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3.17   심화·배경

정육각형

Regular Hexagon

정의 · 공식과 증명

정육각형의 성질 5개(249~253번)를 정리합니다. 정육각형은 3.18(정다각형)의 n=6인 특수한 경우이지만, 원서의 순서를 따라 이 절에서 먼저 다루고 3.18에서 일반화합니다.

정육각형 : 한 변 a · 외접원 반지름 R · 내접원 반지름(sagitta/apothem) m

249정리내각α = 120°

증명법 : 직접증명법

3.18의 254번(정n각형의 내각)에 n=6을 대입하면

α = (n-2)·180°n	3.18의 254번
= (6-2)·180°6	n=6 대입
= 4·180°6	계산

α = 120°

사용 : 3.18의 254번

증명 끝

250정리내접원의 반지름r = m = a32

증명법 : 직접증명법

정육각형은 중심과 이웃한 두 꼭짓점을 이으면 한 변이 a인 정삼각형 6개로 정확히 나뉩니다. 중심각은

360°6 = 60°

이고, 이등변삼각형에서 밑각도 60°가 되어 정삼각형이 됨은 251번의 R=a로 확인됩니다.

내접원의 반지름(어펌, m)은 이 정삼각형의 높이와 같으므로, 3.3의 176번 (정삼각형의 높이 h=a32)에 의해

m = a32

사용 : 3.3의 176번 · 251번(정육각형이 6개의 정삼각형으로 나뉘는 성질)

증명 끝

251정리외접원의 반지름R = a

증명법 : 직접증명법

정다각형은 외접원을 가지므로(3.18 서두) 그 중심을 O라 하고, O와 이웃한 두 꼭짓점을 이은 삼각형 여섯 개를 생각합니다 (3.18의 256번과 같은 구성). 여섯 삼각형은 모두 세 변이 R, R, a이므로 SSS 합동(3.4의 단원 서두의 약속 ④)이고, O에서의 여섯 각(중심각)은 서로 같으며 합이 한 바퀴 360°입니다. 따라서 중심각은

360°6 = 60°

이므로, 이 삼각형은 두 변이 R로 같고 사잇각이 60°인 이등변삼각형입니다. 밑각의 합은 180°-60°=120°(3.4의 181번)이고 두 밑각은 같으므로(3.2의 보조정리) 각 밑각은 60°가 되어, 세 각이 모두 60°입니다.

밑각이 같으면 그 대변이 같으므로(같은 보조정리의 역) 세 변이 모두 같아, 중심에서 꼭짓점까지의 거리와 변의 길이가 일치합니다.

R = a

사용 : 3.18 서두(외접원)·256번의 구성 · SSS 합동(3.4의 단원 서두의 약속 ④) · 3.4의 181번 · 3.2의 보조정리(밑각이 같음과 그 역)

증명 끝

252정리둘레L = 6a

증명법 : 직접증명법

여섯 변이 모두 a이므로 L=6a.

사용 : 둘레의 정의

증명 끝

253정리넓이S = pr = 3a²32

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

정육각형은 넓이가 a²34(3.3의 180번)인 정삼각형 6개로 이루어지므로,

S = 6 · a²34	3.3의 180번 (정삼각형 6개)
= 3a²32	약분

한편 반둘레 p=L2=3a이고, 내접원 반지름 r=a32(250번)이므로,

pr = 3a · a32	p, r 대입
= 3a²32	계산

두 방법이 같은 값 S = pr = 3a²32를 주며, 이는 3.18의 259번과 같은 형태의 공식입니다.

사용 : 3.3의 180번 · 250번(내접원 반지름)

증명 끝