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3.12   심화·배경

내접원을 가진 사다리꼴

Trapezoid with Inscribed Circle

정의 · 공식과 증명

내접원을 가진 일반 사다리꼴의 성질 4개(230~233번)를 정리합니다(다리 길이가 서로 달라도 됨).

내접원을 가진 사다리꼴: a+b=c+d (피토의 정리)

230정리내접원을 갖기 위한 조건a + b = c + d

증명법 : 직접증명법

3.15의 242번(외접사각형의 조건, 두 쌍의 대변의 합이 같음)을 사다리꼴(평행한 두 밑변 a,b와 다리 c,d)에 그대로 적용한 것입니다. 사각형 ABCD에서 마주보는 변의 쌍은 (AB, CD)=(a, b)와 (BC, DA)=(d, c)이므로, 242번의 조건은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

a + b = c + d

이 조건은 필요조건입니다(내접원이 있으면 a+b=c+d). 역(a+b=c+d이면 내접원이 있음)도 참이지만, 이 절의 다른 정리는 모두 "내접원을 가진" 사다리꼴을 전제로 하므로 역은 쓰지 않으며 여기서 다루지 않습니다.

사용 : 3.15의 242번

증명 끝

231정리중위선q = a+b2 = c+d2

증명법 : 직접증명법

3.9의 216번(중위선 공식)과 230번(a+b=c+d)을 결합하면 다음을 얻습니다.

q = a+b2 = c+d2

사용 : 3.9의 216번 · 230번

증명 끝

232정리둘레L = 2(a+b) = 2(c+d)

증명법 : 직접증명법

둘레는 네 변의 합이며, 230번(a+b=c+d)을 이용해 두 가지 형태로 정리됩니다.

L = a+b+c+d	둘레의 정의
= (a+b)+(a+b)	230번(a+b=c+d)으로 c+d를 a+b로 치환

L = 2(a+b) = 2(c+d)

사용 : 230번

증명 끝

233정리넓이S = qh = 12d₁d₂ sin φ

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

이 절의 넓이 공식은 두 가지 경로로 각각 유도됩니다.

S = qh : 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이 공식)을 그대로 인용한 것입니다.

S = 12d₁d₂ sin φ : 사다리꼴은 볼록이므로(3.16 서두), 볼록 사각형의 넓이를 대각선과 그 사이각으로 구하는 3.16의 248번 (일반 사각형의 대각선 넓이 공식)이 사다리꼴에도 그대로 적용됩니다.

S = qh = 12d₁d₂ sin φ

사용 : 3.9의 217번 · 3.16의 248번

증명 끝