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5.4   대학 과정

행렬의 연산

Operations with Matrices

정의 · 공식과 증명

이 절은 5.3에서 형태상의 용어(상등·영행렬·대각행렬·대칭행렬 등)만 다루고 미뤄 두었던 행렬의 덧셈·스칼라배·곱셈이라는 연산 자체를 formal하게 정의하고, 그 성질(교환· 결합·분배법칙, 곱셈의 비가환성, 전치와의 호환성)을 증명합니다. 5.2의 840번(det(kA)=kⁿ·det A)과 841번(det(AB)=det A·det B)이 그 자리에서 정해 썼던 스칼라배·곱셈의 성분별 규칙은 각각 852번·855번에서 일반 m×n 행렬로 넓혀 정의되며, 840·841번에서 국소적으로 정한 규칙과 정확히 일치합니다. 새로 도입하는 표기 컴포넌트는 없으며, 843–850번의 행렬·전치행렬 표기(대괄호·위첨자 T)와 11.1의 749번(Σ의 귀납적 정의)·11.3의 762번(Σ의 기본 성질)의 Σ(합) 표기를 그대로 사용합니다. 856번 앞의 보조정리(유한 이중합의 순서 교환)만 새로 증명합니다.

851정의행렬의 덧셈과 뺄셈(Addition and Subtraction of Matrices)A±B := (a_ij±b_ij)  (A, B는 같은 m×n)

843번의 m×n 행렬 A=(a_ij)와 B=(b_ij)에 대해, 두 행렬의 차수가 서로 같을 때만(둘 다 m×n일 때만) 다음과 같이 합(sum)과 차(difference)를 정의합니다―대응하는 성분끼리 더하거나 뺀 m×n 행렬입니다.

A+B := (a_ij+b_ij),     A−B := (a_ij−b_ij)

즉 (A+B)의 (i,j) 성분은 a_ij+b_ij이고, (A−B)의 (i,j) 성분은 a_ij−b_ij입니다. 차수가 다른 두 행렬(예 : 2×3 행렬과 3×2 행렬)은 애초에 성분끼리 짝지을 방법이 없으므로 덧셈·뺄셈 자체가 정의되지 않습니다―844번에서 차수가 다른 행렬은 상등 비교조차 되지 않는다고 한 것과 같은 이유입니다.

예를 들어 A=12−1034, B=2−1310−2이면

A+B = 312132,     A−B = −13−4−136

입니다.

사용 : 843번 · 844번

852정의행렬의 스칼라배(Scalar Multiplication)kA := (k·a_ij)  (k는 실수)

843번의 m×n 행렬 A=(a_ij)와 실수 k에 대해, A의 모든 성분을 k배 한 m×n 행렬을 A의 스칼라배(scalar multiple)라 하고 kA로 씁니다.

kA := (k·a_ij)

즉 (kA)의 (i,j) 성분은 k·a_ij입니다. 이 정의는 5.2의 840번(det(kA)=kⁿ·det A)의 증명에서 «kA는 A의 모든 행을 k배 한 행렬»이라고 서술했던 것을―그때는 정사각행렬(n×n)에 한정된 informal한 설명이었던 것을―일반적인 m×n 행렬에 대해 formal하게 정의한 것이며, 두 서술은 정확히 일치합니다(«모든 행을 k배»=«모든 성분을 k배»).

k=−1인 경우, (−1)A는 모든 성분의 부호를 반전시킨 행렬입니다. 이것이 바로 5.3의 847번에서 대칭·반대칭행렬을 정의할 때 «−A는 A의 (i,j) 성분이 −a_ij인 행렬»이라는 국소적인 뜻으로만 미리 써 두었던 바로 그 표기입니다. 이제부터는

−A := (−1)A

로 formal하게 정의하며, 847번의 용법과 모순되지 않습니다. 예를 들어 위 851번의 A=12−1034에 대해 3A는

3A = 36−30912

입니다.

