9.13 면적분 (Surface Integral)

965정의매개변수 곡면·접벡터·법벡터S : r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) ((u,v)∈D), n ∥ r_u×r_v

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

9.12 f952의 매개변수 곡선이 하나의 매개변수 t로 공간의 점을 훑었다면, 곡면은 둘의 매개변수 u, v로 훑는다. 평면의 유계 폐영역 D(9.10 f937의 Type I 또는 Type II 영역)에서 정의된 세 연속함수 x(u,v), y(u,v), z(u,v)에 대해, 각 (u,v)∈D에 공간의 점

r(u,v) := (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

를 대응시키는 것을 매개변수 곡면이라 하고, 그 점들이 그리는 자취를 곡면 S라 한다― r(u,v)는 6.1 f507의 공간 성분 표기로 쓴 위치벡터이다. D를 이 곡면의 매개변수 영역이라 한다.

이 절에서 쓰는 용어를 정리한다.

u곡선과 v곡선, 그리고 접벡터 ― v=v₀을 고정하면 u ↦ r(u,v₀)은 9.12 f952의 매개변수 곡선이 된다(u곡선). 그 접벡터가 곧 성분별 편도함수(8.9 f908)

r_u := (x_u, y_u, z_u), r_v := (x_v, y_v, z_v)

이고, 마찬가지로 u를 고정한 v곡선의 접벡터가 r_v이다.

매끄러운 곡면 ― x, y, z가 D를 포함하는 어떤 열린집합에서 연속인 편도함수를 갖고, D의 내부의 모든 점에서 r_u×r_v ≠ 0인 경우를 말한다. 이 조건은 9.12 f952의 «r′(t)≠0»에 정확히 대응하며, 970번에서 단위법선벡터를 만들 때 반드시 필요하다.
법벡터 ― 6.6 f876에 의해 r_u×r_v은 r_u와 r_v 모두에 수직이다. 두 접벡터가 정하는 평면을 그 점에서의 접평면이라 하면, r_u×r_v은 접평면에 수직인 벡터―곧 곡면의 법벡터―이다.
단순 곡면 ― D의 내부에서 r가 단사인 경우(곡면이 자기 자신과 겹치지 않음).
조각별 매끄러운 곡면 ― 유한개의 매끄러운 곡면을 경계를 따라 이어 붙인 것. 정육면체의 겉면처럼 모서리가 유한개 있는 곡면을 다루기 위한 확장으로, 9.12 f952의 «조각별 매끄러운 곡선»에 대응한다.

평면의 정의역 D(왼쪽)를 공간의 곡면 S(오른쪽)로 보내는 대응. D의 격자선이 곡면 위에서 u곡선·v곡선이 되고, 빨간 점이 표본점 (u, v)의 상 r(u,v)이다. 초록 화살표가 두 접벡터 r_u, r_v, 빨간 화살표가 그 외적인 법벡터 n = r_u×r_v이다.

[그래프 곡면] 가장 자주 쓰는 특수한 경우는 이변수함수의 그래프(8.8 f901) z=g(x,y), (x,y)∈D이다. 이때 x, y 자체를 매개변수로 삼아 r(x,y)=(x, y, g(x,y))로 두면

r_x = (1, 0, g_x), r_y = (0, 1, g_y)

이고, 6.6 f875의 성분 공식을 그대로 대입하면

r_x×r_y = (0·g_y − g_x·1, g_x·0 − 1·g_y, 1·1 − 0·0)	6.6 f875(외적의 정의)
= (−g_x, −g_y, 1)	정리

가 된다. 제3성분이 항상 1이므로 이 벡터는 결코 0이 아니다―즉 연속인 편도함수를 갖는 함수의 그래프는 언제나 매끄러운 곡면이고, 그 법벡터는 늘 위쪽(z성분이 양)을 가리킨다. 이 사실은 967·971·973·974번에서 되풀이해 쓰인다.

9.12 f952에서와 마찬가지로, «곡면 S»라고 할 때 자취(점들의 집합)와 매개변수 표현은 서로 다른 것이다. 같은 자취를 서로 다른 두 방식으로 훑을 수 있으므로, ∬S…라는 (매개변수를 명시하지 않은) 표기가 정당해지려면 «값이 매개변수 표현의 선택과 무관하다»는 것을 따로 증명해야 한다―그것이 969번이다.

966정의·정리곡면의 넓이(면적소)A(S) = ∬D|r_u×r_v| dA, dS := |r_u×r_v| dA

증명법 : 직접증명법(소직사각형의 상을 접평면 위의 평행사변형으로 바꾸고, 그 넓이의 합이 이중 리만합임을 확인)

[동기] S를 매끄러운 단순 곡면이라 하자. 매개변수 영역 D를 변의 길이가 Δu, Δv인 소직사각형들로 잘게 나누면, 한 소직사각형 [u, u+Δu]×[v, v+Δv]의 상은 곡면 위의 작은 조각이 된다. 이 조각의 두 변은 u곡선과 v곡선의 짧은 토막이므로, 각각의 접벡터를 써서

r(u+Δu, v) − r(u,v) ≈ Δu r_u, r(u, v+Δv) − r(u,v) ≈ Δv r_v

로 근사된다. 그러면 곡면 조각은 두 벡터 Δu r_u, Δv r_v가 이루는 평행사변형으로 근사되고, 그 평행사변형의 넓이는 6.6 f879(외적의 크기가 평행사변형의 넓이)와 6.6 f877 (iv)(실수배와의 결합), 6.4 f524(실수배의 크기 ― 공간에서도 6.1 f507로 같은 계산)에 의해

|Δu r_u × Δv r_v| = |r_u×r_v| Δu Δv (Δu>0, Δv>0)

이다. 이것을 모두 더한 것은 함수 |r_u×r_v|의 이중 리만합(9.10 f932)에 다름 아니다.

소직사각형의 상(파랑 격자로 그린 실제 곡면 조각)과 그것을 근사하는 접평면 위의 평행사변형(빨간 점선). 두 변이 Δu r_u, Δv r_v(초록 화살표)이므로 그 넓이가 |r_u×r_v| Δu Δv이다.

[정의] 매끄러운 단순 곡면 S : r(u,v) ((u,v)∈D)에 대해

A(S) := ∬D|r_u×r_v| dA

를 S의 넓이라 하고, dS := |r_u×r_v| dA를 면적소라 한다. 조각별 매끄러운 곡면에 대해서는 각 조각의 넓이의 합으로 정의한다.

[정리 ― 이 정의는 실제로 값을 갖는다.] S가 매끄러우면 위 이중적분은 존재한다.

① x_u, y_u, z_u, x_v, y_v, z_v가 D에서 연속이므로, 6.6 f875의 외적의 각 성분은 이들의 곱과 차로만 이루어져 있어 8.8 f907(연속함수의 사칙연산)에 의해 연속이다.

