {S_2n−1}_n≥1 = S₁,S₃,S₅,…은 증가하지 않는(단조감소) 수열입니다. 한편 매 n에서

S_2n−1 = S_2n + a_2n ≥ S_2n ≥ S₂ (a_2n>0, {S_2n}이 감소하지 않고 n≥1이므로 S_2n≥S₂)

이므로 {S_2n−1}은 S₂로 아래로 유계입니다. {−S_2n−1}은 감소하지 않고 위로 유계(≤−S₂)인 수열이므로, 위와 같은 단조유계 수렴 정리에 의해 −S_2n−1→L′인 실수 L′이 존재하고, 8.2 f632(상수배 극한, −1배)에 의해 S_2n−1→−L′입니다.

⑶ 두 극한 L과 −L′은 일치합니다. 임의의 n에서

S_2n+1 − S_2n = a_2n+1

이고 가정에 의해 a_2n+1→0(k→∞일 때 a_k→0인 수열의 부분수열이므로 그대로 0으로 수렴). 그런데 좌변은 8.2 f632(뺄셈의 극한)에 의해 (−L′)−L로 수렴해야 하므로

(−L′) − L = 0,  즉  −L′ = L

입니다. 이 공통값을 S:=L=−L′로 둡니다.

⑷ 전체 수열 {S_n}이 S로 수렴합니다. ε>0이 임의로 주어졌다고 합시다. S_2n→S이므로 어떤 N₁이 존재해 n≥N₁⇒|S_2n−S|<ε이고, S_2n−1→S이므로 어떤 N₂가 존재해 n≥N₂⇒|S_2n−1−S|<ε입니다. N:=max(2N₁, 2N₂−1)로 두면, m≥N인 임의의 m은 짝수(m=2n, n≥N₁)이거나 홀수(m=2n−1, n≥N₂)이므로 어느 경우든 |S_m−S|<ε이 성립합니다. ε이 임의였으므로 8.2 f637(수열버전 극한의 정의)의 의미로 S_n→S, 즉 ∞Σk=1(−1)^k+1a_k는 수렴합니다.

⑸ 사잇값 성질 ― S는 항상 인접한 두 부분합 사이에 있습니다. {S_2n}이 감소하지 않으면서 S로 수렴하므로 모든 n에서 S_2n≤S입니다(만약 어떤 n₀에서 S_2n0>S라면, 감소하지 않으므로 모든 n≥n₀에서 S_2n≥S_2n0>S가 되어 S_2n→S에 모순―9.9 f929의 증명에서 이미 쓰인 것과 같은 논증). 같은 방식으로 {S_2n−1}이 증가하지 않으면서 S로 수렴하므로 모든 n에서 S_2n−1≥S입니다. 이제 임의의 n≥1에 대해:

n이 짝수(n=2m)이면 Sn=S2m≤S이고 Sn+1=S2m+1≥S	위에서 확립한 두 부등식
n이 홀수(n=2m−1)이면 Sn=S2m−1≥S이고 Sn+1=S2m≤S	위에서 확립한 두 부등식

이므로, 어느 경우든 S는 S_n과 S_n+1 사이에 있습니다(둘 중 어느 쪽이 더 큰지는 n의 홀짝에 따라 달라지지만, S가 그 사이에 낀다는 사실 자체는 항상 성립).

아래 그림은 조화수열 a_k=1k(라이프니츠 판정법의 가정을 만족하는 대표적인 예―1026번에서 본격적으로 다룹니다)의 경우, 짝수 부분합(파랑, 증가)과 홀수 부분합(빨강, 감소)이 각각 단조수렴하며 S를 사이에 두고 좁혀 들어가는 모습을 보여줍니다.

