9.10 대학 과정
이중적분
Double Integral
정의 · 공식과 증명
9.8 f738(정적분―구분구적법)이 구간을 잘게 나눈 리만합의 극한이었던 것처럼, 이 절은 평면 영역을 잘게 나눈 이중 리만합의 극한으로 이중적분을 정의한다. 8.8 f906(다변수함수의 연속)에서 확립한 연속 개념이 933·938번에서 핵심적으로 쓰인다. 먼저 직사각형 영역에서 정의를 세운 뒤(932–936번), 이를 일반적인 유계 영역으로 확장한다(937–941번).
932정의직사각형 위의 이중 리만합과 이중적분∬Rf(x,y)dA := lim‖P‖→0 mΣi=1 nΣj=1 f(xij*,yij*)ΔAij
정의이므로 증명 대상이 아닙니다.
직사각형 R=[a,b]×[c,d]에서 시작한다. [a,b]를 m개, [c,d]를 n개의 소구간으로 나누는 분할(반드시 균등할 필요는 없음)을 각각 잡으면, R은 mn개의 작은 직사각형 Rij=[xi−1,xi]×[yj−1,yj]로 나뉜다(이 전체 구성을 R의 분할 P라 부른다). ΔAij:=(xi−xi−1)(yj−yj−1)는 Rij의 넓이, ‖P‖는 분할 P에 속한 모든 소구간 중 가장 긴 변의 길이(분할의 노름)이다.
각 Rij 안에서 표본점 (xij*,yij*)를 하나씩 골라 만든 이중 리만합은
Smn := mΣi=1 nΣj=1 f(xij*,yij*)ΔAij
이다. ‖P‖→0일 때(즉 소구간이 가로·세로 모두 한없이 잘아질 때) Smn이 분할·표본점의 선택과 무관하게 하나의 값으로 수렴하면, 그 극한값을 R 위에서의 f의 이중적분이라 하고 ∬Rf(x,y)dA(또는 ∬Rf(x,y)dxdy)로 쓴다―9.8 f738이 Δx를 b−an인 균등분할로 고정했던 것과 달리, 이 정의는 처음부터 비균등 분할까지 허용하는 형태로 서술한다(933번의 존재성 증명에서 어떤 분할을 잡아도 같은 극한에 수렴함을 직접 다루기 위함).
933정리연속함수의 적분가능성f가 R=[a,b]×[c,d]에서 연속이면 932번의 극한이 존재하며, 분할·표본점의 선택에 무관하게 같은 값으로 수렴
9.8 f739(1차원 구간에서의 연속함수의 적분가능성)와 정확히 같은 구조의 명제다―유계 폐구간 [a,b] 대신 유계 폐직사각형 R을 놓았을 뿐이다.
934정리이중적분의 선형성∬R[pf(x,y)+qg(x,y)]dA = p∬Rf dA + q∬Rg dA
f, g가 R에서 연속이면(933번으로 두 적분·좌변의 적분 모두 존재) 임의의 분할 P와 표본점에 대해
mΣi=1 nΣj=1 [pf+qg](xij*,yij*)ΔAij = pmΣi=1 nΣj=1 f(xij*,yij*)ΔAij + qmΣi=1 nΣj=1 g(xij*,yij*)ΔAij
가 항 단위로(1.3의 덧셈·곱셈의 분배법칙만으로) 성립한다―유한합의 재배열이므로 순서를 바꿔도 같은 값이다. ‖P‖→0인 극한을 양변에 취하면, 933번이 보장하는 세 극한이 모두 존재하므로 8.2 f632(극한의 사칙연산―수열의 극한에도 같은 논증이 그대로 적용됨)로 좌변의 극한이 우변의 극한들의 선형결합과 같음을 얻는다.
증명 끝
935정리이중적분의 가법성(영역의 분할)R = R1∪R2 (R1,R2가 한 변만 공유) ⇒ ∬Rf dA = ∬R1f dA + ∬R2f dA
R=[a,b]×[c,d]를 세로선 x=e(a<e<b)로 잘라 R1=[a,e]×[c,d], R2=[e,b]×[c,d]를 얻는 경우로 충분하다(가로선으로 자르는 경우는 x·y의 역할만 바꾼 완전히 같은 논증).
R의 분할 P를 잡을 때 [a,b]의 분할점 목록에 e를 반드시 포함시킬 수 있다―9.8 f740(정적분의 가법성)의 증명이 [a,c]의 분할에 이미 쓴 것과 같은 방법으로, e를 포함하지 않는 분할이 있어도 e를 추가해 얻은 세분(refinement)의 리만합은 원래 리만합과 ‖P‖→0에서 같은 극한에 수렴하기 때문이다(933번이 분할의 선택과 무관하게 같은 값에 수렴함을 이미 보장하므로, e를 포함하는 분할만 따로 골라 극한을 계산해도 된다). e를 포함하는 분할에서는 R의 소구간 전체가 정확히 «R1에 속한 소구간들»과 «R2에 속한 소구간들»로 남김없이 갈라지므로
Smn(R) = Smn(R1) + Smn(R2)
가 항등적으로 성립하고, 양변에 ‖P‖→0인 극한을 취하면(933번으로 세 극한 모두 존재) 8.2 f632로 결론을 얻는다.
