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11.8   대학 과정

멱급수

Power Series

정의 · 공식과 증명

1027–1034번은 11.4–11.7이 «수 하나로 정해진 급수»에 대해 세운 수렴 이론을, 변수 x를 품은 급수 ∞Σk=0a_k(x−x₀)^k로 확장합니다. 각 x마다 이 식은 하나의 수치급수가 되므로 지금까지의 모든 판정법을 그대로 쓸 수 있지만, 이 절의 주제는 «어떤 x에서 수렴하는가»라는 수렴집합의 모양 자체입니다. 1028번(아벨의 보조정리)이 «한 점에서 수렴하면 그보다 중심에 가까운 모든 점에서 절대수렴한다»는 전파 원리를 세우고, 1029번이 그로부터 수렴집합이 언제나 중심에 대칭인 구간임을 증명하며, 1030번이 그 구간의 반지름에 수렴반지름이라는 이름을 붙입니다. 1031·1032번은 11.6의 비판정법·근판정법을 그대로 옮겨 수렴반지름을 계수만으로 계산하는 공식을 주고, 1033번은 그 공식이 결코 알려주지 못하는 끝점의 거동이 네 가지 모두 실제로 일어남을 예로 확인합니다. 이 절에서 확립하는 «수렴반지름 안에서는 절대수렴»이라는 사실이 11.9(멱급수의 미분과 적분) 이후 챕터 11의 나머지 전체가 딛고 서는 토대가 됩니다.

1027정의멱급수(Power Series)∞Σk=0a_k(x−x₀)^k = a₀+a₁(x−x₀)+a₂(x−x₀)²+…

정의이므로 정의 자체는 증명 대상이 아닙니다. 다만 아래 ⑴–⑶은 이 정의에서 곧바로 따라 나오는 사실이므로 근거를 붙여 확인합니다.

실수열 {a_k}_k≥0과 실수 x₀에 대해

∞Σk=0a_k(x−x₀)^k = a₀+a₁(x−x₀)+a₂(x−x₀)²+a₃(x−x₀)³+…

꼴의 급수를 x₀을 중심(center)으로 하는 멱급수(power series)라 하고, a_k를 그 계수(coefficient)라 합니다.

표기 규약 ― k=0 항. k=0 항의 (x−x₀)⁰은 x=x₀일 때 0⁰이 되어 2.3 f87(a⁰=1, 단 a≠0)의 정의 범위를 벗어납니다. 멱급수에서는 이 항을 x가 무엇이든 항상 a₀으로 읽는 것을 표기 규약으로 삼습니다. 즉 (x−x₀)⁰:=1을 x=x₀에서도 약속하는 것이며, 이 규약 덕분에 아래 ⑵가 예외 없이 성립합니다.

⑴ 수렴집합. x를 하나 고정할 때마다 위 식은 11.4 f769의 의미의 수치급수가 되고, 그 수렴·발산은 11.4 f770의 정의(부분합 수열의 극한)로 판정됩니다. 그러므로 11.4–11.7에서 확립한 모든 판정법을 각 x에 대해 그대로 적용할 수 있습니다. 이 급수가 수렴하는 x 전체의 집합

D := {x∈ℝ : ∞Σk=0a_k(x−x₀)^k 가 수렴}

을 이 멱급수의 수렴집합이라 부릅니다.

⑵ 중심에서는 언제나 수렴한다 ― 따라서 D는 공집합이 아니다. x=x₀을 대입하면 위 표기 규약에 의해 k=0 항은 a₀이고, k≥1인 항은 모두 a_k·0^k=0입니다. 그러므로 부분합은 모든 n에서 S_n=a₀으로 일정한 수열이고, 상수수열은 그 값으로 수렴하므로 11.4 f770에 의해 급수는 a₀으로 수렴합니다. 나아가 절댓값을 취한 급수도 같은 이유로 |a₀|으로 수렴하므로, x=x₀에서는 11.7 f1025의 의미로 절대수렴합니다. 즉 언제나 x₀∈D입니다.

⑶ 중심을 0으로 옮겨도 일반성을 잃지 않는다. t:=x−x₀으로 두면 위 급수는 ∞Σk=0a_kt^k가 되고, x↦t는 실수 전체의 일대일대응(평행이동)이므로 x에 대한 수렴집합과 t에 대한 수렴집합은 t=x−x₀으로 정확히 대응합니다. 그러므로 이 절의 증명에서 편의상 중심이 0인 경우만 다루어도 무방합니다―다만 이후 서술은 혼동을 막기 위해 일반적인 중심 x₀을 그대로 유지합니다.