사용 : 843번 · 5.2의 840번 · 5.3의 847번

853정리덧셈의 성질(Properties of Matrix Addition)A+B=B+A,  (A+B)+C=A+(B+C),  A+O=A,  A+(−A)=O

증명법 : 직접증명법(851·852번의 정의를 성분 하나하나에 적용해, 그 성분인 실수가 갖는 1.3의 덧셈 성질로 환원)

m×n 행렬 A=(a_ij), B=(b_ij), C=(c_ij)에 대해, 다음 네 등식은 모두 양변의 (i,j) 성분이 같음을 보이면 851번(행렬의 상등은 844번)에 의해 증명됩니다.

① 교환법칙. (A+B)의 (i,j) 성분은 a_ij+b_ij이고 (B+A)의 (i,j) 성분은 b_ij+a_ij인데, 1.3의 36번(실수 덧셈의 교환법칙)에 의해 a_ij+b_ij=b_ij+a_ij이므로 A+B=B+A.

② 결합법칙. ((A+B)+C)의 (i,j) 성분은 (a_ij+b_ij)+c_ij이고 (A+(B+C))의 (i,j) 성분은 a_ij+(b_ij+c_ij)인데, 1.3의 37번(실수 덧셈의 결합법칙)에 의해 이 둘은 같으므로 (A+B)+C=A+(B+C).

③ 덧셈의 항등원. 845번의 영행렬 O(모든 성분이 0)에 대해, (A+O)의 (i,j) 성분은 a_ij+0인데 1.3의 34번(실수 덧셈의 항등원)에 의해 a_ij+0=a_ij이므로 A+O=A.

④ 덧셈의 역원. 852번의 −A=(−a_ij)에 대해, (A+(−A))의 (i,j) 성분은 a_ij+(−a_ij)인데 1.3의 35번(실수 덧셈의 역원)에 의해 이는 0이므로 A+(−A)=O.

요컨대 행렬 덧셈의 이 네 성질은 전부 그 성분인 실수의 덧셈이 이미 갖고 있는 성질(1.3의 34–37번)을 성분마다 그대로 물려받은 것일 뿐, 행렬이라서 새로 성립하는 독립적인 사실이 아닙니다.

사용 : 851번 · 844번 · 845번 · 1.3의 34번 · 35번 · 36번 · 37번

증명 끝

854정리스칼라배의 성질(Properties of Scalar Multiplication)k(A+B)=kA+kB,  (k+l)A=kA+lA,  k(lA)=(kl)A,  1·A=A,  0·A=O

증명법 : 직접증명법(851·852번의 정의를 성분에 적용해 1.3의 실수 성질로 환원―853번과 같은 전략)

m×n 행렬 A=(a_ij), B=(b_ij)와 실수 k, l에 대해 :

① 분배법칙 — 스칼라가 합에. (k(A+B))의 (i,j) 성분은 k(a_ij+b_ij)이고 (kA+kB)의 (i,j) 성분은 k·a_ij+k·b_ij인데, 1.3의 44번(분배법칙)에 의해 k(a_ij+b_ij)=k·a_ij+k·b_ij이므로 k(A+B)=kA+kB.

② 분배법칙 — 스칼라의 합이 행렬에. ((k+l)A)의 (i,j) 성분은 (k+l)a_ij이고 (kA+lA)의 (i,j) 성분은 k·a_ij+l·a_ij인데, 1.3의 42번(곱셈의 교환법칙)으로 (k+l)a_ij=a_ij(k+l)로 바꾼 뒤 44번을 쓰고 다시 42번으로 각 항의 순서를 되돌리면 (k+l)a_ij=k·a_ij+l·a_ij이므로 (k+l)A=kA+lA.

③ 스칼라의 결합법칙. (k(lA))의 (i,j) 성분은 k(l·a_ij)이고 ((kl)A)의 (i,j) 성분은 (kl)·a_ij인데, 1.3의 43번(실수 곱셈의 결합법칙)에 의해 이 둘은 같으므로 k(lA)=(kl)A.