② 이제 그 크기 |r_u×r_v|이 연속임을 본다―임의의 공간벡터 a, b에 대해 6.3 f521(역삼각부등식)과 6.2 f515(삼각부등식)에 의해

| |a| − |b| | ≤ |a−b| ≤ |a₁−b₁| + |a₂−b₂| + |a₃−b₃|

이므로, 세 성분이 모두 연속이면 크기도 연속이다(9.12 f953 ②에서 |r′(t)|에 대해 쓴 논증과 문자 그대로 같다).

③ 따라서 피적분함수가 D에서 연속이고, 9.10 f933 ·f937에 의해 이중적분이 존재한다.

«대학» 참고 ― 왜 «정의»일 수밖에 없는가. 9.12 f953에서 곡선의 길이는 내접 다각형 길이의 상한으로 먼저 정의하고, 그것이 b∫a|r′(t)|dt와 같음을 증명했다. 곡면에서 그와 똑같이 «내접 다면체의 넓이의 상한»으로 정의하려는 시도는 실패한다―슈바르츠(H. A. Schwarz, 1880)가 든 유명한 예에서, 원기둥에 내접하는 삼각형 다면체를 (가로·세로 방향으로 서로 다른 속도로) 잘게 나누면 그 겉넓이가 원기둥의 옆넓이로 수렴하지 않고 얼마든지 커질 수 있다(이른바 «슈바르츠의 등불»). 즉 곡면에서는 그 상한이 +∞가 되어 버려 정의 자체가 성립하지 않는다. 그래서 곡면의 넓이는 위와 같이 정의할 수밖에 없고, 그 정당성은 ⑴ 위의 평행사변형 근사, ⑵ 969번에서 증명할 매개변수 표현에 대한 불변성, ⑶ 976번에서 3.30 f344·3.34 f376의 초등기하 공식과 실제로 일치한다는 확인, 이 셋으로 뒷받침된다. 내접 다면체가 왜 실패하는지에 대한 정밀한 분석(면의 법선이 곡면의 법선으로 수렴하지 않는다는 것)은 기하측도론의 주제이므로 여기서는 사실만 인용한다.

증명 끝

967정리그래프 곡면의 넓이 공식A(S) = ∬D1+g_x²+g_y² dA (S : z=g(x,y))

증명법 : 직접증명법(965번의 그래프 곡면 법벡터를 966번에 대입)

g가 D를 포함하는 어떤 열린집합에서 연속인 편도함수를 갖고 D가 9.10 f937의 유계 폐영역일 때, 그래프 곡면 S : z=g(x,y), (x,y)∈D의 넓이는 위 요약식과 같다.

r_x×r_y = (−g_x, −g_y, 1)	965번(그래프 곡면)
\|r_x×r_y\| = (−g_x)²+(−g_y)²+1² = 1+g_x²+g_y²	6.1 f507(공간벡터의 크기)
A(S) = ∬D1+g_x²+g_y² dA	966번의 정의에 대입

특히 평면 z = ax+by+c 위에 놓인 영역이면 g_x=a, g_y=b가 상수이므로

A(S) = 1+a²+b² ∬D1 dA = 1+a²+b² · Area(D)

가 된다(9.10 f934의 선형성과 f939의 넓이 공식). 즉 기울어진 평면조각의 넓이는 그 사영의 넓이에 일정한 배율을 곱한 것이며, 976번 ⑵에서 실제로 쓰인다.

이 공식은 9.12 f953의 호의 길이를 정확히 한 차원 올린 것이다―평면곡선이 함수의 그래프 y=f(x)이면 r(t)=(t, f(t))이므로 f953의 피적분함수가 1+f′(x)²가 되는데, 여기서는 그 자리에 1+g_x²+g_y²가 들어온다. «9.8의 두 곡선 사이 넓이 → 9.10의 이중적분 → 9.11의 삼중적분»이라는 계열과 나란히, «9.12의 호의 길이 → 9.13의 곡면의 넓이»라는 계열이 여기서 한 단계 올라간다.

증명 끝

968정의스칼라장의 면적분∬Sf dS := ∬Df(r(u,v)) |r_u×r_v| dA

정의이므로 증명 대상이 아닙니다(값이 실제로 존재한다는 것만 아래에서 확인합니다).

S : r(u,v) ((u,v)∈D)가 매끄러운 단순 곡면이고, f가 S를 포함하는 공간의 어떤 영역에서 정의된 연속인 삼변수 스칼라장(8.8 f900―삼변수로의 확장은 9.11 f942에서 이미 쓴 것과 같다)일 때, f의 S 위에서의 면적분을

∬Sf dS := ∬Df(r(u,v)) |r_u×r_v| dA

로 정의한다. 조각별 매끄러운 곡면에 대해서는 각 조각 위의 면적분의 합으로 정의한다.

[값이 존재한다.] 966번에서 |r_u×r_v|이 D에서 연속임을 보았으므로, f∘r가 D에서 연속임만 보이면 8.8 f907(곱의 연속성)과 9.10 f933 ·f937에 의해 이중적분이 존재한다. 그 연속성은 9.12 f955에서 ℝ→ℝ³→ℝ의 합성에 대해 쓴 것과 같은 ε–δ 논증이다―(u₀,v₀)∈D와 ε>0에 대해, f가 r(u₀,v₀)에서 연속이므로 η>0이 있어 |X−r(u₀,v₀)|<η이면 |f(X)−f(r(u₀,v₀))|<ε이고, x, y, z가 (u₀,v₀)에서 연속이므로(편도함수가 존재하고 연속이면 8.9 f911·9.12 f960 ⑤의 보조정리에 의해 연속) δ>0이 있어 |(u,v)−(u₀,v₀)|<δ이면 세 성분의 차가 각각 η3보다 작고, 966번 ②의 부등식 |a−b| ≤ |a₁−b₁|+|a₂−b₂|+|a₃−b₃|에 의해 |r(u,v)−r(u₀,v₀)|<3·η3=η가 된다.

[기본이 되는 두 특수한 경우]

f≡1이면 정의가 그대로 966번의 A(S)가 된다―면적분은 넓이를 잴 때 각 점에 f라는 가중치를 주는 것이다(밀도를 곱하면 질량, 밀도가 1이면 넓이).
S가 그래프 곡면 z=g(x,y)이면 967번의 계산에 의해

∬Sf dS = ∬Df(x, y, g(x,y)) 1+g_x²+g_y² dA

이다―9.10의 이중적분만으로 실제 계산이 끝난다.

9.12 f954의 스칼라 선적분 ∫Cf ds가 «곡선을 길이 Δs_i인 토막으로 나누고 f(P_i^*)Δs_i를 더한 것»이었다면, 여기서는 곡면을 넓이 ΔS_i인 조각으로 나누고 f(P_i^*)ΔS_i를 더한 것이 된다. 다만 이 절에서는 f954처럼 리만합의 극한을 정의로 삼지 않고 위와 같이 매개변수 적분을 정의로 삼았다―966번의 «대학» 참고에서 본 대로 곡면에서는 «조각의 넓이»를 곡면 자체로부터 먼저 확보할 방법이 없기 때문이다. 두 관점이 어긋나지 않는다는 것은 f≡1일 때 966번의 평행사변형 근사가 바로 그 리만합이라는 사실이 보증한다.

