1.4
복소수
Complex Numbers
정의 · 공식과 증명
복소수 z = a+bi (i는 허수단위, i²=−1)의 연산과 극형식을 정리합니다. 덧셈·뺄셈·켤레(49,52,53번)는 1.3의 실수 사칙연산을 그대로 이용해 약속하는 정의이고, 곱셈·나눗셈(50,51번)과 극형식·드무아브르·오일러 공식 등은 실제 증명(유도)이 있는 정리입니다. 곱셈·나눗셈의 유도는 i를 문자처럼 보고 1.3의 계산 법칙(교환·결합·분배법칙)을 그대로 쓰되, i²이 나오면 −1로 바꾼다는 약속 위에서 이루어집니다(고등학교 교과서의 약속과 같습니다). 46-48번의 i의 거듭제곱도 같은 약속을 따릅니다. 46~53번(허수단위, 사칙연산, 켤레)까지는 고1 수학의 복소수 단원과 겹치는 수능 관련 내용이지만, 54번(극형식)부터 64번(오일러 공식)까지는 현행 고교 교육과정·수능 범위 밖의 대학 미적분학·복소해석학 내용입니다(각 항목에 대학 표시). 수능 준비생은 그 범위까지 공부할 필요가 없습니다. 일부 증명(극형식의 곱셈, 드무아브르 공식 등)은 4장 삼각함수의 결과(단위원 정의, 덧셈정리 등)를 씁니다 — 각 증명의 "사용 :" 줄에 해당 공식을 링크해 두었습니다.
46-48정리허수단위의 거듭제곱 주기성i¹=i, i²=−1, i³=−i, i4=1 (이후 4마다 반복)
i²=−1은 허수단위의 정의 그 자체입니다. 여기서부터 i³ = i²·i = (−1)·i = −i, i4 = i²·i² = (−1)·(−1) = 1이 곧바로 나옵니다.
i5 = i4·i = 1·i = i 이므로 다시 i¹과 같아지고, 이후 지수가 4씩 늘 때마다 값이 반복됩니다. 일반화하면 음이 아닌 정수 n(1.2의 N0)에 대해 :
i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −i, i4n = 1(증명 : 지수법칙(2.3의 82·86번)에 의해 i4n+k = (i4)n·ik = 1n·ik = ik 이므로, i의 거듭제곱은 ik(k=1,2,3,4)의 값으로 완전히 결정됩니다. n = 0일 때의 i0 = 1은 0제곱의 정의(2.3의 87번, i ≠ 0)입니다.)
사용 : 허수단위 i의 정의(i²=−1) · 1.3의 곱셈 결합법칙(43번) · 2.3의 지수법칙(82번·86번)과 0제곱의 정의(87번) · 머리말의 복소수 계산 약속
증명 끝
i를 곱할 때마다 복소평면에서 반시계 방향으로 90°씩 회전 — 4번이면 제자리(1)
49정의복소수의 뺄셈(a+bi) − (c+di) = (a−c) + (b−d)i
정의이므로 별도 증명은 없지만, 성립 근거는 명확합니다 : 실수부와 허수부를 각각 1.3의 실수 뺄셈(38번)으로 계산한 결과입니다.
