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4.2   수능 핵심

삼각함수의 정의와 그래프

Definitions and Graphs of Trigonometric Functions

정의 · 공식과 증명

4.1에서는 각을 재는 두 가지 방법(육십분법·호도법)의 정확한 대응 관계만을 다루었습니다. 이 절에서는 그 각을 이용해 사인·코사인·탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트, 즉 여섯 삼각함수 자체를 정의합니다 (409~415번). 정의역·치역을 결정하고(411~412번), 그래프를 그려 그 모양을 관찰합니다(413~415번). 참고로 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 대한민국 수능 교육과정에서는 거의 다루지 않지만("1300 Math Formulas"의 체계를 따르는 이 사이트에서는) 사인·코사인·탄젠트와 함께 나란히 정의해 둡니다.

단위원(반지름 1) 위에서 시초선 OA를 반시계 방향으로 각 θ만큼 회전시켜 얻은 점 P — P의 x좌표가 cos θ, y좌표가 sin θ (여기서는 예시로 θ=130°인 경우를 그림, 둔각이라 cos θ<0)

409정의단위원을 이용한 사인함수·코사인함수의 정의P(θ) = (cos θ, sin θ)

좌표평면에서 원점 O를 중심으로 하는 반지름 1인 원을 단위원이라 합니다(3.19의 f260번의 정의를 r=1로 특수화한 것). 양의 x축 위의 점 A(1,0)을 시초선의 끝점으로 삼고, 반직선 OA(동경)를 원점 O를 중심으로 반시계 방향(양의 방향)으로 각 θ만큼 회전시켜 단위원과 만나는 점을 P(θ)라 합니다. θ>0이면 반시계 방향, θ<0이면 시계 방향 회전을 나타내며, 한 바퀴(4.1의 f406번, 2π rad)를 넘거나 여러 바퀴를 도는 것도 허용합니다(일반각) — 즉 θ는 임의의 실수를 값으로 가질 수 있습니다. 이렇게 얻은 점 P(θ)의 x좌표를 cos θ(코사인, cosine), y좌표를 sin θ(사인, sine)라 정의합니다 :

P(θ) = (cos θ, sin θ)

회전은 매 실수 θ마다 정확히 한 점 P(θ)를 정하므로(반직선이 각 θ만큼 돈 최종 위치는 회전량 θ에 의해 완전히 결정됩니다), sin θ, cos θ는 모든 실수 θ에 대해 값이 정해집니다. 또한 회전이 연속적으로 진행된다는 것(동경이 한 바퀴를 채 돌기 전에는 서로 다른 회전량이 서로 다른 위치를 만들고, 정확히 한 바퀴(4.1의 f406번, 2π rad)를 돌면 4.1의 f404번(온각의 정의 — "한 점이 원래 자리로 되돌아올 때까지 회전한 각")에 의해 출발점으로 정확히 되돌아온다는 것)으로부터, 임의의 두 실수 θ₁, θ₂에 대해 다음이 성립합니다(이 절의 411번 증명에서 바로 사용) :

P(θ₁) = P(θ₂)  ⇔  θ₁−θ₂ = 2kπ (어떤 정수 k)

(⇐) 방향은 f404번·f406번에 의해 2π의 정수배만큼 더 도는 것은 결국 정수 k바퀴를 추가로 도는 것이어서 위치가 변하지 않는다는 뜻이고, (⇒) 방향은 두 회전량의 차 θ₁−θ₂가 한 바퀴(2π)의 정수배가 아니면 동경이 아직 정수 바퀴를 다 채우지 못한 지점에서 두 회전이 갈라지므로 서로 다른 위치에 도달한다는 뜻입니다 — 회전이 한 바퀴를 채우기 전까지는 서로 다른 회전량이 서로 다른 위치를 만든다는 사실의 직접적인 표현입니다.

