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10.3   대학 과정

편미분방정식

Some Partial Differential Equations

정의 · 공식과 증명

10.1·10.2에서는 미지함수가 한 개의 변수(x)만의 함수인 상미분방정식(ODE)을 다뤘습니다. 이 절에서는 미지함수 u가 두 개 이상의 독립변수의 함수이고, 방정식에 그 편도함수(8.9 f908)가 나타나는 편미분방정식(PDE)을 다룹니다. 일반적인 편미분방정식의 완전한 이론(해의 존재·유일성 등)은 함수해석학·측도론을 요구하는 대학원 과목 분량이므로, 이 절에서는 물리·공학에서 가장 널리 쓰이는 세 가지 표준형―파동방정식(999–1003번), 열방정식(1004–1006번), 라플라스방정식(1007–1008번)―만을 다루고, 각각에 대해 실제로 완전히 증명할 수 있는 만큼은 끝까지 완전히 증명합니다(특히 파동방정식은 초등적인(대학원 수준의 함수해석학 없이) 완전한 존재·유일성 증명이 가능함을 1003번에서 직접 보입니다). 반면 열방정식·라플라스방정식에서 일반적인 초기함수에 대한 완전해는 무한 삼각급수(푸리에급수)로 계수를 결정해야 하는데, 이 급수의 수렴성·완비성은 11.13(푸리에급수)의 결과를 필요로 합니다―이 시리즈에서는 챕터 10이 챕터 11(급수)보다 먼저 작성되었으므로 그 부분을 university-note로 결과만 인용해 두었고, 11.13이 작성된 지금은 그 자리가 메워졌습니다(11.13 f1070·f1074, 1006·1008번에서 상호링크). 8.5 f663의 n계도함수 표기를 편도함수로 확장해 u_x:=∂u/∂x, u_xx:=∂²u/∂x² 등(9.13 f972의 f_xy 표기와 같은 방식)의 아래첨자 표기를 이 절 전체에서 사용합니다.

999정의편미분방정식·계수·선형성Au_xx+Bu_xy+Cu_yy+Du_x+Eu_y+Fu=G(x,y)  (2계 선형)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 미지함수 u가 두 개 이상의 독립변수의 함수이고, 방정식에 u의 편도함수가 하나 이상 나타나는 방정식을 편미분방정식(partial differential equation, PDE)이라 합니다. 방정식에 나타나는 편도함수 중 가장 높은 계수(order)를 그 방정식의 계수(차수)라 합니다―10.1 f977에서 상미분방정식에 대해 정의한 «계수»와 같은 뜻을 편미분방정식으로 확장한 것입니다. 두 독립변수 x, y의 함수 u=u(x,y)에 대한 2계 편미분방정식은 일반적으로

F(x,y,u,u_x,u_y,u_xx,u_xy,u_yy) = 0

꼴로 쓸 수 있습니다. 이 절에서 다루는 세 방정식(1000·1004·1007번)은 모두 이 중에서도 u와 그 편도함수들에 대해 일차식인 선형(linear) 방정식―

Au_xx+Bu_xy+Cu_yy+Du_x+Eu_y+Fu = G(x,y)

(A,…,F가 상수 또는 x,y만의 함수)―에 속합니다. 10.2 f986과 같은 뜻으로, G≡0이면 동차, G¬≡0이면 비동차라 합니다. 어떤 함수 u=φ(x,y)가 정의역의 모든 점에서 편도함수를 가지면서 방정식을 항등적으로 만족시키면 φ를 그 방정식의 해라 합니다―10.1 f977의 «해»와 같은 뜻입니다.

사용 : 8.9의 908번 · 10.1의 977번 · 10.2의 986번

1000정의·정리파동방정식과 특성좌표에 의한 표준형u_tt=c²u_xx  ⇔  u_ξη=0  (ξ:=x+ct, η:=x−ct)

정의 부분은 증명 대상이 아닙니다. 상수 c>0(파동속도)에 대해

u_tt = c²u_xx

를 (1차원) 파동방정식(wave equation)이라 합니다―999번의 일반형에서 A=−c²(x 대신 이 절에서는 관례상 독립변수를 x, t로 씀), C=1,나머지 계수는 0인 특수한 경우입니다. u가 두 번 연속미분가능(u∈C²)이라 가정합니다.

