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3.19   심화·배경

원

Circle

정의 · 공식과 증명

원의 정의와 기본 성질 12개(260~271번)를 정리합니다. 원주율 π는 "둘레와 지름의 비"로 약속되는 상수이며, 부채꼴·활꼴(3.20, 3.21)과 원주각·접선 관련 정리들이 이 절의 성질 위에서 전개됩니다.

원 : 중심 O로부터 거리가 일정(반지름 r)한 모든 점 A의 자취

260정의원원 = {P | OP = r} (O : 중심, r : 반지름)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 평면 위의 한 점 O(중심)로부터 일정한 거리 r(반지름)만큼 떨어진 모든 점들의 자취(집합)를 원이라 약속합니다. 원 위의 임의의 점을 A라 하면 OA=r입니다.

261정의반지름과 지름d = 2r (d : 지름, r : 반지름)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 중심을 지나 원 위의 두 점을 잇는 선분을 지름이라 하고, 지름은 반지름 두 개를 이어 붙인 것과 같으므로 d=2r로 약속합니다.

지름 AB = 반지름 OA + 반지름 OB = 2r

262정리원의 둘레C = 2πr = πd

증명법 : 직접증명법(극한을 이용)

반지름 r인 원에 내접하는 정n각형(3.18, n≥3)을 생각합니다. 그 외접원이 곧 이 원이므로 3.18의 256번에서 R=r로 두면 한 변의 길이는 a_n = 2r sin(180°/n)이고, 258번(둘레 L = na)에 의해 내접 정n각형의 둘레 P_n은 다음과 같습니다.

P_n = n·2r sin(180°/n) = r·p_n,    p_n = 2n sin(180°/n)

180°/n은 예각이므로 p_n은 3.1의 삼각비로 n만 가지고 정해지는 수이고, 반지름 r과는 무관합니다.

받아들이는 사실(곡선의 길이의 뜻) : n이 한없이 커지면 내접 정n각형의 둘레 P_n은 원의 둘레 C에 한없이 가까워집니다.

그러면 p_n = P_n/r은 C/r에 한없이 가까워집니다. 그런데 p_n은 r과 무관하므로 그 다가가는 값 C/r도 r과 무관합니다. 따라서 지름에 대한 둘레의 비 Cd = C2r는 모든 원에서 같은 상수이며, 이 상수를 원주율 π라 약속합니다. 곧

C = 2πr = πd

이 증명에서 π는 n sin(180°/n)이 다가가는 값입니다(n=6이면 3, n=96이면 3.1410…).

참고(대학 과정) : 위에서 받아들인 사실, 곧 “곡선(원둘레)의 길이”를 내접 다각형 둘레의 극한으로 엄밀하게 정의하는 일과 그 극한이 실제로 존재한다는 사실(단조·유계 수열의 수렴)의 증명은 대학 미적분학(해석학)의 내용입니다. 이 증명은 극한 sin θθ → 1을 쓰지 않습니다. 거꾸로 8.2의 635번이 이 절과 3.20의 결과(부채꼴의 넓이)를 써서 그 극한을 증명하므로, 둘 사이에 순환이 없습니다(라디안으로 쓰면 n sin(180°/n) → π는 sin(π/n)π/n → 1과 같은 말입니다). 수능 준비생은 이 범위까지 공부할 필요가 없고, 공식 C = 2πr = πd만 알면 충분합니다.

사용 : 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.18의 258번(둘레) · 받아들이는 사실(곡선의 길이의 뜻)

증명 끝

263정리원의 넓이S = πr²

증명법 : 직접증명법(극한을 이용)

262번과 같은 내접 정n각형을 중심과 각 변을 이어 n개의 합동인 이등변삼각형으로 나누면, 삼각형 하나는 밑변 a_n, 높이 r_n(아포템)입니다. 3.18의 257번·259번(S = pr 꼴)에 의해

S_n = 12P_n·r_n,    r_n = r² − a_n²4

n이 커지면 P_n은 C에 다가가므로(262번) 어느 수(예를 들어 C+1)보다 커지지 않고, 그래서 a_n = P_n/n은 0에 다가갑니다. 따라서 r_n은 r에, P_n은 2πr에 다가가고, 그 곱의 절반 S_n은 12·2πr·r = πr²에 다가갑니다 (곱·제곱근이 각각의 극한으로 다가간다는 극한의 기본 성질 — 3권에서 정리).

받아들이는 사실(넓이의 뜻) : n이 한없이 커지면 내접 정n각형의 넓이 S_n은 원의 넓이 S에 한없이 가까워집니다. 따라서

S = πr²

극한의 존재를 포함한 엄밀한 근거는 262번의 참고(대학 과정) 상자와 같은 사정이며, 여기서도 극한 sin θθ → 1은 쓰지 않습니다. 아래 그림은 같은 결과를 눈으로 보이는 설명입니다.

