Home

9.8   수능 핵심

정적분

Definite Integral

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 정적분을 구분구적법(리만 합의 극한)으로 엄밀하게 정의하고(738번), 연속함수는 항상 적분가능함을 정리한 뒤(739번), 가법성·선형성·대소 관계(740–743번)를 리만 합 자체의 성질로부터 직접 증명합니다. 이어서 적분의 평균값 정리(744번, 641번 최대·최소 정리와 640번 사잇값 정리를 사용)와 미적분의 기본정리를 두 부분(745번 제1부, 746번 제2부 ― Newton–Leibniz 공식)으로 나누어 증명합니다. 제1부는 634번(조임정리)을 축으로 정적분을 변수 상한으로 갖는 함수의 미분을 계산하고, 제2부는 그 결과와 9.1 690번(원시함수의 완전한 특징)을 결합해 정적분의 실제 계산법(부정적분의 두 값의 차)을 정당화합니다. 마지막으로 이 계산법을 발판 삼아 정적분의 치환적분법·부분적분법(747–748번)을 정리합니다. 정적분의 표기 b∫af(x)dx는 적분 기호 위·아래에 구간의 끝점을 실제로 쌓아 표시하는 새 컴포넌트(.intop, 이 절부터 도입)를 사용합니다 ― 그 외의 극한·조임정리·연속·최대최소정리 등은 모두 8.2에서, 미분법의 선형성·곱의 미분법·연쇄법칙은 8.3에서, 원시함수·부정적분의 선형성은 9.1에서 이미 확립한 도구를 그대로 재사용합니다.

738정의정적분(구분구적법)b∫af(x)dx := limn→∞ S_n,   S_n:=nΣk=1 f(x_k)Δx (Δx:=b−an, x_k:=a+kΔx)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 닫힌구간 [a,b](a<b)에서 정의되어 있다고 합시다. 자연수 n에 대해 [a,b]를 n등분한 폭을 Δx:=b−an이라 하고, k=1,…,n에 대해 각 소구간의 오른쪽 끝점 x_k:=a+kΔx를 대표값으로 잡아, n개의 직사각형의 넓이의 합 (리만 합, Riemann sum)을
S_n := nΣk=1 f(x_k)Δx
라 둡시다. n을 한없이 크게 할 때(Δx가 한없이 0에 가까워질 때) S_n이 어떤 일정한 실수값에 한없이 가까워지면, 그 값을 f의 [a,b]에서의 정적분(definite integral)이라 하고
b∫af(x)dx := limn→∞ S_n
으로 나타내며, 이 극한 절차를 구분구적법(method of exhaustion by rectangles)이라 부릅니다. 특히 a=b이면 모든 소구간의 폭이 0이므로 S_n=0(모든 n)이고, 정의에 의해 곧바로
a∫af(x)dx := 0
이 됩니다. 또한 f가 상수함수 f(x)≡c이면 S_n=nΣk=1 cΔx = c·nΔx = c(b−a)로 n에 관계없이 항상 같은 값이므로
b∫ac dx = c(b−a) (c는 상수)
가 즉시 따라옵니다 ― 이 두 특수한 경우는 이후 745·746번의 증명에서 직접 사용됩니다.
f(x)=x², [0,1]을 6등분한 오른쪽 끝점 리만 합 S₆=91/216≈0.4213 (직사각형 6개, 파란 영역). n을 더 크게 할수록 직사각형의 폭이 좁아지며 실제 넓이 1/3≈0.3333에 한없이 가까워짐
대학 위 정의는 오른쪽 끝점을 표본점으로, n등분(균등분할)만을 사용한 특수한 리만 합입니다. 대학 해석학의 일반적인 리만 적분은 구간을 꼭 균등하지 않게 나누고 각 소구간에서 표본점을 임의로 선택하는 것까지 허용하며, 739번에서 보듯 연속함수에 대해서는 이런 선택에 상관없이 같은 극한값에 도달합니다. 또한 여기서의 n→∞ 극한은 629번(실수변수 x→a)과 형식적으로는 다른 대상(자연수로 색인된 수열 S_n의 극한)이지만, «한없이 가까워진다»는 직관과 사칙연산(632번)·대소 관계(633번)·조임정리(634번) 같은 성질은 그대로 성립합니다 ― 수열의 극한을 별도로 엄밀하게 정식화하는 것은 대학과정(급수론)의 내용입니다.
739정리연속함수의 적분가능성f가 [a,b]에서 연속이면 738번의 극한이 존재하며, 분할·표본점의 선택에 무관하게 같은 값으로 수렴