증명법 : 직접증명법(⑴–⑶은 9.10의 대응 정리로 환원, ⑷는 연쇄법칙·외적의 대수적 성질과 이중적분의 변수변환 정리를 결합)

S가 매끄러운 단순 곡면이고 f, h가 S 위에서 연속일 때 다음이 성립한다.

선형성 ― 실수 p, q에 대해 ∬S(pf+qh)dS = p∬Sf dS + q∬Sh dS.
단조성과 절댓값 부등식 ― S 위에서 f≤h이면 ∬Sf dS ≤ ∬Sh dS이고, |∬Sf dS| ≤ ∬S|f| dS.
가법성 ― S가 유한개의 매끄러운 조각 S₁,…,S_m으로 나뉘면 ∬Sf dS = ∬S₁f dS + … + ∬S_mf dS.
매개변수 표현에 무관 ― 같은 자취를 훑는 두 매끄러운 단순 매개변수 표현 r₁ : D₁→S와 r₂ : D₂→S에 대해 두 면적분의 값이 같다.

⑴–⑶의 증명. 968번의 정의에 의해 좌변은 모두 D 위의 이중적분이고, 그 피적분함수는 각각 (pf+qh)(r)|r_u×r_v|, f(r)|r_u×r_v|, h(r)|r_u×r_v|이다. |r_u×r_v|≥0이므로

⑴은 9.10 f934(이중적분의 선형성)를 그대로 옮긴 것,
⑵는 f≤h에 |r_u×r_v|≥0을 곱해도 부등호가 보존되므로 9.10 f936(단조성·절댓값 부등식)을 그대로 옮긴 것,
⑶은 968번에서 조각별 곡면의 면적분을 조각의 합으로 정의했고, 한 조각을 다시 둘로 나누는 경우는 9.10 f935(영역의 분할)로 환원되는 것

이다.

⑷의 증명 ― 재매개변수화. r₁ = r₂∘T라 하자. 여기서 T(u,v) = (s(u,v), t(u,v))는 D₁에서 D₂ 위로의 전단사이고, s, t가 연속인 편도함수를 가지며 야코비 행렬식

J := s_us_vt_ut_v = s_ut_v − s_vt_u

이 D₁에서 0이 아니라고 하자(행렬식 표기는 5.1 f825).

r_1,u = r_2,ss_u + r_2,tt_u, r_1,v = r_2,ss_v + r_2,tt_v	8.9 f912(다변수 연쇄법칙)를 세 성분 각각에, 다른 한 변수를 고정한 채 적용
r_1,u×r_1,v = s_us_v(r_2,s×r_2,s) + s_ut_v(r_2,s×r_2,t) + t_us_v(r_2,t×r_2,s) + t_ut_v(r_2,t×r_2,t)	6.6 f877 (iii)(분배법칙)·(iv)(실수배와의 결합)
= (s_ut_v − s_vt_u)(r_2,s×r_2,t) = J (r_2,s×r_2,t)	6.6 f877 (i)(a×a=0)·(ii)(반교환법칙)
\|r_1,u×r_1,v\| = \|J\| \|r_2,s×r_2,t\|	6.4 f524(실수배의 크기 ― 공간에서도 6.1 f507로 같은 계산)

한편 이중적분의 변수변환 정리(아래 «대학» 참고)에 의해, D₂에서 연속인 임의의 H에 대해

∬D₂H(s,t) dA = ∬D₁H(T(u,v)) |J| dA

이다. 여기에 H(s,t) := f(r₂(s,t))|r_2,s×r_2,t|를 넣으면

∬D₂f(r₂)\|r_2,s×r_2,t\| dA = ∬D₁f(r₂∘T)\|(r_2,s×r_2,t)∘T\| \|J\| dA	변수변환 정리
= ∬D₁f(r₁) \|r_1,u×r_1,v\| dA	r₁=r₂∘T와 위 표의 마지막 줄

이 되어, 두 매개변수 표현이 주는 면적분의 값이 같다. 특히 f≡1로 두면 곡면의 넓이도 매개변수 표현의 선택과 무관하다―966번의 정의가 자취만으로 결정된다는 뜻이다.

«대학» 참고 ― 이중적분의 변수변환 정리. 위에서 인용한 ∬D₂H dA = ∬D₁(H∘T)|J|dA는 다변수 미적분학의 독립된 큰 정리로, 완전한 증명은 T가 작은 정사각형을 «근사적으로 |J|배 넓이의 평행사변형»으로 보낸다는 것을 넓이(측도)의 수준에서 정확히 제어해야 하고, 그 과정에서 역함수 정리와 측도의 기본 성질이 필요하다―9.10 f938(푸비니의 정리)이나 8.2의 640·641번 (사잇값 정리·최대최소 정리)과 마찬가지로 실해석학의 표준 결과이므로 여기서는 결과만 인용해 사용한다. 참고로 J의 부호는 여기서 |J|에 가려 사라지지만, 970번의 «향»에서는 바로 그 부호가 결정적인 역할을 한다.

증명 끝

970정의유향곡면과 단위법선벡터장n := r_u×r_v|r_u×r_v|, 폐곡면은 바깥향, ∂S는 오른손 법칙

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

S : r(u,v)가 매끄러운 단순 곡면이면 965번에 의해 r_u×r_v≠0이므로, 6.4 f529(정규화)에 의해

n(u,v) := r_u×r_v|r_u×r_v|

는 각 점에서 곡면에 수직인 단위법선벡터이고, 966번 ①·②에서 본 대로 D에서 연속이다. 곡면의 각 점에 수직인 단위벡터는 n과 −n 둘뿐이므로(6.4 f525), 곡면 위에서 연속으로 하나를 고르는 방식은 많아야 두 가지이다.

유향곡면(향이 있는 곡면) ― 곡면 전체에서 연속인 단위법선벡터장 n을 하나 고를 수 있는 곡면. 그렇게 고른 n을 그 곡면의 향이라 하고, 향까지 정해진 곡면을 (S, n) 또는 그냥 S로 쓴다. 향을 반대로 뒤집은 곡면을 −S로 쓴다―9.12 f952에서 곡선의 향을 −C로 쓴 것과 같은 관례이다.
재매개변수화와 향 ― 969번 ⑷의 계산에서 r_1,u×r_1,v = J (r_2,s×r_2,t)였으므로, J>0이면 두 매개변수 표현이 같은 향을, J<0이면 반대 향을 준다. 스칼라 면적분(968번)은 |J|만 쓰므로 향에 무관했지만, 971번의 벡터장 면적분은 이 부호에 정면으로 의존한다.
폐곡면의 향 ― S가 어떤 입체영역 E의 경계 ∂E인 폐곡면일 때는, 관례상 E의 바깥을 가리키는 향을 양의 향으로 잡는다.
경계곡선의 유도된 향(오른손 법칙) ― S가 경계곡선 ∂S를 갖는 유향곡면일 때, 오른손 엄지를 n 방향으로 두었을 때 남은 네 손가락이 감기는 방향을 ∂S의 유도된 향이라 한다(6.6 f881의 오른손 법칙과 같은 규약). 특히 S가 xy평면 위의 평면영역 D이고 n = k이면, 유도된 향은 정확히 9.12 f961에서 말한 양의 향 (D를 왼쪽에 두고 도는 반시계 방향)이 된다. 더 나아가 그래프 곡면 S : z=g(x,y), (x,y)∈D에 위쪽 향을 준 경우에도, ∂S의 유도된 향을 xy평면에 사영한 것은 ∂D의 양의 향이 된다― 965번에서 본 대로 위쪽 향의 법선 (−g_x,−g_y,1)은 k성분이 항상 1이어서 k와 이루는 각이 늘 예각이고, 사영 (x,y,z)↦(x,y)이 이 «위쪽»이라는 성질과 감기는 방향을 그대로 보존하기 때문이다. 973번에서 이 정합성을 그대로 쓴다.