원을 잘게 등분한 부채꼴을 이어 붙이면 가로 πr, 세로 r인 직사각형에 가까워져 S=πr²

사용 : 3.18의 257번(아포템) · 3.18의 259번(정n각형의 넓이) · 262번(원의 둘레) · 받아들이는 사실(넓이의 뜻)

증명 끝

264정리현과 반지름의 수직 관계중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다

증명법 : 직접증명법

현 AB의 중점을 M이라 하고 OM을 그으면, △OMA와 △OMB는 OA=OB=r(반지름), OM은 공통, 그리고 AM=BM(M이 중점)이므로 SSS 합동입니다. 따라서 ∠OMA=∠OMB이고, 두 각의 합이 180°(일직선)이므로 각각 90°, 즉 OM⊥AB. 한 점에서 직선에 내린 수선은 유일하므로, O에서 현 AB에 내린 수선의 발은 곧 중점 M이고, 따라서 그 수선은 현을 이등분합니다. (현이 지름이면 O가 현 위에 있고 O가 곧 중점이므로 따로 볼 것이 없습니다.)

O에서 현 AB에 내린 수선의 발 M은 AB의 중점 (AM=MB)

사용 : 삼각형의 SSS 합동조건(3.4의 단원 서두의 약속 ④) · 한 점에서 직선에 내린 수선의 유일성

증명 끝

265정리접선과 반지름의 수직 관계원의 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이다

증명법 : 귀류법

원과 오직 한 점에서만 만나는 직선을 그 원의 접선, 만나는 점을 접점이라 합니다. 접선 ℓ이 접점 A에서 반지름 OA와 수직이 아니라고 가정합니다. 그러면 O에서 ℓ에 내린 수선의 발 H는 A와 다른 점입니다. ℓ 위에서 H를 사이에 두고 A의 반대쪽에 HA′=HA인 점 A′을 잡으면 A′≠A이고, 두 직각삼각형 OHA, OHA′에 3.1의 163번(피타고라스 정리)을 쓰면

OA′² = OH² + HA′² = OH² + HA² = OA² = r²

이므로 A′도 원 위의 점입니다. 그러면 ℓ은 원과 서로 다른 두 점 A, A′에서 만나므로 접선이라는 가정에 모순입니다. 따라서 OA⊥ℓ.

접선 ℓ은 접점 A에서 반지름 OA와 항상 수직

사용 : 접선의 정의(원과 한 점에서만 만남) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 귀류법

증명 끝

266정리두 접선의 길이원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다 : PA = PB

증명법 : 직접증명법

외부 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 A, B라 합니다. 265번에 의해 ∠OAP=∠OBP=90°이고, OA=OB=r(반지름), OP는 공통이므로 △OAP≡△OBP(RHS 합동 : 빗변과 한 변이 각각 같은 직각삼각형). 따라서 대응변 PA=PB.

△OAP ≡ △OBP (RHS 합동) ⟹ PA = PB

사용 : 265번(접선과 반지름의 수직) · 직각삼각형의 RHS 합동조건(3.4의 단원 서두의 약속 ④)

증명 끝

267정리원주각의 정리원주각 = 12×중심각 (같은 호에 대한 원주각은 모두 같다)

증명법 : 직접증명법(경우 분리)

호 AB에 대한 중심각을 ∠AOB, 원주각을 ∠ACB(C는 호 AB를 포함하지 않는 쪽의 원 위의 점)라 하고, C의 위치에 따라 세 경우로 나눕니다. 중심각 ∠AOB는 호 AB 쪽으로 잰 각이므로, 호 AB가 반원이면 180°, 반원보다 크면 180°보다 큽니다. 그런 경우 C는 작은 쪽 호 위에 있고 O는 ∠ACB의 내부에 놓이므로 아래 ②에 해당하며, ②의 덧셈은 그대로 성립합니다.

① 각의 한 변(현 CB)이 중심 O를 지날 때 : △OCA는 이등변삼각형(OA=OC=r)이므로 ∠OCA=∠OAC이고, 삼각형의 외각 정리(한 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합 — 3.4의 181번에서 바로 나옴 : ∠AOB = 180° − ∠AOC = ∠OCA + ∠OAC)에 의해

∠AOB = ∠OCA + ∠OAC = 2∠OCA = 2∠ACB

① 각의 한 변(현 CB)이 중심 O를 지날 때 : △OCA(이등변)의 외각으로 ∠AOB = 2∠ACB

② O가 ∠ACB의 내부에 있을 때 : 직선 CO가 원과 다시 만나는 점을 D라 하면(보조선), 현 CD가 중심을 지나므로 ①의 결과를 CD의 양쪽에 한 번씩 적용할 수 있습니다.

