3.22 범위 밖(백과사전)
정육면체
Cube
정의 · 공식과 증명
이 절부터 입체도형(다면체)을 다룹니다. 다면체의 기본 요소(면·모서리·꼭짓점)와 부피의 공리를 먼저 약속한 뒤, 가장 단순한 다면체인 정육면체의 공식 9개(283~291번)와 보조정리 1개(네 공간대각선의 공통 중점)를 정리합니다. 꼭짓점 표기는 밑면 ABCD, 윗면 EFGH(A 위에 E, B 위에 F, C 위에 G, D 위에 H)를 사용합니다. 또한 이 절부터는 공간에서의 직선·평면에 관한 다음의 기본 성질을 중·고교 과정 수준에서 받아들이고 사용합니다 : ① 평행의 추이성(ℓ∥m이고 m∥n이면 ℓ∥n), ② 직선과 평면의 수직 판정(직선이 평면 위에서 만나는 두 직선과 각각 수직이면 그 평면 위의 모든 직선과 수직, 즉 평면과 수직), ③ 평면에 수직인 직선과 평행한 직선도 그 평면에 수직, ④ 평면의 결정과 거리(한 직선 위에 있지 않은 세 점, 또는 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점은 평면을 꼭 하나 정하고, 그 평면 안에서는 3.1~3.21의 평면 도형의 성질을 그대로 씁니다. 두 점 사이의 거리는 두 점을 잇는 선분의 길이입니다), ⑤ 수선의 발(평면 π와 점 P에 대해 P를 지나고 π에 수직인 직선은 꼭 하나 있습니다. 그 직선과 π의 교점 M을 P에서 π에 내린 수선의 발이라 하고, 길이 PM을 점 P와 평면 π 사이의 거리라 합니다. P가 π 위에 있으면 M=P, 거리는 0입니다).
정육면체 ABCD-EFGH — 모든 모서리의 길이가 a로 같다 (점선은 보이지 않는 모서리)
283정의다면체와 그 구성 요소다면체 = 다각형인 면들로만 둘러싸인 입체
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 몇 개의 다각형으로만 둘러싸인 입체도형을 다면체(polyhedron)라 합니다. 다면체를 이루는 각 다각형을 면(face), 이웃한 두 면이 만나는 선분을 모서리(edge), 세 개 이상의 모서리가 만나는 점을 꼭짓점(vertex)이라 합니다. 모서리가 아니면서 두 꼭짓점을 잇는 선분을 다면체의 대각선이라 하고, 그중 두 꼭짓점이 같은 면 위에 있는 것(그 면인 다각형의 대각선)은 면대각선, 어느 면 위에도 함께 있지 않은 것은 공간대각선이라 구분합니다. 또 다면체의 모든 면의 넓이의 합을 다면체의 겉넓이(surface area)라 합니다.
다면체의 구성 요소 — 면(다각형), 모서리(두 면의 교선), 꼭짓점(모서리들이 만나는 점)
284정의정육면체정육면체 = 합동인 정사각형 6개로 둘러싸인 다면체
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 합동인 정사각형 6개로 둘러싸인 다면체를 정육면체(cube)라 합니다. 여섯 면이 붙는 방식(밑면 ABCD, 윗면 EFGH, 옆면 ABFE·BCGF·CDHG·DAHE)은 위 그림과 같다는 것을 정의에 포함합니다. 따라서 면 6개, 모서리 12개, 꼭짓점 8개를 가지며, 모든 모서리의 길이가 같습니다(이 길이를 a로 나타냅니다). 각 꼭짓점에는 세 면이 모이고, 한 꼭짓점에서 만나는 세 모서리는 서로 수직입니다 — 각 쌍이 어느 한 정사각형 면의 이웃한 변이기 때문입니다(예 : 꼭짓점 C에서 만나는 CB·CG는 면 BCGF의, CD·CG는 면 CDHG의, CB·CD는 밑면 ABCD의 이웃한 변). 또한 각 모서리는 자신과 한 점에서 만나는 두 면 이외의 면과 수직입니다(예 : 모서리 CG와 밑면 ABCD). 실제로 CG는 밑면 위에서 C에서 만나는 두 직선 CB, CD와 각각 수직이므로, 직선과 평면의 수직 판정(단원 서두의 약속 ②)에 의해 CG는 밑면 위의 모든 직선과 수직입니다 — 287번에서 CG⊥AC로 쓰이는 것이 바로 이 성질입니다.