왼쪽 : 경계가 있는 열린 곡면 위의 한 점에서 가능한 두 단위법선 n과 −n ― 이 중 하나를 곡면 전체에서 연속으로 고르는 것이 «향을 준다»는 것이다. 오른쪽 : 폐곡면(구)의 경우 관례상 바깥쪽을 향으로 잡는다. 구는 평면 위에서 늘 원으로 보이므로 원으로 그리되, 적도에 해당하는 위치의 타원과 옅은 하이라이트로 입체감을 주었고, 법선 화살표는 976번 ⑴에서 실제로 계산할 «구면의 법벡터는 위치벡터의 양의 실수배»라는 사실을 그대로 반영해 중심에서 뻗어 나가게 그렸다(3.34 f374의 접평면 상황과도 일치한다).

«대학» 참고 ― 유향이 아닌 곡면. 모든 곡면이 유향인 것은 아니다. 대표적인 예가 뫼비우스 띠로, 예컨대

r(u,v) = ((2+v cosu2)cos u, (2+v cosu2)sin u, v sinu2) (0≤u≤2π, −12≤v≤12)

로 매개변수화되며, u가 0에서 2π까지 한 바퀴 도는 동안 n이 연속으로 움직여 처음 자리에 돌아왔을 때 −n이 되어 버린다―따라서 곡면 전체에서 연속인 단위법선벡터장을 고르는 것이 불가능하다. 어떤 곡면이 유향인지를 정확히 판정하고 분류하는 것은 위상수학(곡면의 분류 정리)의 주제이므로, 이 절에서는 다루는 곡면이 유향이라는 것을 가정에 명시하고 그 사실만 사용한다. 아래 971–974번에서 «유향»이라는 낱말이 붙은 자리는 모두 이 가정이 필요한 자리이다.

971정의벡터장의 면적분(유량)∬SF·dS := ∬S(F·n)dS = ∬DF·(r_u×r_v) dA

정의이므로 증명 대상이 아닙니다(계산 공식과 성질은 아래에서 확인합니다).

F = (P, Q, R)가 유향곡면 (S, n)을 포함하는 영역에서 연속인 벡터장일 때 (9.12 f957의 벡터장을 공간으로 확장한 것), F의 S 위에서의 면적분 (또는 S를 지나는 유량, flux)을

∬SF·dS := ∬S(F·n) dS

로 정의한다―즉 F의 법선방향 성분이라는 스칼라장을 968번의 면적분으로 적분한 것이다. S가 폐곡면일 때는 9.12 f958의 ∮C 기호와 같은 취지로 ∯SF·dS로 쓴다.

[계산 공식] 968번과 970번의 정의를 그대로 대입하면 n의 분모가 면적소와 약분되어

∬S(F·n)dS = ∬DF(r(u,v))·r_u×r_v\|r_u×r_v\| \|r_u×r_v\| dA	968번(면적분의 정의)과 970번(n의 정의)
= ∬DF(r(u,v))·(r_u×r_v) dA	\|r_u×r_v\|≠0이므로 약분(965번의 매끄러움)

이 마지막 식이 실제 계산에 쓰이는 형태이다―단위화도 크기 계산도 필요 없이 외적을 그대로 내적하면 된다.

[그래프 곡면의 경우] S : z=g(x,y), (x,y)∈D에 위쪽 향(965번에서 본 대로 r_x×r_y=(−g_x,−g_y,1)의 향)을 주면

∬SF·dS = ∬D[−P g_x − Q g_y + R] dA (P,Q,R의 인수는 (x, y, g(x,y)))

이다. 아래쪽 향이면 부호가 모두 반대가 된다. 973·974번의 증명은 전부 이 한 줄 위에서 이루어진다.

[성질] 969번 ⑴·⑶이 그대로 옮겨져 선형성과 가법성이 성립한다. 더해서, 향을 뒤집으면

∬−SF·dS = −∬SF·dS

이다―정의에서 n이 −n으로 바뀌면 피적분함수 F·n의 부호만 뒤집히고, 969번 ⑴의 선형성에서 p=−1로 두면 된다.

이 부호 규칙은 9.12 f958 (c)에서 벡터장의 선적분이 향을 뒤집으면 부호가 바뀌었던 것(반면 f956 (d)의 스칼라 선적분은 향에 무관했던 것)과 정확히 같은 대비이다. 이 절에서도 968번의 스칼라 면적분은 향에 무관하고 (969번 ⑷에서 |J|만 쓰였다), 벡터장의 면적분만 향에 의존한다. 물리적으로 «유량»은 어느 쪽으로 흐르는 양인지를 묻는 것이므로 향이 필요한 것이 당연하다.

972정의·정리발산과 회전, 그리고 혼합편도함수의 교환(클레로 정리)div F = P_x+Q_y+R_z, curl F = (R_y−Q_z, P_z−R_x, Q_x−P_y), f_xy=f_yx

증명법 : 직접증명법(평균값 정리를 두 방향으로 각각 두 번 적용해 같은 양을 두 가지로 표현)

[2계 편도함수] 이변수함수 f의 편도함수 f_x, f_y(8.9 f908)가 다시 편미분가능하면, 그 편도함수를

f_xx := (f_x)_x, f_xy := (f_x)_y, f_yx := (f_y)_x, f_yy := (f_y)_y

로 쓰고 2계 편도함수라 한다(f908을 두 번 적용한 것일 뿐이다). f_xy와 f_yx처럼 미분하는 순서가 다른 것을 혼합편도함수라 한다. 삼변수함수에 대해서도 같다.

[발산과 회전] F = (P, Q, R)의 각 성분이 어떤 영역에서 편미분가능할 때, 형식적인 벡터

∇ := (∂∂x, ∂∂y, ∂∂z)

를 6.6 f874의 내적 성분 공식과 6.6 f875의 외적 성분 공식에 형식적으로 대입해 얻는 두 양을 각각 발산과 회전이라 한다.

div F := ∇·F = P_x + Q_y + R_z (스칼라)

curl F := ∇×F = (R_y−Q_z, P_z−R_x, Q_x−P_y) (벡터)

회전의 성분은 6.6 f875에 u=∇, v=F를 넣어 (y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂)를 그대로 읽은 것이다. 8.9 f913의 그레이디언트 ∇f도 같은 형식적 규약(스칼라와의 곱)으로 얻어진다.

