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11.1   수능 핵심

등차수열의 합

Arithmetic Series

정의 · 공식과 증명

이 절은 급수(챕터 11)의 첫 절로, 자연수마다 실수를 하나씩 정해 주는 수열과 그 항들의 합을 나타내는 합의 기호 Σ를 정의하는 데서 시작합니다(749번). 이어서 이웃한 항의 차가 일정한 등차수열을 정의하고(750번), 그 일반항 공식을 수학적 귀납법으로 증명합니다(751번). 752–753번에서는 등차중항과 그 일반화(이웃한 세 항이 항상 산술평균 관계에 있다는 조건)가 등차수열 이라는 것과 동치임을 역시 귀납법으로 증명하고, 754번에서 합의 공식을 귀납법으로 증명하고 «가우스의 짝짓기»로 그 꼴이 나오는 이유를 살펴봅니다. 마지막으로 755번에서 자연수의 합·홀수의 합이라는 두 가지 유명한 특수한 경우를 살펴봅니다. 이 절에서 확립하는 도구(수열의 정의, 귀납법에 의한 일반항 증명, 합의 공식)는 11.2(등비수열의 합)·11.3(여러 가지 유한급수)에서도 같은 방식으로 반복 사용됩니다.

749정의수열(Sequence){a_n} = a₁, a₂, a₃, …,   nΣk=1a_k = a₁+a₂+…+a_n

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 자연수 n(1.2 f26)마다 실수를 하나씩 정해 준 것을 수열(sequence)이라 합니다. 자연수 n에 정해 준 실수를 a_n으로 쓰고, 이를 이 수열의 제n항 또는 일반항(general term)이라 부릅니다. 수열 전체는 항을 n의 순서(1,2,3,…)대로 나열해

{a_n} = a₁, a₂, a₃, …

로 나타냅니다. a₁을 이 수열의 첫째항이라 합니다. 두 수열 {a_n}, {b_n}은 모든 자연수 n에 대해 a_n=b_n일 때 같다고 정의합니다. (참고 : 뒤의 8.1에서 정의하는 함수의 말로 하면, 수열은 정의역이 N이고 공역이 R인 함수입니다. 이 절과 11.2·11.3은 그 사실을 쓰지 않습니다.)

합의 기호 Σ. 수열의 처음 n개 항의 합 a₁+a₂+…+a_n을 정확히 정하기 위해, 한 항씩 더해 가는 방식(귀납적 정의)으로

1Σk=1a_k := a₁,    n+1Σk=1a_k := nΣk=1a_k + a_n+1 (모든 자연수 n)

로 정합니다. 수학적 귀납법에 의해 이것으로 모든 자연수 n에 대해 nΣk=1a_k가 하나씩 정해지며, 이것이 a₁+a₂+…+a_n의 뜻입니다. 11.1~11.3의 증명에서 «합의 정의(한 항 추가)»라고 하는 것은 둘째 식을 가리킵니다. 아래끝이 m인 합 nΣk=ma_k(m≤n)도 같은 방식(mΣk=ma_k:=a_m에서 시작해 한 항씩 추가)으로 정하며 a_m+a_m+1+…+a_n을 뜻합니다. 합의 값은 첨자에 쓰는 문자(k, j 등)와 관계없습니다. 앞의 2.1·2.2 등에서 a₁+…+a_n의 줄임 표기로 써 온 Σ의 정확한 뜻이 이것입니다. 처음 n개 항의 합은

S_n := nΣk=1 a_k

로도 씁니다. 정의에 의해 S₁=a₁, S_n+1=S_n+a_n+1입니다.

750정의등차수열과 공차(Arithmetic Sequence, Common Difference)a_n+1 = a_n+d (모든 자연수 n, d는 상수)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 수열 {a_n}(749번)에서, 이웃한 두 항의 차 a_n+1−a_n이 n의 값에 관계없이 항상 같은 상수 d일 때, 즉

a_n+1 = a_n+d (모든 자연수 n)

가 성립할 때 {a_n}을 첫째항이 a₁이고 공차(common difference)가 d인 등차수열(arithmetic sequence 또는 arithmetic progression)이라 합니다. 등차수열은 첫째항 a₁과 공차 d, 이 두 값만으로 완전히 결정됩니다(751번에서 실제로 확인합니다) ― 이웃 항의 «증가분»이 일정하다는 것이 이 수열의 유일한 규칙이기 때문입니다.

751정리등차수열의 일반항 공식(General Term Formula)a_n = a₁+(n−1)d

증명법 : 수학적 귀납법(n에 대하여)

{a_n}이 첫째항 a₁, 공차 d(750번)인 등차수열이라 합시다. 명제 P(n) : «a_n = a₁+(n−1)d»가 모든 자연수 n에 대해 성립함을 보입니다.