사용 : 11.4의 769번 · 770번 · 11.7의 1025번 · 2.3의 87번

1028정리아벨의 보조정리(Abel's Lemma)x=x₁(≠x₀)에서 수렴  ⇒  |x−x₀|<|x₁−x₀|인 모든 x에서 절대수렴

증명법 : 직접증명법(항의 유계성 → 등비급수와 비교) 뒤, 대우 형태는 귀류법

⑴ 항의 유계성. 멱급수 ∞Σk=0a_k(x−x₀)^k가 x=x₁(x₁≠x₀)에서 수렴한다고 합시다. 급수가 수렴하므로 11.4 f771(수렴의 필요조건)에 의해

limk→∞ a_k(x₁−x₀)^k = 0

입니다. 11.4 f772에서 확인한 «수렴하는 수열은 유계다»에 의해, 이 수열은 유계입니다―즉

|a_k(x₁−x₀)^k| ≤ M  (모든 k≥0)

인 상수 M>0이 존재합니다(유계이면 어떤 상계가 있고, 필요하면 그 상계와 1 중 큰 값을 M으로 잡아 M>0으로 만들 수 있습니다).

⑵ 비 q의 도입. |x−x₀|<|x₁−x₀|인 x를 하나 고정합시다. x=x₀인 경우는 1027번 ⑵에서 이미 절대수렴함을 확인했으므로, 이제 x≠x₀이라 해도 됩니다. x₁≠x₀이므로 |x₁−x₀|>0이고

q := |x−x₀||x₁−x₀|  라 두면  0 < q < 1

입니다. 각 k에서 절댓값의 곱셈성(|uv|=|u||v|)과 2.3 f85(몫의 거듭제곱)를 쓰면

|ak(x−x0)k| = |ak(x1−x0)k| · |x−x0|k|x1−x0|k	(x−x0)k = (x1−x0)k·(x−x0)k(x1−x0)k (x1≠x0이므로 나눗셈 가능) · 2.3 f85
= |ak(x1−x0)k| · qk	q의 정의
≤ M qk	⑴의 유계성 · qk>0

⑶ 등비급수와의 비교. 0<q<1이므로 11.4 f774(무한등비급수)에 의해 ∞Σk=0q^k는 수렴하고, 11.5 f1010(선형성, 상수배 M)에 의해 ∞Σk=0Mq^k도 수렴합니다. ⑵에서 0≤|a_k(x−x₀)^k|≤Mq^k이므로, 11.6 f1016(비교판정법)에 의해

∞Σk=0|a_k(x−x₀)^k|  수렴

입니다. 이것이 곧 11.7 f1025의 의미의 절대수렴이며, 11.5 f1014(절대수렴⇒수렴)에 의해 급수 자체도 수렴합니다.

⑷ 대우 형태 ― 발산은 바깥으로 전파된다. 멱급수가 x=x₂에서 발산한다고 합시다. 1027번 ⑵에 의해 x₀에서는 반드시 수렴하므로 x₂≠x₀이고, 따라서 |x₂−x₀|>0입니다. 이제 |x₃−x₀|>|x₂−x₀|인 어떤 x₃에서 급수가 수렴한다고 가정해 봅시다(귀류법). 그러면 |x₃−x₀|>|x₂−x₀|>0이므로 x₃≠x₀이고, ⑴–⑶을 x₁:=x₃에 적용하면 |x₂−x₀|<|x₃−x₀|이므로 급수는 x=x₂에서 절대수렴, 특히 수렴합니다―x₂에서 발산한다는 가정에 모순입니다. 그러므로 |x−x₀|>|x₂−x₀|인 모든 x에서 급수는 발산합니다.

아래 그림은 이 두 전파 원리를 한 그림에 나타낸 것입니다―수렴점 x₁에서 안쪽으로는 절대수렴이, 발산점 x₂에서 바깥쪽으로는 발산이 전파되고, 그 사이의 띠(점선)에 대해서는 이 두 정보만으로는 아무것도 말할 수 없습니다.

중심 x₀=1, 수렴점 x₁=4, 발산점 x₂=5.5인 경우. |x−1|<3인 파란 구간 (−2,4)에서는 ⑶에 의해 절대수렴하고, |x−1|>4.5인 붉은 구간에서는 ⑷에 의해 발산합니다. 두 속 빈 원은 각각 x₁·x₂와 중심에서 같은 거리에 있는 대칭점입니다―이 정리의 결론이 거리에만 의존하므로, 수렴·발산 영역은 언제나 중심에 대해 대칭입니다.

