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9.11   대학 과정

삼중적분

Triple Integral

정의 · 공식과 증명

9.10 f932(이중적분―평면 영역을 잘게 나눈 이중 리만합의 극한)를 한 차원 더 올려, 이 절은 공간 영역을 잘게 나눈 삼중 리만합의 극한으로 삼중적분을 정의한다. 8.8 다변수함수의 연속 개념(f900·f903·f906)을 세 변수로 직접 확장해 943·948번의 핵심 근거로 쓴다. 먼저 직육면체 영역에서 정의를 세운 뒤(942–946번), 이를 일반적인 유계 입체영역으로 확장한다(947–951번).

942정의직육면체 위의 삼중 리만합과 삼중적분∭Bf(x,y,z)dV := lim‖P‖→0 lΣi=1 mΣj=1 nΣk=1 f(x_ijk^*,y_ijk^*,z_ijk^*)ΔV_ijk

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

9.10 f932(직사각형 위의 이중적분)를 한 차원 늘린 것이다. 직육면체 B=[a,b]×[c,d]×[p,q]에서 시작한다. [a,b]·[c,d]·[p,q]를 각각 l·m·n개의 소구간으로 나누는 분할(반드시 균등할 필요는 없음)을 잡으면, B는 lmn개의 작은 직육면체 B_ijk=[x_i−1,x_i]×[y_j−1,y_j]×[z_k−1,z_k]로 나뉜다(이 전체 구성을 B의 분할 P라 부른다). ΔV_ijk:=(x_i−x_i−1)(y_j−y_j−1)(z_k−z_k−1)는 B_ijk의 부피, ‖P‖는 분할 P에 속한 모든 소직육면체 중 가장 긴 모서리의 길이(분할의 노름)이다.

각 B_ijk 안에서 표본점 (x_ijk^*,y_ijk^*,z_ijk^*)를 하나씩 골라 만든 삼중 리만합은

S_lmn := lΣi=1 mΣj=1 nΣk=1 f(x_ijk^*,y_ijk^*,z_ijk^*)ΔV_ijk

이다. ‖P‖→0일 때(즉 소직육면체의 가로·세로·높이가 모두 한없이 잘아질 때) S_lmn이 분할·표본점의 선택과 무관하게 하나의 값으로 수렴하면, 그 극한값을 B 위에서의 f의 삼중적분이라 하고 ∭Bf(x,y,z)dV(또는 ∭Bf(x,y,z)dxdydz)로 쓴다―9.10 f932과 마찬가지로 처음부터 비균등 분할까지 허용하는 형태로 서술한다(943번의 존재성 증명에서 어떤 분할을 잡아도 같은 극한에 수렴함을 직접 다루기 위함).

943정리연속함수의 적분가능성f가 B=[a,b]×[c,d]×[p,q]에서 연속이면 942번의 극한이 존재하며, 분할·표본점의 선택에 무관하게 같은 값으로 수렴
8.8 f906(이변수함수의 연속)은 (x,y)→(x₀,y₀)에 대해서만 정의돼 있었다―여기서는 세 변수로 그대로 확장한 것을 쓴다: 8.8 f900(다변수함수 f : D→ℝ, D⊆ℝⁿ)의 n=3인 경우로서, 점 (x₀,y₀,z₀) 사이의 거리를 (x−x₀)²+(y−y₀)²+(z−z₀)²로 바꾼 것 외에는 8.8 f903(근방과 극한)·f906(연속)의 ε−δ 정의 구조가 문자 그대로 유지된다―구조 자체가 변수 개수에 의존하지 않기 때문이다. 이 정의 아래, 9.10 f933(연속함수의 적분가능성)와 정확히 같은 구조의 명제가 성립한다―유계 폐직사각형 R 대신 유계 폐직육면체 B를 놓았을 뿐이다.
«대학» 참고 ― 9.10 f933의 증명이 유계 폐집합(compact set)에서의 균등연속성(하이네−칸토어 정리)에 의존했던 것과 똑같이, 이 절의 B도 ℝ³의 유계 폐집합이므로 같은 정리가 3차원으로 그대로 확장되어 f가 B에서 균등연속이다. 그 결과 소직육면체의 세 변이 모두 0으로 갈 때 어느 소직육면체에서 f의 값이 얼마나 요동치는지가 분할·표본점과 무관하게 ε보다 작게 눌리고, 이로부터 리만합이 코시 수열임을 보여 극한의 존재성을 얻는다―9.10 f933과 같은 계열의 학부 실해석학 표준 결과이므로 여기서는 결과만 인용하고 직접 증명하지 않는다.
944정리삼중적분의 선형성∭B[pf(x,y,z)+qg(x,y,z)]dV = p∭Bf dV + q∭Bg dV