410정의탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트의 정의tan θ := sin θcos θ  ,  cot θ := cos θsin θ  ,  sec θ := 1cos θ  ,  csc θ := 1sin θ

409번에서 정의한 sin θ, cos θ를 이용해 나머지 네 삼각함수를 다음과 같이 비 또는 역수로 정의합니다(각 식이 뜻을 가지려면 나누는 대상이 0이 아니어야 하므로, 정의역은 각 분모가 0이 되지 않는 θ로 제한됩니다 — 정확한 정의역은 411번에서 결정합니다) :

tan θ := sin θcos θ  (cos θ≠0)     cot θ := cos θsin θ  (sin θ≠0)

sec θ := 1cos θ  (cos θ≠0)     csc θ := 1sin θ  (sin θ≠0)

정의에서 바로 cot θ = 1tan θ(tan θ≠0일 때), sec θ · cos θ = 1, csc θ · sin θ = 1이 성립함을 알 수 있습니다(대입하면 곧바로 확인되는 항등식이므로 별도 증명 없이 정의의 일부로 취급합니다).

기하학적 해석(탄젠트선) — tan θ는 다음과 같이 기하학적으로도 해석할 수 있습니다. 단위원의 점 (1,0)에서 x축에 수직으로 세운 접선(직선 x=1, 3.19의 f265번에 의해 반지름 O(1,0)과 수직인 직선)을 생각하고, 동경 OP(P=P(θ))를 P 쪽으로 필요하면 연장하여 이 접선과 만나는 점을 Q라 하면, 원점 O·점(1,0)·점 Q가 이루는 직각삼각형과 원점 O·점 P의 발(점 P에서 x축에 내린 수선의 발)·점 P가 이루는 직각삼각형이 서로 닮음(두 삼각형 모두 밑변이 x축 위에 있고 빗변이 같은 직선 OP 위에 있으며 직각을 낀 한 변이 모두 x축에 수직이므로 AA 닮음)이므로, Q의 y좌표를 h라 하면

h1 = sin θcos θ   ∴   h = tan θ

즉 tan θ는 이 접선 위에서 동경(의 연장선)이 잘라내는 부호 있는 길이(원점보다 위이면 양, 아래이면 음)와 정확히 같습니다 — 이 관찰은 414번(탄젠트 그래프)에서 그래프의 증가 형태를 읽어내는 데 다시 사용합니다.

단위원의 점 (1,0)에서의 접선 x=1과, 동경(의 연장선)이 그 접선과 만나는 점 Q — Q의 y좌표가 정확히 tan θ (그림은 예시로 θ=50°인 경우)

사용 : 409번(sin θ, cos θ의 정의) · 3.19의 f265번(접선과 반지름의 수직 관계)

411정리여섯 삼각함수의 정의역cos θ=0 ⇔ θ=π2+kπ  ,  sin θ=0 ⇔ θ=kπ  (k∈ℤ)

증명법 : 경우를 나누는 방법 + 동치인 식의 열을 나열하는 방법

409번에 의해 sin θ, cos θ는 모든 실수 θ에서 값이 정해지므로, sin θ, cos θ의 정의역은 ℝ 전체입니다. tan θ, sec θ는 cos θ≠0인 θ에서만, cot θ, csc θ는 sin θ≠0인 θ에서만 정의되므로(410번), 정확한 정의역을 알려면 cos θ=0, sin θ=0이 되는 θ를 모두 찾아야 합니다.

