구쐐기

Spherical Wedge

3.35~3.37은 모두 구를 평면으로 잘라 얻는 조각(캡·구부채꼴·구활꼴)을 다루었습니다. 이 절의 구쐐기(spherical wedge)는 자르는 도구 자체가 다릅니다—구의 한 지름(축) ℓ을 고정하고, ℓ을 공통 모서리로 하는 두 반평면 π₁, π₂로 구(공)를 자를 때 그 사이에 놓인 조각입니다(394번). 두 반평면이 이루는 이면각 φ(3.29 336번과 같은 뜻의 이면각)가 이 도형의 유일한 매개변수이므로, 구쐐기의 곡면 넓이(395번)·부피(396번)는 구 전체(3.34 f376·f377)에서 φ가 차지하는 비율로 곧바로 얻어집니다— 3.20의 부채꼴(호의 길이 s=rθ, 274번 / 넓이 S=12r²θ, 275번)이 원의 둘레·넓이를 중심각의 비율로 얻은 것과 정확히 같은 방식이며, 3.35~3.37이 써 온 “캡의 덧셈·뺄셈” 방식과는 전혀 다릅니다. 겉넓이(397번)는 곡면(395번)에 두 개의 평평한 반원판(각각 O를 지나는 대원의 절반, 3.34 f374)을 더해 얻습니다. 이 절의 공식 4개(394~397번)를 정리합니다.

구쐐기 — 축(지름) P₀P₀′을 공유하는 두 반원판(자오면, 경계 OA·OB)과 그 사이의 곡면(루네, 주황). 두 자오면은 항상 서로 합동(둘 다 반지름 R인 반원판)

394정의구쐐기반지름 R인 구의 한 지름을 축 ℓ이라 하자. ℓ을 공통 모서리로 하는 두 반평면 π₁, π₂가 이루는 이면각을 φ(0<φ<2π, 라디안)라 할 때, π₁에서 π₂까지 이면각이 φ만큼 벌어진 쪽에 있는 구(공)의 조각을 이면각 φ인 구쐐기라 한다

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 구의 중심 O를 지나는 한 지름의 두 끝점을 P₀, P₀′(축 ℓ의 두 극)이라 합니다. ℓ을 경계(모서리)로 공유하는 반평면은 무수히 많은데, 그중 두 개 π₁, π₂를 고정합니다. 이 두 반평면이 모서리 ℓ에서 이루는 각—즉 ℓ에 수직인 평면으로 자른 단면에서 측정한 각—을 이면각이라 하며(3.29의 336번과 같은 정의), 이를 φ라 씁니다.

π₁에서 이면각이 커지는 방향으로 φ만큼 벌어진 사이에 있는 공의 점 전체—즉 축 ℓ을 공유하는 두 반평면과 구면의 일부(곡면)로 둘러싸인 입체—를 구쐐기(spherical wedge)라 합니다. ℓ은 구의 지름이므로 π₁, π₂와 공의 교집합은 각각 반지름 R인 반원판이며, 이 둘을 구쐐기의 평평한 밑면(자오면)이라 합니다. 나머지 구면 부분—두 자오선(P₀에서 P₀′까지, 각각 π₁, π₂와 구면의 교선) 사이에 놓인 곡면 띠—를 루네(lune, 곡면부)라 합니다.

적도 단면(위에서 본 모습). O를 지나고 축 ℓ에 수직인 평면 σ를 하나 잡으면, ℓ⊥σ이므로 σ와 O 이외의 점에서는 만나지 않습니다. σ는 구와 반지름 R인 대원에서 만나고(3.34의 374번, O를 지나는 평면—즉 d=0인 경우), 두 반평면 π₁, π₂는 각각 ℓ을 포함하므로 σ와 만나 O를 지나는 반직선을 이룹니다—이 반직선이 대원과 만나는 점을 A, B라 하면 OA=OB=R입니다. 이면각의 정의 자체가 ℓ에 수직인 단면(바로 σ)에서 측정한 각이므로, σ 위에서 잰 ∠AOB는 정확히 φ와 같습니다. 따라서 σ와 구쐐기의 교집합은 반지름 R, 중심각 φ인 원의 부채꼴 OAB(3.20의 272번)와 합동입니다—이것이 구쐐기를 축 방향에서 내려다본 정확한 단면입니다.

일반성. 0<φ<2π 범위 전체에서 정의가 그대로 성립합니다—φ가 작을수록 얇은 쐐기, φ가 2π에 가까울수록 구 전체에 가까운 쐐기가 됩니다. φ=2π(두 반평면이 다시 겹쳐 한 바퀴를 도는 경우)는 구쐐기가 구 전체와 같아지는 퇴화(경계) 상태입니다—이때는 π₁=π₂가 되어 엄밀히는 서로 다른 두 밑면이 존재하지 않게 됩니다(397번에서 이 경계를 자세히 다룹니다).