f, g가 B에서 연속이면(943번으로 두 적분·좌변의 적분 모두 존재) 임의의 분할 P와 표본점에 대해

lΣi=1 mΣj=1 nΣk=1 [pf+qg](x_ijk^*,y_ijk^*,z_ijk^*)ΔV_ijk = plΣi=1 mΣj=1 nΣk=1 f(·)ΔV_ijk + qlΣi=1 mΣj=1 nΣk=1 g(·)ΔV_ijk

가 항 단위로(1.3의 덧셈·곱셈의 분배법칙만으로) 성립한다―유한합의 재배열이므로 순서를 바꿔도 같은 값이다. ‖P‖→0인 극한을 양변에 취하면, 943번이 보장하는 세 극한이 모두 존재하므로 8.2 f632(극한의 사칙연산)로 좌변의 극한이 우변의 극한들의 선형결합과 같음을 얻는다―9.10 f934와 문자 그대로 같은 논증이다(합의 층이 하나 더 늘었을 뿐).

증명 끝

945정리삼중적분의 가법성(영역의 분할)B = B₁∪B₂ (B₁,B₂가 한 면만 공유)  ⇒  ∭Bf dV = ∭B₁f dV + ∭B₂f dV

B=[a,b]×[c,d]×[p,q]를 x=e(a<e<b)인 평면으로 잘라 B₁=[a,e]×[c,d]×[p,q], B₂=[e,b]×[c,d]×[p,q]를 얻는 경우로 충분하다(y=e′나 z=e″인 평면으로 자르는 경우는 좌표의 역할만 바꾼 완전히 같은 논증).

B의 분할 P를 잡을 때 [a,b]의 분할점 목록에 e를 반드시 포함시킬 수 있다―9.10 f935의 증명이 e를 포함하지 않는 분할이 있어도 e를 추가해 얻은 세분(refinement)의 리만합은 원래 리만합과 ‖P‖→0에서 같은 극한에 수렴함을 보인 것과 같은 방법이다(943번이 분할의 선택과 무관하게 같은 값에 수렴함을 이미 보장하므로, e를 포함하는 분할만 따로 골라 극한을 계산해도 된다). e를 포함하는 분할에서는 B의 소직육면체 전체가 정확히 «B₁에 속한 소직육면체들»과 «B₂에 속한 소직육면체들»로 남김없이 갈라지므로

S_lmn(B) = S_lmn(B₁) + S_lmn(B₂)

가 항등적으로 성립하고, 양변에 ‖P‖→0인 극한을 취하면(943번으로 세 극한 모두 존재) 8.2 f632로 결론을 얻는다.

증명 끝

946정리삼중적분의 단조성과 절댓값 부등식f≤g on B  ⇒  ∭Bf dV≤∭Bg dV,   |∭Bf dV|≤∭B|f|dV

9.10 f936의 증명이 2차원이라는 사실을 전혀 쓰지 않는다―g−f≥0이면 그 어떤 분할·표본점에 대해서도 리만합 S_lmn(g)−S_lmn(f)=S_lmn(g−f)≥0(음이 아닌 값들의 합)이고, ‖P‖→0인 극한도 8.2 f633(극한값의 대소 관계)로 부등호가 보존되어 ∭B(g−f)dV≥0을 얻는다―944번(선형성)으로 좌변을 정리하면 결론이 나온다. 절댓값 부등식은 −|f|≤f≤|f|에 이 부등식을 두 번 적용해 얻는다(|f|가 연속이면 943번으로 우변의 적분도 존재함을 먼저 확인).