실수부·허수부를 각각 빼서 얻는 점 — c+di에서 a+bi로 가는 화살표(점선)를 원점으로 옮긴 것과 같음 (그림은 a+bi=3+2i, c+di=1+3i, 차 2−i)
50정리복소수의 곱셈(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
| (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² | 1.3의 분배법칙(44번)으로 전개 |
| = ac + adi + bci + bd(−1) | i²=−1 (46-48번) |
| = (ac−bd) + (ad+bc)i | 실수부·허수부 정리(1.3의 교환·결합법칙) |
사용 : 머리말의 복소수 계산 약속 · 1.3의 분배법칙(44번), 교환·결합법칙(36,37,42,43번) · i²=−1(46-48번)
증명 끝
복소평면 위 두 점과 그 곱 (그림은 a+bi=3+i, c+di=1+i, 곱 2+4i) — 곱의 기하적 의미는 극형식(57번)에서 다시 다룸
51정리복소수의 나눗셈a+bic+di = ac+bdc²+d² + bc−adc²+d²·i (c+di ≠ 0)
c+di ≠ 0이면 실수 c, d가 동시에 0은 아니므로 c²+d² > 0이고(0이 아닌 실수의 제곱은 양수 — 2.7의 134번), 따라서 c−di ≠ 0입니다. 분모의 켤레(53번)를 분모·분자에 곱합니다 :
a+bic+di = (a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)| 분모 : (c+di)(c−di) = c²−d²i² = c²+d² | 50번(곱셈 공식) · i²=−1 |
| 분자 : (a+bi)(c−di) = (ac+bd)+(bc−ad)i | 50번과 같은 방식 |
따라서 :
a+bic+di = (ac+bd)+(bc−ad)ic²+d² = ac+bdc²+d² + bc−adc²+d²·i사용 : 53번(켤레복소수) · 50번(복소수의 곱셈) · i²=−1(46-48번)
증명 끝
두 점과 켤레(점선) 그리고 몫 (그림은 a+bi=2+i, c+di=1+i, 켤레 1−i, 몫 32 − 12i) — 분모의 켤레를 곱해 분모를 실수 c²+d²로 만드는 것이 핵심
52정의복소수의 덧셈(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
정의이므로 별도 증명은 없지만, 실수부·허수부를 각각 1.3의 실수 덧셈(34~37번)으로 계산한 결과입니다.
평행사변형 법칙 — 두 복소수를 벡터로 보고 더한 대각선이 합
53정의켤레복소수a+bi = a − bi
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 허수부의 부호만 바꾼 짝을 "켤레복소수"라 약속합니다.
켤레복소수는 실수축(가로축)을 기준으로 대칭인 점
54-56정의대학극형식, 절댓값과 편각a+bi = r(cosφ+isinφ)
복소수를 원점으로부터의 거리 r(절댓값·모듈러스)과 각도 φ(편각)의 극좌표로 나타내는 방식의 정의입니다.
a = r cosφ, b = r sinφ ⟹ a+bi = r(cosφ + i sinφ) r = a²+b², φ = arctanbar=a²+b²라는 표현 자체는 아래(모듈러스 공식)에서 실제로 증명합니다.
극형식으로 쓸 수 있는 이유. z=a+bi≠0이면 r=a²+b²>0이고, 점 (ar, br)는 (ar)²+(br)²=a²+b²r²=1이라 단위원 위에 있습니다. 4.2 f409번의 약속 ⓐ(단위원 위의 모든 점은 어떤 각 φ에 대해 P(φ)=(cosφ, sinφ)로 나타남)에 의해 cosφ=ar, sinφ=br인 φ가 있고, 이것이 곧 a=r cosφ, b=r sinφ입니다. 같은 f409번(P(φ1)=P(φ2) ⇔ φ1−φ2=2kπ)에 의해 이런 φ는 2π의 정수배만큼만 서로 다릅니다 — 편각은 하나가 아니라 2kπ씩 차이 나는 여러 값입니다. z=0이면 r=0이고 모든 φ가 식을 만족하므로 편각을 정하지 않습니다(그래서 아래 역수·나눗셈·n제곱근은 0이 아닌 복소수에 대해서만 다룹니다).
※ 주의 : φ=arctanba는 arctan의 치역이 (−π2, π2)라서 a>0(제1·4사분면)일 때만 그대로 성립합니다. a<0이면 π를 더하거나 빼서 점이 놓인 사분면에 맞게 보정해야 하고, a=0이면 b의 부호에 따라 φ=±π2로 정합니다.
복소평면 위의 점 a+bi를 원점으로부터 거리 r, 각도 φ로 표현
·정리대학모듈러스 공식 (54-56번의 근거)r = a²+b²
54번의 정의에 의해 a=r cosφ, b=r sinφ이므로 :
| a² + b² = r²cos²φ + r²sin²φ = r²(cos²φ+sin²φ) | 대입 후 r² 묶기 |
| = r² | 4.5의 f425번(sin²θ+cos²θ=1) |
양변에 제곱근을 취하면(r≥0이므로) :
r = a²+b²이는 복소수의 절댓값이 복소평면에서 원점까지의 유클리드 거리, 즉 3.1의 163번(피타고라스 정리, a²+b²=c²)과 같은 형태임을 보여줍니다.
