11.2 수능 핵심
등비수열의 합
Geometric Series
정의 · 공식과 증명
이 절은 11.1(등차수열의 합)에서 확립한 수열의 일반 정의와 합의 표기 Sn(749번)을 그대로 이어받아, 이웃한 두 항의 비가 일정한 등비수열을 정의하고(756번), 그 일반항 공식을 수학적 귀납법으로 증명합니다(757번). 758–759번에서는 등비중항과 그 일반화(이웃한 세 항이 항상 기하평균 관계에 있다는 조건)가 등비수열이라는 것과 동치임을 증명하고, 760번에서 합의 공식을(공비 r≠1과 r=1, 두 경우로 나누어) 귀납법으로 증명하고 곱하고 빼기로 그 꼴이 나오는 이유를 살펴봅니다. 마지막으로 761번에서 두 가지 활용 예제를 살펴봅니다. 11.1과 마찬가지로 이 절에서 확립하는 도구(등비수열의 정의·귀납법에 의한 일반항 증명·합의 공식)는 11.3(여러 가지 유한급수)·11.4(무한급수)에서도 반복 사용됩니다 ― 다만 이 절은 유한합만 다루며, 항의 개수가 한없이 늘어날 때의 극한(무한등비급수)은 11.4에서 별도로 다룹니다.
756정의등비수열과 공비(Geometric Sequence, Common Ratio)an+1 = ran (모든 자연수 n, a1≠0, r≠0)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 수열 {an}(749번)에서, 첫째항이 a1≠0이고, 이웃한 두 항 사이에 항상
an+1 = ran (모든 자연수 n)
인 관계가 성립할 때(단 r은 0이 아닌 상수), {an}을 첫째항이 a1이고 공비(common ratio)가 r인 등비수열(geometric sequence 또는 geometric progression)이라 합니다. 등비수열은 첫째항 a1과 공비 r, 이 두 값만으로 완전히 결정됩니다(757번에서 실제로 확인합니다) ― 이웃 항의 «배율»이 일정하다는 것이 이 수열의 유일한 규칙이기 때문입니다. a1≠0, r≠0을 요구하는 이유는, a1=0이면 모든 항이 0이 되고 r=0이면 둘째 항부터 모두 0이 되어, 어느 경우든 뒤에서(758–759번)처럼 항끼리 나누어 공비를 되찾을 수 없기 때문입니다.
757정리등비수열의 일반항 공식(General Term Formula)an = a1rn−1
증명법 : 수학적 귀납법(n에 대하여)
{an}이 첫째항 a1, 공비 r(756번)인 등비수열이라 합시다. 명제 P(n) : «an = a1rn−1»가 모든 자연수 n에 대해 성립함을 보입니다.
| Ⅰ | n=1일 때, 우변은 a1r0=a1이므로 P(1)은 a1=a1이 되어 자명하게 성립합니다. |
| Ⅱ | P(k) : ak=a1rk−1이 성립한다고 가정합시다(귀납법의 가정). 756번(등비수열의 정의)에 의해 ak+1=rak이므로 |
| ak+1 = rak | 756번(등비수열의 정의) |
| = r(a1rk−1) | 귀납법의 가정(Ⅱ) |
| = a1rk = a1r(k+1)−1 | 지수법칙 |
이므로 P(k+1)도 성립합니다. 즉 P(k) ⇒ P(k+1)이 보여졌습니다. Ⅰ, Ⅱ에 의해 수학적 귀납법으로 P(n)은 모든 자연수 n에 대해 성립합니다.
an = a1rn−1 (모든 자연수 n)
a1=3, r=2인 등비수열의 처음 다섯 항 3, 6, 12, 24, 48을 수직선 위에 실제 값 그대로 표시 ― 11.1(f751)의 등간격(공차) 수직선과 달리, 점 사이의 간격은 계속 벌어지지만 이웃한 두 값의 비(×2)는 항상 같습니다.
따름(모든 항이 0이 아님). a1≠0, r≠0(756번)이므로, 임의의 자연수 n에 대해 a1과 rn−1은 모두 0이 아니고, 0이 아닌 두 실수의 곱 an=a1rn−1도 0이 아닙니다. 즉 등비수열의 모든 항은 자동으로 0이 아니며, 이는 758–759번에서 항끼리 나누는 논증(공비 r=an+1an)이 언제나 문제없이 성립함을 보장합니다.
따름(일반항의 특성화). 757번의 증명은 거꾸로도 성립합니다 ― 0이 아닌 임의의 두 실수 c, r(r≠0)에 대해 일반항이 n에 대한 지수식 an = crn 꼴로 주어지는 수열은 반드시 공비 r인 등비수열입니다. 실제로 an+1an = crn+1crn = r로 n에 관계없이 일정하기 때문입니다(756번의 정의를 그대로 만족, crn≠0이므로 나눗셈이 well-defined). 즉 등비수열 ⇔ 일반항이 n에 대한 지수식이라는 동치 관계가 성립하며, 이때 a1=cr입니다.