증명 끝

947정의유계 입체영역 위의 삼중적분과 Type I·II·III 영역∭Ef(x,y,z)dV := ∭Bf̅(x,y,z)dV (B⊃E인 임의의 직육면체, f̅:=f on E, f̅:=0 on B∖E)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

E가 직육면체가 아닌 일반적인 유계 입체영역일 때는, 9.10 f937과 똑같은 방식으로―E를 완전히 담는 직육면체 B를 아무거나 하나 잡고 f를 B 전체로―E 밖에서는 0으로―확장한 연장함수 f̅에 942번을 적용해 정의한다. (f̅는 E의 경계에서 불연속일 수 있어 943번을 그대로 쓸 수 없지만, E의 경계가 부피 0인 곡면―매끄러운 함수의 그래프 몇 개로 이루어진 경계―이면 f̅도 적분가능함이 알려져 있다―9.10 f937이 «넓이 0인 곡선»을 가정 없이 결과만 썼던 것과 같은 방식으로, 이 절에서 다루는 표준 영역도 이 조건을 만족하므로 별도로 증명하지 않고 결과만 사용한다.) B를 어떻게 고르든 B∖E에서 f̅≡0이라 그 부분의 리만합 기여가 0이므로 정의값은 B의 선택과 무관하다.

9.10의 Type I·II 영역(평면을 두 갈래로 나누는 방식)을 한 차원 올리면, 입체를 어느 좌표평면 위로 사영하느냐에 따라 세 가지 표준형이 생긴다. 평면영역 D⊆ℝ²에서 연속인 두 함수 u₁≤u₂에 대해

E_I := {(x,y,z) : (x,y)∈D_xy, u₁(x,y)≤z≤u₂(x,y)} (Type I ― xy평면 사영, z가 두 곡면 사이)

를 Type I 영역이라 하고, 변수의 역할을 돌려가며

E_II := {(x,y,z) : (y,z)∈D_yz, v₁(y,z)≤x≤v₂(y,z)},   E_III := {(x,y,z) : (x,z)∈D_xz, w₁(x,z)≤y≤w₂(x,z)}

를 각각 Type II·III 영역이라 한다―여기서 D_xy,D_yz,D_xz는 각 평면 위의 사영이고, 자기 자신이 9.10 f937의 의미로 Type I 또는 Type II인 평면영역이다 (이 중첩 구조가 948번 반복적분의 근거다). 하나의 입체가 여러 방식으로 동시에 표현될 수 있으며, 951번에서 이 표현을 직접 활용한다.

948정리푸비니의 정리(반복적분으로의 환원)∭E_If dV = b∫aφ₂(x)∫φ₁(x)u₂(x,y)∫u₁(x,y)f(x,y,z)dzdydx (D_xy가 9.10 f937의 Type I 평면영역인 경우)

먼저 직육면체 B=[a,b]×[c,d]×[p,q]에서, 9.10 f938(이중적분에 대한 푸비니의 정리)을 두 번 이어 적용하면(안쪽 두 변수 y,z를 먼저 하나의 이중적분으로 묶어 9.10의 결과를 그대로 쓰고, 그 결과가 x의 연속함수임을 확인한 뒤 9.8 f739로 다시 x에 대해 적분)

∭Bf dV = b∫ad∫cq∫pf(x,y,z)dzdydx

를 얻고, 적분 순서를 바꾼 나머지 5가지 반복적분도 전부 같은 값을 준다(어느 변수를 먼저 묶어도 9.10 f938을 적용할 수 있는 것은 대칭이기 때문).