왼쪽 : 축 ℓ 방향(자오선 쪽)에서 본 모습—방위각만 다른 두 자오면은 이 시점에서 서로 겹쳐 보입니다. 오른쪽 : O를 지나고 축에 수직인 평면(적도면) 단면—정확히 반지름 R, 중심각 φ인 원의 부채꼴 OAB

사용 : 3.29의 336번(이면각의 정의) · 3.34의 374번(평면과 구의 교선, O를 지나는 평면의 교선은 반지름 R인 원) · 3.20의 272번(부채꼴의 정의)

395정리곡면(루네)의 넓이S_lune = 2R²φ

증명법 : 직접증명법(회전 대칭·비례식)

축 ℓ에 대해 구를 회전시키는 것은 구를 구 자신으로 보내는 등거리변환입니다(구 위의 모든 점이 O로부터 거리 R을 유지하므로, 394번의 정의에 의해 회전 후에도 여전히 구 위에 있습니다). 이 회전은 이면각 φ인 구쐐기 하나를 똑같은 이면각 φ를 갖는 합동인 다른 구쐐기로 옮기므로, 구쐐기의 루네 넓이는 오직 φ에만 의존하는 값 S_lune(φ)입니다.

n을 2 이상인 자연수라 하고 φ=2πn이라 합시다. 축 ℓ에 대해 2πn씩 회전시키는 것을 차례로 k=0,1,…,n−1번 적용하면, 처음의 구쐐기가 회전한 자리에 n개의 합동인 구쐐기가 만들어집니다. 이 n개는 서로 겹치는 부분이 없고(인접한 두 쐐기는 경계인 반원판 하나만 공유하며, 반원판은 넓이 0인 조각입니다) 전부 합치면 정확히 구 전체가 됩니다(394번에서 확인했듯 이면각이 2π만큼 한 바퀴를 돌면 구쐐기는 구 전체가 됨). 따라서 넓이의 덧셈성에 의해

n·S_lune(2πn) = S(구 전체)	n개의 합동 쐐기가 겹침 없이 구 전체를 이룸
S_lune(2πn) = 1n·4πR²	3.34 f376(구의 겉넓이 4πR²), 양변을 n으로 나눔

이제 m을 1≤m≤n−1인 자연수라 합시다. 위에서 만든 합동 쐐기 m개를 이어 붙이면(회전을 m번 반복 적용) 이면각 2πmn인 구쐐기 하나를 얻고, 서로 겹치지 않는 합동 조각 m개의 합이므로 그 루네 넓이는 쐐기 하나의 넓이의 m배입니다 :

S_lune(2πmn) = m·S_lune(2πn) = mn·4πR²

여기서 φ=2π·mn 꼴—2π의 유리수배—로 놓으면 mn=φ2π이므로, 위 식은 S_lune(φ)=4πR²·φ2π로 다시 쓸 수 있습니다. 즉 이런 꼴의 모든 φ에 대해 S_lune(φ)=4πR²·φ2π=2R²φ가 성립합니다.

참고(대학 과정) : 위 논증은 φ가 2π의 유리수배인 경우만 다룹니다. 이를 모든 실수 φ(0<φ<2π)로 확장하려면, S_lune(φ)가 φ에 대한 증가함수라는 사실(쐐기가 벌어질수록 루네도 넓어짐)과 유리수가 실수 안에서 조밀하다는 사실을 결합해 “증가함수가 조밀한 부분집합 위에서 선형이면 전체 구간에서도 선형이다”라는 완비성 논증을 거쳐야 합니다—이는 대학 해석학(실수의 완비성·조밀성)의 내용이며, 3.19의 262·263번과 3.34의 376·377번에서 극한이 실제로 존재한다는 부분을 대학 과정으로 분리했던 것과 같은 이유입니다. 수능 준비생은 φ가 임의의 실수일 때도 S_lune=2R²φ가 성립한다는 결론만 알면 충분하며, 이 확장의 엄밀한 증명까지 공부할 필요는 없습니다.

S_lune = 2R²φ

검산 : R=6, φ=π/3(60°)이면 S_lune=2·36·π3=24π≈75.40—구 전체의 겉넓이 4π·36=144π의 정확히 1/6(φ/2π=1/6)과 일치합니다.

축 방향에서 본 단면 — φ=π/3(60°)인 합동 구쐐기 6개(1~6)가 겹침 없이 구 전체를 이룸(n=6인 경우의 시각화)

사용 : 394번(정의, 회전으로 합동 쐐기 생성) · 3.34의 376번(구의 겉넓이 4πR²)

증명 끝

396정리부피V = 23R³φ

증명법 : 직접증명법(회전 대칭·비례식, 395번과 같은 방법)

395번(루네 넓이)에서 쓴 논증—회전으로 만든 합동 쐐기 n개가 겹침 없이 구 전체를 이룬다는 사실—은 넓이의 덧셈성뿐 아니라 부피의 덧셈성에도 그대로 적용됩니다. φ=2πn인 경우,

n·V(2πn) = V(구 전체)	395번과 같은 n등분(회전에 의한 합동 쐐기, 부피의 덧셈성)
V(2πn) = 1n·43πR³	3.34 f377(구의 부피 (4/3)πR³)

395번과 똑같은 방식으로 이 합동 쐐기를 m개 이어 붙이면, φ=2π·mn 꼴—2π의 유리수배—인 모든 φ에 대해

V(φ) = 43πR³·φ2π = 23R³φ

가 성립하며, 395번의 univ-note에서 설명한 것과 같은 이유(대학 해석학의 조밀성·완비성 논증)로 이 관계는 모든 실수 φ(0<φ<2π)로 확장됩니다—똑같은 논증을 되풀이하지 않고 395번을 참조합니다.