④ 곱셈의 항등원. (1·A)의 (i,j) 성분은 1·a_ij인데 42번으로 1·a_ij=a_ij·1이고 1.3의 39번(실수 곱셈의 항등원)에 의해 1·a_ij=a_ij이므로 1·A=A.

⑤ 영에 의한 스칼라배. (0·A)의 (i,j) 성분은 0·a_ij인데 42번으로 0·a_ij=a_ij·0이고 1.3의 41번(0의 곱셈)에 의해 0·a_ij=0이므로 0·A=O(845번의 영행렬).

사용 : 852번 · 845번 · 1.3의 39번 · 42번 · 41번 · 43번 · 44번

증명 끝

855정의행렬의 곱셈(Matrix Multiplication)(AB)_ij := nΣk=1 a_ikb_kj  (A는 m×n, B는 n×p)

843번의 m×n 행렬 A=(a_ij)와 n×p 행렬 B=(b_ij)에 대해―A의 열의 개수와 B의 행의 개수가 똑같이 n이어야 한다는 조건에 주의합니다(이 조건이 성립할 때 곱 AB가 «정의된다»고 말합니다)―곱 AB를 다음과 같은 m×p 행렬로 정의합니다.

(AB)_ij := nΣk=1 a_ikb_kj    (1≤i≤m, 1≤j≤p)

즉 (AB)의 (i,j) 성분은 A의 i번째 행과 B의 j번째 열을 같은 자리끼리 곱한 뒤 전부 더한 값입니다. 아래는 A(2×3, 제1행을 색으로 표시)와 B(3×2, 제1열을 색으로 표시)에서 (AB)의 (1,1) 성분이 만들어지는 방식을 보인 것입니다.

A = a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃     B = b₁₁b₁₂b₂₁b₂₂b₃₁b₃₂

(AB)₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁

A의 열의 개수(=3)와 B의 행의 개수(=3)가 같으므로(둘 다 n=3) 곱 AB(2×2 행렬)가 정의되며, 위 강조된 행·열의 대응 성분끼리 곱해 더한 값이 바로 그 (1,1) 성분입니다―나머지 (i,j) 성분도 A의 i행, B의 j열을 짝지어 같은 방식으로 얻습니다. 반대로 A의 열의 개수와 B의 행의 개수가 다르면 애초에 짝지을 방법이 없으므로 곱 AB 자체가 정의되지 않습니다(851번에서 차수가 다른 행렬끼리 덧셈이 정의되지 않는 것과 같은 취지의 조건입니다).

n=2, 3인 특수한 경우, 이 정의는 5.2의 841번에서 곱셈정리를 위해 그 자리에서 정한 규칙((AB)_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j(+a_i3b_3j))과 정확히 일치합니다―지금 855번의 Σ를 n=2, 3으로 풀어 쓴 것이 바로 그 식입니다.

5.1의 824번에서 행렬식은 정사각행렬에서만 정의된다고 했으므로, AB가 m×p이고 m≠p이면(직사각행렬이면) AB에는 애초에 행렬식이 없습니다―det(AB) 같은 식은 A, B가 모두 n차 정사각행렬이어서 AB도 n차 정사각행렬인 경우(841번이 다룬 경우)에만 의미가 있습니다.

사용 : 843번 · 851번 · 5.1의 824번 · 5.2의 841번

·보조정리유한 이중합의 순서 교환pΣl=1 nΣk=1 x_kl = nΣk=1 pΣl=1 x_kl

증명법 : 수학적 귀납법(p에 대하여)

양의 정수 n, p와, 1≤k≤n, 1≤l≤p인 각 (k,l)에 실수 x_kl이 하나씩 주어졌다고 합시다. 명제 P(p) : «pΣl=1 ( nΣk=1 x_kl ) = nΣk=1 ( pΣl=1 x_kl )»를 봅니다.

