이론/ 적분법/ 9.12 선적분

9.12 대학 과정

선적분

Line Integral

정의 · 공식과 증명

9.10 f932·9.11 f942가 평면 영역과 공간 영역을 잘게 나눈 리만합으로 적분을 정의했다면, 이 절은 적분하는 무대를 곡선으로 바꾼다―9.8 f738의 정적분에서 «x축 위의 소구간 Δx»가 맡던 자리에 «곡선의 조각의 길이 Δs»가 들어간다. 그러려면 곡선의 길이부터 정의해야 하므로, 952·953번에서 매개변수 곡선과 호의 길이를 먼저 세운다(사이트 전체에서 일반적인 곡선의 길이를 정식으로 다루는 것은 이 절이 처음이다). 그 위에서 스칼라장의 선적분(954–956번)과 벡터장의 선적분(957–959번)을 차례로 정의하고, 후자에서 경로 독립성이라는 이 절의 중심 주제 (960·963번)와 평면에서 선적분과 이중적분을 잇는 그린 정리(961·962번)에 이른다. 챕터 6(벡터)의 내적·크기, 8.9의 그레이디언트와 연쇄법칙, 9.10의 이중적분이 모두 여기서 한자리에 모인다.

952정의매개변수 곡선(경로)·매끄러움·향C : r(t) = (x(t), y(t)) (t∈[a,b])

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

닫힌구간 [a,b]에서 정의된 두 연속함수 x(t), y(t)에 대해, 각 t마다 평면 위의 점 r(t) := (x(t), y(t))를 대응시키는 것을 매개변수 곡선(또는 경로)이라 하고, 그 점들이 그리는 자취를 곡선 C라 한다―r(t)는 6.1 f502의 성분 표기로 쓴 위치벡터이고, 점을 좌표쌍으로 다루는 것은 7.2 f548(평면좌표)의 방식 그대로다. 공간에서는 성분을 하나 더 붙여 r(t)=(x(t), y(t), z(t))로 쓴다(6.1 f507).

이 절에서 쓰는 용어를 정리한다.

매끄러운 곡선 ― x, y가 [a,b]에서 미분가능하고(8.3 f642) 그 도함수 x′, y′가 [a,b]에서 연속이며, 모든 t∈(a,b)에서 r′(t)=(x′(t), y′(t))≠0인 경우를 말한다(6.1 f505의 영벡터). 마지막 조건은 곡선이 어느 점에서도 «멈추지» 않는다는 뜻으로, 957번에서 단위접선벡터를 만들 때 반드시 필요하다.
조각별 매끄러운 곡선 ― [a,b]를 유한개의 소구간으로 나누어 각 소구간에서 매끄러운 경우. 꺾인 점(예 : 사각형의 꼭짓점)이 유한개 있는 곡선을 다루기 위한 확장이다.
단순 곡선 ― a≤t₁<t₂<b이면 r(t₁)≠r(t₂)인 경우(자기 자신과 만나지 않음). 닫힌 곡선은 r(a)=r(b)인 경우이다.
향(orientation) ― t가 a에서 b로 증가하는 방향을 C의 향이라 한다. 같은 자취를 반대 방향으로 도는 곡선을 −C로 쓰고, 예를 들어 r⁻(t):=r(a+b−t) (t∈[a,b])로 매개변수화한다.

«곡선 C»라고 할 때 자취(점들의 집합)와 매개변수 표현은 서로 다른 것이다. 956·958번에서 «선적분이 매개변수 표현의 선택과 무관하다»는 것을 따로 증명해야 하는 이유가 여기에 있다―그 증명이 끝나야 비로소 ∫C…라는 표기(매개변수를 명시하지 않은 표기)가 정당해진다.

953정의·정리곡선의 길이(호의 길이) 공식L(C) = b∫a|r′(t)|dt = b∫ax′(t)²+y′(t)²dt

증명법 : 직접증명법(내접 다각형의 길이를 평균값 정리로 리만합에 연결)

[정의] 952번의 곡선 C : r(t) (t∈[a,b])와 [a,b]의 분할 P : a=t₀<t₁<…<t_n=b에 대해, 분할점들을 차례로 이은 내접 다각형의 길이를

L(P) := nΣi=1|r(t_i)−r(t_i−1)|

라 한다(6.3 f519의 성분별 뺄셈과 6.1 f506의 크기 공식). 분할을 세분하면 6.2 f515(벡터의 삼각부등식)에 의해 L(P)는 결코 줄어들지 않는다―한 현을 두 현으로 나누면 |r(t_i)−r(t_i−1)| ≤ |r(t_i)−r(s)| + |r(s)−r(t_i−1)|이기 때문이다. 집합 {L(P) : P는 [a,b]의 분할}이 위로 유계일 때 C를 길이를 갖는 곡선이라 하고, 그 상한을 C의 길이 L(C)로 정의한다. (3.19 f262에서 원의 둘레를 내접정다각형의 둘레의 극한으로 정의했던 것을, 임의의 곡선으로 일반화한 것이다.)

[정리] C가 매끄러운 곡선이면 C는 길이를 가지며, 그 길이는 위 요약식과 같다.

분할점을 이은 내접 다각형(빨강 점선)과 실제 곡선(파랑). 초록 점선은 한 현에 대한 Δx, Δy로―그 현의 길이가 Δx²+Δy²임을 보여 준다.