증명법 : 직접증명법(변수변환 후 8.9 f912의 연쇄법칙을 반복 적용)

ξ:=x+ct, η:=x−ct로 새 변수를 정의합니다. u를 (ξ,η)의 함수로 보고, x를 고정한 채 t만 변하는 «곡선» t↦(ξ(x,t),η(x,t))에 8.9 f912(다변수 연쇄법칙)를 적용하면(ξ_x=1, η_x=1, ξ_t=c, η_t=−c이므로)

ux	정의
= uξ·ξx+uη·ηx = uξ+uη	8.9 f912(x 방향)
ut	정의
= uξ·ξt+uη·ηt = c(uξ−uη)	8.9 f912(t 방향)

u_ξ, u_η도 다시 (ξ,η)의 함수이므로, 이번에는 이 두 식에 f912를 한 번 더 적용합니다 (u∈C²이므로 u_ξη와 u_ηξ가 모두 존재하고 연속  ⇒  9.13 f972(클레로 정리)에 의해 u_ξη=u_ηξ) :

uxx = ∂x(uξ+uη)	위 ux 식을 다시 x로
= (uξξ+uηξ) + (uξη+uηη) = uξξ+2uξη+uηη	f912+f972(uξη=uηξ)
utt = ∂t[c(uξ−uη)]	위 ut 식을 다시 t로
= c[c(uξξ−uηξ)−c(uξη−uηη)] = c2(uξξ−2uξη+uηη)	f912+f972

이제 두 식을 빼면

u_tt−c²u_xx = c²(u_ξξ−2u_ξη+u_ηη) − c²(u_ξξ+2u_ξη+u_ηη) = −4c²u_ξη

를 얻습니다. c≠0이므로 −4c²≠0이고, 따라서

u_tt=c²u_xx  ⇔  u_tt−c²u_xx=0  ⇔  u_ξη=0

이 성립합니다. (x,t)↔(ξ,η)의 대응이 일차변환이고 그 역변환도 x=(ξ+η)/2, t=(ξ−η)/(2c)로 어디서나 존재하므로, 이 동치관계는 정의역 전체에서 양방향으로 성립합니다.

사용 : 8.9의 912번 · 9.13의 972번

1001정리u_ξη=0의 일반해w_ξη=0  ⇔  w(ξ,η)=F(ξ)+G(η) (F,G는 임의의 C² 일변수함수)

증명법 : 쌍조건문 증명법(양방향을 각각 구성적으로 증명)

(⇐) 대입 확인 : w(ξ,η)=F(ξ)+G(η)이면 8.3 f648(미분법의 선형성)에 의해 w_ξ=F′(ξ)(η에 대한 편미분에서 G(η)는 ξ에 대해 상수이므로 소거)이고, 이를 다시 η로 편미분하면 F′(ξ)는 η를 포함하지 않으므로 w_ξη=0입니다.

(⇒) 구성 : w_ξη=0이라 가정합니다. 이는 (w_ξ)_η=0, 즉 η를 변수로 보았을 때 w_ξ의 (η에 대한) 도함수가 항등적으로 0이라는 뜻이므로, 8.6 f673(672번의 따름정리―도함수≡0⇒상수, η 방향으로 적용)에 의해 ξ를 고정할 때마다 w_ξ(ξ,η)는 η에 무관한 상수입니다. 이 상수는 ξ가 바뀌면 달라질 수 있으므로 φ(ξ):=w_ξ(ξ,η)(임의의 η에서 계산해도 같은 값)라 씁니다.

w∈C²이므로 φ=w_ξ는 연속함수이고, 9.8 f745(미적분의 기본정리 제1부)에 의해 F(ξ):=ξ∫0φ(s)ds로 두면 F′=φ인 원시함수 F가 존재합니다. 이제 h(ξ,η):=w(ξ,η)−F(ξ)라 두면

h_ξ = w_ξ−F′(ξ) = φ(ξ)−φ(ξ) = 0

이 모든 (ξ,η)에서 성립하므로, 이번에는 f673을 ξ 방향으로 적용하면(위와 완전히 대칭인 논증) h(ξ,η)는 ξ에 무관합니다―즉 h(ξ,η)=G(η)인 일변수함수 G가 존재합니다. 정리하면

w(ξ,η) = F(ξ) + G(η)

이고, 양변이 C²이려면(가정) F, G도 각각 C²이어야 합니다.

