5.1 대학 과정

행렬식

Determinants

정의 · 공식과 증명

이 절이 다루는 챕터 5(행렬과 행렬식)는 원서(1300 Math Formulas)의 훨씬 방대한 목차를 이 사이트에서는 5개 소단원(5.1–5.5)으로 압축한 것입니다. 원서의 관례를 따라, 행렬 자체의 대수적 정의(동치·연산)보다 먼저 «정사각형으로 배열한 실수»에 대한 행렬식(determinant)이라는 함수를 정의합니다 — 행렬의 formal한 정의와 연산은 5.3–5.4에서 다룹니다. 이 절에서는 2×2, 3×3인 경우(제2차·제3차 행렬식)만 다루며, 일반적인 n×n 행렬식(귀납적 정의, 존재성·유일성)과 그 성질은 5.2(행렬식의 성질)로 넘깁니다. 새로 도입하는 표기 (행렬 대괄호, 행렬식 세로선)는 근호의 갈고리와 달리 전부 직선이므로 SVG 없이 CSS만으로 구현했습니다.

824정의정사각행렬과 성분 표기(Square Matrix and Entry Notation)A = a₁₁a₁₂⋯a_1na₂₁a₂₂⋯a_2n⋮⋮⋱⋮a_n1a_n2⋯a_nn (n×n 정사각행렬, (i,j) 성분 a_ij)

양의 정수 n에 대해, 실수 n²개를 n개의 행(가로줄)과 n개의 열(세로줄)로 이루어진 정사각형 모양으로 배열한 것을 n차 정사각행렬(square matrix of order n)이라 하고, 이 절에서는 위와 같이 대괄호로 묶어 표기합니다. i번째 행, j번째 열에 있는 실수를 그 행렬의 (i,j) 성분(entry)이라 하며 a_ij로 씁니다(1≤i,j≤n). 예를 들어 2×2, 3×3 정사각행렬은 각각

abcd a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃

로 씁니다. 행렬 자체가 만족하는 대수적 규칙(두 행렬의 상등·덧셈·곱셈 등)은 5.3–5.4에서 formal하게 다룹니다 — 이 절에서는 오직 정사각 배열 하나에 실수 하나를 대응시키는 행렬식(determinant)이라는 함수를 정의하기 위한 표기로만 사용하며, 그 함수는 825번(n=2)과 828번(n=3)에서 각각 명시적인 식으로 정의합니다.

825정의2×2 행렬식(제2차 행렬식)detabcd := abcd = ad−bc

824번의 2×2 정사각행렬 A=abcd에 대해, 실수 ad−bc를 A의 행렬식(determinant)이라 하고 det A, 또는 성분을 세로선으로 감싼

abcd := ad−bc

로 씁니다(«제2차 행렬식», second-order determinant). 대괄호(행렬)와 세로선(행렬식)은 같은 배열이라도 서로 다른 대상 — 배열 자체 A와 그 배열에 대응하는 실수 det A — 을 나타내므로 반드시 구분해 씁니다.

826정리2×2 행렬식의 기하학적 의미(평행사변형의 넓이)u=(a,b), v=(c,d)가 이루는 평행사변형의 넓이 = |ad−bc| (u,v≠0)

증명법 : 직접증명법(도형을 대각선으로 나눈 두 삼각형에 6.5의 SAS 넓이공식을 적용)

u=(a,b), v=(c,d) 중 하나라도 영벡터이면 네 점 O,U,W,V가 한 선분(또는 한 점)으로 퇴화하여 넓이가 0이고, 이때 a,b,c,d 중 한 쌍(a,b) 또는 (c,d)가 모두 0이므로 ad−bc=0도 성립합니다. 이하에서는 u,v≠0이라 가정합니다.

준비. O를 원점, U를 좌표 (a,b)인 점, V를 좌표 (c,d)인 점이라 하고, W:=U+V(좌표 (a+c,b+d))라 합시다. 그러면 OU=VW=u, OV=UW=v이므로 네 점 O,U,W,V는 (이 순서로 이은) 평행사변형을 이룹니다. 이 평행사변형은 대각선 UV에 의해 삼각형 OUV와 삼각형 UWV로 나뉩니다.