① 현의 길이를 도함수로 바꾼다. x, y는 각 소구간 [t_i−1,t_i]에서 연속이고 그 내부에서 미분가능하므로, 8.6 f672(평균값 정리)를 x와 y에 각각 따로 적용하면 u_i, v_i∈(t_i−1,t_i)가 존재해

x(t_i)−x(t_i−1) = x′(u_i)Δt_i, y(t_i)−y(t_i−1) = y′(v_i)Δt_i (Δt_i:=t_i−t_i−1)

가 성립한다. 두 식에서 얻은 u_i와 v_i는 같은 점이라는 보장이 없다― 이것이 이 증명의 유일한 난점이고, ③에서 해소된다. Δt_i>0이므로

L(P) = nΣi=1x′(u_i)²+y′(v_i)² Δt_i

② 비교할 리만합을 만든다. 같은 분할과 표본점 u_i에 대해

S(P) := nΣi=1x′(u_i)²+y′(u_i)² Δt_i = nΣi=1|r′(u_i)| Δt_i

를 두면, 이것은 함수 |r′(t)|=x′(t)²+y′(t)²의 리만합이다. 이 함수는 [a,b]에서 연속이다―6.3 f521(역삼각부등식)과 6.2 f515(삼각부등식)에 의해

| |r′(t)| − |r′(s)| | ≤ |r′(t)−r′(s)| ≤ |x′(t)−x′(s)| + |y′(t)−y′(s)|

이고 x′, y′가 연속이므로 우변이 s→t에서 0으로 가기 때문이다. 따라서 9.8 f739에 의해 x′(t)²+y′(t)²는 적분가능하다―즉 ‖P‖→0일 때 S(P)는 분할·표본점의 선택과 무관하게 I := b∫a|r′(t)|dt로 수렴한다.

③ 두 합의 차를 누른다. 6.3 f521(벡터의 역삼각부등식)을 두 벡터 (A,B)와 (A,C)에 적용하면

| A²+B² − A²+C² | = | |(A,B)|−|(A,C)| | ≤ |(A,B)−(A,C)| = |(0, B−C)| = |B−C|

이므로, A=x′(u_i), B=y′(v_i), C=y′(u_i)를 대입해

|L(P) − S(P)| ≤ nΣi=1|y′(v_i)−y′(u_i)| Δt_i

를 얻는다.

«대학» 참고 ― y′는 유계 폐구간 [a,b]에서 연속이므로 그 위에서 균등연속이다(하이네−칸토어 정리). 즉 임의의 ε>0에 대해 δ>0이 존재해 |u−v|<δ이면 |y′(u)−y′(v)|<ε/(b−a)가 u, v의 위치와 무관하게 성립한다. 이 정리는 9.10 f933·9.11 f943에서 인용한 것과 같은 학부 실해석학의 표준 결과이므로, 여기서도 결과만 인용해 사용한다(완비성 공리에서 직접 유도되는 존재성 정리라 학부 표준 과정을 한 단계 넘어선다).

‖P‖<δ인 분할에서는 u_i, v_i가 모두 같은 소구간 [t_i−1,t_i]에 있어 |u_i−v_i|≤Δt_i ≤‖P‖<δ이므로

|L(P) − S(P)| < εb−anΣi=1Δt_i = ε

④ 결론. ②·③에 의해 ‖P‖→0일 때 L(P)→I이다. 이제 상한이 I임을 보인다. 임의의 ε>0에 대해, 위의 δ와 ②의 수렴을 함께 쓰면 ‖P‖<δ′인 모든 분할에서 L(P)<I+ε이다. 한편 임의의 분할 P는 분할점을 더해 ‖P′‖<δ′인 세분 P′로 만들 수 있고, 위에서 본 대로 L(P)≤L(P′)<I+ε이다. 따라서 {L(P)}는 위로 유계이고(C는 길이를 가진다) L(C)=sup L(P)≤I+ε이다. 또 ‖P‖<δ′인 분할 하나를 잡으면 L(C)≥L(P)>I−ε이다. ε>0이 임의였으므로 L(C)=I이다.

공간곡선에 대해서도 ①–④가 그대로 성립한다―③에서 역삼각부등식을 (A,B,C)와 (A,B′,C′) 꼴의 두 공간벡터에 적용하면 |…| ≤ |y′(v_i)−y′(u_i)| + |z′(w_i)−z′(u_i)|로 눌리고, 나머지는 문자 그대로 같다. 따라서

L(C) = b∫ax′(t)²+y′(t)²+z′(t)² dt

증명 끝

954정의스칼라장의 선적분(호의 길이에 대한 선적분)∫Cf ds := lim‖P‖→0 nΣi=1 f(r(t_i^*)) Δs_i

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

C가 952번의 매끄러운 곡선이고 f가 C를 포함하는 영역에서 정의된 스칼라장(이변수함수, 8.8 f900)이라 하자. [a,b]의 분할 P : a=t₀<…<t_n=b가 C를 n개의 조각 C_i(r의 정의역을 [t_i−1,t_i]로 제한한 곡선)로 나눌 때, Δs_i := L(C_i)를 그 조각의 길이(953번으로 잘 정의된다)라 하고, 각 조각에서 표본점 r(t_i^*) (t_i^*∈[t_i−1,t_i])를 하나씩 고른다.

이때 ‖P‖→0에서 합 nΣi=1f(r(t_i^*))Δs_i가 분할·표본점의 선택과 무관하게 하나의 값으로 수렴하면, 그 극한값을 C를 따른 f의 선적분이라 하고 ∫Cf ds(또는 ∫Cf(x,y) ds)로 쓴다.

9.8 f738의 정적분이 «x축 위의 구간»을 잘게 나눈 리만합이었다면, 이 정의는 그 구간을 곡선으로 바꾸고 소구간의 길이 Δx를 호의 길이 Δs로 바꾼 것이다―C가 x축 위의 선분 r(t)=(t,0), t∈[a,b]인 특수한 경우에는 Δs_i=Δt_i이므로 이 정의가 9.8 f738의 정적분과 정확히 일치한다.

955정리선적분의 계산 공식(매개변수로의 환원)∫Cf ds = b∫af(r(t)) |r′(t)| dt = b∫af(x(t),y(t))x′(t)²+y′(t)² dt

증명법 : 직접증명법(적분의 평균값 정리로 Δs_i를 |r′(τ_i)|Δt_i로 바꾼 뒤 리만합과 비교)

C가 매끄럽고 f가 C 위에서 연속이면 954번의 극한이 존재하고 그 값은 위와 같다.