증명법 : 존재할 수밖에 없다는 것을 보임(결론만 서술, 증명은 대학과정)

함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속(8.2 f638)이라 합시다. 그렇다면 738번의 리만 합 S_n은 n→∞일 때 항상 하나의 극한값에 수렴하며, 오른쪽 끝점 대신 왼쪽 끝점이나 소구간 내부의 임의의 다른 점을 표본으로 선택해도, 심지어 소구간의 폭이 반드시 균등하지 않아도(분할의 가장 넓은 폭이 0으로 가기만 하면) 언제나 같은 극한값에 도달합니다. 즉 정적분 b∫af(x)dx는 이러한 선택 전부에 무관하게 잘 정의된(well−defined) 단 하나의 실수입니다. 이 사실 덕분에 이후의 증명(740–748번)에서는 필요에 따라 표본점이나 분할 방식을 자유롭게 바꾸어 선택할 수 있습니다.

대학 이 정리(리만 적분가능성 정리)의 표준적인 증명은, [a,b]가 닫힌 유계구간이므로 f가 연속이면 자동으로 균등연속(uniform continuity, 하이네−보렐 정리를 이용한 컴팩트성 논증)이라는 사실을 이용합니다. 균등연속성으로부터, 분할을 충분히 잘게 하면 각 소구간에서 f의 최댓값·최솟값의 차이가 얼마든지 작아지도록 만들 수 있고, 이를 이용해 상합(각 소구간의 최댓값을 표본으로 쓴 리만 합)과 하합(최솟값을 표본으로 쓴 리만 합)의 차이가 0으로 수렴함을 보입니다. 여기에 실수의 완비성(코시 수렴판정법)을 적용하면 상합·하합이 공통의 극한값(Darboux 적분)에 수렴하고, 이 값이 표본점의 선택에 무관한 정적분값이 됩니다. 대학 해석학(리만 적분론)의 내용이며, 수능 준비생은 «연속함수는 항상 정적분값을 가지며, 그 계산 과정에서 어느 점을 표본으로 잡든 결과는 하나로 정해진다»는 결론만 알면 충분합니다.

사용 : 8.2의 638번(연속의 정의)

740정리정적분의 가법성(구간의 분할)c∫af(x)dx = b∫af(x)dx + c∫bf(x)dx (a<b<c)

증명법 : 직접증명법(738·739번의 리만 합 사용)

a<b<c인 실수 a,b,c에 대해 f가 [a,c]에서 연속이라 합시다. 자연수 n에 대해 m:=⌈n(b−a)/(c−a)⌉로 두고, [a,b]를 m등분·[b,c]를 (n−m)등분한 뒤 두 분할을 이어 붙여 [a,c]의 분할로 사용합니다(폭이 완전히 균등하지는 않지만 n→∞이면 각 조각의 폭이 모두 0으로 가므로, 739번에 의해 이 분할을 따라 계산한 리만 합도 여전히 c∫af(x)dx로 수렴합니다). 이 분할에서 [a,c] 전체의 리만 합은 b를 경계로 정확히 [a,b] 위의 항들의 합과 [b,c] 위의 항들의 합으로 쪼개지므로(유한합의 결합법칙)

S_n^[a,c] = S_m^[a,b] + S_n−m^[b,c]

가 모든 n에서 성립합니다. n→∞(따라서 m→∞, n−m→∞도 함께) 극한을 취하면, 좌변은 739번에 의해 c∫af(x)dx로, 우변의 두 항은 각각 739번과 632번(극한의 사칙연산 중 합의 극한)에 의해 b∫af(x)dx, c∫bf(x)dx로 수렴하므로

c∫af(x)dx = b∫af(x)dx + c∫bf(x)dx

를 얻습니다.

