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5.2   대학 과정

행렬식의 성질

Properties of Determinants

정의 · 공식과 증명

이 절은 5.1에서 정의한 2×2·3×3 행렬식(825번·828번)이 만족하는 대수적 성질을 다룹니다. 아래 정리들은 모두 이 두 경우(n=2,3)에 대해서만 완전히 증명합니다 — 일반적인 n×n 행렬식은 여인수전개(라플라스 전개, Laplace expansion)를 이용해 «M_1j(1행 j열을 지운 (n−1)×(n−1) 소행렬식)로 귀납적으로 정의»할 수 있고, 이렇게 정의된 n×n 행렬식이 어느 행·열을 따라 전개하든 항상 같은 값을 준다는 사실(전개의 독립성, well-definedness)과 아래 성질들이 일반 n에서도 그대로 성립한다는 사실은 이 사이트에서 증명하지 않는 대학 선형대수학의 표준 결과로 인용만 합니다 — 3.38의 395번, 8.2의 640·641번과 같은 처리 방식입니다. 새로 도입하는 표기는 없으며, 824–830번의 행렬·행렬식 표기(대괄호·세로선)를 그대로 사용합니다.

831정의단위행렬과 그 행렬식(Identity Matrix)I₂ = 1001,   I₃ = 100010001,   det I = 1

824번의 표기를 따라, (i,j) 성분이 i=j일 때 1이고 i≠j일 때 0인 n×n 정사각행렬을 n차 단위행렬(identity matrix)이라 하고 I 또는 I_n으로 씁니다. 이 절에서 다루는 2×2, 3×3 단위행렬은 각각

I₂ = 1001,    I₃ = 100010001

입니다. 825번(2×2 행렬식)을 I₂에 대입하면 det I₂ = 1·1−0·0 = 1이고, 828번(3×3 행렬식, 사뤼스 법칙)을 I₃에 대입하면 여섯 항 중 대각선의 곱 1·1·1 = 1을 제외한 나머지 다섯 항이 전부 0을 인수로 가지므로

det I₂ = 1001 = 1,    det I₃ = 100010001 = 1

입니다. 일반적인 n×n 단위행렬에 대해서도 여인수전개를 반복하면 같은 방식으로 det I_n = 1임이 알려져 있습니다(대학 선형대수학의 표준 결과). 이 값은 840번(det(kA)=kⁿdet A)의 기준값이자, 5.5(연립일차방정식)에서 항등변환의 행렬식으로 다시 쓰입니다.

사용 : 5.1의 825번 · 5.1의 828번

832정의전치행렬(Transpose of a Matrix)A^T := (a_ji) ((i,j) 성분이 원래 A의 (j,i) 성분)

824번의 n×n 정사각행렬 A=(a_ij)에 대해, A의 (i,j) 성분을 A의 (j,i) 성분으로 바꾸어 얻는(즉 행과 열을 맞바꾸는) n×n 정사각행렬을 A의 전치행렬(transpose)이라 하고 A^T로 씁니다. 이 절에서 다루는 2×2, 3×3의 경우, A=abcd, A=a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃이면 각각

A^T = acbd,    A^T = a₁₁a₂₁a₃₁a₁₂a₂₂a₃₂a₁₃a₂₃a₃₃

입니다 — 3×3의 경우 A의 제1행(a₁₁,a₁₂,a₁₃)이 A^T의 제1열이 되고, 마찬가지로 A의 제2행·제3행이 각각 A^T의 제2열·제3열이 됩니다(주대각선 성분 a₁₁,a₂₂,a₃₃은 자기 자신과 위치가 같으므로 그대로 남습니다). 대칭행렬(A^T=A)과 같은 개념은 5.3–5.4의 행렬 연산에서 필요할 때 다시 다룹니다.

사용 : 5.1의 824번

833정리전치행렬의 행렬식(Determinant of the Transpose)det A^T = det A

증명법 : 직접증명법(양변을 전개해 같은 값임을 확인)

(1) 2×2. 825번을 A=abcd와 A^T=acbd에 각각 대입하면

det A = abcd = ad−bc,    det A^T = acbd = ad−cb

이고 곱셈의 교환법칙(bc=cb)에 의해 두 값은 정확히 같습니다.