Ⅰ p=1일 때, 11.1의 749번(한 항의 합은 그 항 자신)에 의해 양변 모두 nΣk=1 x_k1이므로 P(1)은 성립합니다.

Ⅱ P(p)가 성립한다고 가정하면

p+1Σl=1 ( nΣk=1 xkl )
= pΣl=1 ( nΣk=1 xkl ) + nΣk=1 xk,p+1	합의 정의(749번, 한 항 추가)
= nΣk=1 ( pΣl=1 xkl ) + nΣk=1 xk,p+1	귀납법의 가정
= nΣk=1 ( pΣl=1 xkl + xk,p+1 )	11.3의 762번 ⑴(합의 분리, 거꾸로)
= nΣk=1 ( p+1Σl=1 xkl )	합의 정의(749번, 한 항 추가)

이므로 P(p+1)도 성립합니다. Ⅰ·Ⅱ에 의해 P(p)는 모든 양의 정수 p에서 성립합니다. 유한합이므로 무한급수의 순서 교환처럼 수렴 조건이 필요하지 않습니다.

사용 : 11.1의 749번 · 11.3의 762번 · 수학적 귀납법

증명 끝

856정리곱셈의 결합법칙(Associativity of Matrix Multiplication)(AB)C = A(BC)  (A:m×n, B:n×p, C:p×q)

증명법 : 직접증명법(855번의 정의를 반복 적용해 이중합의 순서를 바꿈)

A=(a_ik)는 m×n, B=(b_kl)는 n×p, C=(c_lj)는 p×q 행렬이라 하면, AB는 m×p, (AB)C는 m×q이고 BC는 n×q, A(BC)도 m×q로 양변의 차수는 이미 같습니다. 양변의 (i,j) 성분을 855번을 두 번씩 적용해 전개하면 :

((AB)C)ij
= pΣl=1 (AB)ilclj	855번(AB와 C의 곱)
= pΣl=1 ( nΣk=1 aikbkl ) clj	855번(A와 B의 곱을 대입)
= pΣl=1 nΣk=1 aikbklclj	11.3의 762번 ⑵(상수배)와 1.3의 42번(곱의 순서) — clj를 안쪽 합에 곱해 넣음
= nΣk=1 pΣl=1 aikbklclj	보조정리(이중합의 순서 교환)
= nΣk=1 aik ( pΣl=1 bklclj )	762번 ⑵(aik를 다시 밖으로)
= nΣk=1 aik (BC)kj	855번(B와 C의 곱)
= (A(BC))ij	855번(A와 BC의 곱)

양변의 (i,j) 성분이 같으므로 (AB)C=A(BC)입니다.

넷째 줄의 순서 교환은 i, j를 고정하고 x_kl:=a_ikb_klc_lj로 놓은 보조정리 그대로입니다.

수치 확인. X=102310(2×3), Y=011220(3×2), Z=1102(2×2)이면 XY=4135이고,

(XY)Z = X(YZ) = 46111

로 서로 같음을 직접 계산해 확인할 수 있습니다(검산은 증명을 대신하지 않습니다).

사용 : 855번 · 보조정리(이중합의 순서 교환) · 11.3의 762번 · 1.3의 42번

증명 끝

857정리곱셈의 분배법칙과 스칼라와의 결합(Distributivity and Scalar Compatibility)A(B+C)=AB+AC,  (A+B)C=AC+BC,  c(AB)=(cA)B=A(cB)

증명법 : 직접증명법(855번의 정의를 성분에 적용, 856번과 같은 전략)

① 분배법칙(왼쪽). A는 m×n, B, C는 n×p라 하면, 851번에 의해 B+C의 (k,j) 성분은 b_kj+c_kj이므로

(A(B+C))ij
= nΣk=1 aik(bkj+ckj)	855번
= nΣk=1 (aikbkj+aikckj)	1.3의 44번
= nΣk=1 aikbkj + nΣk=1 aikckj	11.3의 762번 ⑴(합을 둘로 분리)
= (AB)ij + (AC)ij	855번

이므로 A(B+C)=AB+AC입니다.