증명 끝
936정리이중적분의 단조성과 절댓값 부등식f≤g on R ⇒ ∬Rf dA≤∬Rg dA, |∬Rf dA|≤∬R|f|dA
9.8 f743(정적분의 대소 관계와 절댓값 부등식)의 증명이 1차원 구간이라는 사실을 전혀 쓰지 않는다―g−f≥0이면 그 어떤 분할·표본점에 대해서도 리만합 Smn(g)−Smn(f)=Smn(g−f)≥0(음이 아닌 값들의 합)이고, ‖P‖→0인 극한도 8.2 f633(극한값의 대소 관계)로 부등호가 보존되어 ∬R(g−f)dA≥0을 얻는다―934번(선형성)으로 좌변을 정리하면 결론이 나온다. 절댓값 부등식은 −|f|≤f≤|f|에 이 부등식을 두 번 적용해 얻는다(|f|가 연속이면 933번으로 우변의 적분도 존재함을 먼저 확인).
증명 끝
937정의유계 영역 위의 이중적분과 Type I·Type II 영역∬Df(x,y)dA := ∬Rf̅(x,y)dA (R⊃D인 임의의 직사각형, f̅:=f on D, f̅:=0 on R∖D)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다.
D가 직사각형이 아닌 일반적인 유계 영역일 때는, D를 완전히 담는 직사각형 R을 아무거나 하나 잡고 f를 R 전체로―D 밖에서는 0으로―확장한 연장함수 f̅에 932번을 적용해 정의한다. (f̅는 D의 경계에서 불연속일 수 있어 933번을 그대로 쓸 수 없지만, D의 경계가 넓이 0인 곡선―아래에서 다룰 매끄러운 함수의 그래프 몇 개로 이루어진 경계―이면 f̅도 적분가능함이 알려져 있다―이 절에서 다루는 두 표준 영역(아래)은 모두 이 조건을 만족하므로 별도로 증명하지 않고 결과만 사용한다.) R을 어떻게 고르든 R∖D에서 f̅≡0이라 그 부분의 리만합 기여가 0이므로 정의값은 R의 선택과 무관하다.
이후 940–941번에서 실제로 계산할 두 표준 영역을 정의해 둔다―구간 [a,b]에서 연속인 두 함수 φ1≤φ2에 대해
DI := {(x,y) : a≤x≤b, φ1(x)≤y≤φ2(x)} (Type I ― 세로선 x=x0로 자르면 y구간 하나)
이를 Type I 영역이라 하고, x·y의 역할을 바꾼
DII := {(x,y) : c≤y≤d, ψ1(y)≤x≤ψ2(y)} (Type II ― 가로선 y=y0로 자르면 x구간 하나)
를 Type II 영역이라 한다. 하나의 영역이 두 방식으로 동시에 표현될 수 있으며(예 : y=x와 y=x²로 둘러싸인 영역), 941번에서 이 이중 표현을 직접 활용한다.
938정리푸비니의 정리(반복적분으로의 환원)∬Rf dA = b∫ad∫cf(x,y)dydx = d∫cb∫af(x,y)dxdy
f가 R=[a,b]×[c,d]에서 연속이면(933번으로 좌변이 존재) 두 반복적분(y를 먼저 고정하고 x에 대해 적분한 뒤 그 결과를 y에 대해 다시 적분하는 것, 또는 그 반대 순서)이 모두 존재하고 셋 모두 같은 값을 가진다―즉 이중적분을 계산할 때 «안쪽 변수를 상수로 취급하며 순서대로 두 번 1차원 정적분을 한다»는, 9.8까지 확립한 도구만으로 실제 계산을 수행할 수 있게 해 주는 정리다.
일반 영역 D(937번)에 대해서는 f̅(R 밖에서 0으로 연장한 함수)에 이 정리를 그대로 적용하면 된다. 특히 Type I 영역 DI에서는 안쪽 y-적분의 상·하한이 자동으로 φ1(x), φ2(x)로 좁혀지고(그 밖에서는 f̅=0이라 적분에 기여가 없으므로), Type II 영역 DII에서는 안쪽 x-적분의 상·하한이 ψ1(y), ψ2(y)로 좁혀진다:
∬DIf dA = b∫aφ2(x)∫φ1(x)f(x,y)dydx
∬DIIf dA = d∫cψ2(y)∫ψ1(y)f(x,y)dxdy
이 두 공식이 941번에서 실제 계산의 근거가 된다.