(2) 3×3. A=a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃이면 A^T=a₁₁a₂₁a₃₁a₁₂a₂₂a₃₂a₁₃a₂₃a₃₃이고(832번), 828번을 A^T에 대입하면

det AT
= a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a31a22a13−a11a32a23−a21a12a33	828번을 AT=(aji)에 대입(각 성분에서 i,j를 바꿈)
= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33	곱셈의 교환·결합법칙으로 인수 순서만 재배열(항의 값은 불변)

인데, 마지막 줄은 828번의 det A 정의식(6항의 합, 부호 포함)과 항 하나하나가 정확히 일치합니다. 따라서 det A^T = det A입니다.

대학 참고. 위 (1),(2)의 계산이 보여주듯, 여인수전개로 귀납적으로 정의한 일반적인 n×n 행렬식에서도 det A^T=det A가 성립합니다 — A^T의 제1열을 따라 전개한 값이 A의 제1행을 따라 전개한 값(829번 방식의 일반화)과 정확히 같은 항들로 이루어지기 때문인데, 이를 모든 n에 대해 귀납적으로 서술하는 것은 표기가 번거로울 뿐 본질적으로 (1),(2)와 같은 계산이므로 결과만 인용합니다.

사용 : 5.1의 825번 · 5.1의 828번 · 832번

증명 끝

834정리행 교환과 부호(Row Interchange)A'를 A의 두 행을 맞바꾼 행렬이라 하면 det A' = −det A

증명법 : 직접증명법(맞바꾼 행렬의 행렬식을 전개해 부호만 반대임을 확인)

(1) 2×2. A=abcd의 두 행을 맞바꾼 A'=cdab에 825번을 대입하면

det A' = cdab = cb−da = −(ad−bc) = −det A

(2) 3×3, 1·2행 교환. A=a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃의 1·2행을 맞바꾼 A'=a₂₁a₂₂a₂₃a₁₁a₁₂a₁₃a₃₁a₃₂a₃₃에 828번을 대입하면

det A'
= a21a12a33+a22a13a31+a23a11a32−a23a12a31−a21a13a32−a22a11a33	828번을 A'(1·2행이 맞바뀐 행렬)에 대입
= −(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33)	여섯 항을 부호 바꿔 재배열(교환법칙) — 828번의 det A 여섯 항과 부호만 반대로 정확히 대응
= −det A	828번

(3) 3×3, 다른 행의 교환. 2·3행 교환(A'의 행이 (a₁₁,a₁₂,a₁₃), (a₃₁,a₃₂,a₃₃),(a₂₁,a₂₂,a₂₃))과 1·3행 교환의 경우도 828번을 그대로 대입해 여섯 항을 전개하면 (2)와 완전히 같은 방식(여섯 항이 부호만 반대로 정확히 대응)으로 det A' = −det A를 얻습니다 — 어느 두 행을 바꾸든 828번의 여섯 항이 세 첨자(1,2,3)의 치환에 대해 항상 부호만 반대인 짝을 이루기 때문입니다.

u=(4,1), v=(1,3)로 만든 같은 평행사변형(826번). 두 행의 순서를 (u,v)로 읽으면 원점에서 u→v로 도는 방향(반시계, +)이 나오고, 순서를 (v,u)로 바꾸면 같은 평행사변형에서 v→u로 도는 방향(시계, −)이 나옵니다 — 넓이(도형 자체)는 그대로지만 «어느 행이 먼저인가»에 따라 행렬식의 부호가 반대로 매겨짐을 보여줍니다.

