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3.37   범위 밖(백과사전)

구활꼴

Spherical Segment

3.35(구관)에서 구를 평면 하나로 자를 때 생기는 한 조각(캡)을, 3.36(구부채꼴)에서는 그 캡에 원뿔을 붙이거나 파낸 입체를 다루었습니다. 이 절에서는 다시 캡으로 돌아가되, 평면을 두 개 씁니다— 구를 평행한 두 평면으로 자르면 가운데 조각이 생기는데, 이것이 구활꼴(spherical segment)입니다(388번). 핵심 관찰은 이 가운데 조각이 정확히 두 캡의 차집합—더 큰 캡에서 그 안에 포함된 더 작은 캡을 뺀 것—이라는 사실입니다. 이 분해를 쓰면 3.35에서 이미 확립한 캡의 밑면 반지름(389번), 축 단면(390번), 옆넓이(391번), 부피(393번) 공식을 두 번 적용하고 대수적으로 빼기만 하면 되므로, 3.36과 마찬가지로 새로운 극한(조임) 논증이 전혀 필요 없습니다. 겉넓이(392번)는 구활꼴의 겉면이 곡면(두 캡의 옆넓이의 차, 391번)과 두 개의 평평한 밑면 원판으로 이루어진다는 사실에서 바로 얻습니다. 이 절의 공식 6개(388~393번)를 정리합니다.

구활꼴 — 반지름 R인 구를 극 P₀로부터 각각 거리 h₁, h₂(h₁<h₂)인 평행한 두 평면으로 잘라 얻은 가운데 조각. 높이 h=h₂−h₁, 두 밑면(절단면 원)의 반지름 r₁, r₂

388정의구활꼴반지름 R인 구에서, 축(지름) 위에 고정한 극 P₀로부터 각각 거리 h₁, h₂(0<h₁<h₂<2R)에서 축에 수직으로 만나는 두 평행한 평면 π₁, π₂로 구를 자를 때, 두 평면 사이에 놓인 조각

3.35의 378번에서 캡을 정의할 때 쓴 극(꼭짓점) P₀를 그대로 고정합니다—이번에는 캡 하나가 아니라, 같은 P₀를 공통 꼭짓점으로 갖는 캡 두 개를 만듭니다. 축에 수직인 평면 π₁가 축과 만나는 점을 M₁이라 하고 P₀M₁=h₁이라 하면, 378번의 정의(0<h≤2R 전체 범위에서 유효)에 의해 π₁는 P₀를 꼭짓점으로 하는 높이 h₁의 캡 − 이를 Cap(h₁)이라 씁니다 —을 잘라냅니다. 마찬가지로 P₀M₂=h₂(h₂>h₁)인 평면 π₂는 Cap(h₂)를 잘라냅니다.

h₁<h₂이므로 P₀에 더 가까운 π₁로 잘린 조각이 더 멀리 있는 π₂로 잘린 조각에 완전히 포함됩니다—즉 Cap(h₁)⊂Cap(h₂)(축 위의 순서 P₀, M₁, M₂가 그대로 구의 반지름 방향 순서와 같으므로, Cap(h₁)의 모든 점은 P₀로부터 축을 따라 잰 거리가 h₁ 이하이고 이는 h₂ 이하이기도 하므로 Cap(h₂)에도 속함). 두 캡의 차집합

Cap(h₂) − Cap(h₁)

을 구활꼴(spherical segment)이라 합니다. 구활꼴의 높이는 h=h₂−h₁(두 평면 사이의 축 방향 거리), 두 밑면은 π₁, π₂와 구가 만나서 생기는 두 원(각각 Cap(h₁), Cap(h₂)의 밑면과 같은 원)이며 그 반지름을 각각 r₁, r₂라 씁니다.

자오면 단면 — P₀M₁=h₁, P₀M₂=h₂. 그림은 h₂>R인 경우(O가 M₁과 M₂ 사이에 있음)를 예시로 듦(R=5, h₁=1, h₂=8)—h₁, h₂가 모두 R보다 작거나 커도 정의는 그대로 적용됨

일반성. h₁, h₂의 대소를 R과 비교할 필요가 전혀 없습니다—0<h₁<h₂<2R만 만족하면 두 평면이 어느 쪽 반구에 있든, 또는 서로 다른 반구에 걸쳐 있든(h₁<R<h₂) 정의가 그대로 성립합니다. 이는 3.36(구부채꼴)이 h≤R, h>R 두 경우로 나누어야 했던 것과 다른 점—389~393번을 유도할 때 다시 확인하겠지만, 구활꼴은 경우를 나눌 필요가 전혀 없습니다.