② 분배법칙(오른쪽). A, B는 m×n, C는 n×p라 하면 마찬가지로 ((A+B)C)_ij = nΣk=1(a_ik+b_ik)c_kj = nΣk=1a_ikc_kj+nΣk=1b_ikc_kj = (AC)_ij+(BC)_ij이므로 (A+B)C=AC+BC입니다.

③ 스칼라와의 결합. A는 m×n, B는 n×p, c는 실수라 하면(합의 첨자 k와 겹치지 않도록 스칼라를 c로 씁니다), 852번에 의해 (cA)의 (i,l) 성분은 c·a_il이므로

(c(AB))_ij = c nΣl=1 a_ilb_lj = nΣl=1 (c·a_il)b_lj = ((cA)B)_ij

(762번 ⑵과 1.3의 43번), 마찬가지로 c·a_ilb_lj=a_il(c·b_lj)(1.3의 42·43번)이므로 ((cA)B)_ij=(A(cB))_ij도 성립합니다. 따라서 c(AB)=(cA)B=A(cB)입니다.

수치 확인. A=12−1034, B=201−131, C=01102−2이면 B+C=212−15−1이고,

A(B+C) = AB+AC = 1026−7

로 서로 같습니다.

사용 : 855번 · 851번 · 852번 · 11.3의 762번 · 1.3의 42번 · 43번 · 44번

증명 끝

858정리행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다(Matrix Multiplication Is Not Commutative in General)∃A,B  (AB ≠ BA)  (AB, BA가 둘 다 정의되어도)

증명법 : 존재의 증명―실제 예를 구성(«모든 A, B에 대해 AB=BA»라는 전칭 명제의 부정은 ∃A,B(AB≠BA)이므로, 반례 하나면 충분)

P=1234, Q=0110라 하면, 855번에 의해

PQ = 2143,     QP = 3412

이고 PQ≠QP입니다(예 : (1,1) 성분이 각각 2, 3으로 다름). 따라서 «모든 정사각행렬 A, B에 대해 AB=BA»는 거짓이며, 행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않습니다.

정사각행렬이 아닌 경우는 사정이 더 심합니다 — A가 m×n, B가 n×m(m≠n)이면 855번에 의해 AB는 m×m, BA는 n×n으로 차수 자체가 달라 언제나 서로 같을 수 없습니다. 이 경우는 아래 863번의 활용에서 직접 다룹니다.

부분적인 예외 — 스칼라행렬. 846번의 n차 스칼라행렬 kI_n은 곱셈이 정의되는 모든 n차 정사각행렬 A와 항상 교환됩니다. 실제로 855번으로 (kI_n)의 (i,l) 성분은 831번에 의해 l=i일 때만 k이고 나머지는 0이므로, ((kI_n)A)_ij=nΣl=1(kI_n)_ila_lj는 l=i인 항만 남아 k·a_ij가 되고, 같은 방식으로 (A(kI_n))_ij도 k·a_ij가 됩니다 — 즉 (kI_n)A = A(kI_n) = kA(852번)로 둘 다 항상 성립합니다. 예를 들어 P=1234와 2I₂=2002에 대해

(2I₂)P = P(2I₂) = 2468

로 같습니다(858번이 «일반적으로» 성립하지 않는다는 것이지, 항상 성립하지 않는다는 뜻은 아님에 주의).

