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10.2   대학 과정

2계 상미분방정식

Second Order Ordinary Differential Equations

정의 · 공식과 증명

10.1(1계 상미분방정식)에서 확립한 방법들을 발판 삼아, 이 절에서는 y″가 나타나는 2계 상미분방정식을 다룹니다―특히 상수계수 선형 방정식(동차·비동차)을 명시적으로 완전히 풀어내는 것이 목표입니다. 먼저 일반 이론(986–990번―존재·유일성, 중첩원리, 론스키안, 일반해 정리)을 세운 뒤, 이를 상수계수 동차방정식의 특성방정식(991–994번, 판별식에 따른 세 경우)에 적용하고, 마지막으로 비동차 방정식의 두 표준 풀이법―미정계수법(996번)과 매개변수변화법(997번)―을 다룹니다. 8.5 f664의 n계도함수 표기(y″=y⁽²⁾, d²ydx²)를 그대로 사용하고, 5장(행렬과 행렬식)의 2×2 행렬식·역행렬·크래머 공식이 론스키안(989번)과 두 풀이법(996·997번) 곳곳에서 구조적으로 재사용됩니다.

986정의2계 선형미분방정식·동차와 비동차·상수계수y″+p(x)y′+q(x)y=g(x)  (g≡0이면 동차, 아니면 비동차)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. p, q, g가 어떤 구간 I에서 연속인 함수일 때

y″ + p(x)y′ + q(x)y = g(x)

형태의 방정식을 2계 선형미분방정식이라 합니다―미지함수 y와 그 도함수 y′, y″(8.5 f663)에 대해 일차식이기 때문입니다(y″의 계수가 항등적으로 1인 형태를 표준형이라 하며, 이 절에서는 항상 표준형을 다룹니다). g(x)≡0이면 동차(homogeneous), g¬≡0이면 비동차(nonhomogeneous)라 부릅니다―10.1 f983의 «동차»(1계, v=yx 치환)와는 이름만 같고 무관한 별개의 용어임에 주의합니다.

이 절에서는 특히 p, q가 상수인 경우―

y″ + ay′ + by = g(x)   (a, b∈ℝ는 상수)

―를 집중적으로 다루며, 이를 상수계수 2계 선형미분방정식이라 합니다. y=φ(x)가 구간 I에서 방정식을 항등적으로 만족시키면 10.1 f977과 같은 뜻으로 φ를 그 방정식의 해라 합니다.

사용 : 8.5의 663번 · 10.1의 977번 · 10.1의 983번

987정리선형 2계 초기값문제의 전역적 존재·유일성p, q, g가 I에서 연속, x₀∈I  ⇒  y″+py′+qy=g, y(x₀)=y₀, y′(x₀)=y₀′는 I 전체에서 유일한 해를 가짐

증명법 : 결과만 인용(대학, 완전한 증명은 함수해석학)

10.1 f978(피카르–린델뢰프 정리)은 y′=f(x,y) 꼴의 일반적인(비선형일 수 있는) 1계 방정식에 대해, f가 y에 대해 립시츠 조건을 만족해야 x₀ 근방이라는 국소적인 구간에서만 존재·유일성을 보장했습니다. 그런데 지금 다루는 방정식은 선형이므로 사정이 더 좋습니다―y″=g(x)−p(x)y′−q(x)y의 우변은 y, y′에 대해 정확히 일차식이고, 그 계수 −p(x), −q(x)가 p, q의 연속성에 의해 I의 모든 콤팩트한 부분구간에서 유계이므로, 립시츠 조건이 자동으로(그리고 I 전체에서 균일하게) 만족됩니다.

대학 이 방정식을 u₁:=y, u₂:=y′로 두어 1계 연립방정식 u₁′=u₂, u₂′=g−pu₂−qu₁로 바꾸면(벡터값 함수에 대한 1계 방정식), 위에서 말한 자동 립시츠 조건 덕분에 10.1 f978의 피카르–린델뢰프 논증(바나흐 고정점 정리를 쓰는 피카르 반복)을 벡터값 버전으로 그대로 반복할 수 있고, 이때는 국소적인 존재 구간이 계수의 유계 구간 전체로 이어붙여져(interval of existence가 끊어지지 않고) I 전체에서의 전역적 존재·유일성으로 강화됩니다. 이 «연립방정식으로의 축소»와 «구간을 이어붙이는» 두 단계 모두 이 사이트에서 아직 다루지 않는 연립미분방정식·상세한 확장 논증을 필요로 하므로, 여기서는 표준적인 선형 상미분방정식 이론의 결과로 인용만 하고 넘어갑니다. 아래 989–990번(론스키안·일반해 정리)은 이 존재·유일성 결과를 이미 주어진 것으로 가정하고 그 위에 선형대수적 구조를 쌓아 올리는 것입니다.

