5.3 대학 과정

행렬

Matrices

정의 · 공식과 증명

이 절은 5.1–5.2에서 정사각행렬(824번)에 대해서만 다룬 행렬 표기를 일반적인 m×n 행렬로 확장하고, 행렬 자체가 갖는 형태상의 용어(상등·영행렬·대각행렬· 삼각행렬·대칭행렬·반대칭행렬 등)를 정의합니다. 행렬의 덧셈·곱셈과 같은 연산은 5.4에서 다루므로, 이 절에서 등장하는 −A(성분의 부호 반전) 이상의 대수 연산은 사용하지 않습니다. 새로 도입하는 표기는 없으며, 824–839번의 행렬·행렬식·전치행렬 표기(대괄호·세로선·위첨자 T)를 그대로 사용합니다.

843정의m×n 행렬과 차수(Rectangular Matrix and Order)A = a₁₁a₁₂⋯a_1na₂₁a₂₂⋯a_2n⋮⋮⋱⋮a_m1a_m2⋯a_mn (m×n 행렬, (i,j) 성분 a_ij)

양의 정수 m, n에 대해, 실수 mn개를 m개의 행(가로줄)과 n개의 열(세로줄)로 배열한 것을 m×n 행렬(matrix of order m×n, 또는 m행 n열 행렬)이라 하고, 이 순서쌍 (m,n)을 그 행렬의 차수(order, size)라 합니다. i번째 행 j번째 열에 있는 실수를 그 행렬의 (i,j) 성분(entry)이라 하며 a_ij로 쓰고(1≤i≤m, 1≤j≤n), 824번과 같은 대괄호 표기를 그대로 사용합니다. 일반적인 m×n 행렬은

A = a₁₁a₁₂⋯a_1na₂₁a₂₂⋯a_2n⋮⋮⋱⋮a_m1a_m2⋯a_mn

로 씁니다. m=n인 특수한 경우, 즉 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬이 바로 824번에서 정의한 n차 정사각행렬(square matrix)입니다 — 지금부터는 m=n이 아닌 행렬(직사각행렬, rectangular matrix)도 함께 다루므로, 이후 필요할 때는 824번의 정사각행렬을 이 843번의 특수한 경우(m=n)로 인용합니다. 5.1–5.2의 행렬식(determinant)은 오직 정사각행렬에서만 정의되는 함수이며, m≠n인 직사각행렬에는 행렬식이 정의되지 않는다는 점에 주의합니다 — 이 절(5.3)의 정의들과 다음 절 (5.4)의 연산은 정사각 여부와 무관하게 모든 m×n 행렬에 대해 성립합니다.

사용 : 5.1의 824번

844정의행렬의 상등(Equality of Matrices)A=B :⇔ (m=p이고 n=q)이고 (모든 i,j에 대해 a_ij=b_ij)

843번의 m×n 행렬 A=(a_ij)와 p×q 행렬 B=(b_ij)에 대해, 두 행렬이 서로 같다(A=B)는 것은 다음 두 조건이 모두 성립함을 뜻합니다.

① 차수가 같다 : m=p이고 n=q (행의 개수끼리, 열의 개수끼리 각각 같다)

② 대응하는 모든 성분이 같다 : ①을 전제로, 1≤i≤m, 1≤j≤n인 모든 i,j에 대해 a_ij=b_ij

차수가 다른 두 행렬(예를 들어 2×3 행렬과 3×2 행렬)은 설령 같은 실수 6개로 이루어져 있어도 애초에 비교 대상이 아니며, 상등이 정의되지 않는 것이 아니라 «같지 않다»고 봅니다 — 조건 ①이 이미 거짓이기 때문입니다. 예를 들어 123x = 1y35가 성립하려면 조건 ②에 의해 y=2, x=5이어야 합니다(이런 방정식 풀이는 850번에서 더 다룹니다).