사용 : 855번 · 5.3의 846번 · 5.2의 831번 · 852번

증명 끝

859정리단위행렬은 곱셈의 항등원이다(The Identity Matrix Is the Multiplicative Identity)A가 m×n이면 I_mA = A = AI_n

증명법 : 직접증명법(855번을 적용해 831번의 크로네커 델타 형태 성분을 대입)

A=(a_ij)는 m×n 행렬이라 하면, 5.2의 831번에 의해 m차 단위행렬 I_m의 (i,k) 성분은 k=i일 때 1, k≠i일 때 0입니다. 855번에 의해

(I_mA)_ij = Σ_k=1^m (I_m)_ika_kj

인데, 이 m개의 항 중 (I_m)_ik≠0인 항은 k=i인 항 하나뿐이고 나머지는 전부 0이므로, 합 전체는 그 한 항 1·a_ij=a_ij만 남습니다. 즉 (I_mA)_ij=a_ij이므로 I_mA=A입니다. 마찬가지로 (AI_n)_ij=Σ_k=1ⁿa_ik(I_n)_kj도 k=j인 항만 남아 a_ij가 되므로 AI_n=A입니다.

A가 n차 정사각행렬(m=n)인 특수한 경우, 두 식은 I_nA=AI_n=A로 합쳐집니다 — 858번에서 행렬의 곱셈이 일반적으로 교환되지 않는다고 했는데, 단위행렬 I_n은 (846번의 스칼라행렬이 그렇듯) 곱셈이 정의되는 모든 정사각행렬과 항상 교환되는 예외입니다.

사용 : 855번 · 5.2의 831번 · 858번

증명 끝

860정의전치행렬의 일반화(Transpose of a General m×n Matrix)A가 m×n이면 A^T := n×m 행렬, (i,j) 성분이 원래 A의 (j,i) 성분

5.2의 832번은 정사각행렬(n×n)에 대해서만 전치행렬을 정의했습니다. 843번이 824번의 정사각행렬 표기를 일반적인 m×n 행렬로 확장했던 것과 같은 방식으로, 이제 일반적인 m×n 행렬 A=(a_ij)에 대해서도 전치행렬을 정의합니다 — A의 행과 열을 맞바꾸어 얻는 n×m 행렬(차수가 m×n에서 n×m으로 뒤바뀜에 주의)을 A^T라 하고, 그 (i,j) 성분은 원래 A의 (j,i) 성분입니다.

예를 들어 851번의 A=12−1034(2×3)이면

A^T = 1023−14    (3×2)

입니다 — A의 제1행(1,2,−1)이 A^T의 제1열이 되는 방식은 832번과 같습니다. m=n인 특수한 경우가 바로 832번의 정의이므로, 이후로는 832번을 이 860번의 특수한 경우(m=n)로 인용합니다(843번이 824번을 재해석한 것과 같은 방식). 한편 (A^T)^T는 A의 (j,i) 성분을 다시 (i,j) 자리로 되돌리는 것이므로, 정의에 의해 바로 (A^T)^T=A입니다.

5.3의 847번의 대칭행렬·반대칭행렬(A^T=A, A^T=−A)은 A와 A^T의 차수가 같아야 등식 자체가 성립하므로(직사각행렬은 m≠n이면 A^T가 A와 차수부터 달라 비교할 수 없음), 계속 정사각행렬(m=n)에서만 정의됩니다 — 847번의 정의를 바꾸는 것이 아니라, 그 정의가 원래부터 정사각행렬에 한정되는 이유를 이제 명확히 하는 것입니다.

사용 : 5.2의 832번 · 843번 · 5.3의 847번

861정리전치와 연산의 호환성(Transpose of Sums, Scalar Multiples, and Products)(A+B)^T=A^T+B^T,  (kA)^T=kA^T,  (AB)^T=B^TA^T

증명법 : 직접증명법(860번의 정의를 적용해 성분 비교, 마지막은 855번까지 함께 사용)

① 합의 전치. A, B가 m×n이면, 860번에 의해 ((A+B)^T)의 (i,j) 성분은 (A+B)의 (j,i) 성분인 a_ji+b_ji(851번)이고, (A^T+B^T)의 (i,j) 성분은 A^T의 (i,j) 성분(=a_ji)과 B^T의 (i,j) 성분(=b_ji)의 합이므로 역시 a_ji+b_ji입니다. 따라서 (A+B)^T=A^T+B^T. 같은 방식으로 851번의 뺄셈(A−B=A+(−1)B)에도 그대로 적용되어 (A−B)^T=A^T−B^T도 성립합니다.