사용 : 10.1의 978번

988정리중첩원리(동차방정식 해공간의 선형성)y₁, y₂가 y″+py′+qy=0의 해  ⇒  c₁y₁+c₂y₂도 해 (임의의 상수 c₁, c₂)

증명법 : 직접증명법(미분법의 선형성을 그대로 적용)

y₁, y₂가 구간 I에서 y″+p(x)y′+q(x)y=0의 해라 합시다. y:=c₁y₁+c₂y₂라 두면, 8.3 f648(미분법의 선형성)을 두 번 적용해

y′ = c₁y₁′+c₂y₂′,     y″ = c₁y₁″+c₂y₂″

를 얻습니다. 이제 y가 방정식을 만족시키는지 직접 대입해 확인합니다 :

y″+py′+qy	정의
= (c₁y₁″+c₂y₂″) + p(c₁y₁′+c₂y₂′) + q(c₁y₁+c₂y₂)	위 대입
= c₁(y₁″+py₁′+qy₁) + c₂(y₂″+py₂′+qy₂)	재배열
= c₁·0 + c₂·0 = 0	y₁, y₂가 해라는 가정

이므로 y=c₁y₁+c₂y₂도 방정식의 해입니다. (b, c=0 또는 1인 특수한 경우로―y₁, y₂가 해이면 y₁+y₂와 상수배 cy₁도 각각 해라는 사실을 함께 포함합니다.)

사용 : 8.3의 648번

증명 끝

989정의·정리론스키안·아벨의 공식·일차독립 판정W(y₁,y₂):=y₁y₂′−y₁′y₂   ⇒   W′=−p(x)W,   W≡0 또는 W는 어디서도 0이 아님,   y₁,y₂ 일차독립 ⇔ (한 점에서) W≠0

y₁, y₂가 y″+p(x)y′+q(x)y=0의 두 해일 때

W(y₁,y₂)(x) := y₁(x)y₂′(x) − y₁′(x)y₂(x)   &Bigl(= y₁y₂y₁′y₂′,  5.1 f825의 뜻으로&Bigr)

를 y₁, y₂의 론스키안(Wronskian)이라 합니다. 정의이므로 이 부분은 증명 대상이 아닙니다.

증명법(아벨의 공식) : 직접증명법(W′을 직접 계산해 10.1의 1계 선형방정식으로 환원)

① W′=−pW(아벨의 공식, Abel’s formula). 8.3 f648(선형성)과 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해

W′	정의를 미분
= (y₁′y₂′+y₁y₂″) − (y₁″y₂+y₁′y₂′)	곱의 미분법 두 번
= y₁y₂″ − y₁″y₂	y₁′y₂′ 소거
= y₁(−py₂′−qy₂) − (−py₁′−qy₁)y₂	y₁″=−py₁′−qy₁, y₂″=−py₂′−qy₂(둘 다 해)
= −p(y₁y₂′−y₁′y₂) − q(y₁y₂−y₁y₂)	재배열
= −pW − 0 = −pW	W의 정의, y₁y₂−y₁y₂=0

② W≡0 또는 W는 어디서도 0이 아님. ①에 의해 W 자체가 10.1 f980번 꼴(계수 P=p, Q≡0인 1계 선형미분방정식, 다만 여기서는 미지함수가 W)을 만족시키므로, 980번의 적분인자 μ(x)=e^∫p(x)dx를 그대로 적용하면(Q≡0인 특수한 경우)

W(x) = W(x₀)·e^{−∫x₀xp(t)dt}   (임의의 기준점 x₀∈I)

를 얻습니다(지수함수는 어디서도 0이 되지 않으므로). 따라서 W(x₀)=0인 점 x₀이 하나라도 있으면 W≡0이고, 그렇지 않으면(즉 어느 한 점에서 W≠0이면) W는 I의 모든 점에서 0이 아닙니다―한 점에서의 값만으로 구간 전체의 부호(0 여부)가 결정됩니다.

③ 일차독립 ⇔ W≠0. y₁, y₂가 일차종속이라는 것은 (0,0)이 아닌 (k₁,k₂)가 존재해 k₁y₁+k₂y₂≡0이라는 뜻이고(한 쪽이 다른 쪽의 상수배), 일차독립은 그런 (k₁,k₂)가 (0,0)뿐이라는 뜻입니다.

(⇒, 대우로) 어느 한 점 x₀에서 W(x₀)=0이면 y₁, y₂는 일차종속. W(x₀)=0은 5.1 f825에 의해 행렬 y₁(x₀)y₂(x₀)y₁′(x₀)y₂′(x₀)의 행렬식이 0이라는 뜻이므로, 5.5 f867(det A≠0⇔가역)의 대우에 의해 이 행렬은 가역이 아닙니다―즉 연립방정식

k₁y₁(x₀)+k₂y₂(x₀)=0,    k₁y₁′(x₀)+k₂y₂′(x₀)=0

는 (0,0)이 아닌 해 (k₁,k₂)를 가집니다(가역이 아닌 2×2 계수행렬을 가진 동차 연립방정식은 자명하지 않은 해를 가짐―5.5 f867의 대우). 이제 z:=k₁y₁+k₂y₂라 두면, 988번(중첩원리)에 의해 z도 방정식의 해이고, 위 두 식은 정확히 z(x₀)=0, z′(x₀)=0을 뜻합니다. 그런데 항등적으로 0인 함수 y≡0도 같은 초기조건 y(x₀)=0, y′(x₀)=0을 만족시키는 해이므로, 987번(유일성)에 의해 z≡0―즉 k₁y₁+k₂y₂≡0이고 (k₁,k₂)≠(0,0)이므로 y₁, y₂는 일차종속입니다.