① 조각의 길이를 한 점의 값으로 바꾼다. 953번을 소구간 [t_i−1,t_i]로 제한한 곡선 C_i에 적용하면

Δs_i = t_i∫t_i−1|r′(t)| dt

이고, |r′(t)|가 연속이므로 9.8 f744(적분의 평균값 정리)에 의해 τ_i∈[t_i−1,t_i]가 존재해 Δs_i=|r′(τ_i)|Δt_i가 된다. 따라서 954번의 합은

nΣi=1f(r(t_i^*))Δs_i = nΣi=1f(r(t_i^*)) |r′(τ_i)| Δt_i

② 표본점을 τ_i로 맞춘 리만합과 비교한다. 먼저 t ↦ f(r(t))가 [a,b]에서 연속임을 확인한다―t₀∈[a,b]와 ε>0에 대해, f가 r(t₀)에서 연속(8.8 f906)이므로 δ₁>0이 있어 두 점 사이의 거리(7.2 f549)가 δ₁보다 작으면 함숫값의 차가 ε보다 작고, x·y가 t₀에서 연속이므로 |t−t₀|<δ일 때 |x(t)−x(t₀)|와 |y(t)−y(t₀)|를 각각 δ₁2보다 작게 만들 수 있어 두 점 사이의 거리가 δ₁보다 작아지기 때문이다. 그러면 ①의 |r′(t)|(953번 ②에서 연속임을 이미 확인)와의 곱 g(t) := f(r(t))|r′(t)|도 [a,b]에서 연속이므로(8.2 f639의 연속함수의 곱) 9.8 f739로 적분가능하고, 표본점을 τ_i로 잡은 리만합 nΣi=1g(τ_i)Δt_i는 b∫ag(t)dt로 수렴한다. 두 합의 차는

| ①의 합 − nΣi=1g(τ_i)Δt_i | ≤ nΣi=1|f(r(t_i^*))−f(r(τ_i))| |r′(τ_i)| Δt_i ≤ M · nΣi=1|f(r(t_i^*))−f(r(τ_i))| Δt_i

③ 결론. ②에 의해 954번의 합은 분할·표본점을 어떻게 골라도 b∫ag(t)dt에 수렴한다―즉 954번의 극한이 존재하고 그 값이 b∫af(r(t))|r′(t)|dt이다. |r′(t)|=x′(t)²+y′(t)²(6.1 f506)를 대입하면 요약식의 두 번째 등식을 얻는다. 공간곡선이면 |r′(t)|=x′(t)²+y′(t)²+z′(t)²(6.1 f507)로 바뀔 뿐 논증은 같다.

스칼라 선적분의 기하학적 의미. 사분원 C : r(t)=(cos t, sin t) (t∈[0, π/2]) 위에 f(x,y)=x+y의 값을 높이로 세운 «커튼»으로, 굵은 빨간 세로선은 t=π/4에서의 높이 f(r(π/4))=2≈1.414이다―이 커튼의 넓이가 곧 ∫C(x+y)ds이며, 964번 ①에서 그 값이 2임을 계산한다.

증명 끝

956정리스칼라 선적분의 성질(선형성·가법성·매개변수와 향에 대한 불변성)∫−Cf ds = ∫Cf ds, ∫C1 ds = L(C)

C가 매끄럽고 f, g가 C 위에서 연속이라 하자. 다음이 성립한다.

(a) 선형성. 실수 p, q에 대해

∫C[pf+qg] ds = p∫Cf ds + q∫Cg ds

955번으로 세 선적분을 모두 t에 대한 정적분으로 바꾸면, 이는 9.8 f742(정적분의 선형성)를 피적분함수 [pf(r(t))+qg(r(t))]|r′(t)|에 적용한 것과 같다.

(b) 곡선의 가법성. C를 t=c(a<c<b)에서 잘라 얻은 두 곡선을 C₁, C₂라 하면

∫Cf ds = ∫C₁f ds + ∫C₂f ds

955번으로 정적분으로 바꾼 뒤 9.8 f740(구간의 분할)을 적용하면 된다. 이 성질 덕분에 조각별 매끄러운 곡선(952번)에 대해서도 각 조각의 선적분의 합으로 선적분을 정의할 수 있다―이 절에서 앞으로 «조각별 매끄러운» 곡선을 다룰 때는 항상 이 약속을 쓴다.

(c) 매개변수 표현에 무관. φ : [α,β]→[a,b]가 연속인 도함수를 갖고 φ′>0, φ(α)=a, φ(β)=b이면(향을 보존하는 재매개변수화), r̃(s):=r(φ(s))로 표현한 곡선의 선적분은 원래 값과 같다. 실제로 8.3 f651(연쇄법칙)과 6.4 f524(실수배의 크기)로 |r̃′(s)| = |r′(φ(s)) φ′(s)| = |r′(φ(s))| φ′(s)이므로(φ′>0), 9.8 f747(정적분의 치환적분법)에 의해

β∫αf(r(φ(s))) |r′(φ(s))| φ′(s) ds = b∫af(r(t)) |r′(t)| dt

가 된다. 이로써 952번의 axiom-note에서 예고한 대로, ∫Cf ds라는 «매개변수를 명시하지 않은» 표기가 정당해진다.

(d) 향에 무관. −C를 952번처럼 r⁻(s):=r(a+b−s)로 매개변수화하면 φ(s)=a+b−s이고 φ′(s)=−1<0이므로 (c)의 계산에서 |φ′|=−φ′가 되어 치환적분의 결과에 부호가 한 번 붙고, 동시에 적분 구간의 방향이 뒤집혀 9.8 f741(구간의 반전 규약)으로 부호가 한 번 더 붙는다―부호가 두 번 뒤집히므로 값은 그대로다:

∫−Cf ds = ∫Cf ds

(e) 곡선의 길이. f≡1이면 955번의 우변이 b∫a|r′(t)|dt가 되어, 953번에 의해 ∫C1 ds = L(C)이다. 9.10 f939가 «이중적분으로 넓이를 잰다»였다면, 여기서는 «선적분으로 길이를 잰다»가 된다.