사용 : 1027번 · 11.4의 771번 · 772번 · 774번 · 11.5의 1010번 · 1014번 · 11.6의 1016번 · 11.7의 1025번 · 2.3의 85번 · 직접증명법 · 귀류법

증명 끝

1029정리수렴집합의 삼분법 ― 수렴반지름의 존재D={x₀}  또는  D=ℝ  또는  ∃!R>0 : |x−x₀|<R ⇒ 절대수렴, |x−x₀|>R ⇒ 발산

증명법 : 경우를 나누는 증명(수렴집합에 대응하는 거리 집합이 위로 유계인지로 나눔) · 유일성과 배타성은 귀류법

멱급수 ∞Σk=0a_k(x−x₀)^k의 수렴집합을 D(1027번 ⑴)라 하고, 중심에서 잰 거리들의 집합

E := {|x−x₀| : x∈D} ⊆ [0,∞)

을 생각합니다. 1027번 ⑵에 의해 x₀∈D이므로 0∈E이고, 특히 E는 공집합이 아닙니다. 이제 E가 위로 유계인지 아닌지로 경우를 나눕니다.

⑴ E가 위로 유계가 아닌 경우 → D=ℝ. 임의의 실수 x를 잡습니다. E가 위로 유계가 아니므로 |x−x₀|은 E의 상계가 될 수 없고, 따라서

|x₁−x₀| > |x−x₀|  인  x₁∈D

가 존재합니다. 그러면 |x₁−x₀|>|x−x₀|≥0이므로 x₁≠x₀이고, 1028번(아벨의 보조정리)을 이 x₁에 적용하면 급수는 x에서 절대수렴합니다. x가 임의였으므로 모든 실수 x에서 절대수렴하고 D=ℝ입니다.

⑵ E가 위로 유계인 경우. E는 공집합이 아니면서 위로 유계이므로 상한을 가집니다.

대학 «위로 유계이고 공집합이 아닌 실수 집합은 반드시 상한 (최소상계, supremum)을 가진다»는 것은 실수의 완비성 공리 그 자체이며, 9.9 f929의 대학 각주에서 단조유계 수렴 정리를 얻을 때, 11.6 f1016·11.7 f1023에서 그것을 재사용할 때 이미 같은 방식으로 인용한 표준 결과입니다. 완비성 공리를 실수의 구성(데데킨트 절단·코시열의 완비화 등)에서부터 정식화하는 것은 대학 해석학·실해석학의 내용이므로, 여기서는 그 결과만 가져다 씁니다. 이 절에서 상한이 필요한 곳은 이 한 곳뿐이며, 아래에서 쓰는 성질은 두 가지입니다― R=sup E는 E의 상계이고(모든 e∈E에서 e≤R), 동시에 가장 작은 상계이므로 R보다 작은 어떤 수도 상계가 되지 못합니다.

R := sup E로 둡니다. 0∈E이므로 R≥0입니다.

(2a) R=0인 경우 → D={x₀}. E⊆[0,∞)이고 R=0이 E의 상계이므로 모든 e∈E에서 0≤e≤0, 즉 E={0}입니다. 따라서 x∈D이면 |x−x₀|=0, 곧 x=x₀입니다. 반대로 1027번 ⑵에 의해 x₀∈D이므로 D={x₀}입니다.

(2b) R>0인 경우 → 삼분법의 셋째 경우. 두 방향을 각각 확인합니다.

|x−x0|<R ⇒ 절대수렴	R이 최소 상계이므로 |x−x0|(<R)은 상계가 아니어서 |x1−x0|>|x−x0|인 x1∈D가 존재 → ⑴과 같은 논증으로 1028번 적용
|x−x0|>R ⇒ 발산	만약 수렴하면 x∈D이므로 |x−x0|∈E이고 상계 R에 대해 |x−x0|≤R ― 가정에 모순(귀류법)

⑶ 셋째 경우의 R는 유일하다. 양수 R, R′가 모두 (2b)의 성질을 만족하고 R<R′라 가정합시다(귀류법). c:=R+R′2로 두면 R<c<R′입니다. x:=x₀+c를 대입하면 |x−x₀|=c이고,

c>R 이므로 급수는 x에서 발산	R가 가진 성질
c<R′ 이므로 급수는 x에서 절대수렴(따라서 수렴)	R′가 가진 성질 · 11.5 f1014

같은 x에서 수렴과 발산이 동시에 성립할 수는 없으므로 모순이고, R<R′는 불가능합니다. R와 R′의 역할을 바꾸면 R′<R도 불가능하므로 R=R′입니다.

⑷ 세 경우는 서로 배타적이며 이 셋이 전부이다. ⑴·(2a)·(2b)는 «E가 위로 유계인가»와 «R=0인가»로 갈라진 것이므로 가능성을 남김없이 덮습니다. 배타성은 각 경우가 D에 대해 서로 다른 사실을 주장하는 것으로 확인됩니다.