① cos θ=0이 되는 θ. 단위원 위의 점은 3.19의 f260번(원의 정의를 r=1로 특수화)에 의해 x²+y²=1을 만족하므로, cos θ=0은 P(θ)의 x좌표가 0, 즉 P(θ)가 단위원과 y축(직선 x=0)의 교점이라는 뜻입니다. x=0을 x²+y²=1에 대입하면 y²=1, 즉 y=1 또는 y=−1이므로, 단위원과 y축의 교점은 정확히 (0,1), (0,−1) 두 개뿐입니다. 즉

cos θ=0 ⇔ P(θ)=(0,1) 또는 P(θ)=(0,−1)

그런데 4.1의 f408번(대응표)에 의해 90°=π2 rad, 270°=3π2 rad이고, 시초선 OA(양의 x축 방향)를 각각 π2, 3π2만큼 반시계 방향으로 돌리면 (직각·평각의 정의에 의해) 정확히 양의 y축 방향, 음의 y축 방향에 도달하므로 P(π2)=(0,1), P(3π2)=(0,−1)입니다. 409번의 성질(P(θ₁)=P(θ₂) ⇔ θ₁−θ₂=2kπ)을 적용하면

P(θ)=(0,1)	위에서 확인
⇔ θ−π2=2kπ (어떤 k∈ℤ)	409번의 성질
P(θ)=(0,−1) ⇔ θ−3π2=2kπ (어떤 k∈ℤ)	같은 방식

두 조건을 정수 k로 통합합니다. 3π2 = π2+π이므로 둘째 조건은 θ = π2+(2k+1)π, 즉 θ−π2가 π의 홀수배인 경우이고, 첫째 조건은 θ−π2=2kπ, 즉 π의 짝수배인 경우입니다. 홀수배·짝수배를 모두 합치면 π의 임의의 정수배가 되므로

cos θ=0 ⇔ θ = π2+kπ  (k∈ℤ)

② sin θ=0이 되는 θ. 완전히 같은 방식입니다. y=0을 x²+y²=1에 대입하면 x=1 또는 x=−1이므로 sin θ=0 ⇔ P(θ)=(1,0) 또는 P(θ)=(−1,0)이고, P(0)=(1,0)(회전량 0, 즉 그대로), P(π)=(−1,0) (반원 회전, 4.1의 f405번)이므로 409번의 성질에 의해

P(θ)=(1,0) ⇔ θ=2kπ (어떤 k∈ℤ)	409번의 성질(P(0)=(1,0)이므로 θ₂=0)
P(θ)=(−1,0) ⇔ θ−π=2kπ (어떤 k∈ℤ)	409번의 성질(P(π)=(−1,0)이므로 θ₂=π)

두 조건(짝수배·홀수배)을 합치면

sin θ=0 ⇔ θ = kπ  (k∈ℤ)

따라서 다음과 같이 정의역이 정해집니다.

함수	정의역
sin θ, cos θ	ℝ (전체 실수)
tan θ, sec θ	ℝ ∖ { π2+kπ : k∈ℤ }
cot θ, csc θ	ℝ ∖ { kπ : k∈ℤ }

단위원 위에서 cos θ=0(빨강, 위·아래 두 점)과 sin θ=0(파랑, 좌·우 두 점)이 되는 지점 — 이 네 지점(및 여기서 2π의 정수배만큼 돌아간 모든 지점)에서 각각 tan·sec, cot·csc가 정의되지 않음

사용 : 409번(단위원 정의와 P(θ)의 성질) · 3.19의 f260번(원의 정의) · 4.1의 f405번(π rad=180°) · 4.1의 f408번(대응표)

증명 끝

412정리여섯 삼각함수의 치역sin,cos∈[−1,1]  ,  tan,cot∈ℝ  ,  sec,csc∈(−∞,−1]∪[1,∞)

증명법 : 모든 경우를 확인하는 방법 + 존재할 수밖에 없다는 것을 보이는 방법

① sin θ, cos θ의 치역. P(θ)=(cos θ, sin θ)는 단위원 위의 점이므로 3.19의 f260번(x²+y²=1)에 의해 cos²θ+sin²θ=1이고, 따라서 cos²θ≤1, sin²θ≤1, 즉 −1≤cos θ≤1, −1≤sin θ≤1이 항상 성립합니다 — 그러므로 치역은 [−1,1]에 포함됩니다.