사용 : 3.35의 378번(캡의 정의, 0<h≤2R 전체 범위)

389정리두 밑면의 반지름r₁² = h₁(2R−h₁),   r₂² = h₂(2R−h₂)

증명법 : 직접증명법(388번의 두 캡에 각각 적용)

388번에서 Cap(h₁), Cap(h₂)는 모두 같은 극 P₀를 꼭짓점으로 갖는, 3.35 378번이 말하는 캡입니다 —하나는 높이 h₁, 다른 하나는 높이 h₂일 뿐, 정의(378번)나 밑면 반지름 공식(3.35 379번)이 요구하는 조건에는 차이가 없습니다. 379번은 임의의 높이 h(0<h≤2R)를 갖는 캡에 대해 r²=h(2R−h)임을 증명했으므로, 이를 h=h₁일 때와 h=h₂일 때 각각 그대로 적용하면 됩니다.

r₁² = h₁(2R−h₁)	3.35 f379를 Cap(h₁)에 적용
r₂² = h₂(2R−h₂)	3.35 f379를 Cap(h₂)에 적용

검산 : R=5, h₁=1이면 r₁²=1·(10−1)=9, r₁=3. R=5, h₂=8이면 r₂²=8·(10−8)=16, r₂=4—h₂=8>R=5(반구보다 큰 캡)이지만 379번 자체가 h≤R, h>R을 가리지 않고 성립하므로(3.35에서 이미 확인) 그대로 대입할 수 있습니다.

사용 : 388번(정의) · 3.35의 379번(r²=h(2R−h))

증명 끝

390정리축 단면(두 활꼴의 차)구활꼴의 축을 지나는 평면 단면은, 반지름 R인 원에서 사기타 h₂인 활꼴 영역에서 사기타 h₁인 활꼴 영역을 뺀 것과 합동

증명법 : 직접증명법(388번의 차집합 구조를 그대로 이용)

388번에서 구활꼴은 집합으로서 Cap(h₂)−Cap(h₁)입니다. 자오면(축을 포함하는 평면) π₀ 하나를 고정하고 양변을 π₀와 교차시키면, 교집합은 차집합 연산과 그대로 교환됩니다—즉

π₀ ∩ (Cap(h₂) − Cap(h₁)) = (π₀ ∩ Cap(h₂)) − (π₀ ∩ Cap(h₁))

(집합 A, B에 대해 어떤 집합 X와의 교집합은 X∩(A−B)=(X∩A)−(X∩B)를 항상 만족하는 일반적인 사실이며, 여기서는 A=Cap(h₂), B=Cap(h₁)⊂Cap(h₂), X=π₀에 해당합니다). 좌변은 정확히 구활꼴의 축 단면이고, 우변의 두 항은 각각 Cap(h₂), Cap(h₁)의 축 단면입니다.

3.35의 380번(캡의 축 단면은 3.21의 활꼴과 합동)을 Cap(h₁), Cap(h₂)에 각각 적용하면, π₀∩Cap(h₁)은 반지름 R, 사기타 h₁인 원의 활꼴(3.21 278번)과 합동이고, π₀∩Cap(h₂)은 반지름 R, 사기타 h₂인 활꼴과 합동입니다—같은 원(반지름 R) 위에서, 같은 자오면 π₀를 공유하므로 이 두 활꼴은 같은 원에 내접한 두 활꼴이며, 사기타가 작은 쪽(h₁)이 사기타가 큰 쪽(h₂)에 완전히 포함됩니다(388번에서 확인한 Cap(h₁)⊂Cap(h₂)와 같은 이유). 따라서 구활꼴의 축 단면은

활꼴(h₂) − 활꼴(h₁)

과 합동입니다—그림처럼 큰 활꼴에서 그 안에 포함된 작은 활꼴을 도려낸, 두 평행한 현으로 둘러싸인 띠 모양의 영역입니다.

주의(혼동 방지) : 3.35 380번·3.36 385번에서와 마찬가지로, 여기서 말하는 “활꼴의 차”는 축 단면이라는 2차원 평면 영역일 뿐입니다. 이 영역 자체의 넓이나 둘레(3.21의 281번·282번을 두 번 적용해 뺀 값)는 구활꼴의 겉넓이(392번)나 부피(393번)—둘 다 3차원 입체의 양—와 전혀 다르며, 서로 대입해서는 안 됩니다. 390번은 오직 축 단면의 모양이 두 활꼴의 차와 합동이라는 사실만을 말합니다.

