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9.10   대학 과정

이중적분

Double Integral

정의 · 공식과 증명

9.8 f738·f739가 구간을 잘게 나눈 리만 합으로 정적분을 세운 것처럼, 이 절은 평면 영역을 잘게 나눈 이중 리만 합으로 이중적분을 세웁니다. 먼저 직사각형에서 정의와 성질을 세우고(932–936번), 이를 Type I·Type II라 부르는 표준 영역으로 넓힙니다(937–941번). 함수의 연속은 8.8 f906의 뜻입니다. 1차원의 f739처럼, 연속함수의 이중적분이 있다는 사실(933번)과 이중적분이 1차원 정적분 두 번으로 계산된다는 푸비니 정리(938번)는 증명에 균등연속과 실수의 완비성이 필요하므로 받아들이는 사실로 둡니다.

932정의직사각형 위의 이중 리만 합과 이중적분|S(P)−I| < ε (‖P‖ < δ)  ⇒  ∬Rf(x,y)dA := I

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

직사각형 R=[a,b]×[c,d](a<b, c<d)에서 시작합니다. [a,b]의 분할 a=x₀<x₁<…<x_m=b와 [c,d]의 분할 c=y₀<y₁<…<y_n=d(9.8 f739의 뜻, 균등할 필요 없음)를 하나씩 잡으면, R은 mn개의 작은 직사각형 R_ij=[x_i−1,x_i]×[y_j−1,y_j]로 나뉩니다. 이 전체를 R의 분할 P라 하고, ΔA_ij:=(x_i−x_i−1)(y_j−y_j−1)를 R_ij의 넓이라 하며, 두 분할의 소구간 폭 가운데 가장 큰 것을 P의 폭 ‖P‖라 합니다.

R_ij마다 점 (x_ij^*,y_ij^*)∈R_ij(표본점)를 하나씩 골라 만든 합

S(P) := mΣi=1 nΣj=1 f(x_ij^*,y_ij^*)ΔA_ij

을 이중 리만 합이라 합니다(값은 표본점에도 따라 달라지지만 기호에서는 생략합니다). 실수 I가 있어서, 임의의 양수 ε에 대하여 양수 δ가 있고, 폭이 δ보다 작은 모든 분할과 그 위의 모든 표본점에 대하여 |S(P)−I|<ε이면, f는 R에서 적분가능하다고 하고 I를 R 위에서의 f의 이중적분이라 하여 ∬Rf(x,y)dA(또는 ∬Rf(x,y)dxdy)로 씁니다. 9.8 f739가 1차원에서 받아들인 내용과 같은 꼴입니다.

폭이 δ보다 작은 분할은 언제나 있습니다 ― 아르키메데스 성질(11.4)로 N>b−aδ, N>d−cδ인 자연수 N을 골라 두 변을 각각 N등분하면 됩니다. 또 이런 I는 하나뿐입니다 ― I, I′이 모두 그렇다면, 각각의 δ 가운데 작은 것보다 폭이 작은 분할 하나의 리만 합 S(P)에서 |I−I′| ≤ |I−S(P)|+|S(P)−I′| < 2ε(2.7의 146번, 삼각부등식)이 모든 양수 ε에서 성립하므로 I=I′입니다.

사용 : 9.8의 739번 · 11.4의 아르키메데스 성질 · 2.7의 146번(삼각부등식)

933받아들이는 사실연속함수의 이중적분 존재f가 R에서 연속이면 적분가능 (표준 영역 D에서 연속이면 f̅도 적분가능)

받아들이는 사실입니다. 9.8 f739의 2차원판으로, 같은 이유(아래 참고)로 이 책에서는 증명하지 않고 받아들여 씁니다. 받아들이는 내용은 다음 두 가지입니다.

⒜ f가 직사각형 R에서 연속(8.8의 906번)이면, f는 R에서 적분가능(932번)합니다.
⒝ [a,b]에서 연속인 두 함수 φ₁≤φ₂에 대해 D={(x,y) : a≤x≤b, φ₁(x)≤y≤φ₂(x)}이거나, x·y의 역할을 바꾼 꼴(937번의 Type I·II 영역)이고 f가 D에서 연속이면, D를 담는 직사각형 R 위에서 f̅(D에서는 f, R∖D에서는 0)는 적분가능합니다.

⒝의 f̅는 D의 경계에서 불연속일 수 있으므로 ⒜에서 얻어지지 않습니다. 그 값이 R을 어떻게 잡든 같다는 것은 937번에서 보입니다.