역으로 [−1,1]의 모든 값이 실제로 달성되는지 보입니다. 임의의 c∈[−1,1]을 생각하면 1−c²≥0이므로 x₀ := 1−c²는 실수로 정해지고, 점 Q=(x₀,c)는 x₀²+c²=1을 만족하므로 단위원 위의 점입니다. 시초선 OA에서 Q까지 반시계 방향으로 잰 각(3.20의 f273번에서 이미 "호의 길이 ÷ 반지름"으로 각을 정의해 두었으므로, OA에서 Q까지의 호의 길이를 반지름 1로 나눈 값을 그 각으로 잡으면 됩니다)를 θ₀라 하면 409번의 정의에 의해 정확히 P(θ₀)=Q이므로 sin θ₀=c입니다. c는 [−1,1]에서 임의로 잡은 값이므로, sin의 치역은 정확히 [−1,1]입니다. cos에 대해서도 점 (c,y₀)(y₀:=1−c²)를 잡아 완전히 같은 논증을 반복하면 cos의 치역도 [−1,1]임을 얻습니다.

② tan θ, cot θ의 치역. 410번의 기하학적 해석(탄젠트선)을 사용합니다. θ가 −π2보다 크고 π2보다 작은 범위를 반시계 방향으로 연속적으로 움직이면, 동경(의 연장선)이 접선 x=1과 만나는 점 Q의 y좌표(=tan θ, 410번)는 θ가 −π2에 가까워질수록 한없이 아래로(−∞), π2에 가까워질수록 한없이 위로(+∞) 향하면서, 그 사이의 모든 실수값을 (건너뛰지 않고) 정확히 한 번씩 지나갑니다. 마찬가지로 cot θ = 1tan θ(410번)도 θ가 0과 π 사이를 움직일 때 같은 방식으로 모든 실수값을 지나갑니다. 따라서 tan, cot의 치역은 모두 ℝ입니다.

대학 위 "건너뛰지 않고 모든 실수값을 정확히 지나간다"는 논증은 직관적으로는 명백하지만, 엄밀하게는 tan θ가 θ에 대해 연속함수라는 사실과, 연속함수가 두 값 사이의 모든 값을 실제로 취한다는 사이값의 정리(중간값의 정리)에 의존합니다. 사이값의 정리 자체와 그 증명(실수의 완비성에 근거)은 대학 미적분학(해석학) 수준의 내용이라 이 사이트에서는 다루지 않으며, 여기서는 그래프를 그리기 위한 관찰로서 직관적 형태로만 사용합니다.

③ sec θ, csc θ의 치역. 410번에 의해 sec θ = 1cos θ이고, ①에서 cos θ의 치역이 [−1,1]이었으므로(단, 411번에 의해 cos θ=0인 θ는 sec θ의 정의역에서 제외), cos θ는 [−1,0)∪(0,1]의 모든 값을 달성합니다(①의 논증에서 c=0을 주는 θ만 제외하면 되므로). 0이 아닌 c∈[−1,1]에 대해 1c의 절댓값은 1|c|≥1이고, c가 (0,1]을 지나면 1c는 [1,∞)을, c가 [−1,0)을 지나면 1c는 (−∞,−1]을 지나므로(역수를 취하는 함수 자체가 이 두 구간에서 각각 전단사이기 때문), sec θ의 치역은 정확히 (−∞,−1]∪[1,∞)입니다. csc θ = 1sin θ도 완전히 같은 방식으로 치역이 (−∞,−1]∪[1,∞)임을 얻습니다.

함수	치역
sin θ, cos θ	[−1,1]
tan θ, cot θ	ℝ (전체 실수)
sec θ, csc θ	(−∞,−1]∪[1,∞)

사용 : 409번(단위원 정의) · 410번(탄젠트선의 기하학적 해석 및 비 정의) · 411번(정의역) · 3.19의 f260번(원의 정의) · 3.20의 f273번(호도법의 정의)

증명 끝

413정리사인함수·코사인함수의 그래프y=sin θ, y=cos θ (θ∈ℝ)

증명법 : 직접증명법(정의·정리를 그래프로 옮겨 그리는 서술)

409번(정의)과 4.1의 f408번(대응표)에서 얻은 주요 값들을 좌표평면 위에 (θ, sin θ), (θ, cos θ)의 형태로 표시하면 다음 표와 같습니다.