(i)과 (ii)	(i)이면 x0+1∉D, (ii)이면 x0+1∈D
(i)과 (iii)	(iii)이면 |(x0+R2)−x0|=R2<R이므로 x0+R2(≠x0)∈D → D≠{x0}
(ii)과 (iii)	(iii)이면 |(x0+2R)−x0|=2R>R이므로 x0+2R∉D → D≠ℝ

그러므로 임의의 멱급수에 대해 (i) D={x₀}, (ii) D=ℝ(모든 점에서 절대수렴), (iii) 어떤 유일한 양수 R가 존재해 |x−x₀|<R에서 절대수렴·|x−x₀|>R에서 발산 ― 이 셋 중 정확히 하나가 성립합니다.

남는 것 : 끝점. (iii)에서 |x−x₀|=R인 두 점 x₀±R에 대해서는 이 정리가 아무것도 말하지 않습니다―실제로 급수마다 결과가 다르며, 1033번에서 논리적으로 가능한 네 가지가 모두 일어남을 확인합니다.

사용 : 1027번 · 1028번 · 9.9의 929번(univ, 완비성) · 11.6의 1016번 · 11.7의 1023번(완비성 재사용 선례) · 11.5의 1014번 · 경우를 나누는 증명 · 귀류법

증명 끝

1030정의수렴반지름과 수렴구간(Radius and Interval of Convergence)R := sup{|x−x₀| : 수렴}  (위로 유계가 아니면 R:=∞)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 다만 이 정의가 모든 멱급수에 대해 빠짐없이, 그리고 한 가지 값으로만 정해진다는 사실(잘 정의됨)은 1029번이 보장합니다.

1029번의 삼분법에 따라 멱급수 ∞Σk=0a_k(x−x₀)^k의 수렴반지름(radius of convergence) R를 다음과 같이 정의합니다.

(i) D={x0}인 경우 : R := 0	중심에서만 수렴
(ii) D=ℝ인 경우 : R := ∞	모든 점에서 절대수렴
(iii) 그 밖의 경우 : R := 1029번의 유일한 양수 R	유일성은 1029번 ⑶

세 경우를 한 식으로 묶으면 R = sup{|x−x₀| : x∈D}이며(이 집합이 위로 유계가 아닐 때 R=∞로 약속), 이는 1029번 ⑵에서 도입한 E의 상한 그 자체입니다.

수렴구간(interval of convergence). 수렴집합 D를 구간으로 나타낸 것을 수렴구간이라 합니다. 0<R<∞일 때 1029번 (iii)에 의해

(x0−R, x0+R) ⊆ D	|x−x0|<R이면 절대수렴 → 11.5 f1014로 수렴
|x−x0|>R인 x는 D에 없음	그런 x에서는 발산

이므로 D는 열린구간 (x₀−R, x₀+R)에 두 끝점 x₀−R, x₀+R 가운데 실제로 수렴하는 것만 더한 집합입니다. 따라서 수렴구간은

(x₀−R, x₀+R),  [x₀−R, x₀+R),  (x₀−R, x₀+R],  [x₀−R, x₀+R]

네 가지 중 하나입니다. R=0이면 수렴구간은 한 점 {x₀}, R=∞이면 ℝ 전체입니다.

중심 x₀=1, 수렴반지름 R=3인 경우. 열린구간 (−2,4)의 모든 점에서 절대수렴하고 그 바깥에서는 발산하며, 두 끝점 x₀±R(속 빈 원)에서의 수렴 여부는 1029번이 결정해 주지 않으므로 급수마다 따로 판정해야 합니다.

왜 «반지름»인가. 실수 범위에서는 |x−x₀|<R가 구간이지만, 같은 정의를 복소수 z에 대해 그대로 적용하면 |z−x₀|<R는 중심 x₀, 반지름 R인 원의 내부가 됩니다―1.4에서 도입한 복소평면(f54, 절댓값 r)에서 보면 이 이름이 말 그대로의 뜻이 됩니다. 이 절은 실수 범위만 다루므로, 이 사실은 명칭의 유래로만 언급합니다.

사용 : 1029번 · 11.5의 1014번 · 1.4의 54번(명칭의 유래)

1031정리비판정법에 의한 수렴반지름a_k≠0,  limk→∞|a_k+1||a_k|=L  ⇒  R = 1L  (L=0이면 R=∞, 비가 ∞로 발산하면 R=0)

증명법 : 경우를 나누는 증명(각 x에서 11.6 f1018을 적용한 뒤 1029번의 유일성으로 R를 확정)