사용 : 8.3의 648번 · 8.6의 673번 · 9.8의 745번

1002정리파동방정식의 일반해(진행파 표현)u_tt=c²u_xx  ⇔  u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)

증명법 : 직접증명법(1000·1001번을 그대로 결합)

1000번에서 u_tt=c²u_xx ⇔ u_ξη=0(ξ=x+ct, η=x−ct)임을, 1001번에서 이 방정식의 일반해가 w(ξ,η)=F(ξ)+G(η) 꼴임을 각각 증명했습니다. u(x,t):=w(ξ(x,t),η(x,t))로 두면 두 결과를 그대로 이어 붙여

u_tt=c²u_xx  ⇔  u(x,t) = F(x+ct) + G(x−ct)  (F,G∈C² 임의)

를 얻습니다. 물리적 해석 : t가 증가할 때 x+ct=(상수)를 유지하려면 x가 같은 속력 c로 감소해야 하므로 F(x+ct)는 왼쪽(음의 x방향)으로 속력 c로 진행하는 파형이고, 마찬가지로 G(x−ct)는 오른쪽으로 진행하는 파형입니다―임의의 파동방정식의 해가 항상 이 두 «진행파»의 합으로(그리고 오직 이 꼴로만) 나타난다는 것이 이 정리의 내용입니다.

사용 : 1000번 · 1001번

1003정리코시 문제와 달랑베르 공식(완전한 존재·유일성)u(x,t) = 12[φ(x+ct)+φ(x−ct)] + 12cx+ct∫x−ctψ(s)ds

― 초기값(코시) 문제 : u_tt=c²u_xx(x∈ℝ, t>0), 초기조건 u(x,0)=φ(x), u_t(x,0)=ψ(x)(φ∈C²(ℝ), ψ∈C¹(ℝ)) ―

증명법 : 존재성은 구성적으로(1002번의 F,G를 초기조건으로 직접 결정), 유일성은 그 구성이 강제됨을 보여서

구성 : 1002번에 의해 임의의 C² 해는 u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct) 꼴입니다(F,G∈C² 미정). 초기조건을 대입하면(u_t(x,t)=cF′(x+ct)−cG′(x−ct)에 t=0 대입)

F(x)+G(x) = φ(x)	u(x,0)=φ(x)
F′(x)−G′(x) = ψ(x)/c	ut(x,0)=ψ(x)

두 번째 식의 양변을 0부터 x까지 적분하면(9.8 f746, 미적분의 기본정리 제2부―F, G∈C²이므로 F′,G′는 연속)

F(x)−G(x) = K + 1cx∫0ψ(s)ds  (K:=F(0)−G(0), 아직 미정인 상수)

를 얻고, 이를 첫 번째 식과 연립해 풀면(가감법)

F(x) = 12[φ(x)+K+1cx∫0ψds],    G(x) = 12[φ(x)−K−1cx∫0ψds]

입니다(φ∈C², ψ∈C¹이므로 F′,G′∈C¹, 즉 F,G∈C²―1002번의 가정을 만족합니다). 이제 u(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)에 대입하고 9.8 f740·f741(정적분의 가법성·구간반전)로 두 적분을 하나로 합치면

u(x,t) = F(x+ct)+G(x−ct)	1002번
= 12[φ(x+ct)+φ(x−ct)] + 12cx+ct∫0ψds − 12cx−ct∫0ψds	위 F,G 대입(K는 상쇄)
= 12[φ(x+ct)+φ(x−ct)] + 12cx+ct∫x−ctψ(s)ds	f740·f741(가법성)

를 얻습니다―이것이 달랑베르 공식입니다. K가 최종 식에서 완전히 상쇄되어 사라졌다는 점에 주목합니다.

