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3.14   심화·배경

원에 내접하는 사각형

Cyclic Quadrilateral

정의 · 공식과 증명

원에 내접하는 사각형의 성질 5개(237~241번)를 정리합니다. 이 절의 핵심은 238번 프톨레마이오스의 정리입니다. 240·241번의 p는 반둘레(半-, half-perimeter) p = a+b+c+d2를 나타냅니다(3.4의 187·188번에서 삼각형에 쓰인 p와 같은 개념이지만, 변이 4개이므로 값 자체는 다릅니다).

원에 내접하는 사각형 ABCD: 변 a=AB,b=BC,c=CD,d=DA · 대각선 d₁=AC,d₂=BD

237정리마주보는 내각의 합α + γ = β + δ = 180°

증명법 : 직접증명법

원주각 정리에 의해, 호 BCD에 대한 원주각 α(∠A)는 그 호가 만드는 중심각의 절반이고, 마찬가지로 호 DAB에 대한 원주각 γ(∠C)도 나머지 중심각의 절반입니다. 두 호(BCD와 DAB)를 합치면 원 전체 (중심각 360°)이므로, 두 원주각의 합은

α + γ = 360°2 = 180°

사용 : 원주각 정리(3.19 원, 추후 연결 예정)

증명 끝

238정리프톨레마이오스의 정리 (Ptolemy's Theorem)ac + bd = d₁d₂

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (보조점 구성 + 닮음)

대각선 AC 위에 ∠ABE=∠DBC가 되도록 점 E를 잡음

대각선 AC 위에 점 E를 ∠ABE=∠DBC가 되도록 잡습니다.

① △ABE ∽ △DBC: ∠ABE=∠DBC(구성에 의해)이고, ∠BAE=∠BAC=∠BDC(호 BC에 대한 원주각, 같은 호이므로 같음)이므로 AA 닮음. 따라서 ABDB = AEDC, 즉 AE·DB = AB·DC = ac

② △ABD ∽ △EBC: ∠ABE=∠DBC의 양변에 ∠EBD를 더하면 ∠ABD=∠EBC. 또한 ∠ADB=∠ACB(호 AB에 대한 원주각)이므로 AA 닮음. 따라서 ADEC = BDBC, 즉 EC·BD = AD·BC = bd

③ 두 식을 더하면 :

AE·DB + EC·BD = ac+bd	①, ②의 결론을 변끼리 더함
DB(AE+EC) = ac+bd	좌변에서 DB로 묶음
DB·AC = ac+bd	AE+EC=AC (E가 선분 AC 위의 점)

d₁d₂ = ac+bd

사용 : 원주각 정리(같은 호에 대한 원주각은 같음) · AA 닮음 조건

증명 끝

239정리둘레L = a+b+c+d

증명법 : 직접증명법

네 변의 길이의 합. 일반적인 사각형의 둘레 정의 그대로입니다.

사용 : 둘레의 정의

증명 끝

240정리외접원의 반지름R = 14(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

대각선 d₁=AC로 사각형을 두 삼각형(ABC, ACD)으로 나누고, 3.4의 187번 (외접원 반지름 = 세 변의 곱을 넓이의 4배로 나눈 값)을 각 삼각형에 적용한 뒤, 238번(프톨레마이오스)과 브라마굽타의 넓이 공식(241번, 아래)을 결합해서 정리하면 이 식을 얻습니다 (대수적으로 긴 정리 과정이라 핵심 결과만 제시합니다).

사용 : 3.4의 187번 · 238번(프톨레마이오스) · 241번(브라마굽타 공식)

증명 끝

241정리넓이 (브라마굽타의 공식)S = 12d₁d₂ sin φ = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

S = 12d₁d₂ sin φ : 3.16의 248번(일반 사각형의 대각선 넓이 공식)이 원에 내접하는 사각형에도 그대로 적용됩니다.

브라마굽타의 공식 : 대각선 AC로 나뉜 두 삼각형(ABC, ACD)의 넓이를 각각 코사인법칙과 결합하면, 237번(마주보는 각의 합 180°)에 의해 cos(마주보는 두 각)이 서로 부호만 반대이므로 삼각형별 코사인법칙 식을 더할 때 상쇄되어, 헤론의 공식을 네 변으로 확장한 형태(브라마굽타 공식)가 유도됩니다(3.4의 헤론 공식 유도와 같은 기법을 사각형 대각선에 두 번 적용).

사용 : 3.16의 248번 · 237번(마주보는 각의 합) · 3.4의 헤론 공식 유도 기법

증명 끝