(⇐, 대우로) y₁, y₂가 일차종속이면 W≡0. 일차종속이므로 (0,0)이 아닌 (k₁,k₂)가 있어 k₁y₁+k₂y₂≡0입니다. k₂≠0이라 해도 일반성을 잃지 않으면(k₁≠0인 경우도 대칭적으로 동일) y₂=−k₁k₂y₁, 즉 y₂가 y₁의 상수배이므로 8.3 f648에 의해 y₂′도 y₁′의 같은 상수배이고, 곧바로 대입하면 W=y₁y₂′−y₁′y₂≡0입니다.

두 대우 명제를 합치면 W(x₀)≠0인 점이 하나라도 있음 ⇔ y₁, y₂가 일차독립이고, ②에 의해 이는 «구간 전체에서 W≠0»과 같은 뜻입니다. 일차독립인 두 해의 순서쌍 (y₁,y₂)를 방정식의 기본해집합(fundamental set of solutions)이라 부릅니다.

사용 : 5.1의 825번 · 5.5의 867번 · 10.1의 980번 · 8.3의 648번 · 8.3의 649번 · 987번 · 988번

증명 끝

990정리일반해 정리(기본해집합이 모든 해를 포괄)(y₁,y₂)가 기본해집합  ⇒  y″+py′+qy=0의 모든 해는 y=c₁y₁+c₂y₂(c₁,c₂∈ℝ) 꼴로 유일하게 표시됨

증명법 : 직접증명법(임의의 해와 같은 초기조건을 갖는 c₁y₁+c₂y₂를 실제로 구성한 뒤 987번의 유일성으로 두 해가 일치함을 확인)

(y₁,y₂)가 기본해집합―즉 989번의 뜻으로 일차독립인 두 해―이라 하고, y를 방정식의 임의의 해라 합시다. 기준점 x₀∈I에서 y(x₀)=y₀, y′(x₀)=y₀′라 둡니다(즉 y는 이 초기값문제의 한 해).

① 같은 초기조건을 갖는 c₁y₁+c₂y₂의 구성. c₁, c₂를 다음 연립방정식의 해로 잡으려 합니다 :

c₁y₁(x₀)+c₂y₂(x₀) = y₀,    c₁y₁′(x₀)+c₂y₂′(x₀) = y₀′

이는 계수행렬 y₁(x₀)y₂(x₀)y₁′(x₀)y₂′(x₀)(행렬식이 정확히 W(x₀))을 갖는 c₁, c₂에 대한 2×2 연립일차방정식이고, 989번(일차독립⇔W≠0)에 의해 W(x₀)≠0이므로 5.5 f870(또는 f871의 크래머 공식)에 의해 유일한 해 (c₁,c₂)가 존재합니다―명시적으로

c₁ = y₀y₂′(x₀)−y₀′y₂(x₀)W(x₀),     c₂ = y₁(x₀)y₀′−y₁′(x₀)y₀W(x₀)

(각각 크래머 공식의 det A₁/det A, det A₂/det A). 이 c₁, c₂로 z:=c₁y₁+c₂y₂를 정의하면, 988번(중첩원리)에 의해 z도 방정식의 해이고, 위 연립방정식은 정확히 z(x₀)=y₀, z′(x₀)=y₀′를 뜻합니다.

② y와 z는 같은 초기값문제의 해이므로 일치. y와 z는 둘 다 y″+py′+qy=0, y(x₀)=y₀, y′(x₀)=y₀′를 만족시키므로, 987번(전역적 유일성)에 의해 y≡z=c₁y₁+c₂y₂입니다.

③ 표시의 유일성. 만약 c₁y₁+c₂y₂=c₁′y₁+c₂′y₂라면 (c₁−c₁′)y₁+(c₂−c₂′)y₂≡0이고, y₁, y₂가 일차독립(989번)이므로 정의에 의해 c₁=c₁′, c₂=c₂′―즉 (c₁,c₂)는 유일합니다.

따라서 방정식의 모든 해는 c₁y₁+c₂y₂(c₁,c₂∈ℝ) 꼴로, 그것도 유일하게 표시됩니다. 이 표현을 방정식의 일반해라 부릅니다.

사용 : 5.5의 870번 · 871번 · 987번 · 988번 · 989번

증명 끝

991정의·정리상수계수 동차방정식과 특성방정식y″+ay′+by=0,  y=e^rx 대입  ⇒  r²+ar+b=0 (특성방정식)

y=e^rx(r은 상수, 실수 또는 뒤에서 다룰 복소수) 형태의 해를 시도하는 것이 상수계수 방정식에 특유한 전략입니다―지수함수는 미분해도 자기 자신의 상수배로 되돌아오기 때문입니다.

증명법 : 직접증명법(대입 후 e^rx≠0으로 나눔)

y=e^rx라 두면, 8.4 f657((e^x)′=e^x)와 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해 y′=re^rx, y″=r²e^rx이고, 방정식에 대입하면

r²e^rx + are^rx + be^rx = 0   ⇒   e^rx(r²+ar+b) = 0

이고, 지수함수는 어디서도 0이 아니므로(e^rx>0) 이는

r² + ar + b = 0

과 동치입니다―이 이차방정식을 방정식 y″+ay′+by=0의 특성방정식(characteristic equation)이라 정의합니다. 즉 e^rx가 해 ⇔ r이 특성방정식의 근입니다. 특성방정식은 판별식 D=a²−4b의 부호에 따라 서로 다른 두 실근(D>0, 992번)·중근(D=0, 993번)·켤레복소근(D<0, 994번)의 세 경우로 나뉩니다.

