9.11 대학 과정
삼중적분
Triple Integral
정의 · 공식과 증명
9.10의 이중적분(f932)을 한 차원 올려, 이 절은 공간 영역을 잘게 나눈 삼중 리만 합으로 삼중적분을 세웁니다. 먼저 직육면체에서 정의와 성질을 세우고(942–946번), 이를 표준 입체영역으로 넓힙니다(947–951번). 세 변수 함수(8.8 f900의 n=3인 경우)의 연속은, 8.8 f903·f906에서 평면의 거리를 공간의 거리 (7.8 f590)로 바꾼 것입니다 ― 정의의 꼴은 그대로입니다. 9.10의 933·938번처럼, 연속함수의 삼중적분이 있다는 사실(943번)과 푸비니 정리(948번)는 받아들이는 사실로 둡니다.
942정의직육면체 위의 삼중 리만 합과 삼중적분|S(P)−I| < ε (‖P‖ < δ) ⇒ ∭Bf(x,y,z)dV := I
정의이므로 증명 대상이 아닙니다.
9.10 f932를 한 차원 늘린 것입니다. 직육면체 B=[a,b]×[c,d]×[r,s]에서 [a,b]·[c,d]·[r,s]를 각각 l·m·n개의 소구간으로 나누는 분할(균등할 필요 없음)을 잡으면, B는 lmn개의 작은 직육면체 Bijk=[xi−1,xi]×[yj−1,yj]×[zk−1,zk]로 나뉩니다. 이 전체를 B의 분할 P라 하고, ΔVijk:=(xi−xi−1)(yj−yj−1)(zk−zk−1)를 Bijk의 부피라 하며, 세 분할의 소구간 폭 가운데 가장 큰 것을 P의 폭 ‖P‖라 합니다. Bijk마다 표본점 (xijk*,yijk*,zijk*)∈Bijk를 하나씩 골라 만든 합
S(P) := lΣi=1 mΣj=1 nΣk=1 f(xijk*,yijk*,zijk*)ΔVijk
을 삼중 리만 합이라 합니다. 실수 I가 있어서, 임의의 양수 ε에 대하여 양수 δ가 있고, 폭이 δ보다 작은 모든 분할과 그 위의 모든 표본점에 대하여 |S(P)−I|<ε이면, f는 B에서 적분가능하다고 하고 I를 B 위에서의 f의 삼중적분이라 하여 ∭Bf(x,y,z)dV(또는 ∭Bf(x,y,z)dxdydz)로 씁니다. 폭이 δ보다 작은 분할이 있다는 것과 I가 하나뿐이라는 것은 9.10 f932에서와 같은 방법(세 변을 N등분, 2ε 논증)으로 보입니다.
사용 : 9.10의 932번
943받아들이는 사실연속함수의 삼중적분 존재f가 B에서 연속이면 적분가능 (표준 입체영역 E에서 연속이면 f̅도 적분가능)
받아들이는 사실입니다. 9.10 f933의 3차원판으로, 같은 이유로 이 책에서는 증명하지 않고 받아들여 씁니다. 받아들이는 내용은 다음 두 가지입니다.
⒜ f가 직육면체 B에서 연속이면, f는 B에서 적분가능(942번)합니다.
⒝ E가 947번의 Type I·II·III 영역(xy평면의 표준 영역 D와 D에서 연속이고 유계인 두 함수 u1≤u2에 대해
E={(x,y,z) : (x,y)∈D, u1(x,y)≤z≤u2(x,y)}인 꼴과, 좌표의 역할을 돌린 꼴)이고 f가 E에서 연속이면, E를 담는 직육면체 B 위에서
f̅(E에서는 f, B∖E에서는 0)는 적분가능합니다.
참고(왜 받아들이는가). 9.10의 933번과 같습니다 ― 증명에는 균등연속과 실수의 완비성이 필요합니다.