참고(왜 받아들이는가). 증명에는 f가 R에서 «균등연속»(점의 위치와 무관하게 하나의 δ로 함숫값의 차를 ε 아래로 누를 수 있음)이라는 사실과, 서로 가까워지는 리만 합들이 어떤 한 실수로 모인다는 실수의 완비성(9.9)이 필요합니다(⒝에서는 경계를 이루는 φ₁, φ₂의 균등연속도 필요합니다). 9.8의 739번과 같은 이유로 이 책에서는 받아들입니다.

사용 : 9.8의 739번(1차원판) · 8.8의 906번(연속) · 932번

934정리이중적분의 선형성∬R[pf(x,y)+qg(x,y)]dA = p∬Rf dA + q∬Rg dA

증명법 : 직접증명법(932번의 정의로 직접 어림 ― 9.8 f740과 같은 방법)

f, g가 R에서 연속이고(933번 ⒜로 둘 다 적분가능) p, q가 실수라 합시다. I_f:=∬Rf dA, I_g:=∬Rg dA로 둡니다. 양수 ε을 하나 잡고 ε′:=ε|p|+|q|+1로 두어, 932번을 f와 g에 ε′로 적용해 얻은 두 δ 가운데 작은 것을 δ라 합시다. 폭이 δ보다 작은 R의 분할 P와 그 위의 표본점을 아무거나 잡으면, 유한합의 분배법칙으로

S_pf+qg(P) = pS_f(P) + qS_g(P)

이고(아래 첨자는 어느 함수의 리만 합인지를 나타냄), 삼각부등식(2.7의 146번)으로

|S_pf+qg(P) − (pI_f+qI_g)| ≤ |p||S_f(P)−I_f| + |q||S_g(P)−I_g| < (|p|+|q|)ε′ < ε

입니다. 곧 실수 pI_f+qI_g가 932번의 조건을 만족하므로, pf+qg는 R에서 적분가능하고 그 이중적분은 pI_f+qI_g입니다(932번의 유일성).

사용 : 932번 · 933번 · 2.7의 146번(삼각부등식)

증명 끝

935정리이중적분의 가법성(영역의 분할)∬Rf dA = ∬R₁f dA + ∬R₂f dA (R을 x=e로 자른 두 직사각형 R₁, R₂)

증명법 : 직접증명법(두 분할을 이어 붙여 세 적분의 차를 어림 ― 9.8 f740과 같은 방법)

R=[a,b]×[c,d]이고 a<e<b일 때 R₁:=[a,e]×[c,d], R₂:=[e,b]×[c,d]라 하고, f가 R에서 연속이라 합시다(그러면 R₁, R₂에서도 연속이고, 933번 ⒜로 세 적분이 모두 있음). 세 적분을 I, I₁, I₂로 두고 양수 ε을 하나 잡아, 932번을 R, R₁, R₂에 각각 적용해 얻은 δ 가운데 가장 작은 것을 δ라 합시다.

[c,d]를 폭이 δ보다 작게 나눈 분할 하나를 두 직사각형에 함께 쓰고, [a,e]와 [e,b]를 각각 폭이 δ보다 작게 나누어 R₁, R₂의 분할 P₁, P₂와 그 위의 표본점을 잡습니다. 두 분할을 x=e에서 이어 붙인 것은 R의 폭 δ 미만인 분할 P이고, 같은 표본점으로 만든 그 위의 리만 합은 정확히

S(P) = S(P₁) + S(P₂)

입니다(유한합을 x=e의 왼쪽·오른쪽 작은 직사각형으로 둘로 나눔). 932번에 의해 세 리만 합이 각각의 적분과 ε보다 가까우므로, 삼각부등식(2.7의 146번)으로

|I − (I₁+I₂)| ≤ |I−S(P)| + |S(P₁)−I₁| + |S(P₂)−I₂| < 3ε

입니다. 고정된 수 d:=|I−(I₁+I₂)|≥0이 모든 양수 ε에 대해 3ε보다 작으므로 d=0입니다(d>0이면 ε:=d3에서 d<d가 되어 모순). 가로선 y=e(c<e<d)로 자르는 경우는 x와 y의 역할만 바꾸면 같습니다.

