2.8 심화·배경
복리 공식
Compound Interest Formulas
정의 · 공식과 증명
복리 공식 3개(153~155번)를 정리합니다. 기호는 다음과 같이 씁니다 : C는 처음 맡긴 원금,
r는 연이율(예 : 연 5%이면 r = 0.05), n은 1년에 이자를 붙이는 횟수, t는 햇수,
A는 t년 뒤의 원리합계입니다.
일반 복리공식에서 이자를 붙이는 횟수 n을 무한히 늘리면, 2.5절의 자연상수 e(116번)가 나타나면서
연속복리 공식이 나옵니다.
범위 안내 : 155번의 마지막 단계에서 쓰는 “극한과 거듭제곱의 순서를 바꾸어도 된다”는
사실은 지수함수의 연속성에서 나오며, 그 엄밀한 근거는 대학
미적분학·해석학의 내용입니다. 수능 준비생은 결론인 A = Cert만 알면 충분합니다.
153정의일반 복리공식A = C(1 + rn)nt (C > 0, r > 0, n은 자연수, t ≥ 0)
정의이므로 별도의 증명 대상은 아니지만, 성립 근거는 명확합니다.
연이율 r를 1년에 n번으로 나누면 1회당 이율은 rn이므로, 이자를 한 번 붙일 때마다 원리합계는 (1 + rn)배가 됩니다. t년 동안 이자를 붙이는 횟수 nt가 자연수이면(곧 t가 1n의 배수이면), 같은 수를 nt번 곱하므로 거듭제곱의 정의에 의해 다음을 얻습니다.
A = C(1 + rn)nt
nt가 자연수가 아닌 t에서는 ‘nt번 곱한다’는 말이 뜻을 갖지 않으므로, 2.5의 실수 지수의 약속으로 같은 식을 읽어 그대로 A의 정의로 삼습니다(1 + rn > 0이므로 실수 지수가 정해집니다). 155번은 이 정의를 씁니다.
복리 성장 곡선 : 시간 t가 커질수록 원금 C가 지수적으로 불어납니다.
사용 : 거듭제곱의 정의(같은 수를 거듭 곱함) · 2.5의 실수 지수의 약속
링크 정정 : 이전 판의 86번 링크 경로가
../02-algebra/2-3-powers.html으로 되어 있어 열리지 않았습니다(이 파일이 이미
02-algebra 폴더 안에 있기 때문입니다). 2-3-powers.html으로 고쳤습니다.
154정리단순 복리공식 (연 1회 복리)A = C(1 + r)t
155정리연속복리 공식limn→∞ C(1 + rn)nt = C ert (r > 0, t ≥ 0)
증명법 : 직접증명법 (치환 후 극한)
153번의 A = C(1 + rn)nt에서 자연수 n을 한없이 키울 때의 극한을 구합니다. k = nr으로 치환합니다 (r > 0이므로 n → ∞일 때 k → ∞입니다. k는 자연수가 아닐 수 있는 실수입니다). 이때 n = kr이므로 rn = 1k, nt = krt 입니다.
| C(1 + rn)nt = C(1 + 1k)krt | 치환 |
| = C[(1 + 1k)k]rt | 2.5의 실수 지수의 약속 ⓑ(밑 1 + 1k > 0) |
| (1 + 1k)k → e (k → ∞) | 2.5의 116번(e의 정의)과 그 사실 ①(실수 k에서도 같은 극한) |
| ∴ limn→∞ C(1 + rn)nt = C ert | 극한과 거듭제곱의 순서 교환(아래 주 참조) |
정정 : 이전 판에는 치환 뒤의 지수에서 t가 빠져 있어, 마지막 결과가 Cer로 적혀 있었습니다. nt = krt이므로 지수는 rt가 맞습니다.
주 : 마지막 줄에서 limk→∞ [f(k)]rt = [limk→∞ f(k)]rt 로 극한과 거듭제곱의 순서를 바꾸었습니다. 이것이 허용되는 근거(x ↦ xrt의 연속성)는 대학 미적분학·해석학에서 다룹니다.
예 : C = 100만 원, r = 0.05, t = 10년이면 A = 100만 × e0.5 ≈ 164.9만 원입니다. 같은 조건에서 연 1회 복리(154번)는 100만 × 1.0510 ≈ 162.9만 원으로, 연속복리가 조금 더 큽니다.
사용 : 153번(일반 복리공식) · 2.5의 실수 지수의 약속 · 2.5의 116번(자연상수 e의 정의)
증명 끝