11.1 수능 핵심
등차수열의 합
Arithmetic Series
정의 · 공식과 증명
이 절은 급수(챕터 11)의 첫 절로, 아직 사이트에 등장한 적 없는 수열 개념을 자연수 집합 N(1.2 f26)을 정의역으로 하는 함수로 엄밀하게 정의하는 데서 시작합니다(749번). 이어서 이웃한 항의 차가 일정한 등차수열을 정의하고(750번), 그 일반항 공식을 수학적 귀납법으로 증명합니다(751번). 752–753번에서는 등차중항과 그 일반화(이웃한 세 항이 항상 산술평균 관계에 있다는 조건)가 등차수열 이라는 것과 동치임을 역시 귀납법으로 증명하고, 754번에서 «가우스의 짝짓기»라는 표준적인 방법으로 합의 공식을 유도합니다. 마지막으로 755번에서 자연수의 합·홀수의 합이라는 두 가지 유명한 특수한 경우를 살펴봅니다. 이 절에서 확립하는 도구(수열의 정의, 귀납법에 의한 일반항 증명, 합의 공식)는 11.2(등비수열의 합)·11.3(여러 가지 유한급수)에서도 같은 방식으로 반복 사용됩니다.
749정의수열(Sequence)a : N → R, an := a(n), {an} = a1, a2, a3, …
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 자연수 집합 N(1.2 f26)을 정의역으로 하고 실수 R을 공역으로 하는 함수
a : N → R
을 수열(sequence)이라 합니다. 함숫값 a(n)을 an으로 쓰고, 이를 이 수열의 제n항 또는 일반항(general term)이라 부릅니다. 수열 전체는 함숫값을 정의역의 순서(1,2,3,…)대로 나열해
{an} = a1, a2, a3, …
로 나타냅니다. a1을 이 수열의 첫째항이라 합니다. 수열은 함수이므로, 두 수열 {an}, {bn}이 같다는 것은 모든 자연수 n에 대해 an=bn이 성립한다는 뜻입니다(함수의 상등·정의역이 같은 두 함수가 같으려면 모든 원소에서 함숫값이 일치해야 함).
수열의 처음 n개 항의 합 a1+a2+…+an은 앞으로 자주 등장하므로, 이를 가리키는 기호
Sn := nΣk=1 ak
도 이 절부터 표준 표기로 사용합니다(Σ는 2.1·2.2에서 이미 확립된 .sumop 컴포넌트를 그대로 재사용).
750정의등차수열과 공차(Arithmetic Sequence, Common Difference)an+1 = an+d (모든 자연수 n, d는 상수)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 수열 {an}(749번)에서, 이웃한 두 항의 차 an+1−an이 n의 값에 관계없이 항상 같은 상수 d일 때, 즉
an+1 = an+d (모든 자연수 n)
가 성립할 때 {an}을 첫째항이 a1이고 공차(common difference)가 d인 등차수열(arithmetic sequence 또는 arithmetic progression)이라 합니다. 등차수열은 첫째항 a1과 공차 d, 이 두 값만으로 완전히 결정됩니다(751번에서 실제로 확인합니다) ― 이웃 항의 «증가분»이 일정하다는 것이 이 수열의 유일한 규칙이기 때문입니다.
751정리등차수열의 일반항 공식(General Term Formula)an = a1+(n−1)d
증명법 : 수학적 귀납법(n에 대하여)
{an}이 첫째항 a1, 공차 d(750번)인 등차수열이라 합시다. 명제 P(n) : «an = a1+(n−1)d»가 모든 자연수 n에 대해 성립함을 보입니다.
| Ⅰ | n=1일 때, 우변은 a1+(1−1)d=a1이므로 P(1)은 a1=a1이 되어 자명하게 성립합니다. |
| Ⅱ | P(k) : ak=a1+(k−1)d가 성립한다고 가정합시다(귀납법의 가정). 750번(등차수열의 정의)에 의해 ak+1=ak+d이므로 |
| ak+1 = ak+d | 750번(등차수열의 정의) |
| = [a1+(k−1)d]+d | 귀납법의 가정(Ⅱ) |
| = a1+kd = a1+((k+1)−1)d | 동류항 정리 |
이므로 P(k+1)도 성립합니다. 즉 P(k) ⇒ P(k+1)이 보여졌습니다. Ⅰ, Ⅱ에 의해 수학적 귀납법으로 P(n)은 모든 자연수 n에 대해 성립합니다.
an = a1+(n−1)d (모든 자연수 n)
a1=3, d=4인 등차수열의 처음 다섯 항 3, 7, 11, 15, 19 ― 수직선 위의 간격이 모두 공차 d=4로 동일하고, a5=a1+4d=19가 실제로 일치함을 보여줍니다.