평면벡터장 F=(P(x,y), Q(x,y), 0)에 대해서는 curl F = (0, 0, Q_x−P_y)가 되어, 9.12 f961(그린 정리)의 피적분함수 Q_x−P_y가 바로 회전의 k성분임을 알 수 있다. 마찬가지로 9.12 f963의 보존장 판정 조건 P_y=Q_x는 curl F=0과 같은 말이다. 이 두 관찰이 973번(스토크스 정리)과 975번의 출발점이다.

[정리 ― 클레로(Clairaut)의 정리] f_x, f_y, f_xy, f_yx가 점 (a,b)의 어떤 근방에서 존재하고 f_xy, f_yx가 (a,b)에서 연속이면

f_xy(a,b) = f_yx(a,b)

이다. 이 정리는 이 사이트에서 아직 세우지 않았으나 973번의 증명에 반드시 필요하므로 여기서 직접 증명한다.

① 하나의 양을 준비한다. 근방 안에 들어가는 h≠0, k≠0에 대해

Δ(h,k) := f(a+h, b+k) − f(a+h, b) − f(a, b+k) + f(a, b)

라 두자. 이 한 양을 두 가지 방식으로 계산한다.

② x를 먼저 움직인다. φ(x) := f(x, b+k) − f(x, b)라 두면 Δ(h,k) = φ(a+h) − φ(a)이고, φ는 a와 a+h 사이에서 미분가능하다 (f_x가 존재하므로).

Δ(h,k) = φ′(ξ)h = [f_x(ξ, b+k) − f_x(ξ, b)]h	8.6 f672(평균값 정리), ξ는 a와 a+h 사이
= f_xy(ξ, η) k h	y ↦ f_x(ξ, y)에 다시 8.6 f672, η는 b와 b+k 사이

③ y를 먼저 움직인다. 이번에는 ψ(y) := f(a+h, y) − f(a, y)라 두면 Δ(h,k) = ψ(b+k) − ψ(b)이고, 똑같은 두 단계로

Δ(h,k) = ψ′(η′)k = [f_y(a+h, η′) − f_y(a, η′)]k	8.6 f672, η′은 b와 b+k 사이
= f_yx(ξ′, η′) h k	x ↦ f_y(x, η′)에 다시 8.6 f672, ξ′은 a와 a+h 사이

④ 두 표현을 견준다. hk≠0이므로 ②과 ③에서

f_xy(ξ, η) = f_yx(ξ′, η′) (|ξ−a|<|h|, |η−b|<|k|, |ξ′−a|<|h|, |η′−b|<|k|)

를 얻는다. 이제 ε>0을 임의로 주자. f_xy, f_yx가 (a,b)에서 연속이므로 (8.8 f906) δ>0이 있어, (a,b)로부터의 거리가 δ보다 작은 점 X에서 |f_xy(X)−f_xy(a,b)|<ε2이고 |f_yx(X)−f_yx(a,b)|<ε2이다. 0<|h|,|k|<δ2로 잡으면 네 점 (ξ,η), (ξ′,η′)가 모두 그 범위에 들어가므로

\|f_xy(a,b) − f_yx(a,b)\| ≤ \|f_xy(a,b) − f_xy(ξ,η)\| + \|f_yx(ξ′,η′) − f_yx(a,b)\|	④의 등식으로 가운데 두 값이 같아 상쇄, 삼각부등식(2.7 f146)
< ε2 + ε2 = ε	위의 연속성

이다. ε>0이 임의였으므로 두 값의 차는 0, 곧 f_xy(a,b)=f_yx(a,b)이다.

증명 끝

973정리스토크스 정리∮CF·dr = ∬S(curl F)·dS (C=∂S, 오른손 법칙)

증명법 : 직접증명법(양변을 모두 사영영역 D 위의 이중적분으로 바꾸고, 좌변에는 그린 정리를, 우변에는 그래프 곡면의 유량 공식을 적용해 두 피적분함수가 같음을 확인)

[주장] D가 9.12 f961에서와 같이 조각별 매끄러운 단순폐곡선 C₁을 경계로 갖는 단순영역이고, g가 D를 포함하는 열린집합에서 연속인 2계 편도함수를 가질 때, 그래프 곡면

S : z = g(x,y) ((x,y)∈D, 위쪽 향)

과 그 경계곡선 C=∂S(970번 ⑷의 유도된 향)를 생각하자. F=(P,Q,R)의 세 성분이 S를 포함하는 열린집합에서 연속인 편도함수를 가지면

∮CF·dr = ∬S(curl F)·dS

이 성립한다. 이것이 스토크스(Stokes)의 정리이다.

곡면 S(파랑)의 향 n(초록)과 경계곡선 C(빨강)의 유도된 향. 오른손 엄지를 n 방향으로 두면 네 손가락이 C의 화살표 방향으로 감긴다. 그림의 S는 976번 ⑷에서 실제로 계산하는 z = 1 − x² − y²의 z≥0 부분이고, C는 그 경계인 단위원(z=0)이다.

«대학» 참고 ― 삼변수 연쇄법칙. 아래 증명은 P(x, y, g(x,y))처럼 삼변수함수와 곡면의 합성을 편미분하므로, 8.9 f912의 이변수 연쇄법칙을 삼변수로 확장한 형태가 필요하다. 8.9 f910(전미분가능성)·f911·f912의 정의와 증명은 (h,k) 자리에 (h,k,l)을, h²+k² 자리에 h²+k²+l²을 넣으면 문자 그대로 성립하며(9.11 f942에서 삼변수 연속·적분가능성을 확장할 때와 같은 상황이다), 9.12 f960 ⑤의 보조정리(편도함수가 연속이면 전미분가능)도 마찬가지다. 따라서 P의 편도함수가 연속이라는 가정 아래

∂∂xP(x, y, g(x,y)) = P_x + P_z g_x, ∂∂yP(x, y, g(x,y)) = P_y + P_z g_y

를 자유롭게 쓴다(한 변수를 고정하고 t ↦ (t, y₀, g(t,y₀))에 f912의 확장을 적용한 것). Q, R도 같다.

① 우변을 D 위의 이중적분으로. 972번의 curl과 971번의 그래프 곡면 공식을 결합한다.

∬S(curl F)·dS = ∬D[−(R_y−Q_z)g_x − (P_z−R_x)g_y + (Q_x−P_y)] dA

971번(위쪽 향 그래프 곡면의 유량)에 972번의 curl F 세 성분을 대입

② 좌변을 평면 선적분으로. C₁을 양의 향으로 매개변수화한 것을 (x(t), y(t)) (t∈[a,b])라 하면, C는 r(t)=(x(t), y(t), g(x(t),y(t)))로 매개변수화된다―970번 ⑷에 의해 위쪽 향에 대응하는 C의 유도된 향이 바로 C₁의 양의 향이다.