«대학» 참고 ― 이 결과를 «9.10 f938을 두 번 적용»하는 방식으로 서술한 것은 엄밀히는 귀납적 스케치다―완전한 증명은 943번과 마찬가지로 B에서의 균등연속성을 이용해, 안쪽 이중적분 g(x):=∬[c,d]×[p,q]f(x,y,z)dydz가 x의 연속함수임을 먼저 보이고(그래야 바깥쪽 적분 b∫ag(x)dx 자체가 9.8 f739로 well-defined임), 그 뒤 삼중 리만합을 세 단계로 나눠 각각의 오차를 ε/3씩 눌러 반복적분과 삼중적분의 차이가 임의로 작아짐을 보이는 방식으로 진행된다―9.10 f938과 같은 계열의 대학 해석학(다변수 미적분학) 표준 결과이므로 여기서는 결과만 인용해 사용한다.

일반 영역 E(947번)에 대해서는 f̅(B 밖에서 0으로 연장한 함수)에 이 정리를 그대로 적용하면 된다. Type I 영역 E_I에서는 안쪽 z-적분의 상·하한이 자동으로 u₁(x,y), u₂(x,y)로 좁혀지고(그 밖에서는 f̅=0이라 적분에 기여가 없으므로), 947번에서 D_xy가 9.10 f937의 Type I 평면영역―즉 [a,b]에서 연속인 φ₁≤φ₂에 대해 D_xy={a≤x≤b, φ₁(x)≤y≤φ₂(x)}―라면, 바깥의 이중적분을 다시 9.10 f938로 한 번 더 반복적분으로 풀어 위 요약식의 완전한 세 겹 반복적분을 얻는다. D_xy가 Type II라면 안쪽 두 적분의 순서만 x,y가 바뀔 뿐 논증은 같다. E_II,E_III에 대해서도 좌표의 역할만 돌려가며 완전히 같은 공식이 성립한다:

∭E_IIf dV = …∫…v₂(y,z)∫v₁(y,z)f dxd(·),   ∭E_IIIf dV = …∫…w₂(x,z)∫w₁(x,z)f dyd(·)

이 세 겹 반복적분 공식이 950·951번에서 실제 계산의 근거가 된다.

949정리부피 공식Volume(E) = ∭E1 dV

f≡1인 특수한 경우다. B를 E를 담는 직육면체라 하면 f̅는 E 위에서 1, B∖E에서 0이므로, 어떤 분할을 잡든 리만합 S_lmn=ΣΔV_ijk(E와 겹치는 소직육면체만의 부피 합)는 E를 격자로 덮는 근사 부피이고, ‖P‖→0에서 이 값이 E의 (기하학적으로 이미 의미가 통하는) 부피로 수렴한다는 것은 947번의 «경계가 부피 0» 가정과 정확히 같은 사실이다―9.10 f939와 문자 그대로 같은 논증이다. Type I 영역에서는 948번을 f≡1에 적용하면

Volume(E_I) = ∬D_xy[u₂(x,y)−u₁(x,y)]dA

를 얻는다―안쪽 z-적분 u₂(x,y)∫u₁(x,y)1 dz = u₂(x,y)−u₁(x,y)를 948번의 요약식에 대입한 결과다. 이는 9.10 f939(영역의 넓이 공식)를 한 단계 확장한 것이다―9.8의 «두 곡선 사이의 넓이»가 9.10에서 이중적분(위 곡면−아래 곡면을 D 위에서 적분)의 특수한 경우로 흡수됐던 것과 정확히 같은 방식으로, 이번에는 그 이중적분 자체가 «두 곡면 사이에 낀 입체의 부피»를 나타내는 삼중적분의 특수한 경우로 흡수된다.

증명 끝

950정리—활용직육면체 위에서의 계산 예∭B(x+2y+3z)dV = 42 (B=[0,1]×[0,2]×[0,3])

f(x,y,z)=x+2y+3z는 다항함수라 B 전체에서 연속이므로 943번으로 적분이 존재하고, 948번(푸비니의 정리)으로 반복적분으로 계산할 수 있다. 안쪽(z에 대한) 적분에서는 x,y를 상수로 취급한다:

3∫0(x+2y+3z)dz	z에 대해, x·y는 상수
= [xz+2yz+3z²2]03	9.1의 거듭제곱 공식
= 3x+6y+272	z=3, z=0 대입

이 결과를 y에 대해 다시 적분한다:

2∫0(3x+6y+272)dy	y에 대해, x는 상수
= [3xy+3y²+272y]02 = 6x+12+27 = 6x+39	y=2, y=0 대입

마지막으로 x에 대해 적분한다:

1∫0(6x+39)dx = [3x²+39x]₀¹ = 3+39 = 42

순서를 바꿔(x를 먼저, 그다음 y, 마지막 z) 계산해도 같은 값이 나옴을 검산으로 확인한다(948번의 반복적분이 실제로 순서에 무관함을 보여 주는 예):

1∫0(x+2y+3z)dx = [x²2+2yx+3zx]01 = 12+2y+3z	x=1, x=0 대입
2∫0(12+2y+3z)dy = [y2+y²+3zy]02 = 1+4+6z = 5+6z	y=2, y=0 대입
3∫0(5+6z)dz = [5z+3z²]03 = 15+27 = 42	z=3, z=0 대입

증명 끝

951정리—활용Type I 영역(사면체)에서의 계산 예∭Ez dV = 124,   Volume(E) = 16 (E : x,y,z≥0, x+y+z≤1)

E를 좌표평면 세 개와 평면 x+y+z=1로 둘러싸인 사면체(꼭짓점 O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1))라 하면, 947번의 Type I 형태로 쓸 수 있다―xy평면 위로 사영하면 D_xy={0≤x≤1, 0≤y≤1−x}(9.10 f937의 Type I 평면영역, φ₁(x)=0, φ₂(x)=1−x)이고, 그 위에서 z는 0부터 평면 x+y+z=1이 주는 위끝 1−x−y까지 움직인다:

E = {0≤x≤1, 0≤y≤1−x, 0≤z≤1−x−y}

⑴ dz dy dx 순서로 계산 ― 948번의 세 겹 반복적분 공식을 적용한다:

1−x−y∫0z dz	z에 대해, x·y는 상수
= [z²2]01−x−y = (1−x−y)²2	z=1−x−y, z=0 대입

1−x∫0(1−x−y)²2dy	y에 대해, x는 상수; w:=1−x−y로 치환
= [−(1−x−y)³6]01−x = (1−x)³6	y=1−x, y=0 대입

1∫0(1−x)³6dx = [−(1−x)⁴24]₀¹ = 0−(−124) = 124

⑵ dx dy dz 순서로 바꿔 계산 ― 947번을 Type II로 다시 쓰면(yz평면 위로 사영, x가 0부터 1−y−z까지) 947·948번이 좌표만 돌려 그대로 적용된다:

1−y−z∫0z dx	x에 대해, z는 상수 계수
= z(1−y−z)	x=1−y−z, x=0 대입

1−z∫0z(1−y−z)dy	y에 대해, z는 상수
= z[(1−z)y−y²2]01−z = z·(1−z)²2	y=1−z, y=0 대입

1∫0z(1−z)²2dz = 121∫0(z−2z²+z³)dz = 12[z²2−2z³3+z⁴4]₀¹ = 12·112 = 124

두 순서가 정확히 같은 값 124로 일치함을 확인했다―948번(푸비니의 정리)이 삼중적분에서도 실제로 성립함을 보여 주는 구체적인 예다(대칭성에 의해 ∭Ex dV=∭Ey dV=124도 같은 방법으로 확인되지만, 반복 계산이라 여기서는 생략한다).

⑶ 부피(949번) ― f≡1로 두면

1−x∫01−x−y∫01 dz dy	947번 Dxy=Type I(9.10 f937)에 949번 적용
= 1−x∫0(1−x−y)dy = [(1−x)y−y²2]01−x = (1−x)²2	y=1−x, y=0 대입

Volume(E) = 1∫0(1−x)²2dx = [−(1−x)³6]₀¹ = 16

사면체 E(꼭짓점 O,A,B,C, 경사면 ABC는 평면 x+y+z=1). 빨간 점선은 표본점 (x₀,y₀)=(0.3,0.3)에서 z가 0부터 1−x₀−y₀=0.4까지 움직이는 적분 구간―⑴의 안쪽 z-적분과 정확히 같은 구간이다.

증명 끝