사용 : 9.10의 933번(2차원판) · 9.8의 739번(1차원판) · 942번
944정리삼중적분의 선형성∭B[pf(x,y,z)+qg(x,y,z)]dV = p∭Bf dV + q∭Bg dV
f, g가 B에서 연속이면(943번 ⒜로 둘 다 적분가능) 9.10 934번의 증명에서 이중 리만 합을 삼중 리만 합으로, ΔA를 ΔV로 바꾸면 그대로 성립합니다. 곧 ε′:=ε|p|+|q|+1에 대해 942번이 주는 두 δ 가운데 작은 것보다 폭이 작은 분할과 표본점에서, 유한합의 분배법칙으로 Spf+qg(P)=pSf(P)+qSg(P)이고 삼각부등식(2.7의 146번)으로
|Spf+qg(P) − (pIf+qIg)| ≤ |p||Sf(P)−If| + |q||Sg(P)−Ig| < ε
이므로, 942번의 정의에 의해 pf+qg는 B에서 적분가능하고 그 삼중적분은 pIf+qIg입니다.
사용 : 942번 · 943번 · 9.10의 934번 · 2.7의 146번
증명 끝
945정리삼중적분의 가법성(영역의 분할)∭Bf dV = ∭B1f dV + ∭B2f dV (B를 평면 x=e로 자른 두 직육면체 B1, B2)
증명법 : 직접증명법(두 분할을 이어 붙임 ― 9.10 f935와 같은 방법)
B=[a,b]×[c,d]×[r,s]이고 a<e<b일 때 B1:=[a,e]×[c,d]×[r,s], B2:=[e,b]×[c,d]×[r,s]라 하고, f가 B에서 연속이라 합시다(943번 ⒜로 세 적분이 모두 있음). 양수 ε에 대해 942번이 세 직육면체에 주는 δ 가운데 가장 작은 것을 δ라 하고, [c,d]·[r,s]를 폭 δ 미만으로 나눈 분할을 두 직육면체에 함께 쓰며 [a,e]와 [e,b]를 각각 폭 δ 미만으로 나누어 B1, B2의 분할 P1, P2와 표본점을 잡습니다. 두 분할을 x=e에서 이어 붙인 것은 B의 폭 δ 미만인 분할 P이고 S(P)=S(P1)+S(P2)이므로, 9.10 935번과 똑같이 |I−(I1+I2)|<3ε이 모든 양수 ε에서 성립하고 I=I1+I2입니다. 평면 y=e나 z=e로 자르는 경우는 좌표의 역할만 바꾸면 같습니다.
사용 : 942번 · 943번 · 9.10의 935번 · 2.7의 146번
증명 끝
946정리삼중적분의 단조성과 절댓값 부등식f≤g on B ⇒ ∭Bf dV≤∭Bg dV, |∭Bf dV|≤∭B|f|dV
9.10 936번의 증명은 직사각형을 직육면체로, ΔA를 ΔV로 바꾸면 그대로 성립합니다. ① f≤g이면 같은 분할에서 Sf(P)≤Sg(P)(ΔVijk>0)이므로 If<Ig+2ε이 모든 양수 ε에서 성립해 If≤Ig입니다. ② B의 두 점 X, X0에 대해 ∣|f(X)|−|f(X0)|∣ ≤ |f(X)−f(X0)|(2.7의 146번)이므로 |f|도 B에서 연속이고, −|f|≤f≤|f|에 ①을 두 번 쓰고 944번(p=−1)으로 정리하면 |∭Bf dV|≤∭B|f|dV를 얻습니다.
사용 : 942번 · 943번 · 944번 · 9.10의 936번 · 2.7의 146번
증명 끝
947정의표준 입체영역(Type I·II·III)과 그 위의 삼중적분∭Ef(x,y,z)dV := ∭Bf̅(x,y,z)dV (B⊃E인 직육면체, f̅:=f on E, f̅:=0 on B∖E)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다.