사용 : 5.1의 825번 · 5.1의 826번 · 5.1의 828번

증명 끝

835정리두 행이 같으면 행렬식은 0(Equal Rows)A의 두 행이 같으면 det A = 0

증명법 : 직접증명법(834번을 자기 자신에 적용)

A의 두 행(예를 들어 i번째 행과 j번째 행, i≠j)이 서로 같다고 합시다. 이 두 행을 맞바꾼 행렬을 A'라 하면, 두 행이 원래 같았으므로 A'는 A와 완전히 같은 행렬입니다(A'=A). 그런데 834번에 의해 det A' = −det A이므로

det A = det A' = −det A

즉 det A = −det A이고, 양변에 det A를 더하면 2·det A = 0, 따라서 det A = 0입니다. 이 논증은 2×2, 3×3 어느 경우든 834번 하나만 사용하므로 그대로 성립합니다.

사용 : 834번

증명 끝

836정리행에 대한 선형성(Linearity in a Row)제1행을 k배 하면 det도 k배  &  제1행이 p+q이면 det(p 대입)+det(q 대입)

증명법 : 직접증명법(제1행에 대한 선형성은 829번의 여인수전개식에서 즉시 확인 — 다른 행에 대한 선형성은 834번으로 옮겨 얻음)

1단계 : 제1행에 대한 선형성. 829번(3×3 제1행 여인수전개)은

det A = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

인데, 827번의 정의에 의해 C₁₁,C₁₂,C₁₃은 오직 2·3행의 성분으로만 결정되고 제1행(a₁₁,a₁₂,a₁₃)과는 무관합니다. 즉 2·3행을 고정하면 det A는 (a₁₁,a₁₂,a₁₃)의 일차식 C₁₁a₁₁+C₁₂a₁₂+C₁₃a₁₃일 뿐입니다. 일차식은 당연히 다음 두 성질을 만족합니다 : 제1행을 k배(ka₁₁,ka₁₂,ka₁₃) 하면 그 값도 k배가 되고, 제1행이 두 벡터의 합(p₁+q₁,p₂+q₂,p₃+q₃)이면 그 값은 각각 대입한 값의 합입니다. 즉

det ka₁₁ka₁₂ka₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃ = k·det A,     det p₁+q₁p₂+q₂p₃+q₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃ = det p₁p₂p₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃ + det q₁q₂q₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃

입니다(2×2도 825번의 det=abcd=ad−bc가 (a,b)의 일차식이므로 완전히 같은 논증이 적용됩니다).

2단계 : 다른 행으로 확장(834번의 재사용). 이제 이 성질이 제2행(또는 제3행)에서도 성립함을 보입니다. 제2행을 k배 한 행렬을 B라 합시다. A와 B에서 각각 1·2행을 맞바꾼 행렬을 A', B'라 하면, A'와 B'는 서로 «제1행을 k배 한» 관계에 있으므로(맞바꾸고 나면 문제의 k배 된 행이 제1행이 되므로) 1단계에 의해 det B' = k·det A'입니다. 그런데 834번에 의해 det A'=−det A, det B'=−det B이므로

−det B = k·(−det A)  ↠  det B = k·det A

를 얻습니다 — 즉 부호가 두 번(A'에서 한 번, B'에서 한 번) 반대로 바뀌어 서로 상쇄되므로, 제1행에서 성립한 배율 관계가 제2행에도 그대로 옮겨집니다. 합에 대한 선형성도 똑같은 방식(맞바꾸기→1단계 적용→다시 맞바꾸기, 부호가 두 번 상쇄)으로 제2행·제3행으로 확장됩니다. 3×3의 경우 제3행으로의 확장은 1·3행을 맞바꾸는 것으로 동일하게 처리됩니다.

대학 참고. 이 두 성질(배율·합)을 합쳐 «행렬식은 각 행에 대해 선형(multilinear)이다»라고 말합니다. 일반적인 n×n 행렬식도 (831번의 university-note에서 언급한) 여인수전개 정의로부터 같은 1단계·2단계 논증(제1행 선형성→행 교환으로 다른 행에 전파)이 그대로 적용되어 모든 행에 대해 선형입니다 — 여기서는 n=2,3의 경우만 완전히 서술했습니다.