사용 : 8.4의 657번 · 8.3의 651번

증명 끝

992정리서로 다른 두 실근인 경우(D>0)r₁≠r₂∈ℝ가 특성방정식의 두 근  ⇒  일반해 y = c₁e^r₁x + c₂e^r₂x

증명법 : 직접증명법(991번으로 두 해를 얻고, 989·990번으로 기본해집합⇒일반해 확인)

D=a²−4b>0이면 특성방정식은 근의 공식으로 서로 다른 두 실근 r₁,r₂=−a±√D2를 갖습니다(D>0이므로 √D가 실수). 991번에 의해 y₁:=e^r₁x, y₂:=e^r₂x는 둘 다 해입니다. 론스키안(989번)을 계산하면

W(y₁,y₂) = e^r₁x·r₂e^r₂x − r₁e^r₁x·e^r₂x = (r₂−r₁)e^(r₁+r₂)x

이고, r₁≠r₂이므로 r₂−r₁≠0이며 지수함수는 어디서도 0이 아니므로 W≠0(모든 x에서)입니다. 989번에 의해 (y₁,y₂)는 기본해집합이고, 990번(일반해 정리)에 의해

y = c₁e^r₁x + c₂e^r₂x   (c₁, c₂∈ℝ)

가 방정식의 일반해입니다.

사용 : 989번 · 990번 · 991번

증명 끝

993정리중근인 경우(D=0)―계수축소법r이 특성방정식의 중근  ⇒  일반해 y = c₁e^rx + c₂xe^rx

증명법 : 직접증명법(계수축소법, y=v(x)e^rx 치환으로 v에 대한 방정식을 v″=0까지 단순화)

D=a²−4b=0이면 특성방정식은 중근 r=−a2를 갖습니다(즉 2r=−a, 다시 말해 2r+a=0―아래에서 핵심적으로 쓰입니다). 991번에 의해 y₁:=e^rx는 해입니다. 두 번째 독립인 해를 계수축소법(reduction of order)으로 구성합니다―y=v(x)e^rx 꼴을 시도합니다(v는 아직 미지의 함수).

8.3 f649·f651과 8.4 f657에 의해

y′ = (v′+rv)e^rx,    y″ = (v″+2rv′+r²v)e^rx

이고, 방정식에 대입해 e^rx(≠0)로 나누면 :

0 = y″+ay′+by	y가 해라는 가정
↔ 0 = v″+2rv′+r²v + a(v′+rv) + bv	위 대입, erx로 나눔
↔ 0 = v″ + (2r+a)v′ + (r²+ar+b)v	v″, v′, v의 계수별로 재배열
↔ 0 = v″	r²+ar+b=0(991번, r이 근)이고 2r+a=0(중근이므로)

즉 v″=0이고, 9.1 f691에 의해 이를 두 번 적분하면 v(x)=C₁+C₂x(임의의 상수 C₁, C₂)입니다. C₁=0, C₂=1로 택하면 v=x, 즉 y₂:=xe^rx가 (C₁=1, C₂=0인 y₁=e^rx와는 독립인) 또 하나의 해입니다.

론스키안을 계산하면

W(y₁,y₂) = e^rx(e^rx+rxe^rx) − re^rx·xe^rx = e^2rx(1+rx−rx) = e^2rx ≠ 0

이므로 989번에 의해 (y₁,y₂)=(e^rx,xe^rx)는 기본해집합이고, 990번에 의해 일반해는

y = c₁e^rx + c₂xe^rx   (c₁, c₂∈ℝ)

입니다.

사용 : 8.3의 649번 · 8.4의 657번 · 8.3의 651번 · 9.1의 691번 · 989번 · 990번 · 991번

증명 끝

994정리켤레복소근인 경우(D<0)특성근이 α±βi(β>0)  ⇒  일반해 y = e^αx(c₁cosβx + c₂sinβx)

증명법 : 직접증명법(복소지수함수나 오일러 공식을 거치지 않고, e^αxcosβx와 e^αxsinβx가 실제로 해임을 실수 범위에서 직접 대입해 확인)

D=a²−4b<0이면 근의 공식의 근호 안이 음수이므로 특성방정식은 실근을 갖지 않고, 대신 서로 켤레인 두 복소수 r=α±βi(α=−a2, β=√−D2>0)를 근으로 갖습니다. 근과 계수의 관계(두 근의 합·곱)에 의해

a = −(r₁+r₂) = −2α,     b = r₁r₂ = (α+βi)(α−βi) = α²+β²

입니다(뒤 등식은 1.4 f50의 복소수 곱셈, 또는 그냥 (α+βi)(α−βi)=α²−(βi)²=α²+β²의 직접 전개). y₁:=e^αxcosβx, y₂:=e^αxsinβx가 실제로 해임을 직접 확인합니다.