모든 k에서 a_k≠0이라 하고, x≠x₀을 하나 고정해

c_k := a_k(x−x₀)^k

로 둡니다. a_k≠0이고 x−x₀≠0이므로 모든 k에서 c_k≠0이고, 11.6 f1018(비판정법)을 급수 ∞Σk=0c_k에 적용할 수 있습니다. 이때

|ck+1||ck| = |ak+1||ak| · |x−x0|	ck의 정의 · 절댓값의 곱셈성 · 2.3 f83(지수의 뺄셈)
→ L·|x−x0|	8.2 f632(상수배의 극한, 상수 |x−x0|)

⑴ 0<L<∞인 경우. 11.6 f1018에 의해

L|x−x0|<1, 즉 |x−x0|<1L ⇒ 절대수렴	f1018의 r<1인 경우 · L>0이므로 양변을 L로 나누어도 부등호 방향 유지(2.7 f138)
L|x−x0|>1, 즉 |x−x0|>1L ⇒ 발산	f1018의 r>1인 경우

이제 1029번의 삼분법을 봅니다. |x−x₀|>1L인 x(예 : x₀+2L)에서 발산하므로 (ii)가 아니고, |x−x₀|<1L인 x(예 : x₀+12L)에서 수렴하므로 (i)도 아닙니다. 따라서 (iii)이 성립하고, 위 두 줄은 양수 1L이 바로 (iii)의 성질을 만족함을 보여 줍니다. (iii)의 R는 유일하므로(1029번 ⑶)

R = 1L

입니다.

⑵ L=0인 경우. 임의의 x≠x₀에서 L|x−x₀|=0<1이므로 11.6 f1018에 의해 절대수렴합니다. x=x₀에서도 1027번 ⑵로 절대수렴하므로 D=ℝ이고, 1029번의 (ii)에 해당해 R=∞입니다.

⑶ 비가 +∞로 발산하는 경우. 임의의 x≠x₀에서 |x−x₀|>0이므로 |c_k+1||c_k|도 한없이 커지고, 결국 어떤 지표부터 1보다 커집니다. 11.6 f1018의 r>1인 경우(그 증명에서 비가 +∞로 발산하는 경우에도 같은 논증이 그대로 적용됨을 명시해 두었습니다)에 의해 급수는 발산합니다. 그러므로 D={x₀}이고 1029번의 (i)에 해당해 R=0입니다.

적용의 한계. 이 정리는 모든 k에서 a_k≠0이어야 쓸 수 있습니다―계수 가운데 0이 하나라도 있으면 |a_k+1||a_k| 자체가 정의되지 않기 때문입니다. 실제로 그런 멱급수(짝수 거듭제곱만 나타나는 급수 등)가 흔히 등장하며, 1034번 ⑷에서 그 처리 방법을 다룹니다.

사용 : 1027번 · 1029번 · 11.6의 1018번 · 8.2의 632번 · 2.3의 83번 · 2.7의 138번 · 경우를 나누는 증명

증명 끝

1032정리근판정법에 의한 수렴반지름(코시–아다마르)limk→∞|a_k|^1k=L  ⇒  R = 1L  (L=0이면 R=∞, ∞로 발산하면 R=0)

증명법 : 경우를 나누는 증명 ― 1031번과 완전히 평행하되, 11.6 f1018(비판정법) 대신 f1019(근판정법)을 사용

x≠x₀을 고정하고 c_k:=a_k(x−x₀)^k로 둡니다. k≥1에 대해

|ck| = |ak|·|x−x0|k	절댓값의 곱셈성 · 2.3 f84(곱의 거듭제곱)
|ck|1k = |ak|1k·|x−x0|	2.3 f84(곱의 거듭제곱, 유리수 지수 f89) · f86(거듭제곱의 거듭제곱)으로 (|x−x0|k)1k=|x−x0|
→ L·|x−x0|	8.2 f632(상수배의 극한)

(|x−x₀|>0이므로 유리수 지수 법칙의 «밑>0» 조건이 충족되고, |a_k|=0인 지표에서는 양변이 모두 0이라 등식이 그대로 성립합니다.)

이제 11.6 f1019(근판정법)에 의해 L|x−x₀|<1이면 절대수렴, >1이면 발산입니다. 1031번 ⑴–⑶과 글자 그대로 같은 논증(부등식을 |x−x₀|에 대해 풀고, 1029번의 삼분법에서 (i)·(ii)를 배제한 뒤 R의 유일성을 적용)을 반복하면

0<L<∞ ⇒ R=1L,   L=0 ⇒ R=∞,   |a_k|^1k→∞ ⇒ R=0

을 얻습니다.