따름 (일반항의 특성화). 751번의 증명은 거꾸로도 성립합니다 ― 임의의 두 실수 p, q에 대해 일반항이 n에 대한 일차식 an = pn+q 꼴로 주어지는 수열은 반드시 공차 d=p인 등차수열입니다. 실제로 an+1−an = [p(n+1)+q]−[pn+q] = p로 n에 관계없이 일정하기 때문입니다(750번의 정의를 그대로 만족). 즉 등차수열 ⇔ 일반항이 n에 대한 일차식이라는 동치 관계가 성립하며, 이때 a1=p+q, d=p입니다.
사용 : 750번 · 선행학습 수학적 귀납법
증명 끝
752정의등차중항(Arithmetic Mean)b−a = c−b, 즉 2b = a+c
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 세 실수 a, b, c가 이 순서로 등차수열의 세 항(예 : 어떤 등차수열의 이웃한 세 항 an−1, an, an+1)을 이룬다는 것은 750번의 정의에 의해 b−a = c−b(공차가 같음)라는 뜻이고, 이는 다음과 동치입니다 :
2b = a+c ⇔ b = a+c2
이때 b를 a와 c의 등차중항(arithmetic mean)이라 합니다. 즉 등차중항은 두 수 a, c의 산술평균과 정확히 같은 값입니다. 753번에서는 이 성질을 일반화해, 수열 전체가 등차수열이라는 것과 모든 이웃한 세 항이 항상 이 산술평균 관계를 만족한다는 것이 실제로 동치임을 증명합니다.
753정리등차수열의 판정(중항 조건에 의한 특성화){an}이 등차수열 ⇔ 2an = an−1+an+1 (모든 n≥2)
증명법 : 쌍조건문의 증명법 (⇒는 직접, ⇐는 수학적 귀납법)
(⇒) {an}이 공차 d인 등차수열이라 합시다. 750번에 의해 모든 n≥2에 대해 an−1=an−d, an+1=an+d이므로
an−1+an+1 = (an−d)+(an+d) = 2an
가 즉시 성립합니다.
(⇐) 모든 n≥2에 대해 2an=an−1+an+1이 성립한다고 합시다. dn := an+1−an(n≥1)으로 두면, 가정한 등식은
an+1−an = an−an−1 즉 dn = dn−1 (모든 n≥2)
로 바뀝니다. 이제 명제 Q(n) : «dn=d1»가 모든 자연수 n에 대해 성립함을 수학적 귀납법으로 보입니다.
| Ⅰ | n=1일 때 Q(1) : d1=d1은 자명하게 성립합니다. |
| Ⅱ | Q(k) : dk=d1이 성립한다고 가정합시다. 위에서 얻은 관계식에 n=k+1(≥2, k≥1이므로 항상 성립)을 대입하면 dk+1=dk이고, 귀납법의 가정에 의해 dk=d1이므로 dk+1=d1, 즉 Q(k+1)이 성립합니다. |
Ⅰ, Ⅱ에 의해 Q(n)은 모든 자연수 n에서 성립하므로, d:=d1로 두면 dn=d(모든 n), 즉 an+1−an=d가 n에 관계없이 일정합니다. 750번의 정의에 의해 {an}은 공차 d인 등차수열입니다.
특히 n=2인 경우가 752번의 등차중항 조건(2a2=a1+a3)과 정확히 일치합니다 ― 즉 이 정리는 «세 항뿐 아니라 이웃한 모든 세 항이 예외 없이 산술평균 관계를 만족해야 등차수열이 된다»는 것을 보여줍니다(어느 한 지점에서만 2an=an−1+an+1이 성립하는 것만으로는 전체 수열이 등차수열이라고 결론지을 수 없습니다).