존재성 : 위에서 구성한 F,G∈C²이므로 u=F(x+ct)+G(x−ct)는 1002번에 의해 실제로 u_tt=c²u_xx를 만족시키고, 구성 자체가 초기조건 u(x,0)=φ(x), u_t(x,0)=ψ(x)를 만족하도록 F,G를 정했으므로 이 u가 실제로 코시 문제의 해입니다.

유일성 : ũ가 코시 문제의 임의의 C² 해라 합시다. 1002번에 의해 ũ(x,t)=F̃(x+ct)+G̃(x−ct)인 F̃,G̃∈C²가 (적어도 하나) 존재합니다. 그런데 위 구성 과정은 임의의 K에 대해 같은 두 식(F(x)+G(x)=φ(x), F′−G′=ψ/c)을 그대로 만족시키는 F,G를 모두 찾아내는 과정이었고―그렇게 찾은 모든 F,G의 합 F+G(·+ct, ·−ct 대입 후)는 K에 무관하게 유일했습니다. 즉 F̃,G̃도 (K를 K̃:=F̃(0)−G̃(0)로 잡으면) 같은 두 식을 만족시켜야 하므로 같은 유도를 반복하면 ũ(x,t)도 정확히 같은 달랑베르 공식으로 표현됩니다. 따라서 ũ=u이고, 해는 유일합니다.

대학 이 존재·유일성 증명은 함수해석학의 어떤 추상적 정리도 인용하지 않고 미적분학의 기본정리(f745·f746)와 8.9의 연쇄법칙만으로 완전히 초등적으로 완결되었습니다―10.2 f987이 상미분방정식에 대해 피카르–린델뢰프의 결과만 인용하고 넘어갔던 것과 대조적으로, 파동방정식은 1차원 특성좌표로의 환원이 방정식을 두 개의 상미분방정식적인 문제(각 방향으로의 적분)로 완전히 분리시켜 주기 때문입니다. 아래 1006·1008번에서 보듯, 열방정식·라플라스방정식은 이런 특권적인 구조가 없어 사정이 다릅니다.

위 삼각형 그림은 u(x₀,t₀)의 값이 오직 초기시각(t=0)의 [x₀−ct₀, x₀+ct₀] 구간(«의존구간»)에서의 φ, ψ 값에만 의존한다는 사실―공식의 우변에 이 구간 밖의 정보가 전혀 나타나지 않는다는 것―을 기하적으로 보여줍니다(«의존영역», domain of dependence). 두 빗변은 각각 x−ct, x+ct가 상수인 특성선입니다.

xt평면에서 파동방정식의 특성선(빨강 : x−ct=x₀−ct₀, 파랑 : x+ct=x₀+ct₀)과 의존영역(옅은 삼각형). 꼭짓점 (x₀,t₀)에서의 해의 값은 밑변(주황) 구간 위의 φ, ψ 값만으로 완전히 결정됩니다.

① 예 : φ(x)=x², ψ(x)=1이면 u(x,t)=x²+c²t²+t (1009번 ①에서 직접 검산).

사용 : 1002번 · 9.8의 740·741번 · 9.8의 746번 · 10.2의 987번(대조)

1004정의열방정식(확산방정식)u_t = κu_xx  (κ>0 : 열확산계수)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 999번의 일반형에서 A=−κ, D=1, 나머지 계수가 0인 경우입니다(1계 시간미분, 2계 공간미분―따라서 정확히는 «2계» 방정식이지만 파동방정식과 달리 t에 대해서는 1계입니다). 물리적으로는 길이 L인 가는 막대를 따라 열이 퍼져나갈 때, 위치 x∈[0,L], 시각 t>0에서의 온도 u(x,t)가 만족하는 방정식입니다. 이 절에서는 양 끝의 온도를 0으로 고정한 경계조건

u(0,t)=0,   u(L,t)=0  (t>0, 디리클레 경계조건)

과 초기조건 u(x,0)=f(x)(0≤x≤L, 주어진 함수)를 갖는 초기·경계값 문제(IBVP)를 다룹니다.