사용 : 932번 · 933번 · 2.7의 146번(삼각부등식) · 9.8의 740번(같은 방법)

증명 끝

936정리이중적분의 단조성과 절댓값 부등식f≤g on R  ⇒  ∬Rf dA≤∬Rg dA,   |∬Rf dA|≤∬R|f|dA

증명법 : 직접증명법(같은 분할의 두 리만 합을 비교)

① 단조성. f, g가 R에서 연속이고 R의 모든 점에서 f≤g라 합시다. I_f, I_g를 두 적분(933번 ⒜)이라 하고 양수 ε을 잡아, 932번을 f, g에 적용해 얻은 δ 가운데 작은 것보다 폭이 작은 분할 P와 표본점을 하나 잡습니다. 각 항마다 f(x_ij^*,y_ij^*)ΔA_ij ≤ g(x_ij^*,y_ij^*)ΔA_ij(ΔA_ij>0)이므로 S_f(P)≤S_g(P)이고,

I_f < S_f(P)+ε ≤ S_g(P)+ε < I_g+2ε

입니다. 만약 I_f>I_g라면 ε:=I_f−I_g2에서 I_f<I_f가 되어 모순이므로 I_f≤I_g입니다.

② 절댓값 부등식. 먼저 |f|도 R에서 연속입니다 ― R의 두 점 X, X₀에 대해 삼각부등식(2.7의 146번)으로 |f(X)| = |(f(X)−f(X₀))+f(X₀)| ≤ |f(X)−f(X₀)|+|f(X₀)|이고, X와 X₀를 바꾸어도 같으므로

∣|f(X)|−|f(X₀)|∣ ≤ |f(X)−f(X₀)|

입니다. 따라서 f의 X₀에서의 연속(8.8의 906번·903번)에서 얻은 δ가 그대로 |f|에도 통합니다. 이제 R의 모든 점에서 −|f|≤f≤|f|이므로 ①을 두 번 쓰고 934번(p=−1)으로 정리하면

−∬R|f|dA ≤ ∬Rf dA ≤ ∬R|f|dA

이고, 실수 t와 M≥0에 대해 −M≤t≤M ⇔ |t|≤M이므로 |∬Rf dA|≤∬R|f|dA를 얻습니다.

사용 : 932번 · 933번 · 934번 · 2.7의 146번(삼각부등식) · 8.8의 903번·906번

증명 끝

937정의표준 영역(Type I·Type II)과 그 위의 이중적분∬Df(x,y)dA := ∬Rf̅(x,y)dA (R⊃D인 직사각형, f̅:=f on D, f̅:=0 on R∖D)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

구간 [a,b]에서 연속인 두 함수 φ₁≤φ₂에 대해

D_I := {(x,y) : a≤x≤b, φ₁(x)≤y≤φ₂(x)} (Type I ― 세로선 x=x₀로 자르면 y구간 하나)

를 Type I 영역이라 하고, x·y의 역할을 바꾼(ψ₁≤ψ₂는 [c,d]에서 연속)

D_II := {(x,y) : c≤y≤d, ψ₁(y)≤x≤ψ₂(y)} (Type II ― 가로선 y=y₀로 자르면 x구간 하나)

를 Type II 영역이라 하며, 둘을 함께 표준 영역이라 부릅니다. 좌표 이름과 무관하게 말하면, 표준 영역은 «한 좌표가 닫힌구간을 움직이고, 다른 좌표가 그 좌표의 두 연속함수 사이를 움직이는 영역»입니다(9.11에서 yz평면·xz평면의 영역에도 그대로 씁니다). 직사각형도 φ₁, φ₂가 상수인 표준 영역입니다. 하나의 영역이 두 방식으로 함께 표현될 수 있으며(예 : y=x와 y=x²로 둘러싸인 영역), 941번에서 이를 직접 씁니다.

D_I는 직사각형 [a,b]×[m,M]에 담깁니다(m은 φ₁의 최솟값, M은 φ₂의 최댓값 ― 8.2의 641번; m=M이면 조금 더 큰 직사각형을 잡습니다). 표준 영역 D와 D에서 연속인 f에 대해, D를 담는 직사각형 R을 하나 잡고 f를 R 전체로 늘린 연장함수 f̅(D에서는 f, R∖D에서는 0)로

∬Df(x,y)dA := ∬Rf̅(x,y)dA

라 정합니다. 우변은 933번 ⒝로 있습니다.