사용 : 11.4의 769번 · 9.9의 929번(univ, 단조유계 수렴 정리) · 11.6의 1016번 · 8.2의 632번 · 637번 · 직접증명법

증명 끝

1024정리교대급수의 오차(나머지) 추정(Remainder Estimate for Alternating Series)1023번의 가정 하에, S:=∞Σk=1(−1)^k+1a_k이면  |S−S_n| ≤ a_n+1  (∀n)

증명법 : 직접증명법(1023번의 사잇값 성질을 그대로 재사용)

1023번 ⑸에서 이미 보인 대로, 임의의 n에서 S는 S_n과 S_n+1 사이에 있습니다. 따라서 S와 S_n 사이의 거리는 S_n과 S_n+1 사이의 거리를 넘을 수 없습니다:

|S−Sn| ≤ |Sn+1−Sn|	1023번 ⑸(S가 Sn,Sn+1 사이에 있음―구간 [min,max]의 폭을 넘지 않음)
= |(−1)n+2an+1|	Sn+1−Sn = (−1)n+2an+1(부분합의 정의, 11.4 f769)
= an+1	an+1>0이므로 |±an+1|=an+1

따라서 모든 n에서 |S−S_n|≤a_n+1입니다.

의미. 즉 부분합 S_n으로 참값 S를 근사할 때, 그 오차는 버린 첫 항의 절댓값을 넘지 않습니다―이는 라이프니츠 판정법의 매우 실용적인 따름정리로, 정적분의 이상적분 판정(9.9)이나 비교판정법(1016번)과 달리 수렴 여부뿐 아니라 근사 정확도까지 즉시 알려준다는 점에서 이 절 고유의 실용적 가치입니다. 1026번에서 이 부등식을 구체적인 수치로 확인합니다.

사용 : 1023번(사잇값 성질) · 11.4의 769번

증명 끝

1025정의절대수렴·조건수렴(Absolute and Conditional Convergence)∞Σk=1|a_k| 수렴  ⇒  절대수렴,   ∞Σk=1a_k 수렴이나 ∞Σk=1|a_k| 발산  ⇒  조건수렴

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 실수열 {a_k}에 대해(부호는 임의―교대급수로 한정하지 않습니다):

① ∞Σk=1|a_k|가 수렴하면, ∞Σk=1a_k는 절대수렴(absolutely convergent)한다고 합니다.

② ∞Σk=1a_k는 수렴하지만 ∞Σk=1|a_k|는 발산하면, ∞Σk=1a_k는 조건수렴(conditionally convergent)한다고 합니다.

이 두 경우가 수렴하는 급수 전체를 남김없이 둘로 가릅니다. 먼저, 음이 아닌 항 |a_k|로 이루어진 급수의 부분합 T_n:=nΣk=1|a_k|는 |a_k|≥0이므로 감소하지 않는 수열입니다(11.6 f1016 증명에서 이미 쓰인 것과 같은 관찰). {T_n}이 위로 유계이면 9.9 f929(단조유계 수렴 정리)에 의해 수렴하고, 그렇지 않다면―즉 어떤 실수보다도 큰 T_n이 존재한다면―임의의 M에 대해 어떤 n₀에서 T_n0>M이고, {T_n}이 감소하지 않으므로 모든 n≥n₀에서 T_n≥T_n0>M이 되어(8.2 f637의 의미로) T_n→+∞로 발산합니다. 즉 ∞Σk=1|a_k|는 수렴하거나 +∞로 발산하거나 둘 중 하나이며 진동하는 제3의 경우가 없으므로, ∞Σk=1a_k가 수렴하기만 한다면 ①·② 중 정확히 하나에 해당합니다―11.5 f1014(절대수렴⇒수렴)에 의해 ①는 항상 Σa_k의 수렴을 함의하므로, 두 경우는 서로 배타적(①이면서 동시에 ②일 수 없음―②은 정의상 |a_k|가 발산하는 경우이므로)이고, 함께 수렴하는 급수 전체를 모두 포괄합니다.

11.5 f1014의 «주의» 문단에서 예고했던 조건수렴이라는 용어가 이제 공식적으로 정의되었습니다―1026번에서 실제 사례(조화교대급수)로 이를 확인합니다.