1단계 : 두 삼각형의 세 변과 끼인각. 6.5 532번의 정의에 의해 θ:=∠(u,v)∈[0,π]는 cosθ=u·v|u||v|로 결정되는 값입니다. 삼각형 OUV는 변 OU=|u|, OV=|v|와 그 끼인각 ∠UOV=θ를 갖습니다. 한편 삼각형 UWV의 두 변은

WU = U−W = −v, WV = V−W = −u

이므로 길이는 각각 |WU|=|v|, |WV|=|u|이고, 그 끼인각 ∠UWV는 (−v)·(−u)=v·u=u·v이자 |−v|=|v|, |−u|=|u|이므로 코사인 값이 cosθ와 똑같습니다 — 532번의 정의(코사인 값으로 결정되는 [0,π]의 각)에 의해 ∠UWV=θ입니다. 즉 두 삼각형 OUV, UWV는 «두 변의 길이 |u|,|v|와 그 끼인각 θ»라는 같은 SAS 자료를 갖습니다.

2단계 : 넓이 합. 3.4 184a번(SAS 넓이공식)을 두 삼각형에 각각 적용하면

넓이(OUV) = 12|u||v|sinθ, 넓이(UWV) = 12|v||u|sinθ

이고, 평행사변형 OUWV의 넓이는 두 삼각형 넓이의 합이므로

넓이(OUWV) = |u||v|sinθ

3단계 : ad−bc와의 일치. θ∈[0,π]에서 sinθ≥0이므로 sinθ=1−cos²θ이고, 양변에 |u||v|>0을 곱하면

|u||v|sinθ = |u|²|v|²−(|u||v|cosθ)² = |u|²|v|²−(u·v)²

입니다(마지막 등호는 |u||v|cosθ=u·v, 532번의 정의). 이제 6.1 506번(|u|²=a²+b², |v|²=c²+d²)과 6.5 534번(u·v=ac+bd)을 대입하고 2.2의 전개 공식들로 직접 전개하면

\|u\|²\|v\|²−(u·v)²
= (a²+b²)(c²+d²)−(ac+bd)²	506번·534번 대입
= a²c²+a²d²+b²c²+b²d²−(a²c²+2abcd+b²d²)	전개
= a²d²−2abcd+b²c²	동류항 정리
= (ad−bc)²	완전제곱식

를 얻습니다. 따라서 |u||v|sinθ=(ad−bc)²=|ad−bc|이고, 2단계의 결과와 합쳐

넓이(OUWV) = |ad−bc| = |detabcd|

를 얻습니다.

u=(4,1), v=(1,3)로 이루어진 평행사변형 OUWV. 대각선 UV로 나뉜 두 삼각형은 각각 (1/2)|u||v|sinθ의 넓이를 가지며(θ는 O에서도 W에서도 같은 각), 합치면 전체 넓이는 |u||v|sinθ=|4·3−1·1|=11 — 실제로 ad−bc=11과 일치합니다.

참고로 ad−bc 자체는 음수가 될 수 있습니다(예 : u,v의 순서를 바꾸면 부호가 바뀝니다) — 그 부호는 v가 u로부터 반시계 방향인지 시계 방향인지(방향, orientation)를 기록하는 것으로 이해할 수 있지만, 이를 엄밀하게 정의하는 것은 이 절의 범위를 넘으므로 여기서는 절댓값(넓이 자체)만 증명했습니다.

사용 : 6.1의 506번 · 6.5의 532번 · 6.5의 534번 · 3.4의 184a번

증명 끝

827정의소행렬식과 여인수(Minor and Cofactor)M_ij := (i행, j열을 지운 소행렬의 행렬식), C_ij := (−1)^i+jM_ij

n×n 정사각행렬 A와 그 성분 a_ij(824번)에 대해, A에서 i번째 행과 j번째 열을 통째로 지우면 (n−1)×(n−1) 정사각행렬이 남습니다. 이 행렬의 행렬식을 A의 (i,j) 소행렬식(minor)이라 하고 M_ij로 씁니다. 그리고

C_ij := (−1)^i+jM_ij

를 A의 (i,j) 여인수(cofactor)라 합니다 — 부호 (−1)^i+j는 i,j가 같은 홀짝일 때 +, 다를 때 −가 되어 체스판처럼 번갈아 나타납니다. 이 절에서는 n=3인 경우, 즉 828번의 3×3 행렬 A=a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃의 제1행에 대한 소행렬식·여인수만 필요하며, 이는 A에서 1행을 지운 2×2 소행렬의 행렬식(825번)으로 다음과 같이 구체적으로 씁니다 :

M₁₁=a₂₂a₂₃a₃₂a₃₃, M₁₂=a₂₁a₂₃a₃₁a₃₃, M₁₃=a₂₁a₂₂a₃₁a₃₂

이고, C₁₁=M₁₁, C₁₂=−M₁₂, C₁₃=M₁₃입니다(부호는 각각 (−1)¹⁺¹,(−1)¹⁺²,(−1)¹⁺³).

