3.9 심화·배경
사다리꼴
Trapezoid
정의 · 공식과 증명
사다리꼴의 성질 2개(216~217번)를 정리합니다. 사다리꼴은 한 쌍의 대변만 평행한 사각형입니다.
사다리꼴: 밑변 a,b(평행) · 중위선 q · 높이 h
216정리중위선q = a+b2
증명법 : 직접증명법
두 다리 AD, BC의 중점을 각각 M, N이라 하면(위 그림의 점선이 잇는 두 점), 중위선은 선분 MN입니다. 대각선 BD를 긋고 그 중점을 P라 합니다.
| △ABD에서 M은 AD의 중점, P는 BD의 중점 | 3.4의 184번(삼각형의 중위선) |
| → MP // AB, MP = a2 | △ABD의 중위선 |
| △CBD에서 N은 CB의 중점, P는 DB의 중점 | 184번(같은 삼각형, 다른 두 변) |
| → PN // DC, PN = b2 | △CBD의 중위선 |
AB // DC(사다리꼴의 정의)이므로, MP와 PN은 모두 같은 점 P를 지나면서 AB(=DC 방향)에 평행한 직선입니다. 한 점을 지나고 한 직선에 평행한 직선은 오직 하나뿐이므로(평행선의 유일성, 3.4의 단원 서두의 약속 ③), 직선 MP와 직선 PN은 서로 같은 직선 — 즉 M, P, N은 한 직선 위에 있습니다. 따라서 대각선 BD는 중위선 MN 위의 점 P를 지납니다. 또 사다리꼴은 볼록이므로(3.16 서두) A와 C는 직선 BD의 서로 반대쪽에 있고, AD의 중점 M은 A 쪽, CB의 중점 N은 C 쪽에 있으므로 P는 M과 N 사이에 놓입니다. 즉 MN은 MP와 PN으로 정확히 나뉩니다.
| q = MN = MP + PN | M, P, N이 한 직선 위에 있음 |
| = a2 + b2 | 위에서 구한 MP, PN |
q = a+b2
사용 : 3.4의 184번(삼각형의 중위선) · 평행선의 유일성(3.4의 단원 서두의 약속 ③)
증명 끝
217정리넓이S = (a+b2)·h = qh
증명법 : 직접증명법
사다리꼴을 대각선 하나로 나누면, 밑변 a인 삼각형과 밑변 b인 삼각형으로 갈라집니다. AB // DC이므로 두 삼각형 모두 반대쪽 꼭짓점에서 재는 높이는 두 밑변 사이의 거리, 즉 사다리꼴의 높이 h와 같습니다(평행한 두 직선 사이의 거리는 어디서 재도 같음, 3.4의 단원 서두의 약속 ⑦). 사다리꼴의 넓이는 두 조각 넓이의 합입니다(같은 약속).
| S = 12ah + 12bh | 삼각형의 기본 넓이 공식(밑변×높이÷2, 약속 ⑦) |
| = (a+b2)h | h로 묶어 정리 |
216번(q=a+b2)에 의해 이는 qh와 같습니다.
S = (a+b2)h = qh
사용 : 216번 · 넓이·평행선 사이의 거리(3.4의 단원 서두의 약속 ⑦)
증명 끝