사용 : 5.1의 825번 · 5.1의 827번 · 5.1의 829번 · 834번

증명 끝

837정리영행 또는 비례하는 두 행(Zero Row, Proportional Rows)한 행이 전부 0이거나 두 행이 비례하면 det A = 0

증명법 : 직접증명법(836번의 배율 성질과 835번을 조합)

(1) 영행. 제1행이 전부 0인 행렬 000a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃은 «원래 행렬의 제1행을 0배 한 것»과 같으므로(즉 k=0인 경우), 836번(배율 성질)에 의해

det 000a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃ = 0·det A = 0

입니다(어느 행이 0이든, 834번으로 그 행을 제1행 자리로 옮긴 뒤 같은 논증을 적용하면 됩니다 — 834번은 부호만 바꾸므로 0이라는 결론 자체는 바뀌지 않습니다). 2×2의 경우도 825번의 det00cd=0·d−0·c=0으로 즉시 확인됩니다.

(2) 비례하는 두 행. 제1행이 제2행의 k배, 즉 A=ka₂₁ka₂₂ka₂₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃이라 합시다. 836번(배율 성질)에 의해

det ka₂₁ka₂₂ka₂₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃ = k·det a₂₁a₂₂a₂₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃

인데, 우변의 행렬은 제1행과 제2행이 똑같이 (a₂₁,a₂₂,a₂₃)이므로 835번에 의해 그 행렬식은 0입니다. 따라서 det A = k·0 = 0입니다. 2×2의 경우도 같은 논증(836번+835번)이 그대로 적용됩니다.

사용 : 835번 · 836번

증명 끝

838정리한 행에 다른 행의 배수를 더해도 불변(Row Addition Invariance)제1행을 (제1행 + k·제2행)으로 바꾸어도 det는 변하지 않음

증명법 : 직접증명법(836번의 합 성질과 837번을 조합)

A=a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃의 제1행을 (a₁₁+ka₂₁,a₁₂+ka₂₂,a₁₃+ka₂₃)로 바꾼 행렬을 A'=a₁₁+ka₂₁a₁₂+ka₂₂a₁₃+ka₂₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃라 합시다. A'의 제1행은 (a₁₁,a₁₂,a₁₃)과 (ka₂₁,ka₂₂,ka₂₃)의 합이므로, 836번(합 성질)에 의해

det A' = det A + det a₂₁a₂₂a₂₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃

인데(둘째 항은 제1행을 (ka₂₁,ka₂₂,ka₂₃)로 바꾼 행렬식), 다시 836번(배율 성질)으로 k를 앞으로 빼내면 둘째 항은 k·deta₂₁a₂₂a₂₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃이고, 이 행렬은 제1행과 제2행이 똑같으므로 835번에 의해 그 행렬식은 0입니다. 따라서

det A' = det A + k·0 = det A

즉 제1행에 제2행의 배수를 더해도 행렬식은 변하지 않습니다. 다른 행에 다른 행의 배수를 더하는 경우도 같은 논증이 그대로 적용되며, 2×2의 경우 역시 836번·835번이 이미 n=2에서 증명되어 있으므로 동일하게 성립합니다.

사용 : 835번 · 836번

증명 끝

839정리삼각행렬의 행렬식(Determinant of a Triangular Matrix)위(또는 아래)삼각행렬의 행렬식 = 대각성분의 곱

증명법 : 직접증명법(828번의 6항 중 0이 아닌 항이 대각성분의 곱 하나만 남음을 확인, 아래삼각형은 833번의 전치 성질로 환원)

주대각선(왼쪽 위→오른쪽 아래) 아래쪽 성분이 전부 0인 정사각행렬을 위삼각행렬 (upper triangular matrix), 주대각선 위쪽 성분이 전부 0인 정사각행렬을 아래삼각행렬(lower triangular matrix)이라 합니다.

(1) 2×2 위삼각행렬. 825번을 ab0d에 대입하면

det ab0d = ab0d = ad−b·0 = ad

로, 대각성분의 곱과 일치합니다.