8.3 f649·f651과 8.4 f654·f655·f657에 의해

y₁′ = e^αx(αcosβx−βsinβx),    y₁″ = e^αx ((α²−β²)cosβx−2αβsinβx)

이고, 방정식에 대입해 e^αx(≠0)로 나눈 뒤 cosβx, sinβx의 계수를 각각 모으면 :

y₁″+ay₁′+by₁	확인할 대상
= eαx([(α²−β²)+aα+b]cosβx + [−2αβ−aβ]sinβx)	위 대입, 계수별 정리
cosβx 계수 : (α²−β²) + aα + b	a=−2α, b=α²+β² 대입
= (α²−β²) − 2α² + (α²+β²) = 0	전개·소거
sinβx 계수 : −2αβ − aβ	a=−2α 대입
= −2αβ + 2αβ = 0	소거

즉 y₁″+ay₁′+by₁=e^αx(0·cosβx+0·sinβx)=0이므로 y₁은 실제로 해입니다. y₂=e^αxsinβx에 대해서도 완전히 같은 방식(cos↔sin의 역할만 바뀜, 8.4 f655의 (cos x)′=−sin x가 부호를 하나 더 만들지만 최종 소거는 동일한 대수로 이어짐)으로 y₂″+ay₂′+by₂=0을 확인할 수 있습니다.

대학 위 대입 확인이 왜 성립하는지에 대한 직관은 1.4 f64[선행 인용, 미증명](오일러 공식)로 설명됩니다― 형식적으로 e^(α+βi)x=e^αx(cosβx+isinβx)라 쓰면, 이 복소함수가 복소수 계수의 방정식을 만족시키고(991번의 대입 논증을 r=α+βi∈ℂ로 그대로 확장), 실수 계수(a,b∈ℝ) 방정식의 좌변에 이 복소해를 대입한 뒤 실수부·허수부를 따로 모으면 그 자체가 y₁, y₂ 각각이 해라는 것과 같은 내용이 됩니다. 다만 f64번 자체가 이 사이트에서 아직 증명되지 않은 선행 인용 상태(11.10 매클로린 급수 전개 예정)이므로, 이 절에서는 그 직관에 의존하지 않고 바로 위에서 실수 범위의 직접 대입만으로 완전히 증명했습니다―즉 994번 자체는 f64번의 완성 여부와 무관하게 이미 완결된 결과입니다(pending-forward-refs.json에 참고용으로만 등록, resolved 여부는 994번의 증명 완결성에 영향을 주지 않음).

론스키안을 계산하면(4.5 f425의 피타고라스 항등식으로 정리)

W(y₁,y₂) = e^2αx(cosβx(αsinβx+βcosβx) − (αcosβx−βsinβx)sinβx) = βe^2αx(cos²βx+sin²βx) = βe^2αx

이고 β>0이므로 W≠0(모든 x에서)입니다. 989번에 의해 (y₁,y₂)는 기본해집합이고, 990번에 의해 일반해는

y = e^αx(c₁cosβx + c₂sinβx)   (c₁, c₂∈ℝ)

입니다(복소근을 다뤘지만 최종 일반해는 실함수로 완전히 표시됨에 주목).

α=−1, β=2인 예(a=2, b=5, 특성근 −1±2i)의 해 y=e^−xcos2x(굵은 곡선)와 포락선 y=±e^−x(점선). α<0(근의 실수부가 음수)이므로 진동하며 0으로 수렴하는 감쇠진동이 나타납니다(998번에서 같은 예로 이어집니다).

사용 : 8.3의 649번 · 8.4의 654번·655번·657번 · 8.3의 651번 · 4.5의 425번 · 1.4의 50번·64번[선행 인용, 미증명] · 989번 · 990번 · 991번

증명 끝(994번 자체는 완결―위 univ-note의 f64번 인용은 배경 설명일 뿐, 증명의 논리에는 쓰이지 않음)

995정의·정리비동차방정식의 일반해 구조y″+py′+qy=g(x)  ⇒  일반해 y = y_h + y_p (y_h: 대응 동차식의 일반해, y_p: 임의의 한 특수해)

비동차방정식 y″+py′+qy=g(x)에 대해, g≡0으로 바꾼 방정식 y″+py′+qy=0을 대응하는 동차방정식이라 하고 그 일반해(990번)를 y_h(«h»=homogeneous)라 씁니다. 비동차방정식의 한 해(특정한 하나)를 특수해 y_p(«p»=particular)라 합니다.

증명법 : 직접증명법(988번의 선형성 논증을 비동차식에 맞게 재사용)

① y_h+y_p는 항상 해. y_p가 y_p″+py_p′+qy_p=g를 만족시키고, y_h=c₁y₁+c₂y₂가 990번에 의해 y_h″+py_h′+qy_h=0을 만족시키므로, 8.3 f648(선형성)에 의해

(y_h+y_p)″+p(y_h+y_p)′+q(y_h+y_p) = (y_h″+py_h′+qy_h) + (y_p″+py_p′+qy_p) = 0 + g = g

이므로 y=y_h+y_p는 비동차방정식의 해입니다.

② 모든 해가 이 꼴. y가 비동차방정식의 임의의 해이고 y_p가 (고정된) 한 특수해라 합시다. z:=y−y_p라 두면, 위와 같은 방식으로

z″+pz′+qz = (y″+py′+qy) − (y_p″+py_p′+qy_p) = g−g = 0

즉 z는 대응하는 동차방정식의 해이므로, 990번에 의해 z=c₁y₁+c₂y₂=y_h인 c₁,c₂가 (유일하게) 존재합니다. 따라서 y=y_p+z=y_p+y_h―즉 모든 해가 y_h+y_p 꼴로 (990번의 유일성 덕분에 유일하게) 표시됩니다.

따라서 비동차방정식을 풀려면 (1) 991–994번으로 대응 동차방정식의 y_h를 구하고, (2) 특수해 y_p 하나만 찾으면 충분합니다―996·997번이 y_p를 구하는 두 표준 방법입니다.