사용 : 738번 · 739번 · 8.2의 632번(극한의 사칙연산)

증명 끝

741정의정적분 구간의 반전 규약a∫bf(x)dx := −b∫af(x)dx (a<b)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 738번의 리만 합은 왼쪽 끝점이 오른쪽 끝점보다 작은 경우(a<b)만을 다룹니다. b<a인 경우에도 기호 a∫bf(x)dx가 뜻을 갖도록, 다음과 같이 약속합니다(b<a일 때) :

a∫bf(x)dx := −b∫af(x)dx

이 규약과 738번의 특수한 경우(a∫af(x)dx=0)를 더하면, 이제 세 실수 a,b,c의 대소 순서에 관계없이 740번의 가법성

b∫af(x)dx + c∫bf(x)dx = c∫af(x)dx

이 항상 성립합니다 ― 예컨대 b<a<c인 경우 740번을 b<a<c에 그대로 적용하면 a∫bf(x)dx+c∫af(x)dx=c∫bf(x)dx이고, 여기에 위 규약 (a∫bf(x)dx=−b∫af(x)dx)을 대입해 정리하면 원하는 식 b∫af(x)dx+c∫bf(x)dx=c∫af(x)dx과 정확히 같아집니다. 나머지 배열 (a<c<b, c<a<b 등 나머지 네 가지 경우)도 완전히 같은 방식으로 확인되므로 생략합니다.

사용 : 738번 · 740번

742정리정적분의 선형성b∫a[pf(x)+qg(x)]dx = pb∫af(x)dx + qb∫ag(x)dx

증명법 : 직접증명법(738번의 리만 합 사용)

a<b이고 f,g가 [a,b]에서 연속, p,q가 상수라고 합시다(a≥b인 경우는 741번의 규약에 의해 양변의 부호가 함께 뒤집혀 그대로 성립하므로 a<b인 경우만 다룹니다). 738번의 등분할을 그대로 사용하면 pf+qg의 리만 합은

Sn(pf+qg) = nΣk=1 [pf(xk)+qg(xk)]Δx	738번(리만 합의 정의)
= pnΣk=1 f(xk)Δx + qnΣk=1 g(xk)Δx = pSn(f) + qSn(g)	유한합의 분배·결합법칙

이 모든 n에 대해 성립합니다. n→∞ 극한을 취하면 좌변은 739번에 의해 b∫a[pf(x)+qg(x)]dx로 수렴하고, 우변은 632번(극한의 사칙연산 중 상수배·합의 극한)에 의해 pb∫af(x)dx+qb∫ag(x)dx로 수렴하므로

b∫a[pf(x)+qg(x)]dx = pb∫af(x)dx + qb∫ag(x)dx

를 얻습니다.

사용 : 738번 · 739번 · 8.2의 632번

증명 끝

743정리정적분의 대소 관계와 절댓값 부등식f≤g ⇒ b∫af dx≤b∫ag dx,   |b∫af dx|≤b∫a|f|dx

증명법 : 직접증명법(738번의 리만 합과 633번의 극한값의 대소 관계 사용)