∮CF·dr = b∫a[P x′(t) + Q y′(t) + R z′(t)] dt	9.12 f957(벡터장 선적분의 계산 공식)
z′(t) = g_x x′(t) + g_y y′(t)	8.9 f912(다변수 연쇄법칙 ― 여기서는 이변수 그대로)
= b∫a[(P + R g_x)x′(t) + (Q + R g_y)y′(t)] dt = ∮C₁P̃ dx + Q̃ dy	위 두 줄을 정리하고 9.12 f957을 평면곡선 C₁에 거꾸로 읽음

여기서 P̃(x,y) := P(x,y,g(x,y)) + R(x,y,g(x,y)) g_x(x,y), Q̃(x,y) := Q(x,y,g(x,y)) + R(x,y,g(x,y)) g_y(x,y)이다. 가정에 의해 P̃, Q̃와 그 편도함수는 D를 포함하는 열린집합에서 연속이다.

③ 그린 정리를 적용한다. 9.12 f961에 의해

∮C₁P̃ dx + Q̃ dy = ∬D(∂Q̃∂x − ∂P̃∂y) dA

이고, 두 편도함수를 위 «대학» 참고의 연쇄법칙과 곱의 미분법(8.3 f649)으로 계산하면

∂Q̃∂x = Q_x + Q_zg_x + (R_x + R_zg_x)g_y + R g_yx	삼변수 연쇄법칙 + 곱의 미분법(마지막 항은 R·g_y의 x-편미분)
∂P̃∂y = P_y + P_zg_y + (R_y + R_zg_y)g_x + R g_xy	같은 방식
∂Q̃∂x − ∂P̃∂y = (Q_x−P_y) + (Q_z−R_y)g_x + (R_x−P_z)g_y	빼면 R_zg_xg_y가 상쇄되고, g가 2계 연속편도함수를 가지므로 972번(클레로 정리)에 의해 g_xy=g_yx여서 R g_yx−R g_xy=0
= −(R_y−Q_z)g_x − (P_z−R_x)g_y + (Q_x−P_y)	각 괄호의 부호를 정리 ― ①의 피적분함수와 완전히 같다

④ 결론. ②·③에 의해 좌변이 ①의 우변과 같은 이중적분이 되므로 두 적분이 같다.

«대학» 참고 ― 일반 유향곡면으로의 확장. 위 증명은 S가 하나의 그래프 곡면인 경우이다. 일반적인 조각별 매끄러운 유향곡면에 대해서는, S를 각각이 어떤 좌표평면 위의 그래프가 되는 유한개의 조각으로 나누고 각 조각에 위 결과를 적용한 뒤 더한다―이때 조각들의 내부 경계는 이웃한 두 조각에서 서로 반대 향으로 한 번씩 지나가므로 9.12 f958 (c)에 의해 선적분이 상쇄되고, 바깥 경계인 ∂S만 남는다. 다만 ⑴ 그런 분할이 항상 가능한가, ⑵ 조각마다 고른 향이 서로 정합적인가는 곡면의 위상적 성질에 관한 문제로, 9.12 f961에서 조르당 곡선 정리를 인용한 것과 같이 위상수학의 표준 결과이므로 여기서는 결과만 인용해 사용한다.

증명 끝

974정리발산 정리(가우스의 정리)∯SF·dS = ∭Ediv F dV (S=∂E, 바깥향)

증명법 : 직접증명법(세 성분에 대한 세 등식으로 쪼갠 뒤, 각각을 푸비니의 정리와 미적분의 기본정리로 확인)

[주장] E가 9.11 f947의 Type I, Type II, Type III를 동시에 만족하는 유계 입체영역(이를 단순 입체영역이라 한다)이고, 그 경계 S=∂E가 조각별 매끄러운 유향 폐곡면(바깥향, 970번 ⑶)이라 하자. F=(P,Q,R)의 세 성분이 E를 포함하는 열린집합에서 연속인 편도함수를 가지면

∯SF·dS = ∭Ediv F dV

이 성립한다. 이것이 발산 정리(가우스의 정리)이다.

① 세 등식으로 쪼갠다. F=(P,0,0)+(0,Q,0)+(0,0,R)이고 971번의 선형성과 9.11 f944(삼중적분의 선형성)에 의해, 다음 세 등식을 각각 보이면 충분하다.

∬S(0,0,R)·dS = ∭ER_z dV, ∬S(P,0,0)·dS = ∭EP_x dV, ∬S(0,Q,0)·dS = ∭EQ_y dV

세 등식을 더하면 우변의 합이 P_x+Q_y+R_z=div F가 된다. 아래 ②·③에서 첫 번째(R에 대한 것)를 Type I로 증명하고, ④에서 나머지 둘을 Type II·III로 같은 방식으로 처리한다.

② 첫 번째 등식의 우변 ― Type I로 본다. E = {(x,y,z) : (x,y)∈D, u₁(x,y)≤z≤u₂(x,y)}라 하자.

∭ER_z dV = ∬D[u₂(x,y)∫u₁(x,y)R_z(x,y,z) dz]dA	9.11 f948(푸비니의 정리)
= ∬D[R(x,y,u₂(x,y)) − R(x,y,u₁(x,y))] dA	9.8 f746(미적분의 기본정리 제2부) ― 안쪽 적분은 z에 대한 1차원 정적분

③ 첫 번째 등식의 좌변 ― 경계를 세 조각으로 나눈다. S = S₁∪S₂∪S₃, 여기서 S₂는 윗면 z=u₂(x,y), S₁은 아랫면 z=u₁(x,y), S₃은 ∂D 위에 세워진 수직인 옆면이다.

Type I 입체영역 E의 경계 분해. 빨간 화살표는 바깥 향 법선으로, 윗면 S₂에서는 위쪽, 아랫면 S₁에서는 아래쪽, 옆면 S₃에서는 수평이다. 그림의 E는 D가 단위원판이고 u₁≡0, u₂(x,y)=1.2−0.3(x²+y²)인 경우를 실제 값으로 그린 것이다.

S₂ : ∬S₂(0,0,R)·dS = ∬D[−0·u_2,x − 0·u_2,y + R(x,y,u₂)] dA = ∬DR(x,y,u₂) dA	971번(그래프 곡면) ― 윗면에서는 바깥향이 곧 위쪽 향
S₁ : ∬S₁(0,0,R)·dS = −∬DR(x,y,u₁) dA	971번 + 향의 반전(아랫면에서는 바깥향이 아래쪽 향)
S₃ : r(t,z)=(x(t), y(t), z)로 매개변수화하면 r_t×r_z = (x′,y′,0)×(0,0,1) = (y′, −x′, 0)	6.6 f875(외적의 성분 공식)
⇒ (0,0,R)·(y′,−x′,0) = 0 ⇒ ∬S₃(0,0,R)·dS = 0	971번의 계산 공식 ― 옆면의 법선은 수평이라 k성분이 0

세 조각을 971번의 가법성으로 더하면 ∬D[R(x,y,u₂)−R(x,y,u₁)]dA가 되어 ②과 일치한다.