(d)의 «향에 무관»은 958번의 벡터장 선적분과 정확히 반대되는 성질이다―그 대비가 두 종류의 선적분을 구분하는 가장 중요한 지점이므로, 958번에서 다시 짚는다.

증명 끝

957정의벡터장과 벡터장의 선적분(일)∫CF·dr := ∫C(F·T) ds = b∫aF(r(t))·r′(t) dt

정의이므로 증명 대상이 아닙니다.

[벡터장] 평면의 영역 D의 각 점 (x,y)에 벡터 F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))를 대응시키는 것을 D 위의 벡터장이라 한다―성분 P, Q는 각각 D에서 정의된 이변수함수(8.8 f900)이고, F가 연속이라는 것은 P, Q가 모두 연속(8.8 f906)이라는 뜻이다. 공간에서는 F(x,y,z)=(P, Q, R)로 성분이 셋이 된다. 8.9 f913의 그레이디언트 ∇f=(f_x, f_y)가 벡터장의 대표적인 예이며, 960번에서 핵심 역할을 한다.

[단위접선벡터] 952번의 매끄러운 곡선 C에서는 r′(t)≠0이므로, 6.4 f529(정규화)로

T(t) := r′(t)|r′(t)|

는 크기가 1인 벡터로 잘 정의된다―이것을 C의 단위접선벡터라 하며, 향이 t가 증가하는 방향을 가리킨다.

[벡터장의 선적분] F가 C 위에서 연속일 때, 스칼라장 F·T(각 점에서 F의 접선 방향 성분, 6.5 f539의 스칼라 정사영)의 선적분을 C를 따른 F의 선적분이라 하고 ∫CF·dr로 쓴다. 955번을 적용하면 이 값은 곧바로 t에 대한 정적분으로 계산된다:

∫CF·dr = ∫C(F·T)ds = b∫aF(r(t))·r′(t)|r′(t)| |r′(t)| dt = b∫aF(r(t))·r′(t) dt

내적의 성분 공식(6.5 f534)을 쓰면 이것은

b∫a[P(x(t),y(t)) x′(t) + Q(x(t),y(t)) y′(t)] dt =: ∫CP dx + Q dy

로 쓰며, 오른쪽 표기를 선적분의 성분 표기라 한다(공간에서는 ∫CP dx+Q dy+R dz, 6.6 f874의 3차원 내적). 물리적으로는 힘의 장 F 안에서 물체가 C를 따라 움직일 때 F가 한 일에 해당한다― 움직이는 방향(접선 방향) 성분만이 일에 기여한다는 사실이 정의의 F·T에 그대로 반영되어 있다.

벡터장 F(x,y)=(y, x)와 단위원 C 위의 점 P(cos π6, sin π6). 빨강이 F(P)=(12, 32), 초록 화살표가 단위접선벡터 T, 굵은 초록 선분이 접선 성분 F·T이다―이 점에서 실제 값은 F·T = −14 + 34 = 12이다.

958정리벡터장 선적분의 성질 — 향을 뒤집으면 부호가 바뀐다∫−CF·dr = −∫CF·dr

C가 매끄럽고 F, G가 C 위에서 연속이라 하자.

(a) 선형성·가법성. 957번의 마지막 등식으로 선적분을 t에 대한 정적분으로 바꾸고 9.8 f742·f740을 적용하면

∫C[pF+qG]·dr = p∫CF·dr + q∫CG·dr, ∫CF·dr = ∫C₁F·dr + ∫C₂F·dr

를 얻는다(956번 (a)·(b)와 같은 논증이며, 내적의 분배법칙 6.5 f535를 함께 쓴다).

(b) 향을 보존하는 재매개변수화에 무관. 956번 (c)의 φ(φ′>0)에 대해 연쇄법칙(8.3 f651)으로 r̃′(s)=r′(φ(s))φ′(s)이므로, 9.8 f747(치환적분법)에 의해

β∫αF(r(φ(s)))·r′(φ(s)) φ′(s) ds = b∫aF(r(t))·r′(t) dt

가 되어 값이 같다.

(c) 향을 뒤집으면 부호가 바뀐다. −C의 매개변수 r⁻(s)=r(a+b−s)에 대해 r⁻′(s) = −r′(a+b−s)이므로(8.3 f651 + 6.4 f528), u:=a+b−s로 치환하면 9.8 f747·f741에 의해

∫−CF·dr = b∫aF(r(a+b−s))·(−r′(a+b−s)) ds	957번의 계산 공식
= −a∫bF(r(u))·r′(u) (−du)	u=a+b−s, du=−ds (9.8 f747)
= a∫bF(r(u))·r′(u) du = −b∫aF(r(u))·r′(u) du	9.8 f741(구간의 반전 규약)

가 되어 결론을 얻는다.

956번 (d)와의 대비. 스칼라 선적분에서는 ds가 항상 양수인 «길이» 여서 향을 뒤집어도 값이 그대로였지만, 벡터장의 선적분은 정의 자체가 접선 방향 성분 F·T이고 향을 뒤집으면 T가 −T로 바뀌므로 부호가 반대가 된다―일(work)로 해석하면 같은 길을 거꾸로 되돌아올 때 힘이 한 일의 부호가 반대가 되는 것에 대응한다. 960번의 경로 독립성 논의는 전적으로 이 부호 규칙 위에 서 있다.