1005정리분리변수법에 의한 열방정식의 곱해와 고유함수u_n(x,t) = sinnπxL·e^{−(nπ/L)²κt}  (n=1,2,3,…)

증명법 : 직접증명법(변수분리 가정 후 10.1·10.2의 결과로 각 상미분방정식을 풀고, 경계조건으로 걸러냄)

u(x,t)=X(x)T(t)(X¬≡0, T¬≡0)인 곱 꼴의 해를 찾습니다. u_t=XT′, u_xx=X″T이므로 방정식 u_t=κu_xx에 대입하면 XT′=κX″T이고, X(x)T(t)≠0인 점에서 양변을 κXT로 나누면

T′(t)κT(t) = X″(x)X(x)

좌변은 t만의 함수, 우변은 x만의 함수인데 두 식이 (X,T≠0인) 공통 정의역에서 항등적으로 같습니다. 임의의 x₀, t₀를 고정하면 좌변(t=t₀에서)=우변(x=x₀에서)=우변의 값(x₀에서)은 x₀에 무관―즉 우변은 사실 상수함수이고(x₁에서의 값도 같은 t₀에서의 좌변값과 같아야 하므로), 같은 논증으로 좌변도 같은 상수입니다. 이 공통상수를 −λ라 씁니다(부호는 관례―아래에서 보듯 λ>0인 경우만 살아남습니다) :

T′+λκT = 0,    X″+λX = 0

T′+λκT=0은 10.1 f980(1계 선형/변수분리형)에 의해 T(t)=Ce^−λκt(C는 상수)이고, X″+λX=0은 10.2의 y″+ay′+by=0(a=0, b=λ)에 해당하므로 특성방정식 r²+λ=0(판별식 D=−4λ)의 부호에 따라 10.2 f992·f993·f994가 적용됩니다.

경계조건 X(0)=X(L)=0(u(0,t)=X(0)T(t)≡0이고 T¬≡0이므로 X(0)=0, 마찬가지로 X(L)=0)으로 λ의 부호별로 걸러냅니다 :

λ<0 (=−μ², μ>0) : D>0, 서로 다른 두 실근 ±μ	10.2 f992
X=c₁eμx+c₂e−μx, X(0)=0⇒c₂=−c₁	경계조건
X(L)=0⇒c₁(eμL−e−μL)=0⇒c₁=0(μ,L>0이므로 두 지수가 다름)	지수함수의 단사성
∴ X≡0(자명해, 배제)	-
λ=0 : D=0, 중근 r=0	10.2 f993
X=c₁+c₂x, X(0)=0⇒c₁=0, X(L)=0⇒c₂L=0⇒c₂=0	경계조건(L≠0)
∴ X≡0(자명해, 배제)	-
λ>0 (=μ², μ>0) : D<0, 켤레복소근 ±μi(α=0,β=μ)	10.2 f994
X=c₁cosμx+c₂sinμx, X(0)=0⇒c₁=0	경계조건
X(L)=c₂sinμL=0, 비자명해(c₂≠0)이려면 sinμL=0⇒μL=nπ(n=1,2,3,…)	사인함수의 영점

(n=0이면 μ=0⇒λ=0이 되어 위에서 이미 배제된 경우이므로 제외하고, n이 음의 정수인 경우는 sin(−nπx/L)=−sin(nπx/L)로 부호만 다른 같은 해를 주므로 n=1,2,3,…만 취해도 일반성을 잃지 않습니다.) 따라서 비자명해가 존재하는 λ(고유값, eigenvalue)는

λ_n = n²π²L²,    X_n(x) = sinnπxL  (n=1,2,3,…, 고유함수)

뿐이고, 이때 T_n(t)=e^−λ_nκt=e^{−(nπ/L)²κt}이므로 (임의의 배수 상수는 T_n에 흡수시켜 X_n의 계수 1을 유지) 곱해는

u_n(x,t) = sinnπxL·e^{−(nπ/L)²κt}  (n=1,2,3,…)

입니다. 직접 대입하면 u_n,t=−(nπ/L)²κ·u_n=κu_n,xx(u_n,xx=−(nπ/L)²u_n)이고 u_n(0,t)=u_n(L,t)=0이 항등적으로 성립함을 확인할 수 있습니다.