285공리부피직육면체의 부피 V = abc (a, b, c : 세 모서리의 길이)
부피(volume)는 입체가 공간에서 차지하는 크기입니다. 넓이와 마찬가지로 다음 성질을 공리로 약속합니다. ① 합동인 두 입체의 부피는 같습니다. ② 입체를 유한 개의 부분으로 나누면 전체의 부피는 각 부분의 부피의 합과 같습니다. ③ 세 모서리의 길이가 a, b, c인 직육면체의 부피는 V = abc입니다. (③은 한 모서리의 길이가 1인 단위 정육면체를 빈틈없이 채워 세는 발상을 일반화한 약속으로, 부피의 단위가 되는 기준입니다.)
사용 : 이후 모든 입체(3.23~3.40)의 부피 공식이 이 공리 위에서 유도됩니다
286정리면의 대각선d₁ = a2
287정리공간대각선d = a3
증명법 : 직접증명법
공간대각선 AG의 길이를 구합니다. 모서리 CG는 밑면 ABCD와 수직이므로(정의 284번), 밑면 위의 선분 AC와도 수직입니다. 따라서 삼각형 ACG는 ∠ACG = 90°인 직각삼각형이고,
| AG² = AC² + CG² | 3.1의 163번(피타고라스 정리) |
| = (a2)² + a² | 286번(AC = a2) · CG = a |
| = 2a² + a² = 3a² | 계산 |
이고, 길이는 양수이므로
d = AG = a3
직각삼각형 ACG — AC = d₁ = a√2, CG = a, ∠ACG = 90° (CG⊥밑면), 빗변 AG = d
사용 : 284번(모서리와 면의 수직) · 286번(면의 대각선) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
288정리겉넓이S = 6a²
289정리부피V = a³
·보조정리네 공간대각선의 공통 중점 — 정육면체의 중심 (290·291번의 근거)O = 각 공간대각선의 중점, 여덟 꼭짓점까지의 거리 = d2
증명법 : 직접증명법
공간대각선 AG의 중점을 O라 합니다. O가 여덟 꼭짓점에서 모두 같은 거리 d2(d = AG)만큼 떨어져 있고, 네 공간대각선 AG, BH, CE, DF 모두의 중점임을 보입니다. 290·291번에서는 이 점 O를 정육면체의 중심이라 부릅니다. 먼저 287번의 증명은 꼭짓점의 이름만 바꾸면 어느 공간대각선에도 그대로 적용되므로, 네 대각선의 길이는 모두 d = a3로 같습니다.
① A, G가 아닌 여섯 꼭짓점 V마다 ∠AVG = 90°입니다. V에서 만나는 모서리 중 하나는 V를 지나는 다른 면과 한 점 V에서만 만나므로 그 면과 수직이고(284번), 따라서 그 면 위의 선분과도 수직입니다 : B에서는 AB⊥면 BCGF이므로 AB⊥BG, C에서는 CG⊥밑면 ABCD이므로 CG⊥CA, D에서는 AD⊥면 DCGH이므로 AD⊥DG, E에서는 AE⊥윗면 EFGH이므로 AE⊥EG, F에서는 GF⊥면 ABFE이므로 GF⊥FA, H에서는 GH⊥면 ADHE이므로 GH⊥HA.
② 그러면 여섯 삼각형 AVG는 모두 빗변이 AG인 직각삼각형이고(단원 서두의 약속 ④에 의해 각각 한 평면 위의 도형), O는 그 빗변의 중점입니다. 3.1의 167번(빗변으로의 중선은 빗변의 절반)에 의해 OV = d2입니다. OA = OG = d2는 O가 AG의 중점이라는 정의 그대로이므로, 여덟 꼭짓점이 모두 O에서 d2만큼 떨어져 있습니다.
③ 이제 대각선 BH를 봅니다. OB + OH = d2 + d2 = d = BH입니다. 만약 O가 선분 BH 위에 있지 않다면 꺾은선 B→O→H가 선분 BH보다 길어야 하므로(3.4의 단원 서두의 약속 ⑥, 최단 경로) 모순입니다. 따라서 O는 선분 BH 위에 있고, OB = OH이므로 BH의 중점입니다. CE, DF도 똑같이 O를 중점으로 가집니다. 따라서 네 공간대각선은 모두 O를 지나고, O는 네 대각선 각각의 중점입니다.