증명 끝

959정리선적분의 기본정리(그레이디언트 장의 선적분)∫C∇f·dr = f(B) − f(A) (C : A에서 B로 가는 조각별 매끄러운 곡선)

증명법 : 직접증명법(다변수 연쇄법칙 + 미적분의 기본정리 제2부)

열린 영역 D에서 f가 전미분가능(8.9 f910)하고 ∇f가 D에서 연속이라 하자. C가 D 안에 있는 조각별 매끄러운 곡선이고 시점이 A=r(a), 종점이 B=r(b)이면 위 등식이 성립한다.

① 매끄러운 경우. z(t) := f(r(t)) = f(x(t),y(t))라 하면, x, y가 미분가능하고 f가 전미분가능하므로 8.9 f912(다변수 연쇄법칙)에 의해 z는 미분가능하고

z′(t) = f_x(r(t)) x′(t) + f_y(r(t)) y′(t) = ∇f(r(t))·r′(t)

이다(마지막 등식은 6.5 f534의 내적 성분 공식). ∇f와 r′가 연속이므로 z′도 [a,b]에서 연속이고, 957번의 계산 공식과 9.8 f746(미적분의 기본정리 제2부―z가 z′의 원시함수)에 의해

∫C∇f·dr = b∫az′(t) dt = z(b) − z(a) = f(B) − f(A)

② 조각별 매끄러운 경우. C가 매끄러운 조각 C₁,…,C_m을 차례로 이은 것이고 각 조각의 끝점을 A=X₀, X₁,…,X_m=B라 하면, 958번 (a)의 가법성과 ①에 의해

∫C∇f·dr = mΣk=1[f(X_k)−f(X_k−1)] = f(X_m) − f(X₀) = f(B) − f(A)

가 된다(가운데 항이 모두 상쇄되는 망원합―11.3 f762에서 쓴 것과 같은 계산이다).

이 정리는 9.8 f746(미적분의 기본정리 제2부)의 다변수판이다―일변수에서 «도함수의 정적분 = 원시함수의 양 끝값의 차»였던 것이, 여기서는 «그레이디언트의 선적분 = 퍼텐셜함수의 양 끝값의 차»가 된다. 특히 우변에 곡선 C가 전혀 등장하지 않는다― 시점과 종점만 같으면 어떤 길로 가든 값이 같다는 뜻이며, 이것이 960번의 출발점이다.

증명 끝

960정리보존장·경로 독립성·닫힌 경로 적분의 동치F=∇f ⇔ 선적분이 경로에 무관 ⇔ 모든 닫힌 곡선에서 ∮CF·dr=0

증명법 : 쌍조건문의 순환 증명((i)⇒(ii)⇒(iii)⇒(ii)⇒(i))

D⊆ℝ²가 열린 영역이고, D 안의 임의의 두 점이 D 안에 있는 조각별 매끄러운 곡선으로 이어진다고 하자(연결). F=(P,Q)가 D에서 연속일 때, 다음 세 명제는 서로 동치이다.

F가 보존장이다―즉 D에서 전미분가능한 f가 존재해 F=∇f, 곧 P=f_x, Q=f_y이다. 이때 f를 F의 퍼텐셜함수라 한다.
D 안의 선적분이 경로에 무관하다―시점과 종점이 같은 D 안의 임의의 두 조각별 매끄러운 곡선 C₁, C₂에 대해 ∫C₁F·dr = ∫C₂F·dr.
D 안의 모든 닫힌 조각별 매끄러운 곡선 C에 대해 ∮CF·dr = 0. (기호 ∮C은 C가 닫힌 곡선임을 나타낸다.)

① (i)⇒(ii). F=∇f이고 ∇f=F가 연속이므로 959번을 그대로 적용할 수 있다―시점 A, 종점 B가 같은 두 곡선에 대해 선적분이 모두 f(B)−f(A)이므로 서로 같다.

② (ii)⇒(iii). C를 D 안의 닫힌 곡선이라 하고, C 위의 서로 다른 두 점 A, B를 잡아 C를 A→B인 조각 C₁과 B→A인 조각 C₂로 나눈다. 958번 (a)의 가법성과 958번 (c)(향의 반전)에 의해

∮CF·dr = ∫C₁F·dr + ∫C₂F·dr = ∫C₁F·dr − ∫−C₂F·dr

이고, C₁과 −C₂는 둘 다 A→B인 곡선이므로 (ii)에 의해 두 선적분이 같아 차가 0이다.

③ (iii)⇒(ii). A→B인 두 곡선 C₁, C₂에 대해 C₁에 이어 −C₂를 붙이면 A에서 출발해 A로 돌아오는 닫힌 곡선이 되므로, (iii)과 958번 (a)·(c)에 의해

0 = ∫C₁F·dr + ∫−C₂F·dr = ∫C₁F·dr − ∫C₂F·dr

④ (ii)⇒(i) ― 퍼텐셜함수를 실제로 만든다. D의 점 X₀를 하나 고정하고, D의 각 점 X에 대해

f(X) := ∫C(X₀→X)F·dr

로 정의한다―D가 연결이므로 그런 곡선이 적어도 하나 존재하고, (ii)에 의해 값이 곡선의 선택과 무관하므로 f는 잘 정의된 함수이다.