사용 : 10.1의 980번 · 10.2의 992·993·994번

1006정리유한 사인급수 초기조건에 대한 열방정식의 완전해f(x)=∑_n=1^Nb_nsinnπxL  ⇒  u(x,t)=∑_n=1^Nb_nsinnπxLe^{−(nπ/L)²κt}

증명법 : 존재성은 1005번 곱해들의 유한 중첩으로 구성적으로, 유일성은 university-note로 표준 결과를 인용

중첩원리 : u₁,…,u_N이 각각 u_t=κu_xx와 동차 경계조건 u(0,t)=u(L,t)=0을 만족시키면, 8.3 f648(미분의 선형성)에 의해 임의의 상수 b₁,…,b_N에 대해 v:=∑b_ku_k도 v_t=∑b_ku_k,t=∑b_kκu_k,xx=κv_xx와 v(0,t)=v(L,t)=0을 만족합니다(10.2 f988이 2계 선형 상미분방정식에 대해 증명한 중첩원리와 완전히 같은 방식이 여기서도 성립합니다―선형 동차 방정식이라는 사실만 사용했을 뿐, 상미분·편미분 여부는 무관합니다).

구성 : f(x)=∑_n=1^Nb_nsin(nπx/L)이면, u(x,t):=∑_n=1^Nb_nu_n(x,t)(1005번의 u_n)라 둡니다. 위 중첩원리에 의해 u는 방정식과 경계조건을 만족시키고, u(x,0)=∑b_nsin(nπx/L)e⁰=∑b_nsin(nπx/L)=f(x)이므로 초기조건도 만족합니다―따라서 u가 이 IBVP의 해입니다.

대학 유일성(이 u가 유일한 해라는 것)은 최대원리(maximum principle)―열방정식의 해는 공간·시간 경계에서 최댓값·최솟값을 가진다는 정리―로 증명되는 표준 결과이며, 그 증명(경계에서 최댓값을 갖지 않는다고 가정하고 내부 극값점에서 u_t≥0, u_xx≤0인데 u_t=κu_xx이므로 모순을 이끌어내는 논증)은 이 절의 범위를 넘어서므로 여기서는 결과만 인용해 사용합니다. (8.2의 640·641번이 사잇값·최대최소 정리를 대학 해석학으로 넘긴 것과 같은 처리입니다.)

대학 f(x)가 유한 사인급수가 아닌 일반적인 함수(예 : f(x)=x(L−x))라면, b_n:=(2/L)∫₀^Lf(x)sin(nπx/L)dx로 정의되는 계수들의 무한 급수 ∑_n=1^∞b_nsin(nπx/L)e^{−(nπ/L)²κt}가 해가 됩니다―이것이 f를 푸리에 사인급수로 전개하는 것인데, 그 급수가 실제로 f로 수렴한다는 사실과 계수의 유일성은 11.13(푸리에급수)의 결과입니다―이 부분은 이제 해소되었습니다 : 계수 공식 b_n은 11.13 f1070 ⑶(반구간 사인전개)에서 완전히 증명되었고, 그 급수가 f로 수렴한다는 사실은 11.13 f1072 ⑵(디리클레 정리)에서 인용되며, 계수의 유일성은 11.13 f1068에서 증명됩니다. f(x)=x(L−x)에 대한 실제 계산과 완전해는 11.13 f1074 ⑶에 있습니다. 다만 위에서 인용한 최대원리에 의한 유일성과 t>0에서의 항별 미분은 11.13의 범위 밖이므로 여전히 인용으로 남습니다.

② 예 : L=π, κ=1, f(x)=3sinx−sin2x(N=2)이면 u(x,t)=3sinx·e^−t−sin2x·e^−4t(1009번 ②에서 직접 검산)―고주파(n=2) 성분이 저주파(n=1) 성분보다 e^−4t vs e^−t로 훨씬 빠르게 감쇠하며 매끄러워지는 모습을 아래 그림에서 볼 수 있습니다.

u(x,t)=3sinx·e^−t−sin2x·e^−4t의 시간에 따른 변화(t=0, 0.1, 0.3, 0.6). 시간이 지날수록 고주파 성분(sin2x)이 먼저 소멸하고 그래프가 매끄러워집니다.