② 스칼라배의 전치. ((kA)^T)의 (i,j) 성분은 (kA)의 (j,i) 성분인 k·a_ji(852번)이고, (kA^T)의 (i,j) 성분은 k·(A^T의 (i,j) 성분)=k·a_ji이므로 같습니다. 따라서 (kA)^T=kA^T.

③ 곱의 전치. A는 m×n, B는 n×p라 하면 AB는 m×p이므로 (AB)^T는 p×m입니다.

((AB)T)ij
= (AB)ji	860번(전치는 (j,i) 성분을 (i,j) 자리로)
= nΣk=1 ajkbki	855번
= nΣk=1 bkiajk	1.3의 42번(실수 곱셈의 교환법칙 — 성분끼리의 곱셈일 뿐, 행렬 곱셈이 교환된다는 뜻이 아님)
= nΣk=1 (BT)ik(AT)kj	860번((BT)ik=bki, (AT)kj=ajk)
= (BTAT)ij	855번(BT는 p×n, AT는 n×m이므로 곱 BTAT는 p×m — (AB)T와 차수가 정확히 일치)

따라서 (AB)^T=B^TA^T입니다 — 곱하는 순서가 뒤바뀐다는 점에 주의합니다.

셋째 줄에서 쓴 «a_jkb_ki=b_kia_jk»(42번)는 실수인 성분끼리의 교환이고, 858번에서 부정한 «행렬 AB=BA»는 행렬 전체의 교환입니다 — 성분(실수)은 항상 교환되지만, 그 성분들을 모아 만드는 행렬의 곱 자체는 (그리고 그 곱을 만드는 순서는) 교환되지 않는다는 서로 다른 층위의 이야기이므로 혼동하지 않도록 주의합니다.

수치 확인. 851번의 A=12−1034, B=201−131에 대해 AB=1−3151이므로

(AB)^T = 115−31     B^TA^T = 2130−11·1023−14 = 115−31

로 서로 같습니다.

사용 : 860번 · 851번 · 852번 · 855번 · 1.3의 42번 · 858번

증명 끝

862정리대칭행렬과 반대칭행렬로의 분해(Decomposition into Symmetric and Skew-symmetric Parts)A = S+K,  S:=A+A^T2(대칭),  K:=A−A^T2(반대칭)  (유일)

5.3의 847번에서 대칭행렬·반대칭행렬을 정의할 때, 행렬의 덧셈·스칼라배가 아직 formal하게 갖춰지지 않아 «임의의 정사각행렬을 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 분해하는 것»은 다루지 않고 미뤄 두었습니다. 851·852·861번이 모두 갖춰졌으므로 이제 이를 증명합니다.

증명법 : 존재의 증명(구성) + 직접증명법(유일성)

n차 정사각행렬 A에 대해

S := 12(A+A^T),     K := 12(A−A^T)

로 정의합니다(852번의 스칼라배 12와 851번의 덧셈·뺄셈으로 이미 formal하게 정의된 식입니다).

① S는 대칭행렬.

ST
= ( 12(A+AT) )T
= 12(A+AT)T	861번(스칼라배의 전치)
= 12(AT+(AT)T)	861번(합의 전치)
= 12(AT+A)	860번((AT)T=A)
= 12(A+AT)	1.3의 36번(실수 덧셈의 교환법칙)
= S

S^T=S이므로 847번에 의해 S는 대칭행렬입니다.

② K는 반대칭행렬. 같은 방식으로 K^T = 12(A−A^T)^T = 12(A^T−(A^T)^T)(861번, 뺄셈에도 적용됨) = 12(A^T−A) = −12(A−A^T) = −K입니다. K^T=−K이므로 847번에 의해 K는 반대칭행렬입니다.