사용 : 54번(극형식의 정의) · 4.5의 f425번(삼각함수의 기본 항등식, sin²+cos²=1) · 3.1의 피타고라스 정리와 동일한 구조
증명 끝
직각삼각형에서 빗변 r이 곧 원점까지의 거리(모듈러스)
57정리대학극형식의 곱셈z1z2 = r1r2[cos(φ1+φ2) + i sin(φ1+φ2)]
z1=r1(cosφ1+isinφ1), z2=r2(cosφ2+isinφ2)라 하면(54번의 정의),
| z1z2 = r1r2(cosφ1+isinφ1)(cosφ2+isinφ2) | 50번(복소수의 곱셈) |
| = r1r2[(cosφ1cosφ2−sinφ1sinφ2) + i(sinφ1cosφ2+cosφ1sinφ2)] | 전개 후 실수부·허수부 정리 |
| = r1r2[cos(φ1+φ2) + i sin(φ1+φ2)] | 4.9의 f451번(코사인의 덧셈정리)·f452번(사인의 덧셈정리) |
사용 : 54번(극형식의 정의) · 50번(복소수의 곱셈) · 4.9의 f451번·f452번(덧셈정리)
증명 끝
극형식의 곱셈은 각도끼리 더하고 길이(반지름)끼리 곱하는 회전+확대
58-59정리대학극형식의 켤레·역수z = r[cos(−φ)+isin(−φ)], 1z = 1r[cos(−φ)+isin(−φ)]
켤레 : z = r(cosφ+isinφ)라 하면, 53번의 정의(a+bi=a−bi)에 의해 :
| z = r cosφ − i(r sinφ) = r(cosφ − i sinφ) | 53번(허수부 부호 반전) · a=rcosφ, b=rsinφ |
| = r[cos(−φ) + i sin(−φ)] | 4.6 f432번(음각공식 cos(−φ)=cosφ, sin(−φ)=−sinφ) |
역수(z≠0, 곧 r>0일 때) : 51번(나눗셈)에서 분자를 1로 두면 :
| 1z = z|z|² | 51번(분모의 켤레를 곱하는 계산) |
| = r[cos(−φ)+isin(−φ)]r² | 위의 켤레 결과 · 모듈러스 공식(|z|=r) |
| = 1r[cos(−φ)+isin(−φ)] | r 약분 |
사용 : 53번(켤레복소수) · 51번(복소수의 나눗셈) · 모듈러스 공식 · 4장의 4.6 f432번(cos/sin의 우함수·기함수 성질)
증명 끝
켤레는 각도 −φ로 실수축 대칭 반사(길이 r은 그대로) — 역수는 여기에 길이만 1r로 축소
60정리대학극형식의 나눗셈z1z2 = r1r2[cos(φ1−φ2) + i sin(φ1−φ2)]
z2≠0(곧 r2>0)일 때 :
| z1z2 = z1 · 1z2 = r1(cosφ1+isinφ1) · 1r2[cos(−φ2)+isin(−φ2)] | 59번(극형식의 역수) |
| = r1r2[cos(φ1+(−φ2)) + i sin(φ1+(−φ2))] | 57번(극형식의 곱셈)을 φ2 대신 −φ2로 적용 |
| = r1r2[cos(φ1−φ2) + i sin(φ1−φ2)] | 각의 정리 |
사용 : 59번(극형식의 역수) · 57번(극형식의 곱셈)
증명 끝
극형식의 나눗셈은 각도끼리 빼고 길이(반지름)끼리 나누는 회전+축소
61-62정리대학거듭제곱과 드무아브르 공식zn = rn[cos(nφ)+isin(nφ)]; (cosφ+isinφ)n = cos(nφ)+isin(nφ)
수학적 귀납법으로 증명합니다. (r=1인 경우가 드무아브르 공식이고, 일반 r은 마지막에 rn을 곱해 확장합니다.)
① n=1일 때 : (cosφ+isinφ)¹ = cosφ+isinφ = cos(1·φ)+isin(1·φ). 성립.
② n=k일 때 성립 가정 : (cosφ+isinφ)k = cos(kφ)+isin(kφ)
③ n=k+1일 때 :
| (cosφ+isinφ)k+1 = (cosφ+isinφ)k·(cosφ+isinφ) = [cos(kφ)+isin(kφ)]·[cosφ+isinφ] | 귀납 가정 |
| = cos(kφ+φ) + i sin(kφ+φ) | 57번(극형식의 곱셈, r1=r2=1) |
| = cos((k+1)φ) + i sin((k+1)φ) | 각의 정리 |
①~③에 의해 모든 자연수 n에 대해 성립합니다. 일반 z=r(cosφ+isinφ)의 경우는 곱셈의 교환·결합법칙(1.3)으로 zn=rn(cosφ+isinφ)n이므로, 위 결과에 rn을 곱하면 zn=rn[cos(nφ)+isin(nφ)]입니다.