이제 f_x=P임을 보인다. X=(x,y)∈D라 하자. D가 열린집합이므로 ρ>0이 있어 X를 중심으로 하는 반지름 ρ인 원판이 D에 들어간다(8.8 f903의 근방). |h|<ρ이면 X에서 (x+h, y)로 가는 수평선분이 그 원판 안, 따라서 D 안에 있다. X₀→X인 곡선에 이 수평선분을 이어 붙인 것이 X₀→(x+h,y)인 곡선이므로, f의 정의와 958번 (a)에 의해

f(x+h, y) − f(x, y) = ∫수평선분F·dr

이다. 이 수평선분을 r(s)=(x+s, y)(s가 0에서 h까지)로 매개변수화하면 r′(s)=(1, 0)이므로 957번의 계산 공식에 의해

∫수평선분F·dr = h∫0[P(x+s, y)·1 + Q(x+s, y)·0] ds = h∫0P(x+s, y) ds = x+h∫xP(τ, y) dτ

가 된다(마지막은 τ=x+s 치환, 9.8 f747). 여기서 G(u) := u∫x₁P(τ, y)dτ(x₁은 그 원판 안의 고정된 가로좌표)라 두면, 9.8 f740(구간의 분할)과 f741(반전 규약)에 의해 위 식은 h의 부호와 무관하게 G(x+h)−G(x)와 같다. P(·,y)가 연속이므로 9.8 f745(미적분의 기본정리 제1부)에 의해 G′(x)=P(x,y)이다. 따라서

f_x(x,y) = limh→0f(x+h, y)−f(x, y)h = limh→0G(x+h)−G(x)h = P(x, y)

가 되고(8.9 f908의 편도함수 정의), 수평선분 대신 수직선분을 이어 붙이는 같은 논증으로 f_y(x,y)=Q(x,y)를 얻는다.

⑤ 보조정리 ― f가 실제로 전미분가능하다. ④는 f의 두 편도함수가 P, Q와 같음을 보였을 뿐이고, (i)이 요구하는 «전미분가능»(8.9 f910)은 8.9 f911이 보여 준 대로 편미분가능성보다 강한 조건이다. 8.9에는 이 간극을 메우는 정리가 없으므로 여기서 필요한 만큼만 직접 증명한다.

[보조정리] f_x, f_y가 점 (x₀,y₀)의 어떤 근방에서 존재하고 (x₀,y₀)에서 연속이면, f는 (x₀,y₀)에서 전미분가능하다.

증명 : Δf := f(x₀+h, y₀+k) − f(x₀,y₀)를 두 단계로 쪼갠다.

Δf = [f(x₀+h, y₀+k)−f(x₀, y₀+k)] + [f(x₀, y₀+k)−f(x₀,y₀)]	중간항을 더하고 뺌
= f_x(x₀+θ₁h, y₀+k) h + f_y(x₀, y₀+θ₂k) k	각 대괄호에 한 변수만 움직이므로 8.6 f672(평균값 정리)를 적용, θ₁,θ₂∈(0,1)
= f_x(x₀,y₀)h + f_y(x₀,y₀)k + ε(h,k)	ε(h,k) := [f_x(ξ)−f_x(x₀,y₀)]h + [f_y(η)−f_y(x₀,y₀)]k

|h|≤h²+k², |k|≤h²+k²이므로

|ε(h,k)|h²+k² ≤ |f_x(ξ)−f_x(x₀,y₀)| + |f_y(η)−f_y(x₀,y₀)|

이고, (h,k)→(0,0)이면 ξ, η→(x₀,y₀)이므로 f_x, f_y의 연속성(8.8 f906)에 의해 우변이 0으로 간다. 이는 8.9 f910의 전미분가능성 정의 그대로이다.

이 보조정리를 ④의 f에 적용하면―f_x=P, f_y=Q가 D에서 연속이므로 ―f는 D의 모든 점에서 전미분가능하고, 따라서 F=∇f인 (i)이 성립한다.

증명 끝

961정리그린 정리∮CP dx + Q dy = ∬D(∂Q∂x − ∂P∂y) dA

증명법 : 직접증명법(푸비니의 정리로 이중적분을 반복적분으로 풀고, 안쪽 적분에 미적분의 기본정리를 적용)

D를 단순영역―9.10 f937의 Type I이면서 동시에 Type II인 유계 폐영역이고, 그 경계 C=∂D가 조각별 매끄러운 단순 닫힌 곡선(952번)인 것―이라 하고, C에는 양의 향(영역 D가 항상 진행 방향의 왼쪽에 오도록 도는 향, 흔히 말하는 반시계 방향)을 준다. P, Q가 D를 포함하는 어떤 열린집합에서 연속이고 편도함수 P_y, Q_x도 그 위에서 연속이면 위 등식이 성립한다.

① Type I로 보고 P에 대한 등식을 세운다. D={(x,y) : a≤x≤b, g₁(x)≤y≤g₂(x)}(g₁≤g₂는 [a,b]에서 연속)라 하자. P_y가 연속이므로 9.10 f933·f937로 이중적분이 존재하고, 9.10 f938(푸비니의 정리)로 반복적분이 된다:

∬DP_y dA = b∫ag₂(x)∫g₁(x)P_y(x,y) dy dx	9.10 f938 (Type I)
= b∫a[P(x, g₂(x)) − P(x, g₁(x))] dx	안쪽 적분에 9.8 f746(y에 대해 P가 P_y의 원시함수)

② 같은 것을 경계의 선적분으로 계산한다. 양의 향을 준 C는 다음 네 조각으로 나뉜다(수직 조각은 g₁과 g₂가 그 끝에서 만나면 한 점으로 줄어들 뿐, 아래 계산은 그대로 성립한다).

Type I 영역 D의 경계를 네 조각으로 나눈 모습. C₁(아래, x : a→b), C₂(오른쪽 수직), C₃(위, x : b→a), C₄(왼쪽 수직). 화살표가 양의 향이다.

C₁ : r(t)=(t, g₁(t)), t : a→b → ∫C₁P dx = b∫aP(t, g₁(t)) dt
C₃ : r(t)=(t, g₂(t)), t : b→a → ∫C₃P dx = a∫bP(t, g₂(t)) dt = −b∫aP(t, g₂(t)) dt (9.8 f741)
C₂, C₄ : x가 상수(각각 b, a)인 수직선분이므로 x′(t)=0이고, 957번의 성분 표기에서 P dx에 해당하는 항의 피적분함수가 P·x′(t) = 0이라 그 적분값이 0이다.