사용 : 750번 · 752번 · 선행학습 수학적 귀납법 · 선행학습 쌍조건문의 증명법
증명 끝
754정리등차수열의 합 공식(Sum of an Arithmetic Series)Sn = n2(a1+an) = n2{2a1+(n−1)d}
증명법 : 직접증명법(가우스의 짝짓기, 751번 사용)
{an}이 첫째항 a1, 공차 d인 등차수열이라 합시다. 먼저 다음 보조사실을 확인합니다 : 1≤k≤n인 모든 자연수 k에 대해, k번째 항과 (끝에서 k번째) 항 an+1−k의 합은 k에 관계없이 항상 a1+an으로 일정합니다. 실제로 751번(일반항 공식)에 의해
| ak+an+1−k = [a1+(k−1)d]+[a1+(n−k)d] | 751번(일반항 공식) |
| = 2a1+(n−1)d = a1+[a1+(n−1)d] = a1+an | 동류항 정리 · 751번(an 재대입) |
이 됩니다. 이제 Sn:=a1+a2+…+an(749번)의 두 배를, 더하는 순서만 뒤집은 같은 합을 나란히 써서 항끼리 짝지어 더합니다 :
| 2Sn = nΣk=1 ak + nΣk=1 an+1−k | 뒤쪽 합은 순서를 거꾸로 나열한 같은 합(유한합의 재배열) |
| = nΣk=1 [ak+an+1−k] | 유한합의 결합·분배법칙 |
| = nΣk=1 (a1+an) = n(a1+an) | 위 보조사실(모든 항이 같은 상수) |
이므로 2Sn=n(a1+an)이고, 양변을 2로 나누면
Sn = n2(a1+an)
를 얻습니다. 여기에 751번(an=a1+(n−1)d)을 대입하면 첫째항과 공차만으로 표현한 동치인 형태
Sn = n2{2a1+(n−1)d}
도 얻습니다.
a1=3, d=4, n=6인 경우(값 3, 7, 11, 15, 19, 23)의 가우스 짝짓기 ― 오름차순(파랑)과 내림차순(빨강)을 겹쳐 쌓으면 매 열의 총 높이가 a1+a6=26으로 모두 같아 직사각형을 이루고, 그 넓이 6×26=156이 2S6과 같으므로 S6=78입니다.
증명 끝
755정리활용 ― 자연수의 합과 홀수의 합1+2+…+n = n(n+1)2, 1+3+5+…+(2n−1) = n²
증명법 : 754번(등차수열의 합 공식)에 특정한 a1, d를 대입
⑴ 자연수의 합. a1=1, d=1인 등차수열은 751번에 의해 an=1+(n−1)·1=n이므로, 곧 자연수를 그대로 나열한 수열입니다. 754번을 적용하면
1+2+…+n = Sn = n2(a1+an) = n2(1+n) = n(n+1)2
를 얻습니다.
⑵ 홀수의 합. a1=1, d=2인 등차수열은 an=1+(n−1)·2=2n−1이므로, 곧 양의 홀수를 크기순으로 나열한 수열입니다. 754번을 적용하면
1+3+5+…+(2n−1) = Sn = n2(a1+an) = n2{1+(2n−1)} = n2·2n = n²
를 얻습니다. 이 등식(1+3+5+…+(2n−1)=n²)은 선행학습의 수학적 귀납법 例1에서 이미 귀납법만으로 직접 증명된 바 있습니다 ― 그 절의 도입부에서 «이 식은 등차수열의 합의 공식에서 이끌어냈던 것»이라고 예고했던 내용이 바로 이 754번임을 여기서 확인할 수 있습니다. 즉 같은 결과를 (a) 귀납법으로 직접 증명하는 경로와 (b) 등차수열의 합 공식 하나로부터 대입만으로 얻는 경로, 두 가지로 모두 얻을 수 있으며 두 결과는 당연히 일치합니다.
사용 : 751번 · 754번 · 선행학습 수학적 귀납법 例1
증명 끝