Ⅰ	n=1일 때, 우변은 a1+(1−1)d=a1이므로 P(1)은 a1=a1이 되어 자명하게 성립합니다.
Ⅱ	P(k) : ak=a1+(k−1)d가 성립한다고 가정합시다(귀납법의 가정). 750번(등차수열의 정의)에 의해 ak+1=ak+d이므로

ak+1 = ak+d	750번(등차수열의 정의)
= [a1+(k−1)d]+d	귀납법의 가정(Ⅱ)
= a1+kd = a1+((k+1)−1)d	동류항 정리

이므로 P(k+1)도 성립합니다. 즉 P(k) ⇒ P(k+1)이 보여졌습니다. Ⅰ, Ⅱ에 의해 수학적 귀납법으로 P(n)은 모든 자연수 n에 대해 성립합니다.

a_n = a₁+(n−1)d (모든 자연수 n)

a₁=3, d=4인 등차수열의 처음 다섯 항 3, 7, 11, 15, 19 ― 수직선 위의 간격이 모두 공차 d=4로 동일하고, a₅=a₁+4d=19가 실제로 일치함을 보여줍니다.

따름 (일반항의 특성화). 등차수열의 일반항은 751번에 의해 a_n = dn+(a₁−d)이므로 pn+q(p, q는 실수) 꼴입니다. 거꾸로, 임의의 두 실수 p, q에 대해 일반항이 a_n = pn+q 꼴로 주어지는 수열은 반드시 공차 d=p인 등차수열입니다. 실제로 a_n+1−a_n = [p(n+1)+q]−[pn+q] = p로 n에 관계없이 일정하기 때문입니다(750번의 정의를 그대로 만족). 즉 등차수열 ⇔ 일반항이 pn+q 꼴이라는 동치 관계가 성립하며, 이때 a₁=p+q, d=p입니다. (p≠0이면 pn+q는 n에 대한 일차식이고, p=0이면 모든 항이 q인 상수수열(공차 0)입니다.)

사용 : 750번 · 선행학습 수학적 귀납법

증명 끝

752정의등차중항(Arithmetic Mean)b−a = c−b, 즉 2b = a+c

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 세 실수 a, b, c가 이 순서로 등차수열의 세 항(예 : 어떤 등차수열의 이웃한 세 항 a_n−1, a_n, a_n+1)을 이룬다는 것은 750번의 정의에 의해 b−a = c−b(공차가 같음)라는 뜻이고, 이는 다음과 동치입니다 :

2b = a+c   ⇔   b = a+c2

이때 b를 a와 c의 등차중항(arithmetic mean)이라 합니다. 즉 등차중항은 두 수 a, c의 산술평균과 정확히 같은 값입니다. 753번에서는 이 성질을 일반화해, 수열 전체가 등차수열이라는 것과 모든 이웃한 세 항이 항상 이 산술평균 관계를 만족한다는 것이 실제로 동치임을 증명합니다.

753정리등차수열의 판정(중항 조건에 의한 특성화){a_n}이 등차수열 ⇔ 2a_n = a_n−1+a_n+1 (모든 n≥2)

증명법 : 쌍조건문의 증명법 (⇒는 직접, ⇐는 수학적 귀납법)

(⇒) {a_n}이 공차 d인 등차수열이라 합시다. 750번에 의해 모든 n≥2에 대해 a_n−1=a_n−d, a_n+1=a_n+d이므로

a_n−1+a_n+1 = (a_n−d)+(a_n+d) = 2a_n

가 즉시 성립합니다.

(⇐) 모든 n≥2에 대해 2a_n=a_n−1+a_n+1이 성립한다고 합시다. d_n := a_n+1−a_n(n≥1)으로 두면, 가정한 등식은

a_n+1−a_n = a_n−a_n−1   즉   d_n = d_n−1 (모든 n≥2)

로 바뀝니다. 이제 명제 Q(n) : «d_n=d₁»가 모든 자연수 n에 대해 성립함을 수학적 귀납법으로 보입니다.

Ⅰ	n=1일 때 Q(1) : d1=d1은 자명하게 성립합니다.
Ⅱ	Q(k) : dk=d1이 성립한다고 가정합시다. 위에서 얻은 관계식에 n=k+1(≥2, k≥1이므로 항상 성립)을 대입하면 dk+1=dk이고, 귀납법의 가정에 의해 dk=d1이므로 dk+1=d1, 즉 Q(k+1)이 성립합니다.

Ⅰ, Ⅱ에 의해 Q(n)은 모든 자연수 n에서 성립하므로, d:=d₁로 두면 d_n=d(모든 n), 즉 a_n+1−a_n=d가 n에 관계없이 일정합니다. 750번의 정의에 의해 {a_n}은 공차 d인 등차수열입니다.