검산 : R=6, φ=π/3이면 V=23·216·π3=48π≈150.80—구 전체의 부피 43π·216=288π의 정확히 1/6(288π÷6=48π)과 일치합니다.

사용 : 394번(정의) · 395번(같은 비례 논증, univ-note 포함) · 3.34의 377번(구의 부피 (4/3)πR³)

증명 끝

397정리겉넓이S = 2R²φ + πR² (0<φ<2π)

증명법 : 직접증명법

구쐐기의 겉면은 세 조각—곡면인 루네(395번, S_lune=2R²φ)와, 두 반평면 π₁, π₂가 구(공)와 만나서 생기는 두 개의 평평한 반원판—으로 이루어집니다. ℓ은 O를 지나는 지름이므로, π₁(또는 π₂)를 포함하는 평면은 O도 지납니다—3.34의 374번(d=0인 경우)에 의해 이 평면과 구의 교선은 반지름 R인 원(대원)이고, 공과의 교집합은 반지름 R인 원판입니다. ℓ은 이 원판의 지름이므로 원판을 정확히 반으로 나누고, 반평면 π₁은 그중 한쪽 절반—반지름 R인 반원판(넓이 12πR²)—과 공의 교집합입니다. π₂에 대해서도 마찬가지입니다.

세 조각(곡면 하나, 평평한 반원판 둘)은 서로 겹치는 부분의 넓이가 0(경계인 자오선·반지름만 공유)이므로, 겉넓이의 덧셈성에 의해

S = S_lune + 12πR² + 12πR²	겉면의 세 조각(곡면·두 반원판)의 넓이 합
= 2R²φ + πR²	395번(S_lune=2R²φ), 12πR²+12πR²=πR²

S = 2R²φ + πR²

검산 : R=6, φ=π/3이면 S=24π+36π=60π≈188.50.

경계 확인(φ→0) : φ→0이면 두 반평면 π₁, π₂가 같은 평면으로 겹쳐지고, 구쐐기는 부피 0인 평평한 반원판 하나로 퇴화합니다(V=23R³φ→0, 396번). 이때 겉넓이 공식은 S→0+πR²=πR²로 수렴하는데, 이는 퇴화한 반원판을 앞면·뒷면 두 겹으로 세었을 때의 넓이의 합(각 12πR²)과 정확히 일치합니다—연속적인 경계이며 모순이 없습니다.

주의(φ→2π 경계, 불연속) : 반대쪽 경계 φ→2π−에서는 사정이 다릅니다. 이 극한에서 S→2R²·2π+πR²=4πR²+πR²=5πR²인데, φ=2π에서 구쐐기는 394번의 “일반성” 문단에서 확인했듯 구 전체로 퇴화하며, 구 전체의 실제 겉넓이는 3.34 f376에 의해 4πR²일 뿐—위 극한값(5πR²)과 일치하지 않습니다. 이는 오류가 아니라, φ=2π에서 도형의 종류 자체가 불연속적으로 바뀌기 때문입니다—φ<2π인 한 π₁≠π₂이므로 두 반원판은 언제나 서로 다른 진짜 경계면이지만, φ가 정확히 2π에 도달하는 순간 π₁=π₂가 되어 그 반원판들은 더 이상 구쐐기(이제는 구 전체)의 경계가 아니라 내부를 지나는 대칭면일 뿐이 됩니다. 즉 겉넓이라는 양의 정의역이 φ=2π에서 “고유한 쐐기”에서 “구 전체”로 갑자기 바뀌므로, 위 공식은 0<φ<2π에서만 유효하며 그 극한값을 φ=2π에서의 겉넓이로 대입해서는 안 됩니다—바로 위 φ→0 경계가 매끄럽게 이어지는 것과는 성격이 다른, “도형의 종류 자체가 바뀌는” 경계입니다.

겉넓이 분해 — 곡면부(왼쪽, 주황, 루네·395번) + 평평한 반원판 2개(오른쪽, 파랑, 3.34 f374에 의해 각각 반지름 R인 원의 절반)

사용 : 395번(루네 넓이) · 3.34의 374번(평면과 구의 교선, O를 지나는 평면의 교선은 반지름 R인 원) · 394번(φ→2π 경계에서의 퇴화)

증명 끝

chapter:03-geometry section:3.38