이 증명은 모서리의 길이가 모두 같다는 사실을 쓰지 않고, 한 꼭짓점에서 만나는 모서리와 면이 수직이라는 것과 네 대각선의 길이가 같다는 것만 씁니다(직육면체의 297번에서 그대로 사용).
O는 AG(빨강)의 중점 — ∠ABG = ∠AHG = 90°이므로 OB = OH = OA = OG, 따라서 O는 BH(파랑)의 중점이기도 하다
사용 : 284번(모서리와 면의 수직) · 287번(공간대각선의 길이) · 3.1의 167번(빗변으로의 중선) · 최단 경로(3.4의 단원 서두의 약속 ⑥) · 단원 서두의 약속 ④(평면의 결정)
증명 끝
290정리내접구의 반지름r = a2
증명법 : 직접증명법
위 보조정리의 점 O(AG의 중점, 네 공간대각선의 공통 중점)를 정육면체의 중심이라 합니다. O에서 여섯 면의 평면까지의 거리(단원 서두의 약속 ⑤)가 모두 a2이고 수선의 발이 각 면의 중심임을 보이면, 3.34의 374번 (ii)에 의해 O를 중심으로 하고 반지름이 a2인 구는 각 면의 평면과 그 면의 중심 한 점에서만 만나므로(접하므로), 내접구의 정의 (3.34의 373번)를 만족합니다.
먼저 밑면 ABCD까지의 거리를 구합니다. 삼각형 ACG에서 O는 변 AG의 중점이므로, 변 AC의 중점을 N이라 하면 선분 ON은 삼각형 ACG의 중위선이고,
| ON ∥ CG, ON = CG2 = a2 | 3.4의 184번(중위선) |
| CG ⊥ 밑면 ABCD | 284번(모서리와 면의 수직) |
| ON ⊥ 밑면 ABCD | 평면에 수직인 직선과 평행한 직선도 그 평면에 수직(단원 서두의 약속 ③) |
이 됩니다. N은 밑면 위의 점(대각선 AC의 중점, 곧 밑면의 중심)이므로, O에서 밑면에 내린 수선의 발은 N이고(약속 ⑤) O에서 밑면까지의 거리는 ON = a2입니다.
나머지 다섯 면도 구조가 완전히 같습니다 — AG를 한 변으로 하고, 그 면에 수직이면서 A 또는 G에서 뻗는 모서리를 다른 한 변으로 하는 삼각형의 중위선을 쓰면 됩니다 : 윗면 EFGH는 △AEG(모서리 AE), 면 BCGF는 △ABG(모서리 AB), 면 DCGH는 △ADG(모서리 AD), 면 ABFE는 △AFG(모서리 GF), 면 ADHE는 △AHG(모서리 GH). 각 경우 수선의 발은 그 면의 중심이고 거리는 모두 a2입니다. 따라서 내접구의 반지름은
r = a2
두 쌍의 마주 보는 면의 중심을 지나는 단면 — 한 변이 a인 정사각형과 내접구의 대원, r = a2 (반지름⊥접하는 면)
사용 : 위 보조정리(네 공간대각선의 공통 중점 O) · 284번(모서리와 면의 수직) · 3.4의 184번(중위선) · 단원 서두의 약속 ③·⑤ · 3.34의 373번(내접구의 정의) · 3.34의 374번 (ii)(접평면)
증명 끝
291정리외접구의 반지름R = 32a
증명법 : 직접증명법
위 보조정리에 의해 정육면체의 중심 O(공간대각선 AG의 중점)에서 여덟 꼭짓점까지의 거리는 모두 d2(d = AG, 287번)로 같습니다. 따라서 O를 중심으로 하고 반지름이 d2인 구는 여덟 꼭짓점을 모두 지나므로 외접구의 정의(3.34의 373번)를 만족하고, 그 반지름은
R = d2 = 32a
입니다.
A, C, G, E를 지나는 대각선 단면(a√2 × a 직사각형)과 외접구의 대원 — 지름 AG = d, R = d2
사용 : 위 보조정리(중심 O에서 여덟 꼭짓점까지의 거리) · 287번(공간대각선) · 3.34의 373번(외접구의 정의)
증명 끝