③ S+K=A. 851·854번에 의해

S+K = 12(A+A^T) + 12(A−A^T) = 12 (A+A^T+A−A^T) = 12(2A) = A

(853번에 의해 A^T와 −A^T가 상쇄, 854번의 12·2=1과 1·A=A).

④ 유일성. A=S′+K′(S′ 대칭, K′ 반대칭)인 또 다른 분해가 있다고 가정하면, 861번에 의해 A^T=(S′)^T+(K′)^T=S′−K′(847번, S′^T=S′, K′^T=−K′). A+A^T=2S′와 A−A^T=2K′를 각각 풀면 S′=12(A+A^T)=S, K′=12(A−A^T)=K이므로, 대칭·반대칭 성분으로의 분해는 유일합니다.

수치 확인. 예를 들어 A = 2−103451−26이면 A^T = 231−14−2056이고,

12(A+A^T) = 2112143212326     12(A−A^T) = 0−2−12207212−720

이며, 앞쪽은 대칭(예 : (1,2)=(2,1)성분=1), 뒤쪽은 반대칭(예 : (1,2)=−2, (2,1)=2)이고 둘을 더하면 정확히 원래의 A로 돌아옵니다.

사용 : 847번 · 851번 · 852번 · 853번 · 854번 · 860번 · 861번

증명 끝

863정리활용 — 행렬 연산의 종합 계산과 비가환성의 극단적 예(Worked Examples: Combined Operations and an Extreme Case of Non-commutativity)851–861번의 연산을 구체적 행렬에 종합 적용

증명법 : 직접증명법(851–861번의 정의·정리를 구체적인 수치에 직접 적용)

(1) 덧셈·스칼라배의 혼합. A=12−1034, B=2−1310−2(둘 다 2×3, 851번의 예시와 같음)에 대해 851·852·854번(스칼라배의 분배법칙)을 이용하면

2A−3B = −47−11−3614

를 얻습니다(2A와 3B를 각각 852번으로 구한 뒤 851번으로 뺀 것과 같은 결과 — 854번의 분배법칙이 보장하는 계산 순서의 자유).

(2) 곱셈과 차수의 극단적 비가환성. A=12−1034(2×3), B=201−131(3×2)이면 A의 열의 개수(3)와 B의 행의 개수(3)가 같으므로 AB가 정의되고, B의 열의 개수(2)와 A의 행의 개수(2)도 같으므로 BA도 정의됩니다 — 즉 양방향 곱이 모두 정의됨에도, 855번을 적용하면

AB = 1−3151   (2×2)      BA = 24−21−1−5391   (3×3)

로 AB와 BA는 차수 자체가 다릅니다(2×2 대 3×3) — 858번에서 예고한 대로, 정사각행렬의 경우(예 : 858번의 P, Q)보다 훨씬 극단적으로 «비교조차 되지 않는» 비가환성의 예입니다.

(3) 곱의 전치. 위 AB=1−3151에 대해 A^T=1023−14, B^T=2130−11이므로, 861번(곱의 전치는 순서가 뒤바뀜)에 의해

(AB)^T = 115−31  =  B^TA^T

이고, 실제로 B^T(2130−11, 2×3)와 A^T(1023−14, 3×2)의 곱은 2×2 행렬로 (AB)^T와 차수가 일치하며, 직접 계산해도 같은 값이 나옵니다(반면 순서를 바꾼 A^TB^T는 3×2와 2×3의 곱이라 3×3 행렬이 되어, 2×2인 (AB)^T와 차수부터 다릅니다 — 861번에서 곱의 순서가 뒤바뀌어야 하는 이유를 차수로도 확인할 수 있습니다).

사용 : 851번 · 852번 · 854번 · 855번 · 858번 · 861번

증명 끝