④ 나머지 두 등식. E가 Type II이기도 하므로―9.11 f947에 의해 Type II는 x가 두 곡면 v₁(y,z)≤x≤v₂(y,z) 사이에 놓이고 yz평면에 사영되는 영역이다―x를 가장 안쪽 변수로 놓고 yz평면 위의 영역에 사영해 ②·③를 문자 그대로 반복하면 P에 대한 등식을 얻는다. 이때 옆면의 구실을 하는 것은 x축과 나란한 방향의 면이고, 거기서는 법선의 i성분이 0이 되어 (P,0,0)과의 내적이 사라진다. 마찬가지로 Type III (y가 두 곡면 사이, xz평면 사영)로 보고 y를 가장 안쪽에 놓으면 Q에 대한 등식을 얻는다― 변수의 이름만 순환할 뿐 계산은 같다. 세 등식을 더하면 주장이 증명된다.

«대학» 참고 ― 일반 영역과 폐곡면의 «안쪽». ⑴ 단순 입체영역이 아닌 E에 대해서는 E를 유한개의 단순 입체영역으로 나눈 뒤 각각에 위 결과를 적용해 더한다―내부에서 맞닿은 면은 이웃한 두 조각에서 서로 반대 향으로 한 번씩 세어져 971번의 향 반전 규칙에 의해 상쇄되고, 바깥 경계만 남는다(9.12 f961의 «대학» 참고에서 평면영역을 나눈 것과 같은 논법이다). ⑵ 애초에 «폐곡면이 공간을 안쪽 유계영역과 바깥쪽 비유계영역으로 정확히 나눈다»는 사실 자체가 자명하지 않다―이는 조르당 곡선 정리의 3차원판인 조르당–브라우어 분리 정리로, 대수적 위상수학의 표준 결과이다. 9.12 f961에서 조르당 곡선 정리를 그렇게 다룬 것과 같이 여기서도 명칭과 결과만 정확히 서술하고 인용해 사용한다.

증명 끝

975정리두 정리의 따름 ― 그린 정리와의 관계·부피 공식·회전의 성질Volume(E) = 13∯S(x,y,z)·dS, div(curl F) = 0, curl(∇f) = 0

증명법 : 직접증명법(973·974번에 특정한 벡터장을 대입하고 972번의 클레로 정리를 적용)

⑴ 그린 정리는 스토크스 정리의 평면인 경우이다. D⊆ℝ²를 xy평면 위의 곡면 S : z=g(x,y)≡0으로 보고 위쪽 향 n=k을 주자. 평면벡터장 (P(x,y), Q(x,y))를 F=(P, Q, 0)으로 보면 972번에 의해 curl F=(0, 0, Q_x−P_y)이고, 971번의 그래프 공식에서 g_x=g_y=0이므로

∬S(curl F)·dS = ∬D(Q_x−P_y) dA

가 되어 973번이 그대로 9.12 f961(그린 정리)이 된다.

논리적 순서에 주의. 이것은 그린 정리를 스토크스 정리로부터 유도한 것이 아니다―973번의 증명이 ③에서 그린 정리를 사용했으므로 그렇게 읽으면 순환논법이 된다. 여기서 확인한 것은 973번이 9.12 f961의 진짜 일반화이며, g≡0으로 되돌리면 원래의 그린 정리로 정확히 되돌아온다는 정합성이다. 이 사이트에서 그린 정리는 어디까지나 9.12 f961에서 독립적으로 증명된 정리이고, 스토크스 정리는 그 위에 세워진 것이다.

⑵ 부피를 겉면의 유량으로 잰다. F(x,y,z)=(x, y, z)로 두면 972번에 의해 div F=1+1+1=3이므로, 974번과 9.11 f949(부피 공식)에 의해

∯S(x, y, z)·dS = ∭E3 dV = 3 Volume(E), ⇒ Volume(E) = 13∯S(x, y, z)·dS

이다―9.12 f962가 «경계만 한 바퀴 돌아 평면영역의 넓이를 잰다»였다면, 이것은 «겉면만 훑어 입체의 부피를 잰다»는 그 한 차원 위의 대응이다.

⑶ 회전의 발산은 0이다. F의 성분이 2계 연속편도함수를 가지면

div(curl F) = (R_y−Q_z)_x + (P_z−R_x)_y + (Q_x−P_y)_z	972번(발산과 회전의 정의)
= (R_yx−R_xy) + (P_zy−P_yz) + (Q_xz−Q_zx) = 0	972번(클레로 정리)으로 각 괄호가 0

따라서 S가 어떤 단순 입체영역의 경계인 폐곡면이면 974번에 의해 ∯S(curl F)·dS = ∭E0 dV = 0이다―회전장의 유량은 닫힌 겉면 전체에 대해서는 언제나 0이다.

⑷ 보존장의 필요조건(3차원판). F=∇f이고 f가 2계 연속편도함수를 가지면 8.9 f913에 의해 (P,Q,R)=(f_x, f_y, f_z)이므로, 972번의 정의와 클레로 정리에 의해

curl(∇f) = (f_zy−f_yz, f_xz−f_zx, f_yx−f_xy) = 0

이다. 이는 9.12 f963의 조건 P_y=Q_x를 공간으로 확장한 것이다. 여기에 973번을 결합하면, 닫힌 곡선 C가 정의역 안에 놓인 어떤 유향곡면 S의 경계인 한 ∮CF·dr = ∬S(curl F)·dS = 0이 되어 9.12 f960의 «보존장의 닫힌 경로 적분은 0»을 다시 얻는다―다만 그런 S가 정의역 안에 존재해야 한다는 단서가 반드시 붙는다.

역(curl F=0 ⇒ 보존장)이 성립하려면 정의역에 조건이 필요하다는 것도 9.12 f963에서 본 그대로인데, 공간에서는 반례의 모양이 달라진다. 9.12 f963의 평면 반례는 ℝ²에서 원점 하나를 뺀 영역 위의 것이었지만, 공간에서 원점 하나만 뺀 ℝ³∖{0} 에서는 어떤 닫힌 곡선도 영역 안에서 한 점으로 줄일 수 있어 오히려 역이 성립한다. 공간의 반례는 z축 전체를 뺀 영역에서 나온다―그 위에서 F = (−yx²+y², xx²+y², 0)은 curl F=0이지만, z축을 감싸는 단위원 위에서 선적분이 2π≠0이므로 보존장이 아니다 (그런 단위원을 경계로 갖는 곡면은 반드시 z축과 만나 정의역을 벗어난다―바로 위 단서가 깨지는 자리이다).