① 대소 관계. a<b이고 [a,b] 위의 모든 x에서 f(x)≤g(x)라 합시다(f,g는 [a,b]에서 연속). 738번의 리만 합에서 각 항마다 f(x_k)≤g(x_k)이고 Δx>0이므로 f(x_k)Δx≤g(x_k)Δx이며, 유한합의 부등식이 그대로 이어져 S_n(f)≤S_n(g)가 모든 n에서 성립합니다. n→∞ 극한을 취하면, 8.2 633번(극한값의 대소 관계)에 의해

b∫af(x)dx ≤ b∫ag(x)dx

② 절댓값 부등식. |f|도 f와 마찬가지로 [a,b]에서 연속입니다(f가 연속이면 절댓값 함수와의 합성 8.2 639번에 의해 |f|도 연속). [a,b]의 모든 x에서 −|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|이므로, ①을 두 번 적용하면(먼저 f→f, g→|f|로, 다음은 f→−|f|, g→f로)

b∫a(−|f(x)|)dx ≤ b∫af(x)dx ≤ b∫a|f(x)|dx

이고, 좌변은 742번(선형성, p=−1)에 의해 b∫a(−|f(x)|)dx=−b∫a|f(x)|dx와 같으므로

−b∫a|f(x)|dx ≤ b∫af(x)dx ≤ b∫a|f(x)|dx

를 얻습니다. 실수 t와 M≥0에 대해 −M≤t≤M ⇔ |t|≤M이므로(1.3의 기본 부등식), 이는 정확히

|b∫af(x)dx| ≤ b∫a|f(x)|dx

를 뜻합니다.

사용 : 738번 · 742번 · 8.2의 633번 · 8.2의 639번(연속함수의 성질)

증명 끝

744정리적분의 평균값 정리b∫af(x)dx = f(c)(b−a)인 c∈[a,b]가 존재 (f가 [a,b]에서 연속, a<b)

증명법 : 존재할 수밖에 없다는 것을 보임(641번의 최대·최소 정리 + 640번의 사잇값 정리 사용)

a<b이고 f가 [a,b]에서 연속이라 합시다. 8.2 641번(최대·최소 정리)에 의해 f는 [a,b]에서 최솟값 m=f(p)와 최댓값 M=f(q)를 어떤 p,q∈[a,b]에서 갖습니다. [a,b]의 모든 x에서 m≤f(x)≤M이므로, 743번(대소 관계)을 상수함수 m,M에 적용하고 738번의 상수함수 정적분 (b∫am dx=m(b−a), b∫aM dx=M(b−a))을 사용하면

m(b−a) ≤ b∫af(x)dx ≤ M(b−a)

이고, b−a>0으로 나누면

m ≤ 1b−ab∫af(x)dx ≤ M

입니다. f(p)=m, f(q)=M이므로 우변 가운데 값은 f(p)와 f(q) 사이에 놓입니다. p=q인 경우(예 : f가 상수함수)에는 c:=p로 두면 곧바로 끝나고, p≠q인 경우에는 f가 p와 q 사이의 닫힌구간(⊆[a,b])에서 연속이므로, 8.2 640번(사잇값 정리)에 의해

f(c) = 1b−ab∫af(x)dx

인 c가 p와 q 사이에(따라서 c∈[a,b]에) 존재합니다. 양변에 b−a를 곱하면

b∫af(x)dx = f(c)(b−a)

를 얻습니다. 기하적으로는, 높이 f(c)·밑변 b−a인 직사각형의 넓이가 곡선 아래 넓이와 정확히 같아지는 «평균 높이» f(c)가 존재한다는 뜻입니다.

f(x)=x², [0,2]에서 2∫0x²dx=8/3이므로 평균 높이는 4/3. f(c)=4/3을 만족하는 c≈1.1547이 [0,2] 안에 존재하며(점 c), 높이 4/3·밑변 2인 직사각형(초록 점선)의 넓이가 곡선 아래 넓이(붉은 음영)와 같음

대학 위 논증 자체는 고교 수준에서 그대로 따라갈 수 있지만, 그 바탕이 되는 8.2 640·641번(사잇값 정리·최대·최소 정리)은 실수의 완비성에 의존하는 대학 해석학의 정리입니다(각 절의 univ-note 참고). 수능 준비생은 «연속함수의 정적분값은 그 구간에서의 어떤 함숫값과 구간의 길이의 곱으로 나타낼 수 있다»는 결론만 알면 충분합니다.