사용 : 843번

845정의영행렬, 행벡터·열벡터(Zero Matrix, Row/Column Vector)O_m×n (모든 성분이 0), 1×n 행벡터, m×1 열벡터

843번의 m×n 행렬 중 모든 성분이 0인 것을 m×n 영행렬(zero matrix)이라 하고 O 또는 O_m×n으로 씁니다. 예를 들어 2×3 영행렬은

O_2×3 = 000000

입니다. 행의 개수가 m=1인 행렬, 즉 1×n 행렬을 행벡터(row vector)라 하고, 열의 개수가 n=1인 행렬, 즉 m×1 행렬을 열벡터(column vector)라 합니다. 예를 들어 성분 3개짜리 행벡터와 열벡터는 각각

a₁a₂a₃ a₁a₂a₃

로 씁니다. 6장에서 다루는 벡터의 성분 표기 (a₁,a₂,a₃)와 형태상 대응되지만, 이 사이트에서는 벡터와 (행벡터·열벡터로서의) 행렬을 별개의 개념으로 다룹니다. 한편 5.2의 837번에서 다룬 «영행»(zero row)은 정사각행렬 안의 한 행만 전부 0인 경우를 가리키는 개념이고, 지금 정의한 «영행렬»은 행렬 전체의 모든 성분이 0인 경우를 가리키는 서로 다른 개념이므로 혼동하지 않도록 주의합니다.

사용 : 843번 · 5.2의 837번

846정의대각행렬과 스칼라행렬, 그 행렬식(Diagonal and Scalar Matrix)i≠j ⇒ a_ij=0 (대각행렬), det = 대각성분의 곱

843번의 m×n 행렬 중 m=n인 정사각행렬 A=(a_ij)에서, 주대각선(i=j) 밖의 성분이 모두 0인 것, 즉 i≠j이면 a_ij=0인 것을 n차 대각행렬(diagonal matrix)이라 하고 diag(a₁₁,a₂₂,⋯,a_nn)로도 씁니다. 대각행렬 중에서도 대각성분이 모두 같은 값 k인 것, 즉 a₁₁=a₂₂=⋯=a_nn=k인 것을 n차 스칼라행렬 (scalar matrix)이라 하고 kI_n으로 씁니다(I_n은 831번의 n차 단위행렬) — k=1인 경우가 바로 831번의 단위행렬 I_n 자신입니다. 예를 들어 2×2, 3×3 대각행렬은 각각

d₁00d₂ d₁000d₂000d₃

입니다. 대각행렬은 주대각선 아래쪽 성분도 모두 0(i>j이면 a_ij=0)이고 위쪽 성분도 모두 0(i<j이면 a_ij=0)이므로, 5.2의 839번의 정의에 의해 위삼각행렬인 동시에 아래삼각행렬입니다. 따라서 839번(삼각행렬의 행렬식)을 그대로 적용하면 2×2, 3×3 대각행렬의 행렬식은

det d₁00d₂ = d₁d₂, det d₁000d₂000d₃ = d₁d₂d₃

입니다(대각성분의 곱). k=1인 스칼라행렬, 곧 단위행렬의 경우 이 식은 831번의 det I=1과 일치합니다(모든 d_i=1이므로 곱도 1).

사용 : 5.1의 824번 · 5.2의 831번 · 5.2의 839번

847정의대칭행렬과 반대칭행렬(Symmetric and Skew-symmetric Matrix)A^T=A (대칭), A^T=−A (반대칭)

5.2의 832번의 전치행렬 A^T를 이용해, n차 정사각행렬 A에 대해 다음과 같이 정의합니다 — 여기서 −A는 A의 모든 성분의 부호를 반전시킨 행렬, 즉 (i,j) 성분이 −a_ij인 행렬을 뜻합니다(행렬의 덧셈· 스칼라배 자체는 5.4에서 formal하게 다루므로, 여기서는 이 국소적인 뜻으로만 사용합니다).

① 대칭행렬(symmetric matrix) : A^T = A, 즉 모든 i,j에 대해 a_ij = a_ji

② 반대칭행렬(skew-symmetric matrix, 교대행렬) : A^T = −A, 즉 모든 i,j에 대해 a_ij = −a_ji

2×2, 3×3의 경우 대칭행렬과 반대칭행렬은 각각

abbc abcbdecef 0b−b0 0bc−b0e−c−e0

과 같은 꼴입니다 — 대칭행렬은 주대각선을 기준으로 대칭 위치의 성분이 서로 같고, 반대칭행렬은 대칭 위치의 성분이 서로 부호만 반대입니다. 아래는 847번의 대칭행렬(F, 대각행렬은 아님)을 주대각선 기준으로 성분이 어떻게 짝지어 같은지 색으로 표시한 것입니다(같은 색끼리 값이 같음, 대각성분은 회색).