사용 : 8.3의 648번 · 990번

증명 끝

996정리미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)g(x)=g₀e^kx 또는 g₀cosωx (공명 시 x^s 배, s=근의 중복도)

g(x)가 지수함수·삼각함수·다항식(또는 이들의 곱) 꼴일 때, y_p를 같은 계열의 함수로 미리 추측한 뒤 대입해 미정계수를 결정하는 방법입니다. 대표적인 세 유형(지수형·삼각함수형·상수형)을 직접 대입으로 완전히 증명하고, 그 확장(고차 다항식·곱 형태)은 같은 원리의 표로 요약합니다.

증명법(지수형, g=g₀e^kx) : 직접증명법(y_p=Ax^se^kx를 대입해 A를 실제로 결정, s=0,1,2 세 경우로 완전히 나눔)

① s=0(k가 근이 아님, k²+ak+b≠0). y_p:=Ae^kx를 대입하면(991번과 같은 계산) e^kx(Ak²+Aak+Ab)=g₀e^kx, 즉

A = g₀k²+ak+b

② s=1(k가 특성방정식의 단순근). ①의 시도는 분모가 0이 되어 실패합니다―대신 y_p:=Axe^kx(993번의 계수축소법과 같은 발상)를 대입하면, 8.3 f649와 8.4 f657로

y_p′ = A(1+kx)e^kx,    y_p″ = A(2k+k²x)e^kx

이고, 대입해 정리하면

yp″+ayp′+byp	확인할 대상
= Aekx((2k+a) + x(k²+ak+b))	위 대입, x의 계수별 정리
= Aekx(2k+a)	k²+ak+b=0(k가 근)

이므로 A(2k+a)=g₀. k가 단순근(중근이 아님)이면 993번의 조건(2r+a=0은 오직 중근에서만)에 의해 2k+a≠0이고,

A = g₀2k+a

③ s=2(k가 특성방정식의 중근, 즉 2k+a=0도 성립). y_p:=Ax²e^kx를 대입하면

y_p′ = A(2x+kx²)e^kx,    y_p″ = A(2+4kx+k²x²)e^kx

이고, 대입해 정리하면(x²의 계수는 ②처럼 k²+ak+b=0으로, x의 계수는 4k+2a=2(2k+a)=0으로 각각 소거)

yp″+ayp′+byp	확인할 대상
= Aekx(2 + x(4k+2a) + x²(k²+ak+b))	위 대입, 차수별 정리
= 2Aekx	4k+2a=0, k²+ak+b=0(중근)

이므로 2A=g₀, 즉 A=g₀2. (세 경우 모두 s는 정확히 k가 특성방정식의 근으로서 갖는 중복도이고, 세 경우 각각 위 대입 계산으로 완전히 증명되었습니다.)

증명법(삼각함수형, g=g₀cosωx, ω>0) : 직접증명법(실수 범위에서 y_p=Acosωx+Bsinωx를 대입해 A, B에 대한 2×2 연립방정식으로 환원, 크래머 공식으로 해결)

④ 비공명(a≠0 또는 ω²≠b). y_p:=Acosωx+Bsinωx를 대입하면, 8.4 f654·f655와 8.3 f651에 의해 y_p′=−Aωsinωx+Bωcosωx, y_p″=−Aω²cosωx−Bω²sinωx이고, 대입해 cosωx·sinωx의 계수를 각각 모으면

[A(b−ω²)+aBω]cosωx + [B(b−ω²)−aAω]sinωx = g₀cosωx

이고, cosωx·sinωx는 서로 독립인 함수이므로(989번과 같은 논리―둘 다 y″+ω²y=0의 기본해집합) 양변의 계수가 각각 같아야 합니다―A, B에 대한 연립방정식

b−ω²aω−aωb−ω²AB = g₀0

이 됩니다. 5.1 f825에 의해 이 계수행렬의 행렬식은 Δ:=(b−ω²)²+a²ω²이고, 이는 두 제곱의 합이므로 Δ=0은 오직 b=ω²와 aω=0이 동시에 성립할 때뿐입니다(둘 중 하나만 성립하면 Δ>0). ω>0이므로 aω=0⇔a=0―즉 비공명 조건(a≠0 또는 ω²≠b) 아래서는 Δ≠0이고, 5.5 f871(크래머 공식)에 의해

A = g₀(b−ω²)Δ,     B = g₀aωΔ

⑤ 공명(a=0이고 ω²=b, 즉 특성근이 ±ωi인 감쇠 없는 경우). ④의 시도는 Δ=0으로 실패합니다―대신 y_p:=x(Acosωx+Bsinωx)를 대입합니다(방정식은 이제 y″+ω²y=g₀cosωx). 곱의 미분법을 두 번 적용해 정리하면(8.3 f649, 8.4 f654·f655)

y_p″+ω²y_p = 2Bωcosωx − 2Aωsinωx

(x를 포함하는 항은 정확히 상쇄됩니다―중근의 계수축소법(993번)과 같은 소거 패턴). g₀cosωx와 비교하면 2Bω=g₀, −2Aω=0이므로

A = 0,     B = g₀2ω     ⇒   y_p = g₀2ωxsinωx

(g(x)=g₀sinωx인 경우도 완전히 같은 방식으로 다룰 수 있습니다.)