9.10의 표준 영역(f937)을 한 차원 올리면, 입체를 어느 좌표평면 위로 사영하느냐에 따라 세 가지 꼴이 생깁니다. xy평면의 표준 영역 Dxy(9.10 937번)와 Dxy에서 연속이고 유계인 두 함수 u1≤u2에 대해
EI := {(x,y,z) : (x,y)∈Dxy, u1(x,y)≤z≤u2(x,y)} (Type I ― z가 두 곡면 사이)
를 Type I 영역이라 하고, 변수의 역할을 돌린
EII := {(x,y,z) : (y,z)∈Dyz, v1(y,z)≤x≤v2(y,z)}, EIII := {(x,y,z) : (x,z)∈Dxz, w1(x,z)≤y≤w2(x,z)}
를 각각 Type II·III 영역이라 하며, 셋을 함께 표준 입체영역이라 부릅니다. Dyz, Dxz는 yz평면·xz평면의 표준 영역이고(9.10 937번의 좌표 이름과 무관한 뜻), v1≤v2, w1≤w2도 각각 연속이고 유계입니다. 직육면체는 세 꼴을 모두 만족합니다. 하나의 입체가 여러 꼴로 함께 표현될 수 있으며, 951번에서 이를 직접 씁니다.
표준 입체영역은 직육면체에 담깁니다(사영은 직사각형에 담기고, 두 함수가 유계이므로). 표준 입체영역 E와 E에서 연속인 f에 대해, E를 담는 직육면체 B를 하나 잡고 f를 B 전체로 늘린 연장함수 f̅(E에서는 f, B∖E에서는 0)로
∭Ef(x,y,z)dV := ∭Bf̅(x,y,z)dV
라 정합니다. 우변은 943번 ⒝로 있고, 그 값이 B의 선택과 무관하다는 것은 9.10 937번의 증명에서 직사각형을 직육면체로 바꾸면 그대로 보입니다(각 변이 많아야 세 조각, B 밖의 작은 직육면체에서는 표본점을 안쪽에서 골라 f̅=0).
사용 : 9.10의 937번 · 942번 · 943번
948받아들이는 사실푸비니 정리(세 겹 반복적분, 표준 입체영역 공식 포함)∭EIf dV = ∬Dxy[u2(x,y)∫u1(x,y)f(x,y,z)dz]dA
받아들이는 사실입니다. 9.10 f938의 3차원판으로, 같은 이유로 이 책에서는 증명하지 않고 받아들여 씁니다. 받아들이는 내용은 다음과 같습니다 ― f가 Type I 영역 EI(947번)에서 연속이면, 안쪽 적분 G(x,y):=u2(x,y)∫u1(x,y)f(x,y,z)dz는 Dxy에서 연속인 함수이고
∭EIf dV = ∬DxyG(x,y)dA
입니다. Type II·III 영역에서도 좌표의 역할을 돌려 같습니다 ― 안쪽 적분이 각각 Dyz, Dxz에서 연속인 함수이고
∭EIIf dV = ∬Dyz[v2(y,z)∫v1(y,z)f(x,y,z)dx]dA, ∭EIIIf dV = ∬Dxz[w2(x,z)∫w1(x,z)f(x,y,z)dy]dA
참고(왜 받아들이는가). 9.10의 938번과 같습니다 ― 안쪽 적분이 바깥 변수들의 연속함수임을 보이는 데 균등연속이 필요합니다.