θ	0, π2, π, 3π2, 2π에서의 sin θ, cos θ
sin θ	0, 1, 0, −1, 0
cos θ	1, 0, −1, 0, 1

409번에서 확립한 P(θ+2π)=P(θ)(4.1의 f406번, 온각=2π만큼 더 돌면 정확히 같은 점으로 돌아옴)에 의해 sin(θ+2π)=sin θ, cos(θ+2π)=cos θ가 모든 θ에서 성립하므로, [0,2π] 구간에서 그린 모양이 양쪽으로 폭 2π씩 그대로 반복됩니다(엄밀한 "주기함수" 개념 자체는 4.7에서 일반적으로 다룹니다 — 여기서는 이 절에서 이미 확립된 409번의 성질을 그래프에 곧바로 적용한 것뿐입니다). 또한 412번(치역)에 의해 두 그래프 모두 y=−1과 y=1 사이에 완전히 갇혀 있습니다. 이 값들과 성질을 매끄러운 곡선으로 이으면 다음과 같은 파형(波形)을 얻습니다.

y = sin θ 단위원 대응 — sin 0=0으로 원점을 지남

y = cos θ 단위원 대응 — cos 0=1로 (0,1)을 지남

두 그래프 모두 단위원 위의 점에서 얻는 길이를 점선으로 그래프의 같은 θ 위치까지 옮기는 과정을 함께 표시 — sin θ는 양의 x축 위의 점 (1,0)을 θ=0으로 삼아 반시계 방향으로 잰 점 P(θ)의 y좌표를 그대로 수평 이동. cos θ는 같은 방향(반시계) 회전을, 대신 위쪽 점 (0,1)을 θ=0으로 삼아 잰 점의 y좌표를 그대로 수평 이동 — 이렇게 시작점만 90° 돌려 잡으면(P(θ)를 90° 회전시킨 점이 정확히 이 점이므로) 별도의 사분원 호 변환 없이 y좌표가 곧바로 cos θ가 됩니다. θ=0부터 시작해(sin 0=0으로 원점을, cos 0=1로 (0,1)을 지남) [−1,1](412번의 치역) 안에서 움직이며, 점으로 표시한 최댓값·최솟값(sin θ : θ=π/2에서 1, θ=3π/2에서 −1 / cos θ : θ=0,2π에서 1, θ=π에서 −1)과 주기 2π를 함께 표기 — θ=2π 지점에서 θ=0 지점과 정확히 같은 모양으로 되돌아옴(409번의 P(θ+2π)=P(θ))

사용 : 409번(정의 및 2π 이동 성질) · 412번(치역) · 4.1의 f406번(2π rad=360°) · 4.1의 f408번(대응표)

증명 끝

414정리탄젠트함수·코탄젠트함수의 그래프y=tan θ, y=cot θ

증명법 : 직접증명법(정의·정리를 그래프로 옮겨 그리는 서술)

411번(정의역)에 의해 tan θ는 θ=π2+kπ(k∈ℤ)에서, cot θ는 θ=kπ에서 정의되지 않으므로, 그래프는 이 지점들에서 세로 점근선을 가집니다(각 점근선 근처에서 함수값이 한없이 커지거나 작아짐은 410번의 탄젠트선 해석·412번의 치역 논증에서 이미 확인했습니다). 두 점근선 사이의 구간에서는 412번에 의해 모든 실수값을 지나가며, 410번의 탄젠트선 해석(동경이 반시계 방향으로 회전할수록 접선 위의 교점이 위로 이동)에 의해 tan θ는 각 구간에서 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록(−∞에서 +∞까지) 증가합니다. cot θ = 1tan θ(410번)는 반대로 각 구간에서 감소합니다.