828정의3×3 행렬식(제3차 행렬식, 사뤼스 법칙)det A := a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₁₃a₂₂a₃₁−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃

824번의 3×3 정사각행렬 A=a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃에 대해, A의 행렬식을 다음 여섯 항의 합(«제3차 행렬식», third-order determinant)으로 정의합니다 :

det A = a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃

:= a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂ −a₁₃a₂₂a₃₁−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃

이를 사뤼스 법칙(Sarrus’ Rule)이라 부릅니다 — 오른쪽에 첫 두 열을 다시 이어 붙였다고 생각하면, 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 세 개(a₁₁a₂₂a₃₃, a₁₂a₂₃a₃₁, a₁₃a₂₁a₃₂)의 곱은 +부호로, 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 내려가는 대각선 세 개(a₁₃a₂₂a₃₁, a₁₁a₂₃a₃₂, a₁₂a₂₁a₃₃)의 곱은 −부호로 더한 것이 위 식입니다. 이 방법은 3×3에서만 성립하며, 일반적인 n×n 행렬식은 5.2에서 귀납적으로 정의합니다.

829정리3×3 행렬식의 제1행 여인수전개(Cofactor Expansion along the First Row)det A = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

증명법 : 직접증명법(양변을 모두 전개해 같은 여섯 항의 합임을 확인)

827번의 M₁₁,M₁₂,M₁₃과 825번(2×2 행렬식)을 이용해 우변 a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃=a₁₁M₁₁−a₁₂M₁₂+a₁₃M₁₃을 전개하면

a₁₁M₁₁−a₁₂M₁₂+a₁₃M₁₃
= a₁₁(a₂₂a₃₃−a₂₃a₃₂)−a₁₂(a₂₁a₃₃−a₂₃a₃₁)+a₁₃(a₂₁a₃₂−a₂₂a₃₁)	825번 대입
= a₁₁a₂₂a₃₃−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₁₃a₂₂a₃₁	분배법칙으로 전개

인데, 마지막 줄의 여섯 항을 다시 늘어놓으면 828번의 정의

a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₁₃a₂₂a₃₁−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃ = det A

와 항 단위로 정확히 일치합니다(부호 포함, 여섯 항이 하나씩 대응). 따라서 a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃=det A입니다.

사용 : 825번 · 827번 · 828번

증명 끝

830정리활용 ― 2×2·3×3 행렬식의 수치 계산 예4113=11, 300020112=12

증명법 : 직접증명법(정의를 그대로 대입해 계산)

(1) 2×2 예제. 825번의 정의에 a=4,b=1,c=1,d=3을 대입하면

4113 = 4·3−1·1 = 11

이고, 이는 826번에서 그린 u=(4,1), v=(1,3)의 평행사변형 넓이와 정확히 일치합니다.

(2) 3×3 예제. 828번(사뤼스 법칙)에 A=300020112, 즉 a₁₁=3,a₂₂=2,a₃₃=2이고 a₃₁=a₃₂=1, 나머지 성분은 0을 대입하면

det A
= a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₁₃a₂₂a₃₁−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃	828번
= 3·2·2+0+0−0−0−0 = 12	0인 항 소거

이고, 829번(제1행 여인수전개)으로도 검산하면 M₁₁=2012=4, M₁₂=0012=0, M₁₃=0211=−2이므로

det A = a₁₁M₁₁−a₁₂M₁₂+a₁₃M₁₃ = 3·4−0·0+0·(−2) = 12

로 828번과 정확히 일치합니다.

u=(3,0,0), v=(0,2,0), w=(1,1,2)를 세 모서리로 하는 평행육면체(사방투영, z축을 30° 대각선 방향으로 그림). 826번의 2×2(넓이) 결과와 마찬가지로 3×3 행렬식의 절댓값도 이 평행육면체의 부피와 같다는 유사한 기하학적 의미를 갖습니다 — 다만 이를 증명하려면 세 벡터의 삼중곱(6.7, 현재 미작성)이 필요하므로, 여기서는 참고로만 밝히고 증명하지 않습니다.

사용 : 825번 · 826번 · 828번 · 829번

증명 끝

chapter:05-matrices-and-determinants section:5.1