따름(세 겹 반복적분). Dxy가 Type I 평면영역 {a≤x≤b, φ1(x)≤y≤φ2(x)}이면, G가 Dxy에서 연속이므로 바깥 이중적분에 9.10 938번 ⒝를 쓸 수 있어
∭EIf dV = b∫aφ2(x)∫φ1(x)u2(x,y)∫u1(x,y)f(x,y,z)dzdydx
입니다. Dxy가 Type II이면 바깥 두 적분의 순서가 dxdy로 바뀌고, EII·EIII도 같은 방법으로 세 겹 반복적분이 됩니다. 특히 직육면체 B=[a,b]×[c,d]×[r,s]는 세 꼴을 모두 만족하고 사영이 직사각형이므로(9.10 938번 ⒜), 여섯 가지 순서의 세 겹 반복적분이 모두 ∭Bf dV와 같습니다. 예를 들어
∭Bf dV = b∫ad∫cs∫rf(x,y,z)dzdydx = s∫rd∫cb∫af(x,y,z)dxdydz
사용 : 9.10의 938번 · 943번 · 947번
949정의표준 입체영역의 부피Volume(E) := ∭E1 dV
정의이므로 증명 대상이 아닙니다.
표준 입체영역 E(947번)의 부피를
Volume(E) := ∭E1 dV
로 정합니다. 우변은 943번 ⒝로 있습니다. 9.10 f939(넓이)를 한 차원 올린 것입니다.
보통의 부피와 맞음. E가 직육면체 B=[a,b]×[c,d]×[r,s]이면, 어떤 분할·표본점에서도 S(P)=lΣi=1 mΣj=1 nΣk=1ΔVijk=(b−a)(d−c)(s−r) (세 유한합으로 나누어 계산)이므로, 942번의 정의에 의해 Volume(B)=(b−a)(d−c)(s−r)로 보통의 직육면체 부피와 같습니다.
따름(Type I 영역의 부피). E=EI이면 948번을 f≡1에 쓰고, 안쪽 적분 u2(x,y)∫u1(x,y)1 dz = u2(x,y)−u1(x,y)(9.8 f746)를 넣으면
Volume(EI) = ∬Dxy[u2(x,y)−u1(x,y)]dA
를 얻습니다 ― 두 곡면 사이에 낀 입체의 부피입니다.
사용 : 942번 · 943번 · 947번 · 948번 · 9.10의 939번 · 9.8의 746번
950정리—활용직육면체 위에서의 계산 예∭B(x+2y+3z)dV = 42 (B=[0,1]×[0,2]×[0,3])
f(x,y,z)=x+2y+3z는 다항함수라 B 전체에서 연속이므로 943번 ⒜로 적분이 있고, 948번의 따름(직육면체의 여섯 순서)으로 세 겹 반복적분으로 계산할 수 있습니다. 안쪽(z에 대한) 적분에서는 x,y를 상수로 봅니다:
| 3∫0(x+2y+3z)dz | z에 대해, x·y는 상수 |
| = [xz+2yz+3z²2]03 | 9.1 f694의 원시함수, 9.8 f746 |
| = 3x+6y+272 | z=3, z=0 대입 |
이 결과를 y에 대해 다시 적분합니다(같은 근거):
| 2∫0(3x+6y+272)dy | y에 대해, x는 상수 |
| = [3xy+3y²+272y]02 = 6x+12+27 = 6x+39 | y=2, y=0 대입 |
마지막으로 x에 대해 적분합니다:
1∫0(6x+39)dx = [3x²+39x]01 = 3+39 = 42
순서를 바꾸어(x를 먼저, 그다음 y, 마지막 z) 계산해도 같은 값이 나옵니다(948번의 따름에서 여섯 순서가 같다는 내용을 이 예에서 확인):
| 1∫0(x+2y+3z)dx = [x²2+2yx+3zx]01 = 12+2y+3z | x=1, x=0 대입 |
| 2∫0(12+2y+3z)dy = [y2+y²+3zy]02 = 1+4+6z = 5+6z | y=2, y=0 대입 |
| 3∫0(5+6z)dz = [5z+3z²]03 = 15+27 = 42 | z=3, z=0 대입 |
사용 : 943번 · 948번 · 9.1의 694번 · 9.8의 746번
증명 끝
951정리—활용Type I 영역(사면체)에서의 계산 예∭Ez dV = 124, Volume(E) = 16 (E : x,y,z≥0, x+y+z≤1)
E를 좌표평면 세 개와 평면 x+y+z=1로 둘러싸인 사면체(꼭짓점 O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1))라 합시다. E는 947번의 Type I 영역입니다 ― xy평면 위로 사영하면 Dxy={0≤x≤1, 0≤y≤1−x}(9.10 f937의 Type I 평면영역, φ1(x)=0, φ2(x)=1−x)이고, 그 위에서 z는 0부터 평면 x+y+z=1이 주는 위끝 1−x−y까지 움직입니다. f(x,y,z)=z는 E에서 연속이므로 943번 ⒝로 적분이 있습니다.