사용 : 738번 · 743번 · 8.2의 640번 · 8.2의 641번

증명 끝

745정리미적분의 기본정리 제1부G(x):=x∫af(t)dt  ⇒  G′(x)=f(x)

증명법 : 직접증명법(634번의 조임정리 + 641번의 최대·최소 정리 사용)

f가 [a,b]에서 연속이라 하고, G(x):=x∫af(t)dt (x∈[a,b], 739번에 의해 잘 정의됨)로 둡시다. x∈[a,b]를 고정하고, h≠0을 x+h가 여전히 [a,b]에 속하도록 잡습니다. 740번(가법성)을 a,x,x+h 세 점에 적용하면(h<0이면 741번의 반전 규약을 함께 사용) h의 부호에 관계없이 항상

G(x+h)−G(x) = x+h∫xf(t)dt

가 성립합니다. 8.2 641번(최대·최소 정리)에 의해 f는 x와 x+h 사이의 닫힌구간에서 최솟값 m_h와 최댓값 M_h를 가지며, 743번(대소 관계)을 이 구간에 적용하고 738번의 상수함수 정적분을 사용하면(h<0이면 741번의 규약을 반영해도 부등식의 방향은 그대로 유지됩니다)

m_h ≤ G(x+h)−G(x)h ≤ M_h  (h≠0)

를 얻습니다. h→0이면 x와 x+h 사이의 구간이 점 x 하나로 줄어들므로, m_h·M_h를 달성하는 점(그 구간 안의 점)도 x에 한없이 가까워지고, f가 x에서 연속(8.2 638번)이므로 그 점에서의 함숫값 역시 f(x)에 한없이 가까워집니다 ― 즉 h→0일 때 m_h→f(x), M_h→f(x)입니다. 8.2 634번(조임정리)을 위 부등식에 적용하면

limh→0 G(x+h)−G(x)h = f(x)

이고, 이는 정확히 G가 x에서 미분가능하고 G′(x)=f(x)라는 뜻(8.3 f642, 미분계수의 정의)입니다. x∈[a,b]는 임의의 점이었으므로(양 끝점에서는 한쪽 극한만) 원하는 결론을 얻습니다.

사용 : 738번 · 739번 · 740번 · 741번 · 743번 · 8.2의 634번 · 8.2의 638번 · 8.2의 641번 · 8.3의 642번

증명 끝

746정리미적분의 기본정리 제2부(Newton–Leibniz 공식)b∫af(x)dx = F(b)−F(a) (F는 [a,b]에서 f의 한 원시함수)

증명법 : 직접증명법(745번과 9.1 690번 사용)

f가 [a,b]에서 연속이고, F가 [a,b]에서 f의 한 원시함수(9.1 f689, F′=f)라 합시다. G(x):=x∫af(t)dt로 두면, 745번에 의해 G′(x)=f(x)=F′(x)가 [a,b]의 모든 점에서 성립하므로 G도 f의 원시함수입니다. 9.1 690번(원시함수의 완전한 특징)에 의해 F(x)=G(x)+C인 상수 C가 존재합니다. x=a를 대입하면

F(a) = G(a)+C = 0+C = C (738번, a∫af dt=0)

이므로 C=F(a)이고, 따라서

G(x) = F(x)−F(a) (모든 x∈[a,b])

가 성립합니다. x=b를 대입하면 G(b)=F(b)−F(a)이고, 한편 G(b)=b∫af(t)dt는 정의 그대로 b∫af(x)dx이므로

b∫af(x)dx = F(b)−F(a)

를 얻습니다. 이 식이 바로 정적분을 실제로 계산할 때 쓰는 표준 방법 ― 부정적분(원시함수) 하나를 찾아 양 끝점에서의 값의 차를 구하는 것 ― 을 정당화합니다. 이하에서는 F(b)−F(a)를 [F(x)]_a^b로 줄여 씁니다.