증명 끝

976정리—활용계산 예 ― 구의 겉넓이, 스칼라 면적분, 발산 정리와 스토크스 정리의 검증A(구면)=4πR², ∬Sz dS=36, ∯SF·dS=6π, ∮CF·dr=π

증명법 : 직접증명법(앞 항목들의 공식에 실제 함수를 대입해 계산하고, 초등기하 공식 및 서로 다른 두 계산 경로와 값을 대조)

⑴ 구의 겉넓이 ― 966번이 3.34 f376과 일치하는가. 반지름 R인 구면을 극각 φ와 방위각 θ로

r(φ, θ) = (R sinφ cosθ, R sinφ sinθ, R cosφ) (0≤φ≤π, 0≤θ≤2π)

로 매개변수화한다.

r_φ = R(cosφ cosθ, cosφ sinθ, −sinφ), r_θ = R(−sinφ sinθ, sinφ cosθ, 0)	965번(접벡터), 8.4 f654·f655(sin, cos의 도함수)
r_φ×r_θ = R² sinφ (sinφ cosθ, sinφ sinθ, cosφ)	6.6 f875에 대입하고 4.5 f425(피타고라스 항등식)로 정리
\|r_φ×r_θ\| = R² sinφ	6.1 f507과 4.5 f425, 그리고 0≤φ≤π에서 sinφ≥0
A = 2π∫0π∫0R² sinφ dφ dθ = R²·2π·[−cosφ]₀^π = 4πR²	966번 + 9.10 f938(푸비니) + 9.8 f746

3.34 f376의 S=4πR²와 정확히 일치한다. 덧붙여 r_φ×r_θ가 위치벡터의 양의 실수배이므로 이 매개변수 순서가 곧 바깥향(970번 ⑶)을 준다―⑶에서 쓰인다.

⑵ 기울어진 평면 위의 스칼라 면적분. S를 평면 z=1−x−y의 제1팔분공간 부분, 곧 D={(x,y) : x≥0, y≥0, x+y≤1} 위의 그래프 곡면이라 하자. g_x=g_y=−1이므로 967번에 의해 배율은 1+1+1=3이다.

A(S) = 3 Area(D) = 3·12 = 32	967번 + 9.10 f939(D는 직각변이 1인 직각삼각형)
∬Sz dS = 3 ∬D(1−x−y) dA = 3 1∫01−x∫0(1−x−y) dy dx	968번(그래프 곡면의 면적분) + 9.10 f938(Type I 푸비니)
= 3 1∫0(1−x)²2 dx = 3·16 = 36	9.8 f746(미적분의 기본정리)를 두 번

⑶ 발산 정리의 검증 ― 원기둥. E = {(x,y,z) : x²+y²≤1, 0≤z≤2}, F(x,y,z)=(x, y, z)로 두자(E는 Type I·II·III를 모두 만족하는 단순 입체영역이다).

⑶의 원기둥과 세 조각의 바깥 단위법선벡터. 반지름 1과 높이 2의 비율을 픽셀에 그대로 반영해 그렸다. 윗면에서는 k=(0,0,1), 아랫면에서는 −k=(0,0,−1), 옆면에서는 축에서 수평으로 뻗은 (x, y, 0)이 바깥향이다.

우변(삼중적분). div F = 1+1+1 = 3이므로 9.11 f949와 3.30 f346(원기둥의 부피 V=πr²h)에 의해

∭E3 dV = 3 Volume(E) = 3·(π·1²·2) = 6π

좌변(유량). 겉면을 세 조각으로 나눈다.

윗면 z=2 : n=(0,0,1), F·n = z = 2 ⇒ 2·Area = 2·π·1² = 2π	971번 + 969번 ⑴ + 3.30 f343(밑넓이 πr²)
아랫면 z=0 : n=(0,0,−1), F·n = −z = 0 ⇒ 0	같은 방식 ― 아랫면에서는 바깥향이 아래쪽
옆면 : r(θ,z)=(cosθ, sinθ, z), r_θ×r_z = (−sinθ, cosθ, 0)×(0,0,1) = (cosθ, sinθ, 0)	6.6 f875 ― 바깥을 향하므로 이 매개변수 순서가 맞다
F·(r_θ×r_z) = cos²θ+sin²θ = 1 ⇒ 2π∫02∫01 dz dθ = 4π	971번의 계산 공식 + 4.5 f425 + 9.10 f938

세 조각을 더하면 2π+0+4π = 6π로 우변과 일치한다. 옆면의 값 4π가 3.30 f344의 옆넓이 2πrh = 4π와 같은 것은, 옆면에서 F·n이 항상 1이어서 유량이 곧 넓이가 되기 때문이다―966번이 초등기하의 옆넓이와도 일치함을 함께 확인한 셈이다.

⑷ 스토크스 정리의 검증 ― 포물면 갓. S : z = g(x,y) = 1−x²−y²의 D={x²+y²≤1} 위 부분(위쪽 향), C = ∂S는 단위원 x²+y²=1, z=0이고 F(x,y,z)=(z, x, y)로 두자(973번의 그림이 바로 이 곡면이다).

우변(면적분). 972번에 의해 P=z, Q=x, R=y에서

curl F = (R_y−Q_z, P_z−R_x, Q_x−P_y) = (1−0, 1−0, 1−0) = (1, 1, 1)

∬S(curl F)·dS = ∬D[−1·g_x − 1·g_y + 1] dA = ∬D(2x+2y+1) dA	971번(위쪽 향 그래프 곡면), g_x=−2x, g_y=−2y
∬Dx dA = 1∫−12x1−x² dx = [−23(1−x²)³²]₋₁¹ = 0	9.10 f938(Type I)로 안쪽 y-적분을 먼저 한 뒤 9.8 f746
∬Dy dA = 0, ∬D1 dA = Area(D) = π	앞 줄과 같은 계산(Type II) · 9.10 f939와 3.19 f263(원의 넓이)
∴ ∬S(curl F)·dS = 2·0 + 2·0 + π = π	969번 ⑴(선형성)

좌변(선적분). C를 r(t)=(cos t, sin t, 0), t∈[0,2π]로 매개변수화한다―단위원 위에서 g(cos t, sin t)=1−1=0이므로 이 곡선이 실제로 S의 경계이고, 위에서 볼 때 반시계 방향이므로 위쪽 향에 대응하는 유도된 향(970번 ⑷)이다.

F(r(t)) = (0, cos t, sin t), r′(t) = (−sin t, cos t, 0)	F=(z,x,y)에 대입, 9.12 f952
F·r′ = 0·(−sin t) + cos t·cos t + sin t·0 = cos²t	6.6 f874(공간에서의 내적)
∮CF·dr = 2π∫0cos²t dt = [t2 − sin 2t4]₀^2π = π	9.12 f957 + 9.4 f717 (배각공식에 의한 cos²의 부정적분) + 9.8 f746

양변이 모두 π로 일치한다. 이 예에서는 곡면이 평평하지 않아 g_x, g_y가 실제로 피적분함수에 기여했는데도(2x+2y 항), 그 기여가 D의 대칭성 때문에 사라져 결과가 경계에서 잰 값과 맞아떨어진 것이다―스토크스 정리는 곡면을 경계만 남기고 얼마든지 «부풀려도» 값이 변하지 않는다는 것을 이 계산이 보여 준다(같은 경계를 갖는 평평한 원판으로 바꿔 계산해도 g_x=g_y=0이라 곧바로 π가 나온다).

증명 끝

면적분

정의 · 공식과 증명