3.10 심화·배경
등변사다리꼴
Isosceles Trapezoid
정의 · 공식과 증명
등변사다리꼴의 성질 5개(218~222번)를 정리합니다. 등변사다리꼴은 다리(빗변)의 길이가 서로 같은 사다리꼴로, 항상 원에 내접합니다.
등변사다리꼴: 밑변 a,b · 다리(빗변) c(양쪽 같음) · 대각선 d(양쪽 같음)
218정리중위선q = a+b2
219정리대각선d² = ab + c²
H₁, H₂는 각각 D, C에서 밑변 AB에 내린 수선의 발(점선) — 빨간 점선은 대각선 AC
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
등변사다리꼴은 좌우 대칭이므로, 두 다리 AD, BC에서 밑변 AB에 내린 수선의 발을 각각 H₁(A에 가까운 쪽), H₂(B에 가까운 쪽)이라 하면, H₁, H₂는 짧은 밑변의 두 끝 D, C 바로 아래에 대칭으로 생기고 AH₁ = BH₂ = a-b2입니다(220번의 증명에서 다시 쓰는 구성입니다). DH₁CH₂는 세 각이 직각인 사각형(직사각형)이므로 H₁H₂ = DC = b이고, 위에서 AH₁ = a-b2이므로
| AH₂ = AH₁ + H₁H₂ | H₁, H₂가 AB 위에 이 순서로 놓임 |
| = a-b2 + b = a+b2 | 220번의 AH₁=(a-b)/2, H₁H₂=b |
대각선 AC는 직각삼각형 ACH₂(H₂에서 직각, 다리 AH₂와 CH₂=h)의 빗변이므로,
| d² = AH₂² + CH₂² | 3.1의 163번(피타고라스 정리) |
| = (a+b2)² + h² | 위에서 구한 AH₂ · CH₂=h(220번) |
| = (a+b2)² + c² - (a-b2)² | 220번(h²=c²-((a-b)/2)²) |
| = c² + [(a+b2)² - (a-b2)²] | c² 분리, 나머지 재배열 |
| = c² + ab | 제곱의 차, 2.1의 65번 |
d² = ab + c²
사용 : 220번(높이) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 2.1의 65번
증명 끝
220정리높이h² = c² - (a-b2)²
221정리외접원의 반지름R = cab+c²(2c-a+b)(2c+a-b)
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
등변사다리꼴은 항상 원에 내접합니다(밑각이 좌우로 같아 마주보는 각의 합이 180°가 되기 때문). 네 꼭짓점 A, B, C, D가 모두 한 원 위에 있으므로, 그중 세 점 A, B, C로 이루어진 삼각형 ABC (세 변 AB=a, BC=c, CA=d)의 외접원은 사다리꼴 전체의 외접원과 같은 원입니다 — 즉 △ABC의 외접반지름이 곧 구하는 R입니다.
AB // DC이고 C가 DC 위의 점이므로, △ABC에서 꼭짓점 C로부터 밑변 AB에 내린 높이는 두 평행한 밑변 사이의 거리, 즉 사다리꼴의 높이 h와 같습니다. 따라서 △ABC의 넓이는
| K = 12ah | △ABC의 넓이(밑변 AB=a, 높이 h) |
3.4의 187번(R=abc4S 형태의 외접원 반지름 공식)을 △ABC(세 변 a, c, d)에 적용하면,
| R = a·c·d4K | 3.4의 187번 |
| = acd4·12ah = acd2ah | K=12ah 대입 |
| = cd2h | a로 약분 |
분모 2h를 a, b, c로 바꿔 씁니다. 220번(h²=c²-(a-b2)²)의 양변에 4를 곱하면,
| 4h² = 4c² - (a-b)² | 220번의 양변에 4를 곱함 |
| = (2c-(a-b))(2c+(a-b)) | 제곱의 차, 2.1의 65번 |
| = (2c-a+b)(2c+a-b) | 괄호를 풀어 정리 |
| → 2h = (2c-a+b)(2c+a-b) | h>0이므로 양의 제곱근을 취함 |
219번(d²=ab+c², 즉 d=ab+c²)과 위 두 식을 R=cd2h에 대입하면,
R = cab+c²(2c-a+b)(2c+a-b)
사용 : 3.4의 187번(외접원 반지름) · 219번(대각선) · 220번(높이) · 2.1의 65번
증명 끝