축 단면(갈색 띠) — 사기타 h₂인 활꼴 전체에서 사기타 h₁인 활꼴(점선 경계, 흰색으로 덮어 “제외”를 표시)을 뺀 영역

사용 : 388번(정의, 차집합 구조) · 3.35의 380번(캡의 축 단면=활꼴) · 3.21의 278번(활꼴의 정의)

증명 끝

391정리옆넓이(곡면 부분)S_lat = 2πRh

증명법 : 직접증명법(388번의 차집합을 옆넓이에 적용)

구활꼴의 곡면(구면) 부분은 Cap(h₂)의 구면 중에서 Cap(h₁)의 구면에 속하지 않는 부분입니다—즉 Cap(h₁)의 구면은 Cap(h₂)의 구면에 완전히 포함되는 부분집합이므로(388번, Cap(h₁)⊂Cap(h₂)이고 둘 다 같은 구의 표면 위에 있으므로), 넓이는 그대로 뺄셈으로 더해집니다(서로소인 두 조각으로 쪼개는 일반적인 넓이의 덧셈성) :

Slat = Slat(Cap h₂) − Slat(Cap h₁)	388번(차집합), 넓이의 덧셈성
= 2πRh₂ − 2πRh₁	3.35 f381을 h₁, h₂에 각각 적용
= 2πR(h₂−h₁) = 2πRh	388번(h=h₂−h₁)

S_lat = 2πRh

3.35 381번(S_lat=2πRh, 캡의 옆넓이)이 h에 대해 일차식(선형)이라는 점이 핵심입니다—일차식은 빼는 순간 그대로 h₂−h₁=h로 깔끔하게 정리되어, 386번(3.36의 부피)처럼 h≤R, h>R을 나누어 따로 전개할 필요가 전혀 없습니다. 393번(부피)은 3.35 f383(부피 공식)이 h에 대한 이차식이라 이런 선형 소거가 바로 되지는 않으므로, 별도의 전개가 필요합니다.

검산 : R=5, h₁=1, h₂=8이면 S_lat=2π·5·8−2π·5·1=80π−10π=70π, 그리고 h=8−1=7이므로 2π·5·7=70π로 정확히 일치합니다.

사용 : 388번(정의, 차집합·h=h₂−h₁) · 3.35의 381번(캡의 옆넓이)

증명 끝

392정리겉넓이S = 2πRh + π(r₁²+r₂²)

증명법 : 직접증명법

구활꼴의 겉면은 세 조각으로 이루어집니다—곡면인 구면 띠(391번, S_lat=2πRh)와, 위아래 두 개의 평평한 밑면 원판(반지름 r₁, r₂). 3.36(구부채꼴)의 캡−원뿔 분해에서는 캡의 밑면 원판이 원뿔의 옆면에 자리를 내주고 사라졌지만—여기서는 원뿔을 붙이거나 파내는 과정이 전혀 없으므로, 두 밑면 원판이 캡에 있던 그대로 남아 구활꼴의 실제 겉면 일부가 됩니다. 세 조각은 서로 겹치지 않고(경계인 두 원만 공유, 넓이 0) 겉면 전체를 이루므로

S = Slat + πr₁² + πr₂²	겉면의 세 조각(곡면·두 밑면)의 넓이 합
= 2πRh + π(r₁²+r₂²)	391번(Slat=2πRh)

S = 2πRh + π(r₁²+r₂²)

검산 : R=5, h₁=1(r₁=3), h₂=8(r₂=4), h=7이면 S=2π·5·7+π(9+16)=70π+25π=95π≈298.45입니다.

겉넓이 = 곡면인 구면 띠(갈색, 391번) + 두 평평한 밑면 원판(남색, πr₁²+πr₂²)

사용 : 391번(옆넓이) · 389번(r₁², r₂²)

증명 끝

393정리부피V = πh6(3r₁²+3r₂²+h²)

증명법 : 직접증명법(388번의 차집합을 부피에 적용)

388번의 분해 Cap(h₂)−Cap(h₁)에서, Cap(h₁)⊂Cap(h₂)이므로 부피도 그대로 뺄셈으로 구해집니다(부피의 덧셈성) :

V = V(Cap h₂) − V(Cap h₁)	388번(차집합), 부피의 덧셈성
= π3h₂²(3R−h₂) − π3h₁²(3R−h₁)	3.35 f383을 h₁, h₂에 각각 적용
= π3 [ 3R(h₂²−h₁²) − (h₂³−h₁³) ]	π/3 묶어 정리, R항과 3제곱항 분리