네 조각을 더하면(958번 (a))

∮CP dx = b∫a[P(x, g₁(x)) − P(x, g₂(x))] dx = −∬DP_y dA

③ Type II로 보고 Q에 대한 등식을 세운다. 같은 D를 D={(x,y) : c≤y≤d, h₁(y)≤x≤h₂(y)}로 쓰면, 양의 향에서 오른쪽 경계 x=h₂(y)는 y가 c에서 d로 증가하는 방향, 왼쪽 경계 x=h₁(y)는 y가 d에서 c로 감소하는 방향이고, 수평 조각에서는 y′(t)=0이라 ∫CQ dy 부분이 0이다. ①·②과 문자 그대로 같은 계산(x와 y, P와 Q의 역할만 맞바꾼 것)으로

∮CQ dy = d∫c[Q(h₂(y), y) − Q(h₁(y), y)] dy = ∬DQ_x dA

를 얻는다―이번에는 부호가 뒤집히지 않는데, 양의 향에서 «오른쪽(= x가 큰 쪽) 경계»가 적분의 위끝과 같은 방향으로 도는 반면, ②에서는 «위쪽(= y가 큰 쪽) 경계»가 거꾸로 돌기 때문이다.

④ 결론. ②과 ③를 더하면(958번 (a), 9.10 f934)

∮CP dx + Q dy = ∬D(Q_x − P_y) dA

«대학» 참고 ― 위 증명은 «Type I이면서 Type II»인 단순영역에 대해서만 완전하다. 일반적인 영역(가운데 구멍이 없는 유계 영역 전반)으로 넓히려면 두 가지가 더 필요하다 : ⑴ 그런 영역을 유한개의 단순영역으로 잘라 붙이면 안쪽에 새로 생긴 경계는 서로 반대 향으로 두 번 지나가 상쇄된다는 사실(958번 (c)의 부호 규칙 덕분에 성립하며, 9.10 f935의 이중적분 가법성과 짝을 이룬다) ― 이 분할이 실제로 항상 가능하다는 것 자체가 증명 대상이다. ⑵ 애초에 «단순 닫힌 곡선이 평면을 안과 밖으로 나눈다»는 사실(조르당 곡선 정리)―«양의 향»이라는 말 자체가 이 정리 위에서만 정확한 의미를 갖는다. 두 결과 모두 완전한 증명이 위상수학·실해석학의 별도 과목 분량이므로, 여기서는 8.2 f640·f641을 다룬 방식과 같이 표준적인 명칭과 결과만 정확히 서술하고 인용해 사용한다. 이 절의 962–964번에서 실제로 쓰는 영역(직사각형, 원판, 두 곡선 사이의 영역)은 모두 위에서 완전히 증명한 단순영역이다.

증명 끝

962정리그린 정리의 따름 — 선적분으로 넓이 구하기Area(D) = ∮Cx dy = −∮Cy dx = 12∮C(x dy − y dx)

D가 961번의 단순영역이고 C=∂D에 양의 향을 주었다고 하자. 961번에서 P, Q를 다음과 같이 고르면 피적분함수 Q_x−P_y가 항상 1이 된다.

P=0, Q=x ⇒ Q_x−P_y = 1−0 = 1	∮Cx dy = ∬D1 dA
P=−y, Q=0 ⇒ Q_x−P_y = 0−(−1) = 1	−∮Cy dx = ∬D1 dA
P=−y2, Q=x2 ⇒ Q_x−P_y = 12+12 = 1	12∮C(x dy−y dx) = ∬D1 dA

세 경우 모두 우변이 9.10 f939에 의해 Area(D)이다. 이는 «영역 내부를 전혀 훑지 않고 경계만 한 바퀴 돌아 넓이를 잰다»는 뜻으로, 964번 ④에서 단위원에 직접 적용해 확인한다.

증명 끝

963정리보존장의 필요조건F=(P,Q)가 열린 영역 D에서 보존장 ⇒ ∂P∂y = ∂Q∂x (D 위의 모든 점에서)

증명법 : 귀류법(어긋나는 점이 있다면 그 둘레의 아주 작은 정사각형에서 그린 정리가 0이 아닌 값을 준다)

D가 960번의 가정을 만족하는 열린 연결 영역이고, P_y와 Q_x가 D에서 연속이라 하자. F가 D에서 보존장이라고 가정한다.

결론을 부정해 어떤 점 p=(x₀,y₀)∈D에서 c := Q_x(p)−P_y(p) ≠ 0이라 하자. 일반성을 잃지 않고 c>0이라 해도 된다(c<0이면 F 대신 −F를 생각하면 부호만 바뀐다). Q_x−P_y가 p에서 연속이므로(8.8 f906), δ>0이 존재해 닫힌 정사각형

S := [x₀−δ, x₀+δ] × [y₀−δ, y₀+δ] ⊆ D 이고 S 위에서 Q_x−P_y > c2

이 되도록 할 수 있다(D가 열린집합이라 충분히 작은 정사각형을 D 안에 넣을 수 있다). 정사각형은 Type I이면서 Type II이고 그 경계는 네 개의 선분―조각별 매끄러운 단순 닫힌 곡선―이므로 961번을 그대로 적용할 수 있다. ∂S에 양의 향을 주면

∮∂SF·dr = ∬S(Q_x−P_y) dA	961번(그린 정리)
≥ ∬Sc2 dA = c2·(2δ)² > 0	9.10 f936(단조성) + f939(넓이)

그런데 F가 보존장이므로 960번 (iii)에 의해 D 안의 모든 닫힌 곡선에서 선적분이 0이어야 하고, ∂S도 D 안의 닫힌 곡선이므로 ∮∂SF·dr=0이다― 모순이다. 따라서 D의 모든 점에서 Q_x=P_y이다.