사용 : 11.5의 1014번 · 11.6의 1016번 · 9.9의 929번(univ) · 8.2의 637번

1026정리·활용종합 예제 ― 조화교대급수의 조건수렴(Worked Example ― Alternating Harmonic Series)∞Σk=1(−1)^k+11k = 1−12+13−14+…  는 조건수렴한다

이 예제는 11.5 f1014의 «주의» 문단이 예고했던 a_k:=(−1)^k1k의 사례를 완결짓습니다(1022번의 부호 관례에 따라 이 절에서는 첫 항이 양수인 (−1)^k+11k로 다루며, 두 표기는 1022번에 의해 수렴성이 완전히 동일합니다).

⑴ 라이프니츠 판정법(1023번)의 가정 확인. a_k:=1k라 하면:

ak=1k > 0	k∈ℕ (자연수)이므로 자명
ak+1=1k+1 < 1k=ak	2.7의 f138(0<k<k+1이면 역수는 부등호 반전)
limk→∞ 1k = 0	임의의 ε>0에 대해 N:=⌈1ε⌉로 두면(아르키메데스 성질에 의해 존재), k≥N인 모든 k에서 1k≤1N≤ε―8.2 f637의 의미

세 조건이 모두 성립하므로, 1023번에 의해 ∞Σk=1(−1)^k+11k는 수렴합니다. 그 합을 S라 둡니다.

⑵ 절댓값을 취한 급수는 발산합니다. |(−1)^k+11k| = 1k이므로

∞Σk=1|(−1)^k+11k| = ∞Σk=11k

이고, 이는 11.4 f772(조화급수의 발산)에 의해 발산합니다.

⑶ 결론 ― 조건수렴. ⑴에서 ∞Σk=1(−1)^k+11k는 수렴하지만 ⑵에서 그 절댓값 급수는 발산하므로, 1025번의 정의에 의해 이 급수는 조건수렴합니다. 11.5 f1014가 예고했던 대로, 이 급수는 f1014(절대수렴⇒수렴)로는 수렴 여부를 전혀 판정할 수 없었지만(절댓값 급수가 발산하므로), 라이프니츠 판정법이라는 다른 도구로 실제 수렴이 확인된 경우입니다.

⑷ 부분합의 수치 확인. 처음 몇 개의 부분합을 정확한 분수로 계산하면(11.4 f769)

S₁=1,  S₂=12,  S₄=712,  S₆=3760,  S₈=533840,  S₁₀=16272520≈0.6456

이며, 짝수 부분합은 증가(1023번 ⑴), 홀수 부분합은 감소(1023번 ⑵)하면서 서로 좁혀 들어가는 모습은 1023번의 그림에서 바로 이 급수(a_k=1k)의 실제 수치로 이미 확인했습니다(이 급수의 정확한 닫힌 형태의 합은 ln 2이며, 그 값은 이 절의 범위 밖이라 여기서는 수렴 여부와 수치적 근사만 다룹니다―값 자체는 11.10 f1048에서 확정됩니다. x=1은 수렴구간의 끝점이라 항별 적분정리(11.9 f1039)를 쓸 수 없으므로, 그 절은 유한 등비합의 나머지를 직접 적분해 오차를 재는 방법으로 값을 얻습니다).

⑸ 오차 추정(1024번)의 수치 확인. S₁₀=16272520≈0.645635로 참값 S를 근사하면, 1024번에 의해

|S−S₁₀| ≤ a₁₁ = 111 ≈ 0.0909

이 보장됩니다. 실제로 S≈0.693147(수치적으로 관찰되는 값)이므로 |S−S₁₀|≈0.0475<0.0909로 부등식이 성립함을 확인할 수 있습니다. 아래 그림은 n=4,…,9에 대해 폭 a_n+1인 구간이 매번 S를 포함하며 n이 커질수록 좁아지는 모습을 보여줍니다.

사용 : 1022번 · 1023번 · 1024번 · 1025번 · 11.4의 769번 · 772번 · 11.5의 1014번 · 2.7의 138번 · 8.2의 637번