사용 : 756번 · 선행학습 수학적 귀납법
증명 끝
758정의등비중항(Geometric Mean)b² = ac (ac>0, b=±ac)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 0이 아닌 세 실수 a, b, c가 이 순서로 어떤 등비수열의 연속한 세 항(예 : 등비수열의 이웃한 세 항 an−1, an, an+1)을 이룬다는 것은 756번의 정의와 757번의 따름(모든 항이 0이 아님)에 의해 ba = cb(공비가 같음, 양변 모두 well-defined)라는 뜻이고, 양변에 ab(≠0)를 곱하면 이는 다음과 동치입니다 :
b² = ac
이때 b를 a와 c의 등비중항(geometric mean)이라 합니다. 등차중항(752번)과 달리, 이 조건을 만족하는 b는 부호까지 유일하게 정해지지 않습니다 ― ac>0이면 b=±ac의 두 값이 모두 가능하며, 실제로 어느 부호인지는 공비 r=ba의 부호(등비수열 자체의 부호 패턴)에 따라 결정됩니다(예 : a=2, c=8이면 ac=16이므로 b=±4가 모두 가능 ― 2, 4, 8,…(r=2)과 2, −4, 8,…(r=−2)이 둘 다 유효한 등비수열입니다). 한편 0이 아닌 두 실수 a, c에 대해 ac<0(서로 다른 부호)이면 b²=ac를 만족하는 실수 b가 존재하지 않으므로(제곱은 항상 0 이상), 서로 다른 부호의 두 수는 등비수열의 한 칸 건너 항이 될 수 없습니다.
759정리등비수열의 판정(중항 조건에 의한 특성화){an}(모든 항≠0)이 등비수열 ⇔ an² = an−1an+1 (모든 n≥2)
증명법 : 쌍조건문의 증명법 (⇒는 직접, ⇐는 수학적 귀납법)
(⇒) {an}이 공비 r인 등비수열이라 합시다(757번의 따름에 의해 모든 항이 0이 아닙니다). 756번에 의해 an=ran−1, an+1=ran이므로 an−1=anr(r≠0이므로 well-defined)이고
an−1an+1 = anr·(ran) = an²
가 즉시 성립합니다.
(⇐) 모든 항이 0이 아니고, 모든 n≥2에 대해 an²=an−1an+1이 성립한다고 합시다. rn := an+1an(n≥1, 분모≠0이므로 well-defined)으로 두면, 가정한 등식의 양변을 an−1an(≠0)으로 나누어
anan−1 = an+1an 즉 rn−1 = rn (모든 n≥2)
를 얻습니다(753번과 완전히 같은 구조). 이제 명제 Q(n) : «rn=r1»가 모든 자연수 n에 대해 성립함을 수학적 귀납법으로 보입니다.
| Ⅰ | n=1일 때 Q(1) : r1=r1은 자명하게 성립합니다. |
| Ⅱ | Q(k) : rk=r1이 성립한다고 가정합시다. 위에서 얻은 관계식에 n=k+1(≥2, k≥1이므로 항상 성립)을 대입하면 rk=rk+1이고, 귀납법의 가정에 의해 rk=r1이므로 rk+1=r1, 즉 Q(k+1)이 성립합니다. |
Ⅰ, Ⅱ에 의해 Q(n)은 모든 자연수 n에서 성립하므로, r:=r1로 두면 rn=r(모든 n), 즉 an+1=ran이 n에 관계없이 성립합니다. 또 a1≠0이고 r=r1=a2/a1에서 a2≠0이므로 r≠0입니다. 756번의 정의에 의해 {an}은 공비 r인 등비수열입니다.
특히 n=2인 경우가 758번의 등비중항 조건(a2²=a1a3)과 정확히 일치합니다 ― 즉 이 정리는 «세 항뿐 아니라 이웃한 모든 세 항이 예외 없이 기하평균 관계를 만족해야 등비수열이 된다»는 것을 보여줍니다(어느 한 지점에서만 an²=an−1an+1이 성립하는 것만으로는 전체 수열이 등비수열이라고 결론지을 수 없습니다).