사용 : 1005번 · 8.3의 648번 · 10.2의 988번

1007정의라플라스방정식과 조화함수Δu := u_xx+u_yy = 0

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 999번의 일반형에서 A=C=1, 나머지 계수가 0인 경우로, 시간에 무관한(정상상태) 열분포·전위 등을 기술합니다. 이 방정식을 만족시키는 함수를 조화함수(harmonic function)라 하고, Δ:=∂_xx+∂_yy를 라플라스 연산자라 합니다. 직사각형 R=[0,a]×[0,b] 위에서 세 변의 값이 0이고 한 변에서만 값이 주어진 디리클레 경계값 문제

u(0,y)=u(a,y)=0(0≤y≤b),   u(x,0)=0,   u(x,b)=f(x)(0≤x≤a)

를 이어지는 1008번에서 다룹니다.

1008정리직사각형에서 분리변수법에 의한 라플라스방정식의 곱해u_n(x,y) = sinnπxa·(e^nπy/a−e^−nπy/a)

증명법 : 직접증명법(1005번과 같은 분리변수 논증을 두 공간변수 x,y에 적용)

u(x,y)=X(x)Y(y)(X,Y¬≡0)라 하면 u_xx=X″Y, u_yy=XY″이므로 Δu=0에서 X″Y+XY″=0, 즉 X,Y≠0인 점에서

X″(x)X(x) = −Y″(y)Y(y)

1005번과 똑같은 논증(좌변은 x만의 함수, 우변은 y만의 함수이면서 항등적으로 같으므로 공통상수)으로 이 공통값을 −λ라 두면

X″+λX = 0,    Y″−λY = 0

를 얻습니다. 경계조건 X(0)=X(a)=0(u(0,y)=u(a,y)=0이고 Y¬≡0이므로)은 X″+λX=0에 대해 1005번과 완전히 같은 방정식·경계조건이므로, 그 결과를 그대로 재사용하면(a가 1005번의 L 역할)

λ_n = n²π²a²,    X_n(x) = sinnπxa  (n=1,2,3,…, 1005번 재사용)

이제 Y″−λ_nY=0(1005번의 X방정식과 부호가 반대인 점에 주의―λ_n>0이므로 특성방정식 r²−λ_n=0(D=4λ_n>0)은 10.2 f992에 의해 서로 다른 두 실근 r=±nπ/a를 가지므로(진동하지 않는 지수함수 해―1005번의 X″+λX=0이 진동하는 삼각함수 해를 준 것과 대조적입니다) Y_n(y)=c₁e^nπy/a+c₂e^−nπy/a입니다. 경계조건 u(x,0)=0⇒Y_n(0)=0⇒c₁+c₂=0⇒c₂=−c₁이므로(c₁=1로 정규화)

Y_n(y) = e^nπy/a − e^−nπy/a

(이 절에서는 아직 정의되지 않은 쌍곡선함수 표기 sinh를 쓰지 않고 지수함수 그대로 둡니다―편의상 S_n(y):=e^nπy/a−e^−nπy/a라 씁니다.) 곱해는

u_n(x,y) = sinnπxa·S_n(y)  (n=1,2,3,…)

이고, 직접 대입하면 u_n,xx=−(nπ/a)²u_n, u_n,yy=(nπ/a)²u_n이므로 Δu_n=0이 항등적으로 성립하고, u_n(0,y)=u_n(a,y)=u_n(x,0)=0도 바로 확인됩니다.

1006번과 같은 중첩원리로, f(x)=∑_n=1^Nd_nsin(nπx/a)(유한 사인급수)이면 u(x,y):=∑_n=1^Nc_nu_n(x,y)의 마지막 경계조건 u(x,b)=∑c_nsin(nπx/a)S_n(b)=f(x)를 맞추려면 계수를 c_n:=d_n/S_n(b)로 (S_n(b)=e^nπb/a−e^−nπb/a≠0(n,a,b>0이므로) 택하면 되고, 이렇게 완전해가 구성적으로 결정됩니다.