특히 n=2인 경우가 752번의 등차중항 조건(2a₂=a₁+a₃)과 정확히 일치합니다 ― 즉 이 정리는 «세 항뿐 아니라 이웃한 모든 세 항이 예외 없이 산술평균 관계를 만족해야 등차수열이 된다»는 것을 보여줍니다(어느 한 지점에서만 2a_n=a_n−1+a_n+1이 성립하는 것만으로는 전체 수열이 등차수열이라고 결론지을 수 없습니다).

사용 : 750번 · 752번 · 선행학습 수학적 귀납법 · 선행학습 쌍조건문의 증명법

증명 끝

754정리등차수열의 합 공식(Sum of an Arithmetic Series)S_n = n2(a₁+a_n) = n2{2a₁+(n−1)d}

증명법 : 수학적 귀납법(n에 대하여, 749번·751번 사용)

{a_n}이 첫째항 a₁, 공차 d인 등차수열이라 합시다. 명제 P(n) : «S_n = n2{2a₁+(n−1)d}»가 모든 자연수 n에 대해 성립함을 보입니다.

Ⅰ	n=1일 때, 좌변은 S1=a1(749번), 우변은 12·2a1=a1이므로 P(1)이 성립합니다.
Ⅱ	P(k)가 성립한다고 가정합시다(귀납법의 가정). 그러면

Sk+1 = Sk + ak+1	749번(합의 정의, 한 항 추가)
= k2{2a1+(k−1)d} + (a1+kd)	귀납법의 가정(Ⅱ) · 751번
= 12{2ka1+k(k−1)d+2a1+2kd} = 12{2(k+1)a1+k(k+1)d}	통분 · 동류항 정리
= k+12{2a1+((k+1)−1)d}	(k+1)로 묶기

이므로 P(k+1)도 성립합니다. Ⅰ, Ⅱ에 의해 수학적 귀납법으로 모든 자연수 n에 대해

S_n = n2{2a₁+(n−1)d}

입니다. 또 751번에 의해 a₁+a_n = 2a₁+(n−1)d이므로, 같은 값을

S_n = n2(a₁+a_n)

으로도 쓸 수 있습니다.

참고 (가우스의 짝짓기 ― 왜 이런 꼴이 나오는가). 1≤k≤n인 자연수 k에 대해, 앞에서 k번째 항과 끝에서 k번째 항 a_n+1−k의 합은 751번에 의해 a_k+a_n+1−k = [a₁+(k−1)d]+[a₁+(n−k)d] = 2a₁+(n−1)d = a₁+a_n으로 k에 관계없이 일정합니다. 그래서 a₁+a₂+…+a_n과 순서를 거꾸로 적은 a_n+a_n−1+…+a₁을 위아래로 맞대어 더하면 n개의 짝이 모두 a₁+a_n이 되어, 합의 두 배가 n(a₁+a_n)이 됩니다(아래 그림). 위의 증명은 이 관찰을 순서 바꾸기 없이 귀납법으로 확인한 것입니다.

a₁=3, d=4, n=6인 경우(값 3, 7, 11, 15, 19, 23)의 가우스 짝짓기 ― 오름차순(파랑)과 내림차순(빨강)을 겹쳐 쌓으면 매 열의 총 높이가 a₁+a₆=26으로 모두 같아 직사각형을 이루고, 그 넓이 6×26=156이 2S₆과 같으므로 S₆=78입니다.

사용 : 749번 · 751번 · 선행학습 수학적 귀납법

증명 끝

755정리활용 ― 자연수의 합과 홀수의 합1+2+…+n = n(n+1)2,   1+3+5+…+(2n−1) = n²

증명법 : 754번(등차수열의 합 공식)에 특정한 a₁, d를 대입

⑴ 자연수의 합. a₁=1, d=1인 등차수열은 751번에 의해 a_n=1+(n−1)·1=n이므로, 곧 자연수를 그대로 나열한 수열입니다. 754번을 적용하면

1+2+…+n = S_n = n2(a₁+a_n) = n2(1+n) = n(n+1)2

를 얻습니다.

⑵ 홀수의 합. a₁=1, d=2인 등차수열은 a_n=1+(n−1)·2=2n−1이므로, 곧 양의 홀수를 크기순으로 나열한 수열입니다. 754번을 적용하면

1+3+5+…+(2n−1) = S_n = n2(a₁+a_n) = n2{1+(2n−1)} = n2·2n = n²

를 얻습니다. 이 등식(1+3+5+…+(2n−1)=n²)은 선행학습의 수학적 귀납법 例1에서 이미 귀납법만으로 직접 증명된 바 있습니다. 여기서는 754번에 대입해 같은 등식을 다시 얻었습니다. 즉 같은 결과를 (a) 귀납법으로 직접 증명하는 경로와 (b) 등차수열의 합 공식에 대입하는 경로, 두 가지로 얻을 수 있으며 두 결과는 일치합니다.

사용 : 751번 · 754번 · 선행학습 수학적 귀납법 例1

증명 끝