대학 위 진술은 극한 limk→∞|a_k|^1k이 존재하는 경우로 한정한 것입니다. 일반적으로는 이 극한이 존재하지 않아도 상극한(limsup)을 써서

1R = lim supk→∞|a_k|^1k  (코시–아다마르 공식)

이 모든 멱급수에 대해 예외 없이 성립합니다(우변이 0이면 R=∞, +∞이면 R=0으로 약속). 상극한이 언제나 존재하거나 +∞라는 것 자체가 실수의 완비성에서 나오는 결과이고 그 정식화는 대학 해석학·실해석학의 표준 내용이므로―11.6 f1019에서 이미 같은 이유로 극한이 존재하는 경우로 한정한 것과 동일한 처리입니다―여기서는 결과만 서술하고 인용해 씁니다.

이 일반형은 계수 가운데 0이 있어도(나눗셈을 하지 않으므로) 그대로 쓸 수 있어 1031번보다 넓게 적용됩니다―1034번 ⑷에서 그 실제 예를 봅니다.

사용 : 1029번 · 1031번 · 11.6의 1019번(univ, 상극한) · 1018번 · 8.2의 632번 · 2.3의 84번 · 86번 · 89번 · 경우를 나누는 증명

증명 끝

1033정리끝점에서 나타나는 네 가지 경우∞Σk=0x^k,  ∞Σk=1x^kk,  ∞Σk=1(−1)^kx^kk,  ∞Σk=1x^kk² ― 모두 R=1이나 수렴구간은 (−1,1), [−1,1), (−1,1], [−1,1]

증명법 : 경우를 나누는 증명 ― 네 개의 구체적인 멱급수를 각각 확인해, 1030번의 수렴구간 정의가 열어 둔 네 가지 가능성이 모두 실제로 일어남을 보임(존재 주장이므로 실제 예를 제시)

1029번은 |x−x₀|=R인 두 끝점에 대해 아무것도 말해 주지 않습니다. 그것이 정리의 한계일 뿐 아니라 원리적으로 더 말할 수 없다는 것을, 네 가지 결과가 모두 실현됨을 보여 확인합니다. 네 급수 모두 중심은 0입니다.

⑴ 네 급수의 수렴반지름은 모두 1이다. 모든 계수가 0이 아니므로 1031번(비판정법에 의한 수렴반지름)을 쓸 수 있습니다.

① ak=1 : |ak+1||ak| = 1 → L=1	상수수열의 극한
② ak=1k : |ak+1||ak| = kk+1 → L=1	kk+1 = 1−1k+1 → 1 (8.2 f632)
③ ak=(−1)kk : |ak+1||ak| = kk+1 → L=1	절댓값을 취하면 ②와 완전히 같음
④ ak=1k2 : |ak+1||ak| = k2(k+1)2 → L=1	kk+1의 제곱 · 8.2 f632(곱의 극한)

네 경우 모두 L=1이므로 1031번에 의해 R=1L=1이고, 1030번의 수렴구간 정의에 의해 수렴구간은 (−1,1)에 끝점 −1, 1 중 수렴하는 것만 더한 집합입니다.

⑵ 끝점 판정 ― ① ∞Σk=0x^k. x=1에서는 모든 항이 1, x=−1에서는 모든 항이 (−1)^k입니다. 어느 쪽도 항이 0으로 수렴하지 않으므로(후자는 11.4 f773 ⑸에서 1,−1,1,−1,…이 진동해 발산함을 이미 확인했습니다), 11.4 f771(수렴의 필요조건)의 대우에 의해 양 끝점에서 모두 발산합니다. 수렴구간은 (−1, 1)입니다.

⑶ 끝점 판정 ― ② ∞Σk=1x^kk.

x=1 : ∞Σk=11k ― 발산	11.4 f772(조화급수의 발산)
x=−1 : ∞Σk=1(−1)kk = −∞Σk=1(−1)k+1k ― 수렴	11.5 f1010(상수배 −1)로 부호를 맞춘 뒤, ak=1k가 양수·단조감소·0으로 수렴하므로 11.7 f1023(라이프니츠 판정법)

x=−1에서 절댓값을 취한 급수는 ∞Σk=11k로 발산하므로, 이 수렴은 11.7 f1025의 의미의 조건수렴입니다 (11.7 f1026에서 이미 완결지은 조화교대급수가 바로 이것입니다). 수렴구간은 [−1, 1)입니다.

⑷ 끝점 판정 ― ③ ∞Σk=1(−1)^kx^kk. 이 급수의 일반항은 (−x)^kk이므로, ②의 급수에 x 대신 −x를 넣은 것과 항 하나하나가 같습니다. 그러므로 ③가 x에서 수렴할 필요충분조건은 ②가 −x에서 수렴하는 것이고, ⑶의 결과를 좌우로 뒤집으면 x=1에서 조건수렴, x=−1에서 발산입니다. 수렴구간은 (−1, 1]입니다.