사용 : 738번 · 745번 · 9.1의 689번 · 9.1의 690번

증명 끝

747정리정적분의 치환적분법b∫af(g(x))g′(x)dx = g(b)∫g(a)f(u)du

증명법 : 직접증명법(746번의 Newton–Leibniz 공식 + 8.3 f651 연쇄법칙 사용)

g가 [a,b]에서 미분가능하고 g′이 [a,b]에서 연속이며, f가 g가 [a,b] 위에서 취하는 모든 값을 포함하는 구간에서 연속이라 합시다. f의 한 원시함수를 F(F′=f, 739번과 745번에 의해 항상 존재)라 하면, 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해

[F(g(x))]′ = F′(g(x))g′(x) = f(g(x))g′(x)

가 [a,b]의 모든 x에서 성립하므로, F∘g는 f(g(x))g′(x)의 한 원시함수입니다. 746번을 좌변의 적분에 적용하면

b∫af(g(x))g′(x)dx = F(g(b))−F(g(a))

이고, 746번을 이번엔 F 자체와 구간 g(a)·g(b) 사이(g(a)>g(b)이면 741번의 반전 규약)에 적용하면 우변도 정확히 같은 값입니다 :

g(b)∫g(a)f(u)du = F(g(b))−F(g(a))

두 식의 우변이 같으므로 b∫af(g(x))g′(x)dx = g(b)∫g(a)f(u)du를 얻습니다. (직관적으로는 u=g(x)로 치환할 때 dx·du의 관계를 du=g′(x)dx로 바꾸고, 적분 구간의 끝점도 x=a,b에서 u=g(a),g(b)로 함께 바꾸는 것과 같습니다.)

예시. 1∫02xe^x²dx를 계산합시다. g(x):=x²(g′(x)=2x), f(u):=e^u로 놓으면 g(0)=0, g(1)=1이므로

1∫02xe^x²dx = 1∫0e^udu = [e^u]₀¹ = e−1 (746번, 9.1 f698)

사용 : 739번 · 741번 · 745번 · 746번 · 8.3의 651번 · 9.1의 698번

증명 끝

748정리정적분의 부분적분법b∫au(x)v′(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b − b∫au′(x)v(x)dx

증명법 : 직접증명법(746번의 Newton–Leibniz 공식 + 8.3 f649 곱의 미분법 사용)

u,v가 [a,b]에서 미분가능하고 u′,v′이 [a,b]에서 연속이라 합시다. 8.3 f649(곱의 미분법)에 의해 (uv)′=u′v+uv′이 [a,b]의 모든 점에서 성립하므로, uv는 u′v+uv′의 한 원시함수입니다. 746번을 적용하면

b∫a[u′(x)v(x)+u(x)v′(x)]dx = u(b)v(b)−u(a)v(a) = [u(x)v(x)]_a^b

이고, 좌변에 742번(선형성)을 적용해 두 적분의 합으로 나누면

b∫au′(x)v(x)dx + b∫au(x)v′(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b

이므로, 좌변 첫째 항을 이항하면

b∫au(x)v′(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b − b∫au′(x)v(x)dx

를 얻습니다.

예시. u(x):=x, v′(x):=e^x(v(x)=e^x, u′(x)=1)로 두면

1∫0xe^xdx = [xe^x]₀¹ − 1∫0e^xdx = (e−0) − [e^x]₀¹ = e − (e−1) = 1

이 결과는 9.7 f730의 점화식에 n=1, a=1을 대입한 부정적분 ∫xe^xdx=(x−1)e^x+C와 정확히 일치합니다 ― 746번으로 검산하면 F(1)−F(0)=(1−1)e¹−(0−1)e⁰=0−(−1)=1로 위와 같습니다.

사용 : 742번 · 746번 · 8.3의 649번 · 9.7의 730번

증명 끝