이 조건은 필요조건일 뿐이다―964번 ③에서 보듯 판정에는 아주 유용하지만(P_y≠Q_x이면 그 즉시 보존장이 아니다), 역은 D의 모양에 따라 성립하지 않을 수 있다.

«대학» 참고 ― 역(P_y=Q_x ⇒ 보존장)은 D가 단순연결일 때―직관적으로 D 안에 «구멍»이 없을 때―성립한다. «구멍이 없다»를 정확히 정의하려면 곡선의 호모토피(연속적 변형)라는 위상수학의 개념이 필요하고, 증명도 961번의 univ-note에서 인용한 일반 영역판 그린 정리를 요구하므로 학부 표준 과정을 넘어선다―여기서는 이 사실을 결과만 인용해 둔다. 구멍이 있으면 실제로 역이 깨지는 대표적인 예가 D=ℝ²∖{(0,0)}에서 F=(−yx²+y², xx²+y²)인 경우로, P_y=Q_x가 D 전체에서 성립하지만 원점을 감싸는 단위원에서의 선적분은 0이 아니라 2π여서 960번 (iii)에 어긋난다.

증명 끝

964정리—활용선적분의 종합 계산 예∫C(x+y)ds = 2, ∫CF·dr = 1, ∮C(−y dx+x dy) = 2π

① 스칼라 선적분(955번). C를 사분원 r(t)=(cos t, sin t) (t∈[0, π2]), f(x,y)=x+y라 하자. 4.5 f425(피타고라스 항등식)와 8.4 f654·f655로

|r′(t)| = (−sin t)²+(cos t)² = 1

이므로(단위원을 «일정한 속력»으로 도는 매개변수화), 955번에 의해

∫C(x+y) ds = π/2∫0(cos t + sin t)·1 dt	955번(계산 공식)
= [sin t − cos t]₀^π/2 = (1−0) − (0−1) = 2	9.1 f696 + 9.8 f746

검산 : f≡1로 두면 같은 계산이 π/2∫01 dt = π2을 주는데, 이는 956번 (e)에 따라 반지름 1인 사분원의 길이여야 하고, 실제로 3.19 f262(원의 둘레 2πr)의 14과 일치한다.

② 보존장의 선적분(959번). F(x,y)=(y, x)라 하자. f(x,y):=xy로 두면 f_x=y, f_y=x이므로(8.9 f909) F=∇f이고, f는 다항함수라 ℝ² 전체에서 전미분가능하며 ∇f도 연속이다. 따라서 A(0,0)에서 B(1,1)로 가는 어떤 조각별 매끄러운 곡선 C에 대해서도 959번에 의해

∫CF·dr = f(1,1) − f(0,0) = 1·1 − 0 = 1

이다. 실제로 서로 다른 두 경로에서 직접 계산해 보아도 값이 같다(957번의 성분 표기로 ∫Cy dx + x dy를 계산).

직선 r(t)=(t, t) : 1∫0[t·1 + t·1]dt = 1∫02t dt = [t²]₀¹ = 1	x′=1, y′=1
포물선 r(t)=(t, t²) : 1∫0[t²·1 + t·2t]dt = 1∫03t² dt = [t³]₀¹ = 1	x′=1, y′=2t

③ 보존장이 아닌 경우(963번). 이번에는 부호 하나만 바꾼 G(x,y)=(−y, x)를 보자. P=−y, Q=x이므로

Q_x − P_y = 1 − (−1) = 2 ≠ 0

이고, 963번(필요조건)의 대우에 의해 G는 ℝ²의 어떤 열린 영역에서도 보존장이 아니다. 그렇다면 960번에 의해 선적분이 경로에 의존해야 하는데, ②과 같은 두 경로로 확인하면 실제로 그렇다.

직선 r(t)=(t, t) : 1∫0[(−t)·1 + t·1]dt = 1∫00 dt = 0	두 항이 정확히 상쇄
포물선 r(t)=(t, t²) : 1∫0[(−t²)·1 + t·2t]dt = 1∫0t² dt = 13	x′=1, y′=2t

0 ≠ 13이므로 경로에 의존한다―②의 F=(y,x)와 ③의 G=(−y,x)는 성분 하나의 부호만 다른데도 성질이 완전히 갈린다는 점이 963번의 판정 조건이 얼마나 예민한지 보여 준다.

④ 그린 정리와 넓이 공식(961·962번). 같은 G=(−y, x)를 단위원 C : r(t)=(cos t, sin t) (t∈[0, 2π], 양의 향)에서 한 바퀴 돌며 적분한다. 단위원판 D는 Type I이면서 Type II인 단순영역이므로 961번을 적용할 수 있다.

[좌변] ∮C(−y dx + x dy) = 2π∫0[(−sin t)(−sin t) + (cos t)(cos t)]dt	957번, x′=−sin t, y′=cos t
= 2π∫0(sin²t + cos²t) dt = 2π∫01 dt = 2π	4.5 f425(피타고라스 항등식)
[우변] ∬D(Q_x−P_y)dA = ∬D2 dA = 2·Area(D) = 2π	③의 계산 + 9.10 f939, 3.19 f263(원의 넓이 πr²)

양변이 2π로 일치한다. 나아가 962번의 넓이 공식에 이 값을 넣으면

Area(D) = 12∮C(x dy − y dx) = 12·2π = π

가 되어, 반지름 1인 원판의 넓이 π와 정확히 일치한다―경계만 한 바퀴 돌아 내부의 넓이를 얻은 것이다.

①–④는 이 절의 네 축을 한 번씩 지난다 : 호의 길이에 대한 선적분(953–956번), 벡터장의 선적분과 기본정리(957–959번), 경로 독립성과 그 판정 (960·963번), 그린 정리와 그 따름(961·962번). 다음 절 9.13(면적분)에서는 여기의 «곡선 → 이중적분» 대응이 «곡면 → 삼중적분»으로 한 차원 올라간다.

증명 끝

chapter:09-integral-calculus section:9.12