⑸ 끝점 판정 ― ④ ∞Σk=1x^kk². x=±1에서 절댓값을 취한 급수는 양쪽 모두

∞Σk=1|(±1)^k|k² = ∞Σk=11k²

입니다. 이 급수가 수렴함은 11.6 f1018 ⑶에서 (k≥2에서 1k²≤1k(k−1)로 놓고 텔레스코핑한 뒤 비교판정법을 적용해) 이미 확인했습니다. 따라서 양 끝점에서 모두 절대수렴하고(11.7 f1025), 11.5 f1014에 의해 급수 자체도 수렴합니다. 수렴구간은 [−1, 1]입니다.

네 급수 ①–④는 모두 중심 0, 수렴반지름 1이지만 끝점의 거동이 모두 다릅니다―속을 채운 원은 그 끝점에서 수렴해 수렴구간에 포함됨을, 속 빈 원은 발산해 제외됨을 뜻합니다. 열린구간 부분(파란 굵은 선)은 네 급수가 완전히 같고, 다른 것은 오직 두 끝점뿐입니다.

결론. 수렴반지름은 계수만으로 계산되지만(1031번·1032번), 끝점의 수렴 여부는 그 계산에서 전혀 드러나지 않으며 급수마다 따로 판정해야 합니다. 위 네 예는 논리적으로 가능한 네 조합이 빠짐없이 실현됨을 보이므로, 이는 증명 기술의 부족이 아니라 원리적인 한계입니다.

사용 : 1029번 · 1030번 · 1031번 · 1032번 · 11.4의 771번 · 772번 · 773번 · 11.5의 1010번 · 1014번 · 11.6의 1018번 · 11.7의 1023번 · 1025번 · 1026번 · 8.2의 632번 · 경우를 나누는 증명 · 실제 예를 제시

증명 끝

1034정리·활용종합 예제 ― 수렴반지름과 수렴구간의 결정∞Σk=0x^kk!,  ∞Σk=0k!x^k,  ∞Σk=1(x−2)^kk·3^k,  ∞Σk=0x^2k4^k

증명법 : 경우를 나누는 증명 ― 네 급수 각각에 1031번·1032번을 적용해 R를 구하고, 1030번의 수렴구간 정의에 따라 두 끝점을 따로 판정

⑴ 지수급수 ∞Σk=0x^kk! ― R=∞. 계수는 a_k=1k!(계승은 12.1 f779)이고 모든 k에서 a_k≠0입니다.

|ak+1||ak| = k!(k+1)! = 1k+1	(k+1)! = (k+1)·k! (12.1 f779의 점화식)
→ 0	k→∞일 때 분모가 한없이 커짐(8.2 f637)

L=0이므로 1031번 ⑵에 의해 R=∞이고, 수렴구간은 ℝ 전체입니다―끝점이 없으므로 따로 판정할 것도 없습니다. 모든 실수 x에서 절대수렴합니다.

대학 이 급수의 합이 e^x라는 사실은 여기서는 아직 쓰지 않습니다―수렴반지름은 합이 무엇인지 몰라도 계수만으로 정해지기 때문입니다. 합을 실제로 동정하는 것은 11.10(테일러급수와 매클로린급수)의 과제였고, 11.10 f1045에서 모든 실수 x에 대해 이 급수의 합이 e^x임이 증명되었습니다. 그 증명은 이 절의 결론(R=∞)을 ― 합이 무엇인지 모르는 채로 ― 나머지항 평가의 재료로 그대로 사용합니다(11.10 f1044 ⑵). 즉 두 결과 사이에 순환은 없습니다.

⑵ ∞Σk=0k!x^k ― R=0. a_k=k!이므로

|ak+1||ak| = (k+1)!k! = k+1 → ∞

12.1 f779의 점화식

비가 +∞로 발산하므로 1031번 ⑶에 의해 R=0이고, 수렴집합은 중심 한 점 {0}뿐입니다(x≠0이면 모두 발산). 1029번의 (i)에 해당하는 실제 예입니다.

⑶ 중심이 0이 아닌 예 : ∞Σk=1(x−2)^kk·3^k ― R=3, 수렴구간 [−1,5). 중심은 x₀=2이고 계수는 a_k=1k·3^k입니다.

|ak+1||ak| = k·3k(k+1)·3k+1	ak의 정의 · 2.3 f82(지수의 덧셈)로 3k+1=3·3k
= 13 · kk+1 → 13	⑴–⑵와 같은 방식 · 8.2 f632

L=13이므로 1031번 ⑴에 의해 R=1L=3이고, |x−2|<3 즉 −1<x<5에서 절대수렴합니다. 이제 두 끝점을 따로 판정합니다.

x=5 : ∞Σk=13kk·3k = ∞Σk=11k ― 발산	(5−2)k=3k이 3k과 약분됨 · 11.4 f772(조화급수)
x=−1 : ∞Σk=1(−3)kk·3k = ∞Σk=1(−1)kk ― 수렴(조건수렴)	(−1−2)k=(−3)k=(−1)k3k(2.3 f84) · 1033번 ⑶(②의 x=−1 끝점)과 같은 급수이므로 11.7 f1023·f1025

따라서 수렴구간은 [−1, 5)입니다―중심 2에서 왼쪽 끝점은 포함되고 오른쪽 끝점은 제외되는, 1033번의 ②와 같은 모양입니다(실제로 t:=x−23로 두면 정확히 ②의 급수가 됩니다).