939정리영역의 넓이 공식Area(D) = ∬D1 dA
f≡1인 특수한 경우다. R을 D를 담는 직사각형이라 하면 f̅는 D 위에서 1, R∖D에서 0이므로, 어떤 분할을 잡든 리만합 Smn=ΣΔAij(D와 겹치는 소구간만의 넓이 합)는 D를 덮는 소구간들의 넓이 합―정확히 «D를 격자로 덮는 근사 넓이»이고, ‖P‖→0에서 이 값이 D의 (기하학적으로 이미 의미가 통하는) 넓이로 수렴한다는 것은 937번의 «경계가 넓이 0» 가정과 정확히 같은 사실이다. Type I 영역에서는 938번을 f≡1에 적용하면
Area(DI) = b∫aφ2(x)∫φ1(x)1 dydx = b∫a[φ2(x)−φ1(x)]dx
를 얻는데, 이는 9.8 정적분의 «두 곡선 사이의 넓이» 활용(넓이=위 함수−아래 함수를 적분)과 정확히 같은 식이다―이중적분의 관점이 그 공식을 특수한 경우로 포함함을 보여 준다.
증명 끝
940정리—활용직사각형 위에서의 계산 예∬R(x²y+x)dA = 18 (R=[0,2]×[0,3])
f(x,y)=x²y+x는 다항함수라 R 전체에서 연속이므로 933번으로 적분이 존재하고, 938번(푸비니의 정리)으로 반복적분으로 계산할 수 있다. 안쪽(y에 대한) 적분에서는 x를 상수로 취급한다:
| 3∫0(x²y+x)dy | y에 대해, x는 상수 |
| = [x²y²2+xy]03 | 9.1의 거듭제곱 공식 |
| = 92x²+3x | y=3, y=0 대입 |
이 결과를 938번의 바깥쪽 적분에 대입한다:
2∫0(92x²+3x)dx = [32x³+32x²]02 = 12+6 = 18
순서를 바꿔(x를 먼저) 계산해도 같은 값이 나옴을 검산으로 확인한다(938번의 두 반복적분이 실제로 일치함을 보여 주는 예):
| 2∫0(x²y+x)dx | x에 대해, y는 상수 |
| = [x³3y+x²2]02 = 83y+2 | x=2, x=0 대입 |
3∫0(83y+2)dy = [43y²+2y]03 = 12+6 = 18
증명 끝
941정리—활용Type I·Type II 영역과 적분 순서의 교환∬Dxy dA = 124, Area(D) = 16 (D : y=x, y=x²로 둘러싸인 영역)
D를 곡선 y=x와 y=x²로 둘러싸인 영역(0≤x≤1에서 x²≤x이므로 위쪽이 y=x, 아래쪽이 y=x²)이라 하면, 937번의 두 표준형으로 동시에 표현할 수 있다:
D = DI = {0≤x≤1, x²≤y≤x} = DII = {0≤y≤1, y≤x≤y}
DII의 x-상한이 y인 것은 y=x²를 x≥0에서 x에 대해 풀면 x=y이기 때문이고, x-하한이 y인 것은 y=x를 그대로 x=y로 쓴 것이다.
⑴ Type I로 계산(x를 먼저 고정, y에 대해 적분) ― 938번의 첫 공식을 적용한다:
| x∫x²xy dy | y에 대해, x는 상수 |
| = x[y²2]x²x = x³−x52 | y=x, y=x² 대입 |
1∫0x³−x52dx = 12[x44−x66]01 = 12·112 = 124
⑵ Type II로 순서를 바꿔 계산(y를 먼저 고정, x에 대해 적분) ― 938번의 둘째 공식을 적용한다:
| y∫yxy dx | x에 대해, y는 상수 |
| = y[x²2]yy = y²−y³2 | x=y, x=y 대입 ((y)²=y) |
1∫0y²−y³2dy = 12[y³3−y44]01 = 12·112 = 124
두 순서가 정확히 같은 값 124로 일치함을 확인했다―938번(푸비니의 정리)이 실제로 성립함을 보여 주는 구체적인 예다.
⑶ 넓이(939번) ― f≡1로 두면
Area(D) = 1∫0(x−x²)dx = [x²2−x³3]01 = 12−13 = 16
영역 D(옅은 파랑)―위쪽 경계는 y=x(파랑 실선), 아래쪽 경계는 y=x²(빨강 실선). 회색 점선은 Type I 해석에서의 세로 절편[x0²,x0]을 보여 준다―이 절편이 938·941번 ⑴의 안쪽 y-적분 구간과 정확히 같다.
증명 끝