사용 : 57번(극형식의 곱셈) · 수학적 귀납법 · 1.3의 곱셈의 교환·결합법칙
증명 끝 (수학적 귀납법)
한 번 곱할 때마다 φ만큼 더 회전 — n번 곱하면 각도가 nφ로 누적
63정리대학복소수의 n제곱근z1n = nr [cos(φ+2πkn)+isin(φ+2πkn)], k=0,…,n−1
z=r(cosφ+isinφ)≠0(곧 r>0)이라 합니다(z=0이면 |w|n=|wn|=0이라 w=0, 근은 0 하나뿐입니다). 먼저 아래의 w가 z의 n제곱근임을 확인하려면 wn=z를 보이면 됩니다.
w = nr [cos(φ+2πkn) + i sin(φ+2πkn)]| wn = (nr)n[cos(n·φ+2πkn) + i sin(n·φ+2πkn)] | 61-62번(드무아브르 공식) |
| = r[cos(φ+2πk) + i sin(φ+2πk)] | 지수·분수 약분 |
| = r[cosφ + i sinφ] = z | 4.7의 f437번(삼각함수의 주기성, 주기 2π) |
서로 다르다. k, k′가 0, 1, …, n−1 가운데 서로 다른 정수이면 두 각의 차는 2π(k−k′)n이고 0<|k−k′|<n이라 2π의 정수배가 아닙니다. 4.2 f409번(P(θ1)=P(θ2) ⇔ θ1−θ2=2kπ)에 의해 두 각이 가리키는 단위원 위의 점이 다르고, 길이 nr은 같으므로 두 근은 서로 다릅니다.
이것 말고는 없다. wn=z인 w를 아무거나 잡습니다. z≠0이므로 w≠0이고, 54-56번 아래의 설명대로 w=s(cosψ+isinψ)(s>0)로 쓸 수 있습니다. 61-62번에 의해 sn(cos nψ+i sin nψ)=r(cosφ+i sinφ)입니다. 양변의 절댓값을 모듈러스 공식으로 구하면 sn=r이고, 양수의 n제곱이 r인 양수는 하나뿐이므로 s=nr입니다. 양변을 r로 나누면 cos nψ=cosφ, sin nψ=sinφ, 곧 P(nψ)=P(φ)이므로 f409번에 의해 nψ=φ+2πm(m은 정수)입니다. m을 n으로 나누어 m=nq+k(0≤k≤n−1)로 쓰면 ψ=φ+2πkn+2πq이고, f437번(주기 2π)에 의해 w는 위의 k번째 근과 같습니다. 따라서 근은 정확히 n개입니다.
사용 : 61-62번(드무아브르 공식) · 54-56번(극형식)과 모듈러스 공식 · 4.2 f409번(단위원 정의, P(θ1)=P(θ2) ⇔ θ1−θ2=2kπ) · 4.7의 f437번(삼각함수의 주기성)
증명 끝
n제곱근의 n개 값은 반지름 nr인 원 위에서 각도 2πn씩 균등하게 배치(그림은 n=6 예시)
64정리대학오일러 공식eix = cos x + i sin x
엄밀한 증명은 지수함수 ex과 삼각함수 sin x, cos x의 매클로린 급수(거듭제곱 급수) 전개를 비교하는 방식으로 합니다. 그 전개가 11장에서 확립되었으므로 증명이 완성되었습니다 — 11.10의 1047번을 보십시오. 다만 좌변 eix는 실수 지수함수의 정의로는 뜻을 갖지 않으므로, 그 절에서는 먼저 복소수 급수의 수렴과 복소 지수함수 ez:=∞Σk=0zkk!를 정의한 뒤 실수부·허수부를 계산하는 순서를 밟습니다.
사용 : 11.10의 1047번(오일러 공식의 증명) · 1045번(지수함수의 매클로린 전개) · 1046번(사인·코사인의 매클로린 전개)
단위원(반지름 1) 위에서 각 x에 대응하는 점이 곧 eix