⑷ 계수에 0이 섞인 예 : ∞Σk=0x^2k4^k ― 1031번을 쓸 수 없는 경우. 이 급수를 1027번의 표준형 ∞Σn=0a_nxⁿ으로 다시 쓰면

a_n = 12ⁿ (n이 짝수),    a_n = 0 (n이 홀수)

입니다―n=2k일 때 x^2k4^k=x^2k2^2k=(x2)^2k이기 때문입니다(2.3 f85·f86). 홀수 지표에서 a_n=0이므로 1031번(비판정법)은 |a_k+1||a_k|가 정의되지 않아 적용할 수 없습니다. 두 가지 길이 있습니다.

방법 1 ― 치환. t:=x²로 두면 2.3 f86에 의해 x^2k=(x²)^k=t^k이므로, 고정된 x에 대해 원래 급수의 각 항은 ∞Σk=0t^k4^k의 각 항과 완전히 같습니다. 후자의 계수는 14^k으로 모두 0이 아니고

|a_k+1||a_k| = 14  →  L=14,  즉  R_t = 4

이므로, |t|<4에서 절대수렴·|t|>4에서 발산입니다. t=x²≥0이므로 |t|=x²이고, 2.7 f149(x²<a ⇔ |x|<a)에 의해

x²<4 ⇔ |x|<2,     x²>4 ⇔ |x|>2

입니다. 그러므로 원래 급수는 |x|<2에서 절대수렴하고 |x|>2에서 발산합니다. 1029번의 삼분법에서 (i)·(ii)가 배제되므로 (iii)이 성립하고, 양수 2가 (iii)의 성질을 만족하므로 유일성에 의해 R=2입니다.

대학 위에서 «원래 급수와 ∞Σk=0t^k4^k의 항이 같다»고 했지만, 엄밀히 말하면 앞의 것은 지표 k로, 뒤의 것을 1027번의 표준형으로 볼 때는 지표 n으로 센 급수여서 0인 항이 중간중간 끼어 있다는 차이가 있습니다. 이 차이는 수렴 여부를 바꾸지 않습니다―표준형의 부분합 수열은 ∞Σk=0t^k4^k의 부분합 수열의 각 값을 두 번씩 되풀이한 것(S′_2k=S′_2k+1=S_k)이므로, 한쪽이 수렴하면 다른 쪽도 같은 값으로 수렴하고 한쪽이 발산하면 다른 쪽도 발산합니다(11.4 f769의 부분합에 의한 정의를 그대로 적용한 것).

방법 2 ― 코시–아다마르 공식. 1032번의 대학 각주에서 인용한 일반형을 쓰면 나눗셈이 없으므로 계수의 0이 문제되지 않습니다. 실제로 |a_n|¹ⁿ은 짝수 n에서 (12ⁿ)¹ⁿ=12, 홀수 n에서 0이라 극한은 존재하지 않지만 상극한은 12이고, 1R=12에서 R=2로 같은 답을 줍니다―1032번의 각주가 말한 «근판정법 계열이 더 넓게 적용된다»는 것의 구체적인 사례입니다.

끝점 판정. x=±2에서 일반항은 (±2)^2k4^k=4^k4^k=1이므로 0으로 수렴하지 않고, 11.4 f771의 대우에 의해 양 끝점에서 발산합니다. 수렴구간은 (−2, 2)입니다.

정리하면. 수렴반지름은 ⑴처럼 ∞일 수도, ⑵처럼 0일 수도, ⑶·⑷처럼 유한한 양수일 수도 있으며(1029번의 세 경우가 모두 실제로 일어남), 유한한 경우에는 언제나 두 끝점을 11.4–11.7의 판정법들로 따로 확인해야 수렴구간이 완결됩니다.

사용 : 1027번 · 1029번 · 1030번 · 1031번 · 1032번 · 1033번 · 11.4의 769번 · 771번 · 772번 · 11.7의 1023번 · 1025번 · 12.1의 779번 · 8.2의 632번 · 637번 · 2.3의 82번 · 84번 · 85번 · 86번 · 2.7의 149번 · 경우를 나누는 증명

증명 끝