g(x)	시도할 yp(비공명 / 공명 시 xs 배)
g₀ekx	Axsekx (s=k의 중복도, 991–993번으로 완전 증명)
g₀cosωx 또는 g₀sinωx	xs(Acosωx+Bsinωx) (s=0 또는 1, 위에서 완전 증명)
다항식(차수 n)	xs(다항식, 차수 n) (s=0의 근으로서의 중복도―아래 예로 확인)
위 세 유형의 곱(예 : xekxcosωx)	같은 계열의 곱 × xs (s는 대응하는 근의 중복도―직접 대입으로 각자 확인 가능, 이 절에서는 대표 유형만 증명)

다항식형 예(s=0의 근으로서의 중복도 ― b≠0인 경우 확인). g(x)=g₀(상수, 0차 다항식)이고 b≠0(즉 r=0이 특성방정식의 근이 아님)이면 y_p:=A를 대입해 y_p″=y_p′=0이므로 bA=g₀, A=g₀b―이는 ①에서 k=0(공명이 아님, k²+ak+b=b≠0)을 대입한 특수한 경우와 정확히 같은 계산입니다(e^0·x=1이므로 상수함수는 k=0인 지수함수).

사용 : 8.3의 649번 · 8.4의 654번·655번·657번 · 8.3의 651번 · 5.1의 825번 · 5.5의 871번 · 989번 · 991번 · 993번 · 995번

증명 끝

997정리매개변수변화법(Variation of Parameters)(y₁,y₂)가 기본해집합  ⇒  y_p = −y₁∫y₂gWdx + y₂∫y₁gWdx

996번(미정계수법)은 g(x)가 특정한 계열(지수·삼각함수·다항식과 그 곱)일 때만 통합니다. 매개변수변화법은 (y₁,y₂)가 대응 동차방정식의 기본해집합이기만 하면 임의의 연속함수 g(x)에 대해 특수해를 구성적으로 얻는(따라서 존재성도 함께 보이는) 일반적인 방법입니다.

증명법(구성적 증명) : 존재를 실제로 구성(10.1 982번과 같은 방식―편의를 위한 인위적 제약을 하나 걸고, 그 제약 아래 미정함수를 실제로 풀어냄)

y_p:=u₁(x)y₁+u₂(x)y₂ 꼴을 시도합니다(u₁, u₂는 미지의 함수― «매개변수(상수) c₁, c₂를 함수로 바꾼다»는 것이 이름의 유래). 8.3 f649에 의해

y_p′ = (u₁′y₁+u₂′y₂) + (u₁y₁′+u₂y₂′)

인데, u₁, u₂가 두 개의 미지함수이므로 자유도가 남습니다―계산을 단순화하기 위해 인위적인 제약

u₁′y₁ + u₂′y₂ = 0   (제약 ①)

을 걸어둡니다(이렇게 걸어도 되는 이유는 아래에서 실제로 해가 구성되는 것으로 사후적으로 정당화됩니다―10.1 982번에서 ∂g/∂x≡0을 얻어낸 것과 같은 방식의 «구성 후 검증» 논증). 제약 ① 아래 y_p′=u₁y₁′+u₂y₂′이고, 다시 미분하면

y_p″ = (u₁′y₁′+u₂′y₂′) + (u₁y₁″+u₂y₂″)

이며, 이를 방정식 y_p″+py_p′+qy_p=g에 대입해 정리하면(y₁, y₂가 동차방정식의 해라는 사실로 y₁″, y₂″을 없앰) :

g	= yp″+pyp′+qyp
	= (u₁′y₁′+u₂′y₂′) + u₁(y₁″+py₁′+qy₁) + u₂(y₂″+py₂′+qy₂)
	= (u₁′y₁′+u₂′y₂′) + u₁·0 + u₂·0

즉 두 번째 조건

u₁′y₁′ + u₂′y₂′ = g   (조건 ②)

를 얻습니다. 제약 ①과 조건 ②을 u₁′, u₂′에 대한 연립방정식으로 함께 쓰면

y₁y₂y₁′y₂′u₁′u₂′ = 0g

이고, 이 계수행렬의 행렬식은 정확히 W=W(y₁,y₂)(989번)이며, (y₁,y₂)가 기본해집합이므로 W≠0입니다. 5.5 f871(크래머 공식)에 의해

u₁′ = −y₂gW,     u₂′ = y₁gW

이고(계수행렬의 제1열·제2열을 각각 (0,g)로 바꾼 행렬식을 W로 나눈 것), g와 y₁, y₂, W가 모두 연속함수이므로 9.1 f691(부정적분의 존재)에 의해

u₁ = −∫y₂gWdx,     u₂ = ∫y₁gWdx

(각각 임의의 한 원시함수―적분상수는 y_p에 y₁, y₂의 상수배를 더하는 효과만 주므로, 995번에 의해 그 상수배는 y_h에 흡수되어 특수해 하나를 구하는 목적에는 굳이 필요 없습니다)가 존재합니다. 따라서

y_p = u₁y₁+u₂y₂ = −y₁∫y₂gWdx + y₂∫y₁gWdx

가 (제약 ①과 조건 ②을 만족시키도록 구성했으므로, 위 대입 과정을 거꾸로 읽으면) 실제로 y_p″+py_p′+qy_p=g를 만족시키는 특수해입니다.