F = 2−10−13404−5

사용 : 5.2의 832번

848정리반대칭행렬의 대각성분(Diagonal Entries of a Skew-symmetric Matrix)A가 반대칭행렬이면 a₁₁=a₂₂=⋯=a_nn=0

증명법 : 직접증명법(847번의 정의에 i=j를 대입)

A가 반대칭행렬이면 847번에 의해 모든 i,j에 대해 a_ij = −a_ji입니다. 특히 i=j로 놓으면

a_ii = −a_ii

인데, 양변에 a_ii를 더하면 2a_ii = 0, 즉 a_ii = 0입니다. i=1,2,⋯,n 전부에 대해 같은 논증이 성립하므로 대각성분 전체가 0입니다. 실제로 847번의 반대칭행렬 예시 0b−b0, 0bc−b0e−c−e0도 대각성분이 모두 0임을 직접 확인할 수 있습니다.

사용 : 847번

증명 끝

849정리대각행렬은 대칭행렬이다(A Diagonal Matrix Is Symmetric)A가 846번의 대각행렬 ⇒ A는 847번의 대칭행렬

증명법 : 직접증명법(846번과 847번의 정의를 직접 비교)

A가 846번의 n차 대각행렬이면, i≠j일 때는 a_ij=0=a_ji이고(둘 다 대각선 밖 성분이므로 정의에 의해 0), i=j일 때는 당연히 a_ii=a_ii입니다. 따라서 모든 i,j에 대해 a_ij=a_ji가 성립하고, 847번에 의해 이는 A^T=A, 즉 A가 대칭행렬임을 뜻합니다.

단, 그 역은 성립하지 않습니다 — 즉 대칭행렬이라고 해서 반드시 대각행렬인 것은 아닙니다(850번의 F가 그런 예입니다: 대칭행렬이지만 비대각 성분 a₁₂=−1≠0이므로 대각행렬은 아닙니다).

사용 : 846번 · 847번

증명 끝

850정리활용 — 행렬의 유형 판별과 상등 조건(Worked Examples: Classifying Matrices, Solving for Equality)843–849번의 정의를 구체적인 행렬에 적용

증명법 : 직접증명법(843–849번의 정의를 각 행렬의 성분에 직접 적용)

(1) 유형 판별. 다음 네 3×3 정사각행렬을 843–849번의 정의로 분류하면 :

A = 2000−30005	대각행렬(846) · 대칭(849) det=2·(−3)·5=−30(846)
B = 123045006	상삼각행렬(5.2의 839)이지만 대각행렬은 아님(a₁₂=2≠0) det=1·4·6=24(839)
C = 03−2−3042−40	반대칭행렬(847), 대각성분 모두 0(848과 일치) 대칭행렬은 아님(예: a₁₂=3≠−3=a₂₁⇔대칭이면 성립해야 할 조건 위배)
F = 2−10−13404−5	대칭행렬(847, a₁₂=a₂₁=−1, a₁₃=a₃₁=0, a₂₃=a₃₂=4)이지만 대각행렬은 아님(849 역의 반례)

A, B의 행렬식은 대각행렬·삼각행렬에 대한 846번·839번의 공식을 그대로 대입한 값이고, C, F는 정사각행렬이지만 대각행렬도 삼각행렬도 아니므로(양쪽 다 0이 아닌 비대각 성분이 있음) 이 절의 공식으로는 행렬식을 바로 구할 수 없습니다(일반적인 3×3 행렬식은 5.1의 828번, 사뤼스 법칙으로 구합니다).

(2) 상등 조건. 844번의 정의를 이용해 123x = 1y35가 성립하도록 x, y를 정하면, 두 행렬은 이미 2×2로 차수가 같으므로(조건 ① 성립) 조건 ②(대응 성분이 모두 같음)만 확인하면 됩니다 : (1,1) 성분은 1=1로 자동 성립, (1,2) 성분에서 2=y, (2,1) 성분은 3=3으로 자동 성립, (2,2) 성분에서 x=5. 따라서

y = 2, x = 5

일 때, 오직 그때만 두 행렬이 같습니다.

사용 : 843번 · 844번 · 846번 · 847번 · 848번 · 849번 · 5.1의 828번 · 5.2의 839번

증명 끝

chapter:05-matrices-and-determinants section:5.3