R의 선택과 무관함(증명). D를 담는 두 직사각형은 둘을 함께 담는 직사각형(두 x구간·두 y구간을 각각 감싸는 구간으로 만든 것)과 각각 비교하면 되므로, R⊆R′인 경우만 보면 됩니다. 두 적분을 I(R 위), I′(R′ 위)이라 하고 양수 ε을 잡아, 932번으로 얻은 두 δ 가운데 작은 것을 δ라 합시다. R′의 x구간은 R의 x구간 끝점에서, y구간은 R의 y구간 끝점에서 많아야 세 조각으로 나뉘므로, 조각마다 폭이 δ보다 작게 나누면 R의 네 변을 분할선으로 포함하는 R′의 분할 P′을 얻습니다. P′의 작은 직사각형 가운데 R 안에 있는 것들은 R의 폭 δ 미만인 분할 P를 이룹니다. 표본점은 R 안의 작은 직사각형에서는 아무렇게나, R 밖의 작은 직사각형에서는 그 안쪽(변 위가 아닌 점)에서 고르면, 뒤의 점들은 R 밖이므로 D 밖이고 f̅=0입니다. 따라서 S(P′)=S(P)이고 |I−I′| ≤ |I−S(P)|+|S(P′)−I′| < 2ε(2.7의 146번)이 모든 양수 ε에서 성립하므로 I=I′입니다.

사용 : 932번 · 933번 · 8.2의 641번(최대·최소 정리) · 2.7의 146번(삼각부등식)

938받아들이는 사실푸비니 정리(반복적분, 표준 영역 공식 포함)∬Rf dA = b∫ad∫cf(x,y)dydx = d∫cb∫af(x,y)dxdy,   ∬D_If dA = b∫aφ₂(x)∫φ₁(x)f(x,y)dydx

받아들이는 사실입니다. 이중적분을 1차원 정적분 두 번으로 계산하게 해 주는 사실로, 933번과 같은 이유(아래 참고)로 이 책에서는 증명하지 않고 받아들여 씁니다. 받아들이는 내용은 다음 두 가지입니다.

⒜ 직사각형. f가 R=[a,b]×[c,d]에서 연속이면, x를 고정한 안쪽 적분 g(x):=d∫cf(x,y)dy는 [a,b]에서 연속인 함수이고, y를 고정한 h(y):=b∫af(x,y)dx는 [c,d]에서 연속인 함수이며

∬Rf dA = b∫ag(x)dx = d∫ch(y)dy,   곧   ∬Rf dA = b∫ad∫cf(x,y)dydx = d∫cb∫af(x,y)dxdy

⒝ 표준 영역. f가 Type I 영역 D_I(937번)에서 연속이면, 안쪽 적분 φ₂(x)∫φ₁(x)f(x,y)dy는 [a,b]에서 연속인 함수이고

∬D_If dA = b∫aφ₂(x)∫φ₁(x)f(x,y)dydx

입니다. Type II 영역 D_II에서도 x·y의 역할을 바꾸어 같습니다 ― 안쪽 적분 ψ₂(y)∫ψ₁(y)f(x,y)dx는 [c,d]에서 연속인 함수이고

∬D_IIf dA = d∫cψ₂(y)∫ψ₁(y)f(x,y)dxdy

안쪽 적분은 바깥 변수를 고정할 때마다 9.8 f739로 정해지는 1차원 정적분이고, 그것이 바깥 변수의 연속함수라는 내용 덕분에 바깥 적분도 9.8 f739로 정해집니다. 안쪽 적분을 계산할 때는 바깥 변수를 상수로 보고 9.8의 방법(예 : f746)을 그대로 씁니다. ⒝는 ⒜를 f̅에 쓴 것처럼 보이지만(D 밖에서 f̅=0이라 안쪽 적분 구간이 φ₁(x)부터 φ₂(x)까지로 줄어듦), f̅는 D의 경계에서 불연속이라 ⒜를 그대로 쓸 수 없으므로 받아들이는 내용에 따로 넣었습니다.

참고(왜 받아들이는가). 증명하려면 안쪽 적분이 바깥 변수의 연속함수임을 보여야 하는데, 여기에 933번과 같은 균등연속이 필요합니다.

사용 : 933번 · 937번 · 9.8의 739번

939정의표준 영역의 넓이Area(D) := ∬D1 dA

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

표준 영역 D(937번)의 넓이를

Area(D) := ∬D1 dA

로 정합니다. 상수함수 1은 D에서 연속이므로 933번 ⒝로 우변이 있습니다.

보통의 넓이와 맞음. D가 직사각형 R=[a,b]×[c,d]이면(R 자신을 담는 직사각형으로 잡음), 어떤 분할·표본점에서도

S(P) = mΣi=1 nΣj=1 ΔA_ij = (mΣi=1(x_i−x_i−1))(nΣj=1(y_j−y_j−1)) = (b−a)(d−c)

이므로, 932번의 정의에 의해 Area(R)=(b−a)(d−c)로 보통의 직사각형 넓이와 같습니다.