∠AOD = 2∠ACD	①을 ∠ACD 쪽에 적용
∠BOD = 2∠BCD	①을 ∠BCD 쪽에 적용
∠AOB = ∠AOD + ∠BOD = 2(∠ACD + ∠BCD) = 2∠ACB	두 식을 더함

② O가 ∠ACB의 내부에 있을 때 : 보조선 CD(지름)를 그어 ①의 결과를 양쪽에 한 번씩 적용

③ O가 ∠ACB의 외부에 있을 때 : 같은 보조선 CD에 대해 두 식을 빼면 ∠AOB = ∠AOD − ∠BOD = 2(∠ACD − ∠BCD) = 2∠ACB.

어느 경우든 ∠ACB = 12∠AOB이고, 이 값은 C의 위치와 무관하게 중심각만으로 정해지므로 같은 호에 대한 원주각은 모두 서로 같습니다.

∠ACB(원주각) = 12∠AOB(중심각)

사용 : 이등변삼각형의 성질(3.2의 보조정리) · 삼각형의 외각 정리(3.4의 181번)

증명 끝

268정리반원에 대한 원주각지름에 대한 원주각은 90°이다

증명법 : 직접증명법

AB가 지름이면 호 AB(한쪽 반원)에 대한 중심각은 180°(직선각)입니다. 267번(원주각=12중심각)에 의해 반대쪽 호 위의 점 C에서의 원주각 ∠ACB = 12×180° = 90°. (이것은 탈레스의 정리입니다. 그 역 “직각삼각형의 직각의 꼭짓점은 빗변을 지름으로 하는 원 위에 있다”는 3.1의 167번 따름정리에서 원을 쓰지 않고 따로 증명합니다.)

AB가 지름이면 원 위의 어떤 점 C에서도 ∠ACB=90°

사용 : 267번(원주각의 정리) · 직선각(180°)

증명 끝

269정리접선과 현이 이루는 각접선과 현이 이루는 각 = 그 현에 대한 반대쪽 원주각

증명법 : 직접증명법

접점 A에서의 접선을 ℓ이라 하고, ℓ 위에 한 점 T를 현 AB에 대하여 C의 반대쪽에 잡으면(보조점), 접선과 현이 이루는 각(예각 쪽)은 ∠BAT로 나타낼 수 있습니다. 265번에 의해 OA⊥ℓ(즉 ∠OAT=90°)이고, △OAB는 이등변삼각형(OA=OB=r)입니다.

∠BAT = 90° − ∠OAB	∠OAT = 90° (265번)
∠OAB = 180°−∠AOB2 = 90° − ∠AOB2	이등변삼각형의 두 밑각은 같음
∠BAT = 90° − (90° − ∠AOB2) = ∠AOB2	위 두 식을 결합

267번(원주각의 정리)에 의해 ∠AOB2 는 호 AB(T의 반대쪽에 있는 호) 위의 점 C에서 본 원주각과 같으므로 ∠BAT = ∠ACB. 현의 반대쪽에 생기는 둔각(180° − ∠BAT) 역시 남은 호에 대한 원주각과 같습니다(두 호의 중심각의 합이 360°이므로 두 원주각의 합은 180°).

접선 ℓ과 현 AB가 이루는 각 ∠BAT = 반대쪽 호에 대한 원주각 ∠ACB

사용 : 265번(접선과 반지름의 수직) · 267번(원주각의 정리) · 이등변삼각형의 성질

증명 끝

270정리두 현의 교차(방멱의 원리)PA·PC = PB·PD (P는 현 AC, BD의 교점)

증명법 : 직접증명법(닮음)

원 내부의 점 P에서 두 현 AC, BD가 만난다고 합시다. △PAB와 △PDC에서 ∠APB=∠DPC(맞꼭지각)이고, ∠PAB=∠PDC(호 BC에 대한 원주각, 267번). 따라서 △PAB ∽ △PDC(AA 닮음)이고, 대응변의 비가 같으므로

PAPD = PBPC  ⟹  PA·PC = PB·PD

두 현 AC, BD가 P에서 교차 : PA·PC = PB·PD

사용 : 267번(원주각의 정리) · 맞꼭지각 · AA 닮음조건

증명 끝

271정리할선과 접선의 관계(방멱의 원리)PT² = PA·PB (PT : 접선, PAB : 할선)

증명법 : 직접증명법(닮음)

외부 점 P에서 그은 접선의 접점을 T, 할선이 원과 만나는 두 점을 A(가까운 쪽), B(먼 쪽)라 합니다. △PTA와 △PBT에서 ∠P는 공통이고, ∠PTA=∠PBT(269번, 접선과 현이 이루는 각 = 반대쪽 원주각, 호 TA에 대해). 따라서 △PTA ∽ △PBT(AA 닮음)이고, 대응변의 비가 같으므로

PTPB = PAPT  ⟹  PT² = PA·PB

PT(접선)² = PA·PB(할선이 원과 만나는 두 점까지 거리의 곱)

사용 : 269번(접선과 현이 이루는 각) · AA 닮음조건

증명 끝