대학 1006번과 마찬가지로, f(x)가 유한 사인급수가 아닌 일반적인 함수라면 d_n은 f의 (0,a) 위 푸리에 사인급수 계수로 정해지는 무한 급수가 필요하며, 그 수렴성은 11.13의 결과입니다―이 부분도 이제 해소되었습니다 : d_n의 공식은 11.13 f1070 ⑶에서 증명되고, 이 문제에 대한 적용은 11.13 f1074 ⑸에 있습니다(1006번의 university-note와 같은 항목이었습니다). 또한 이 해의 유일성은 열방정식의 최대원리(1006번)와 짝을 이루는 조화함수의 최대원리(경계에서 최댓값·최솟값을 갖는다는, 평균값성질로부터 증명되는 표준 결과)로 보장되며, 그 증명도 이 절의 범위를 넘어섭니다.

사용 : 1005번 · 1006번 · 10.2의 992번

1009정리—활용종합 계산 예 ― 파동·열·라플라스방정식

999–1008번의 세 방정식을 각각 구체적인 예로 적용하고, 매번 방정식·조건에 직접 대입해(9.1 f692와 같은 방식의 검산법) 재검산합니다.

① 파동방정식(1003번) : c는 임의의 양수, φ(x)=x², ψ(x)≡1인 코시 문제.

달랑베르 공식에 대입하면

u(x,t) = 12[(x+ct)²+(x−ct)²] + 12c·2ct = x²+c²t²+t

검산 : u_t=2c²t+1, u_tt=2c²이고 u_x=2x, u_xx=2이므로 u_tt−c²u_xx=2c²−c²·2=0. ✓ 또한 u(x,0)=x²=φ(x), u_t(x,0)=1=ψ(x). ✓

② 열방정식(1006번) : L=π, κ=1, f(x)=3sinx−sin2x.

N=2, b₁=3(n=1), b₂=−1(n=2)인 경우이므로

u(x,t) = 3sinx·e^−t − sin2x·e^−4t

검산 : u_t=−3sinx·e^−t+4sin2x·e^−4t, u_xx=−3sinx·e^−t+4sin2x·e^−4t이므로 u_t=u_xx. ✓ u(0,t)=u(π,t)=0(sin0=sin0=sin2π=0). ✓ u(x,0)=3sinx−sin2x=f(x). ✓

③ 라플라스방정식(1008번) : a=b=π, f(x)=5sin2x(N=1, d₂=5, 나머지 0).

n=2 항만 남으므로 S₂(π)=e^2π−e^−2π, c₂=5/S₂(π) :

u(x,y) = 5e^2π−e^−2πsin2x·(e^2y−e^−2y)

검산 : u_xx=−4u, u_yy=4u이므로 Δu=u_xx+u_yy=0. ✓ u(0,y)=u(π,y)=0(sin0=sin2π=0). ✓ u(x,0)=0(e⁰−e⁰=0). ✓ u(x,π)=5sin2x·(e^2π−e^−2π)/(e^2π−e^−2π)=5sin2x=f(x). ✓

사용 : 1003번 · 1006번 · 1008번

자체 오류 검토(1회) : 참조 번호(999–1009)가 모두 이 페이지 또는 8.9·8.6·8.3·9.8·9.13·10.1·10.2·logic/05-proving에 실제로 존재하는 앵커와 일치함을 확인했습니다. 1000번의 특성좌표 계산은 sympy로 u_tt−c²u_xx=−4c²u_ξη를, 1003·1006·1009번의 세 예시(①②③)는 각 방정식·경계·초기조건을 만족함을 각각 대수적·수치적으로 재검산했습니다. 999–1002번(파동방정식 일반론)은 어떤 university-note도 필요로 하지 않는 완전한 초등적 증명이고, 1006·1008번의 두 university-note는 동일한 pending-forward-refs.json 항목(11.13 푸리에급수 미작성)을 가리키도록 통일했습니다―결론(1003번 vs 1006·1008번)과 전제(파동방정식의 특수한 대수적 구조 vs 열·라플라스방정식의 일반적 초기조건)가 서로 어긋나지 않습니다.