(2) 3×3 위삼각행렬. a₂₁=a₃₁=a₃₂=0인 a₁₁a₁₂a₁₃0a₂₂a₂₃00a₃₃에 828번을 대입하면

det a11a12a130a22a2300a33
= a11a22a33+a12a23·0+a13·0·0−a13a22·0−a11a23·0−a12·0·a33	828번(a21=a31=a32=0 대입)
= a11a22a33	0을 인수로 갖는 다섯 항 소거

828번의 여섯 항 중 a₂₁,a₃₁,a₃₂ 가운데 적어도 하나를 인수로 갖지 않는 항은 첫째 항 a₁₁a₂₂a₃₃뿐이므로, 나머지 다섯 항은 모두 0이 되어 소거됩니다.

(3) 아래삼각행렬. 아래삼각행렬 A=a₁₁00a₂₁a₂₂0a₃₁a₃₂a₃₃의 전치행렬 A^T=a₁₁a₂₁a₃₁0a₂₂a₃₂00a₃₃는 (대각성분은 그대로 두고 위·아래만 바뀌므로) 위삼각행렬이고 대각성분도 A와 같습니다. 833번(det A^T=det A)과 (2)의 결과를 결합하면

det A = det A^T = a₁₁a₂₂a₃₃

이므로 아래삼각행렬도 같은 공식을 만족합니다(2×2도 동일한 방식).

대학 참고. 일반적인 n×n 삼각행렬도 같은 성질을 만족합니다 — 위삼각행렬의 제1열을 따라 여인수전개하면 대각성분 a₁₁을 제외한 나머지 성분이 모두 0이므로 매번 (n−1)×(n−1) 위삼각행렬 하나로 문제가 줄어들고, 이를 반복(수학적 귀납법)하면 대각성분의 곱만 남습니다 — (2)의 논증을 n에 대한 귀납법으로 옮긴 것과 본질적으로 같으므로 결과만 인용합니다.

사용 : 5.1의 825번 · 5.1의 828번 · 833번

증명 끝

840정리행렬 전체의 스칼라배(Scaling the Whole Matrix)det(kA) = kⁿ·det A  (A는 n×n)

증명법 : 직접증명법(836번의 배율 성질을 행마다 한 번씩 반복 적용)

kA는 A의 모든 행을 k배 한 행렬입니다(n×n 행렬의 모든 성분을 k배 하는 것은, 각 행을 차례로 k배 하는 것과 같습니다). 836번(배율 성질)을 제1행에 한 번 적용해 계수 k를 하나 빼내고, 그 결과에 다시 제2행에 적용해 k를 하나 더 빼내는 과정을 n번(모든 행에 대해 한 번씩) 반복하면 계수 k가 총 n번 곱해집니다. 구체적으로 :

(1) 2×2. kakbkckd는 제1행·제2행을 각각 k배 한 것이므로, 836번을 두 번(각 행에 한 번씩) 적용하면

det kakbkckd = k·det abkckd = k·k·det A = k²·det A

(2) 3×3. 마찬가지로 ka₁₁ka₁₂ka₁₃ka₂₁ka₂₂ka₂₃ka₃₁ka₃₂ka₃₃에 836번을 세 번(각 행에 한 번씩) 적용하면

det ka₁₁ka₁₂ka₁₃ka₂₁ka₂₂ka₂₃ka₃₁ka₃₂ka₃₃ = k·k·k·det A = k³·det A

를 얻습니다. 일반적인 n×n의 경우도 n개의 행 각각에 836번을 한 번씩(총 n번) 적용하면 det(kA)=kⁿdet A입니다 — 이 논증 자체는 유한 번의 반복이므로 임의의 n에 대해 그대로 성립합니다(836번이 일반 n에서 성립한다는 university-note를 전제로 합니다).