3.35 383번(캡의 부피)은 h에 대한 이차식이 아니라 3차식이므로—391번(옆넓이, 일차식)처럼 곧바로 h₂−h₁=h로 소거되지 않고, 인수분해가 한 단계 더 필요합니다. h₂²−h₁²=(h₂−h₁)(h₂+h₁)와 h₂³−h₁³=(h₂−h₁)(h₂²+h₁h₂+h₁²)(둘 다 표준적인 차의 인수분해)을 이용해 공통인수 h₂−h₁=h를 꺼냅니다 :

V = π3 [ 3R·h(h₁+h₂) − h(h₁²+h₁h₂+h₂²) ]	차의 인수분해, 공통인수 h
= πh3 [ 3R(h₁+h₂) − (h₁²+h₁h₂+h₂²) ]	h로 묶어 정리

V = πh3 [ 3R(h₁+h₂) − (h₁²+h₁h₂+h₂²) ] …(※)

이제 목표식 πh6(3r₁²+3r₂²+h²)의 대괄호 안을 389번(r₁²=h₁(2R−h₁), r₂²=h₂(2R−h₂))과 h=h₂−h₁로 다시 써서, (※)와 같은 식임을 보입니다 :

3r₁²+3r₂²+h² = 3h₁(2R−h₁) + 3h₂(2R−h₂) + (h₂−h₁)²	389번(r₁², r₂²), 388번(h=h₂−h₁)
= 6R(h₁+h₂) − 3(h₁²+h₂²) + (h₁²−2h₁h₂+h₂²)	각 항 전개
= 6R(h₁+h₂) − 2h₁² − 2h₂² − 2h₁h₂	−3h₁²+h₁²=−2h₁², −3h₂²+h₂²=−2h₂² 정리
= 2 [ 3R(h₁+h₂) − (h₁²+h₁h₂+h₂²) ]	공통인수 2로 묶기

따라서

πh6(3r₁²+3r₂²+h²) = πh6·2 [ 3R(h₁+h₂)−(h₁²+h₁h₂+h₂²) ]	위 결과 대입
= πh3 [ 3R(h₁+h₂)−(h₁²+h₁h₂+h₂²) ]	6/2=3

이 결과가 (※)와 정확히 같은 식이므로,

V = πh6(3r₁²+3r₂²+h²)

를 얻습니다. h₁, h₂가 R보다 크든 작든(388번에서 확인했듯 경우를 나눌 필요가 없었으므로) 이 전개는 단 한 번만 필요합니다—3.36 386번이 h≤R, h>R 두 경우를 나누어 각각 전개해야 했던 것과 대조적으로, 여기서는 h₁<h₂라는 것 외에 아무 조건도 쓰지 않았습니다.

검산 : R=5, h₁=1(r₁=3), h₂=8(r₂=4), h=7이면 V= π·76(27+48+49)= 7π6·124= 868π6= 434π3≈454.48. 캡의 부피로 직접 검산하면 V(Cap 8)−V(Cap 1)= π3·64·7− π3·1·14= 448π3− 14π3= 434π3로 정확히 일치합니다. 같은 반구 안에 있는 예(R=5, h₁=1(r₁=3), h₂=2(r₂=4), h=1)로도 확인하면 V= π·16(27+48+1)= 76π6= 38π3이고, V(Cap 2)−V(Cap 1)= π3·4·13− π3·1·14= 52π−14π3= 38π3로 역시 일치합니다.

부피 증명 — 자오면의 활꼴 차 영역(390번)을 축에 대해 회전시켜 얻는 입체가 구활꼴이며, 그 부피는 캡(h₂)의 부피에서 캡(h₁)의 부피를 뺀 것과 같음

경계 확인(h₁→0) : h₁=0이면 r₁=0이고 Cap(h₁)은 한 점(P₀ 자신)으로 퇴화하여 구활꼴은 그냥 Cap(h₂) 전체가 됩니다. 이때 V= πh₂6(3·0+3r₂²+h₂²)= πh₂6(3r₂²+h₂²)인데, 여기에 r₂²=h₂(2R−h₂)를 대입해 전개하면 정확히 3.35 f383(캡의 부피 πh₂²3(3R−h₂))로 환원됩니다—구활꼴이 캡을 h₁=0인 특수한 경우로 포함하는 더 일반적인 도형임을 확인해 줍니다.

사용 : 388번(정의, 차집합·h=h₂−h₁) · 389번(r₁², r₂²) · 3.35의 383번(캡의 부피)

증명 끝