예(고전적인 예 ― 996번으로는 다룰 수 없는 g). y″+y=tanx (0<x<π2). 특성방정식 r²+1=0의 근은 ±i(α=0,β=1)이므로 994번에 의해 y₁=cosx, y₂=sinx, W=cos²x+sin²x=1(4.5 f425).

u₁′=−sinx·tanx=−sin²xcosx=cosx−secx,     u₂′=cosx·tanx=sinx

(첫 등식은 sin²x=1−cos²x를 나누어 얻음). 9.1 f696(∫cosxdx=sinx+C)과 9.4 f716(∫secxdx=ln|secx+tanx|+C)으로 u₁=sinx−ln|secx+tanx|, u₂=−cosx(적분상수는 위에서 설명한 대로 생략)를 얻고,

y_p = (sinx−ln|secx+tanx|)cosx + (−cosx)sinx = −cosx·ln|secx+tanx|

이며, 실제로 미분해 대입하면(sympy로도 재확인) y_p″+y_p=tanx임이 성립합니다.

사용 : 8.3의 649번 · 9.1의 691번·696번 · 9.4의 716번 · 4.5의 425번 · 5.5의 871번 · 989번 · 994번 · 995번 · 10.1의 982번

증명 끝

998정리—활용종합 계산 예 ― 특성방정식의 세 경우와 두 풀이법

991–997번을 각각 초기값문제로 적용하고, 매번 방정식에 직접 대입해(9.1 f692와 같은 방식의 검산법) 재검산합니다.

① 서로 다른 두 실근(992번) : y″−3y′+2y=0, y(0)=1, y′(0)=0.

특성방정식 r²−3r+2=0=(r−1)(r−2), 근 r=1,2. y=c₁e^x+c₂e^2x. y(0)=c₁+c₂=1, y′(0)=c₁+2c₂=0에서 c₂=−1, c₁=2 :

y = 2e^x − e^2x

검산 : y′=2e^x−2e^2x, y″=2e^x−4e^2x이고 y″−3y′+2y=(2e^x−4e^2x)−3(2e^x−2e^2x)+2(2e^x−e^2x)=(2−6+4)e^x+(−4+6−2)e^2x=0. ✓

② 중근(993번) : y″−4y′+4y=0, y(0)=1, y′(0)=1.

특성방정식 r²−4r+4=(r−2)²=0, 중근 r=2. y=c₁e^2x+c₂xe^2x. y(0)=c₁=1, y′(0)=2c₁+c₂=1에서 c₂=−1 :

y = e^2x − xe^2x = (1−x)e^2x

검산 : y′=−e^2x+2(1−x)e^2x=(1−2x)e^2x, y″=−2e^2x+2(1−2x)e^2x=(−4x)e^2x이고 y″−4y′+4y=(−4x−4(1−2x)+4(1−x))e^2x=(−4x−4+8x+4−4x)e^2x=0. ✓

③ 켤레복소근(994번) : y″+2y′+5y=0, y(0)=1, y′(0)=−1(994번 diagram-cap과 같은 예).

특성방정식 r²+2r+5=0, 근 r=−1±2i(α=−1,β=2). y=e^−x(c₁cos2x+c₂sin2x). y(0)=c₁=1, y′(0)=−c₁+2c₂=−1에서 c₂=0 :

y = e^−xcos2x

검산 : y′=−e^−x(cos2x+2sin2x), y″=e^−x(cos2x+2sin2x)−e^−x(−2sin2x+4cos2x)=e^−x(−3cos2x+4sin2x)이고, y″+2y′+5y=e^−x((−3cos2x+4sin2x)−2(cos2x+2sin2x)+5cos2x)=e^−x(0·cos2x+0·sin2x)=0. ✓

같은 해 y=e^−xcos2x를 위상평면(phase plane, 가로축 y·세로축 y′)에 그린 궤적. x=0의 (y,y′)=(1,−1)에서 출발해 x→∞일 때 원점(0,0)으로 나선형으로 수렴합니다―α<0(994번의 감쇠진동)이 위상평면에서는 «안정 초점»(stable focus)으로 나타나는 표준적인 대응입니다.

④ 미정계수법―비공명(996번) : 위 ①과 같은 동차식에 y″−3y′+2y=e^3x. k=3은 근(1,2)이 아니므로(s=0) A=13²−3·3+2=12, y_p=12e^3x. 일반해 y=c₁e^x+c₂e^2x+12e^3x. 검산 : y_p″−3y_p′+2y_p=12(9−9+2)e^3x=e^3x. ✓

⑤ 미정계수법―공명(996번) : 같은 동차식에 y″−3y′+2y=e^x. k=1은 단순근(s=1)이므로 A=12·1−3=−1, y_p=−xe^x. 검산 : y_p′=−(1+x)e^x, y_p″=−(2+x)e^x이고 y_p″−3y_p′+2y_p=(−(2+x)+3(1+x)−2x)e^x=(1+0·x)e^x=e^x. ✓

⑥ 미정계수법―삼각함수형(996번) : y″+2y′+5y=cosx. a=2,b=5,ω=1이므로 비공명, Δ=(5−1)²+4=20, A=420=15, B=220=110, y_p=15cosx+110sinx. (검산은 sympy로 y_p″+2y_p′+5y_p=cosx를 항등적으로 확인.)

⑦ 매개변수변화법(997번) : y″+y=tanx의 특수해 y_p=−cosx·ln|secx+tanx|(997번의 예를 그대로 재인용).

사용 : 991·992·993·994·995·996·997번 · 9.1의 692번(검산법)