E = {0≤x≤1, 0≤y≤1−x, 0≤z≤1−x−y}
⑴ dz dy dx 순서로 계산 ― 948번의 따름(Dxy가 Type I인 세 겹 반복적분)을 씁니다:
| 1−x−y∫0z dz | z에 대해, x·y는 상수 |
| = [z²2]01−x−y = (1−x−y)²2 | z=1−x−y, z=0 대입(9.8 f746) |
| 1−x∫0(1−x−y)²2dy | y에 대해, x는 상수 |
| = [−(1−x−y)³6]01−x = (1−x)³6 | y=1−x, y=0 대입(9.8 f746) |
둘째 줄은 −(1−x−y)³6을 y로 미분하면 연쇄법칙(8.3 f651)으로 (1−x−y)²2이므로 9.8 f746으로 얻습니다.
1∫0(1−x)³6dx = [−(1−x)424]01 = 0−(−124) = 124
⑵ dx dy dz 순서로 바꾸어 계산 ― E는 Type II 영역이기도 합니다. yz평면 위로 사영하면 Dyz={0≤z≤1, 0≤y≤1−z}(z가 닫힌구간을, y가 z의 두 연속함수 0과 1−z 사이를 움직이는 표준 영역)이고, 그 위에서 x는 0부터 1−y−z까지 움직입니다. 948번의 Type II 공식과 바깥 이중적분에 9.10 f938 ⒝(z가 바깥, y가 안쪽)를 쓰면:
| 1−y−z∫0z dx | x에 대해, z는 상수 계수 |
| = z(1−y−z) | x=1−y−z, x=0 대입(9.8 f746) |
| 1−z∫0z(1−y−z)dy | y에 대해, z는 상수 |
| = z[(1−z)y−y²2]01−z = z·(1−z)²2 | y=1−z, y=0 대입 |
1∫0z(1−z)²2dz = 121∫0(z−2z²+z³)dz = 12[z²2−2z³3+z44]01 = 12·112 = 124
두 순서의 값이 124로 같습니다 ― Type I과 Type II의 두 공식이 같은 삼중적분을 준다는 948번의 내용을 이 예에서 직접 확인한 것입니다.
⑶ 부피 ― 949번의 따름(u1=0, u2=1−x−y)과 9.10 938번 ⒝로
| 1−x∫01−x−y∫01 dz dy | Dxy는 Type I 평면영역 |
| = 1−x∫0(1−x−y)dy = [(1−x)y−y²2]01−x = (1−x)²2 | y=1−x, y=0 대입 |
Volume(E) = 1∫0(1−x)²2dx = [−(1−x)³6]01 = 16
사면체 E(꼭짓점 O,A,B,C, 경사면 ABC는 평면 x+y+z=1). 빨간 점선은 표본점 (x0,y0)=(0.3,0.3)에서 z가 0부터 1−x0−y0=0.4까지 움직이는 적분 구간이며, ⑴의 안쪽 z-적분 구간과 같습니다.
사용 : 943번 · 947번 · 948번 · 949번 · 9.10의 938번 · 8.3의 651번 · 9.1의 694번 · 9.8의 746번
증명 끝