사용 : 836번

증명 끝

841정리곱셈정리(Multiplicative Property)det(AB) = det A·det B

증명법 : 직접증명법(2×2의 경우 행렬곱을 직접 전개해 양변이 같음을 확인)

2×2의 경우. A=abcd, B=efgh라 하면, 행렬의 곱 AB는(행렬 연산의 formal한 정의는 5.4에서 다루지만, 여기서는 5.4를 앞당겨 쓰지 않고 그 결과인 성분별 공식만 그대로 인용합니다 — (i,j) 성분은 A의 i행과 B의 j열을 각각 짝지어 곱한 뒤 더한 것입니다)

AB = ae+bgaf+bhce+dgcf+dh

이고, 825번을 이 성분들에 대입한 뒤 전개하면

det(AB)
= ae+bgaf+bhce+dgcf+dh	824번(성분 표기)
= (ae+bg)(cf+dh)−(af+bh)(ce+dg)	825번
= adeh−adfg−bceh+bcfg	전개 후 acef, bdgh 항이 서로 상쇄되어 소거
= (ad−bc)(eh−fg)	공통인수로 묶음
= det A·det B	825번(det A=ad−bc, det B=eh−fg)

즉 det(AB) = det A·det B입니다.

대학 참고. 3×3 이상에서도 이 성질(det(AB)=det A·det B)은 항상 성립하는 대학 선형대수학의 표준 결과이지만, 828번의 6항 전개를 그대로 밀어붙이면 양변 모두 3×3 곱셈에서 나오는 27항짜리 다항식이 되어 위 2×2처럼 손으로 항을 대응시키기에는 지나치게 방대합니다. 표준적인 증명은 (i) 838번의 행 연산(가우스 소거법)으로 A를 삼각행렬로 바꾸는 과정에서 det가 어떻게 바뀌는지 추적하거나, (ii) «기본행렬»의 개념을 도입해 AB를 기본행렬들의 곱으로 표현하는 방식을 쓰는데, 두 방법 모두 이 사이트가 아직 formal하게 다루지 않은 개념(가우스 소거법의 알고리즘적 정당화, 기본행렬)을 전제하므로 여기서는 결과만 인용합니다. 842번의 (3)에서 3×3 구체적인 수치 예로 이 등식을 검산합니다(검산은 증명을 대신하지 않습니다).

사용 : 5.1의 824번 · 5.1의 825번

증명 끝

842정리활용 ― 여러 성질을 적용한 종합 계산 예M=201130412에 대해 833–841번의 성질을 모두 수치로 검산

증명법 : 직접증명법(하나의 구체적인 행렬에 828–841번의 각 성질을 차례로 적용해 계산)

M=201130412에서 시작합니다. 828번(사뤼스 법칙)을 대입하면

det M = 201130412 = (12+0+1)−(12+0+0) = 1

(1) 전치(833번). M^T=214031102이고

det M^T = 214031102 = (12+1+0)−(12+0+0) = 1 = det M

(2) 행 교환(834번). 1·2행을 맞바꾼 M'=130201412은

det M' = 130201412 = (0+12+0)−(0+1+12) = −1 = −det M

(3) 행 덧셈 불변(838번). 제2행을 (제2행+2·제1행)으로 바꾼 201532412는

det 201532412 = 201532412 = (12+0+5)−(12+4+0) = 1 = det M

— 838번이 말하는 대로 값이 전혀 바뀌지 않았습니다.

(4) 한 행의 스칼라배(836번). 제1행을 5배 한 1005130412는

det 1005130412 = 1005130412 = (60+0+5)−(60+0+0) = 5 = 5·det M

(5) 행렬 전체의 스칼라배(840번). 모든 행을 2배 한 2M=402260824은

det(2M) = 402260824 = (96+0+8)−(96+0+0) = 8 = 2³·det M

(6) 곱셈정리(841번). N=120011301이라 하면 828번으로 det N = 120011301 = (1+6+0)−(0+0+0) = 7이고, 곱 MN=5411531093의 (i,j) 성분이 «M의 i행·N의 j열»의 성분별 곱의 합(841번에서 인용한 5.4의 행렬곱 공식)이므로 828번을 MN에 직접 대입하면

det(MN) = 5411531093 = (75+120+9)−(50+135+12) = 204−197 = 7 = det M·det N (= 1·7)

로, 곱셈정리와 정확히 일치합니다.

사용 : 5.1의 828번 · 833번 · 834번 · 836번 · 838번 · 840번 · 841번

증명 끝