y = tan θ 단위원 대응(θ=−π~π) — tan 0=0으로 원점을 지남, 치역 ℝ

y = cot θ 단위원 대응 — θ=0에서 정의되지 않음(점근선), 치역 ℝ

두 그래프 모두 단위원 위의 점 (1,0)·(0,1)에서의 접선을 이용해 얻는 길이를 점선으로 그래프의 같은 θ 위치까지 옮기는 과정을 함께 표시 — tan θ는 점 (1,0)에서의 접선 위 교점의 높이가 그대로 대응, cot θ는 점 (0,1)에서의 접선 위 교점의 x좌표를 사분원 호로 y축까지 옮긴 높이로 대응. tan θ는 원점을 가운데 두고 θ=−π~π 범위로(tan 0=0으로 원점을 지남), cot θ는 θ=0~2π 범위로 그렸으며, 각 점근선에 해당하는 θ값을 직접 표기했고(파랑 : tan 제외 지점, 빨강 : cot 제외 지점, 411번), 인접한 두 점근선 사이의 간격이 곧 주기 π임을 표시함. tan, cot 모두 치역이 ℝ(412번)이라 최댓값·최솟값은 존재하지 않음(그래프는 표시된 범위 밖으로 계속 갈라져 나감)

사용 : 410번(탄젠트선의 기하학적 해석) · 411번(정의역·점근선 위치) · 412번(치역)

증명 끝

415정리시컨트함수·코시컨트함수의 그래프y=sec θ, y=csc θ

증명법 : 직접증명법(정의·정리를 그래프로 옮겨 그리는 서술)

410번에 의해 sec θ = 1cos θ이므로, sec θ의 그래프는 cos θ의 그래프(413번)를 각 점에서 역수를 취해 얻습니다. cos θ→0인 지점(411번, θ=π2+kπ)에서는 sec θ→±∞ (세로 점근선), cos θ=±1인 지점(θ=kπ)에서는 sec θ=±1로 치역(412번, |sec θ|≥1)의 경계에 정확히 닿습니다 — 역수를 취하면 [−1,1] 안의 값(0 제외)이 밖의 값으로 뒤집히므로, cos θ의 물결 모양은 sec θ에서 위아래로 뻗어나가는 U자 모양들이 반복되는 형태로 바뀝니다. csc θ = 1sin θ도 sin θ의 그래프(413번)로부터 완전히 같은 방식으로 얻어집니다.

y = sec θ 단위원 대응 — sec 0=1, 치역 (−∞,−1]∪[1,∞)

y = csc θ 단위원 대응 — θ=0에서 정의되지 않음(점근선), 치역 (−∞,−1]∪[1,∞)

두 그래프 모두 단위원의 중심 O에서 두 접선 위의 교점까지의 거리(OQ, "시컨트"라는 이름의 유래)를 원점을 중심으로 한 호로 y축까지 옮겨 그 길이를 높이로 나타낸 뒤(sec θ : 파랑, csc θ : 빨강), 그래프의 같은 θ 위치까지 점선으로 옮기는 과정을 함께 표시. 두 그래프에서 음영 부분은 치역에서 완전히 제외된 (−1,1) 구간(412번), 점근선 위치는 각각 cos θ=0(파랑), sin θ=0(빨강)인 지점(411번) 에 θ값을 직접 표기. 국소 최솟값 1(sec : θ=0,2π / csc : θ=π/2)과 국소 최댓값 −1(sec : θ=π / csc : θ=3π/2)을 점으로 표시했고, 주기는 2π(sin·cos의 치역이 제외된 것과 같은 위치에서 반복됨)

사용 : 410번(sec, csc의 정의) · 411번(정의역·점근선 위치) · 412번(치역) · 413번(sin, cos의 그래프)

증명 끝