따름(Type I 영역의 넓이). D=D_I이면 938번 ⒝를 f≡1에 쓰고, 안쪽 적분 φ₂(x)∫φ₁(x)1 dy = φ₂(x)−φ₁(x)(9.8 f746)를 넣으면

Area(D_I) = b∫aφ₂(x)∫φ₁(x)1 dydx = b∫a[φ₂(x)−φ₁(x)]dx

를 얻습니다. Type II 영역도 x·y의 역할을 바꾸어 같습니다.

사용 : 932번 · 933번 · 937번 · 938번 · 9.8의 746번

940정리—활용직사각형 위에서의 계산 예∬R(x²y+x)dA = 18 (R=[0,2]×[0,3])

f(x,y)=x²y+x는 다항함수라 R 전체에서 연속이므로 933번 ⒜로 적분이 있고, 938번 ⒜(푸비니 정리)로 반복적분으로 계산할 수 있습니다. 안쪽(y에 대한) 적분에서는 x를 상수로 봅니다:

3∫0(x²y+x)dy	y에 대해, x는 상수
= [x²y²2+xy]03	9.1 f694의 원시함수, 9.8 f746
= 92x²+3x	y=3, y=0 대입

이 결과를 바깥쪽 적분에 넣습니다(같은 근거):

2∫0(92x²+3x)dx = [32x³+32x²]₀² = 12+6 = 18

순서를 바꾸어(x를 먼저) 계산해도 같은 값이 나옵니다(938번 ⒜의 두 반복적분이 같다는 내용을 이 예에서 확인):

2∫0(x²y+x)dx	x에 대해, y는 상수
= [x³3y+x²2]02 = 83y+2	x=2, x=0 대입

3∫0(83y+2)dy = [43y²+2y]₀³ = 12+6 = 18

사용 : 933번 · 938번 · 9.1의 694번 · 9.8의 746번

증명 끝

941정리—활용Type I·Type II 영역과 적분 순서의 교환∬Dxy dA = 124,   Area(D) = 16 (D : y=x, y=x²로 둘러싸인 영역)

D를 곡선 y=x와 y=x²로 둘러싸인 영역(0≤x≤1에서 x²≤x이므로 위쪽이 y=x, 아래쪽이 y=x²)이라 합시다. D는 937번의 두 표준형으로 함께 나타낼 수 있습니다:

D = D_I = {0≤x≤1, x²≤y≤x} = D_II = {0≤y≤1, y≤x≤y}

D_II의 x-상한이 y인 것은 y=x²를 x≥0에서 x에 대해 풀면 x=y이기 때문이고, x-하한이 y인 것은 y=x를 그대로 x=y로 쓴 것입니다(0≤y≤1에서 y≤y이므로 ψ₁≤ψ₂입니다). f(x,y)=xy는 D에서 연속이므로 933번 ⒝로 적분이 있습니다.

⑴ Type I로 계산(x를 먼저 고정, y에 대해 적분) ― 938번 ⒝의 Type I 공식을 씁니다:

x∫x²xy dy	y에 대해, x는 상수
= x[y²2]x²x = x³−x52	y=x, y=x² 대입(9.8 f746)

1∫0x³−x⁵2dx = 12[x⁴4−x⁶6]₀¹ = 12·112 = 124

⑵ Type II로 순서를 바꿔 계산(y를 먼저 고정, x에 대해 적분) ― 938번 ⒝의 Type II 공식을 씁니다:

y∫yxy dx	x에 대해, y는 상수
= y[x²2]yy = y²−y³2	x=y, x=y 대입 ((y)²=y)

1∫0y²−y³2dy = 12[y³3−y⁴4]₀¹ = 12·112 = 124

두 순서의 값이 124로 같습니다 ― 두 공식이 같은 이중적분을 준다는 938번 ⒝의 내용을 이 예에서 직접 확인한 것입니다.

⑶ 넓이 ― 939번의 따름(Type I, φ₁(x)=x², φ₂(x)=x)으로

Area(D) = 1∫0(x−x²)dx = [x²2−x³3]₀¹ = 12−13 = 16

영역 D(옅은 파랑)―위쪽 경계는 y=x(파랑 실선), 아래쪽 경계는 y=x²(빨강 실선). 회색 점선은 Type I로 볼 때의 세로 절편 [x₀²,x₀]이며, ⑴의 안쪽 y-적분 구간과 같습니다.

사용 : 933번 · 937번 · 938번 · 939번 · 9.1의 694번 · 9.8의 746번

증명 끝