사용 : 756번 · 757번 · 758번 · 선행학습 수학적 귀납법 · 선행학습 쌍조건문의 증명법
증명 끝
760정리등비수열의 합 공식(Sum of a Geometric Series)Sn = a1(1−rn)1−r (r≠1), Sn=na1 (r=1)
증명법 : 수학적 귀납법(n에 대하여) + 경우를 나누는 증명법(749번·757번 사용)
{an}이 첫째항 a1, 공비 r인 등비수열이라 합시다(756번). 757번에 의해 ak=a1rk−1입니다. 먼저 r의 값과 관계없이 성립하는 등식
(1−r)Sn = a1(1−rn) ⋯ (★)
이 모든 자연수 n에 대해 성립함을 수학적 귀납법으로 보입니다.
| Ⅰ | n=1일 때, S1=a1(749번)이므로 (1−r)S1=a1(1−r1)이 되어 성립합니다. |
| Ⅱ | n=k일 때 (★)이 성립한다고 가정합시다(귀납법의 가정). 그러면 |
| (1−r)Sk+1 = (1−r)Sk + (1−r)ak+1 | 749번(합의 정의, 한 항 추가) · 분배법칙 |
| = a1(1−rk) + (1−r)a1rk | 귀납법의 가정(Ⅱ) · 757번 |
| = a1 − a1rk + a1rk − a1rk+1 = a1(1−rk+1) | 분배법칙 · 지수법칙 · 동류항 정리 |
이므로 n=k+1일 때도 성립합니다. Ⅰ, Ⅱ에 의해 (★)은 모든 자연수 n에 대해 성립합니다.
⑴ r≠1인 경우. 1−r≠0이므로 (★)의 양변을 1−r로 나눌 수 있어
Sn = a1(1−rn)1−r = a1(rn−1)r−1 (r≠1)
⑵ r=1인 경우. 이때 (★)은 0=0이 되어 Sn에 대해 아무것도 알려 주지 않고, ⑴처럼 1−r=0으로 나눌 수도 없습니다(⑴의 공식을 그대로 쓸 수 없는 이유). 대신 757번에 의해 모든 항이 ak=a1·1k−1=a1이므로, Sn=na1을 같은 방식의 귀납법으로 보입니다 : S1=a1이고, Sk=ka1이면 Sk+1=Sk+ak+1=ka1+a1=(k+1)a1(749번 · 동류항 정리)입니다. 따라서
Sn = a1+a1+…+a1 (n개) = na1 (r=1)
입니다. 이 두 갈래(r≠1이면 ⑴의 공식, r=1이면 na1)로 등비수열의 합이 공비의 모든 경우에 대해 결정됩니다.
참고 (곱하고 빼기 ― (★)이 나오는 이유). Sn=a1+a1r+…+a1rn−1과 rSn=a1r+a1r2+…+a1rn을 한 칸 어긋나게 놓고 빼면 가운데 항이 모두 상쇄되어 Sn−rSn=a1−a1rn만 남습니다(아래 그림). 위의 증명은 이 관찰을 첨자 옮기기 없이 귀납법으로 확인한 것입니다. 또 a1=1일 때 (★)은 2.1의 기본 인수분해 항등식에서 a=1, b=r로 둔 식 1−rn=(1−r)(1+r+…+rn−1)과 같은 내용입니다.
a1=3, r=2, n=5인 구체적인 예(757번과 같은 수열) ― S5와 2S5를 한 칸 어긋나게 배열하면 가운데 네 칸(6, 12, 24, 48)이 정확히 겹쳐 상쇄되고, S5의 첫 항 3(파랑, 남음)과 2S5의 마지막 항 96(빨강, 남음)만 남아 S5−2S5=3−96=−93, 즉 S5=93임을 보여줍니다.
사용 : 749번 · 756번 · 757번 · 선행학습 수학적 귀납법 · 선행학습 경우를 나누는 증명법
증명 끝
761정리활용 ― 거듭제곱의 합과 공비 1인 경우의 주의1+2+4+…+2n−1 = 2n−1
증명법 : 760번(등비수열의 합 공식)에 특정한 a1, r을 대입
⑴ 거듭제곱의 합. a1=1, r=2인 등비수열은 757번에 의해 an=1·2n−1=2n−1이므로, 곧 2의 거듭제곱을 1(=20)부터 나열한 수열입니다. 760번 ⑴(r=2≠1)을 적용하면
1+2+4+…+2n−1 = Sn = 1·(2n−1)2−1 = 2n−1
를 얻습니다.
⑵ 공비가 1인 경우의 주의. 첫째항이 5이고 공비가 1인 등비수열(즉 5, 5, 5,…로 항이 전혀 변하지 않는 수열)의 첫 n항의 합을 구한다고 합시다. 이때 760번 ⑴의 공식 a1(rn−1)r−1에 r=1을 그대로 대입하면 분모가 0이 되어 (5(1−1)1−1 = 00) 정의되지 않습니다 ― 반드시 760번 ⑵(r=1인 경우)를 따로 적용해야 합니다 :
5+5+…+5 (n개) = Sn = na1 = 5n
즉 공비가 1인지 아닌지를 먼저 확인하지 않고 ⑴의 공식부터 기계적으로 대입하면 0으로 나누는 오류가 생길 수 있음에 유의해야 합니다.
증명 끝