평행사변형

Parallelogram

정의 · 공식과 증명

평행사변형의 성질 5개(205~209번)를 정리합니다.

평행사변형: 변 a,b · 대각선 d₁,d₂ · 이웃각 α,β · 높이 h

205정리이웃각의 합α + β = 180°

평행사변형 ABCD는 두 쌍의 대변(AB∥DC, AD∥BC)이 평행합니다. 이웃한 두 각(꼭짓점 A의 α, 꼭짓점 D의 β)은 변 AD 하나를 가로지르는 두 평행선 AB, DC 사이의 동측내각(같은쪽 내각)이므로, 평행선의 성질에 의해

α + β = 180°

사용 : 평행선의 동측내각의 합(5.9 평행선의 성질, 추후 연결 예정 — [선행 인용])

증명 끝

206정리대각선의 제곱의 합d₁² + d₂² = 2(a²+b²)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

3.4의 192번(중선 정리)과 본질적으로 같은 구성입니다. 평행사변형의 두 대각선 AC(=d₁), BD(=d₂)는 교점 O에서 서로를 이등분하므로, 삼각형 ABC에서 선분 BO는 변 AC로 내린 중선이고 그 길이는 BO=d₂2입니다(O가 BD의 중점이기도 하므로). 이 삼각형(AB=a, BC=b, AC=d₁)에 192번을 적용합니다.

BO² = AB²+BC²2 - AC²4	192번(변 AC로 내린 중선 BO의 길이)
→ d₂²4 = a²+b²2 - d₁²4	BO=d₂/2, AB=a, BC=b, AC=d₁ 대입
→ d₂² = 2(a²+b²) - d₁²	양변에 4를 곱함

d₁² + d₂² = 2(a²+b²)

(평행사변형 법칙, parallelogram law)

사용 : 3.4의 192번(중선 정리) · 대각선이 서로를 이등분하는 성질

증명 끝

207정리높이h = b sin α = b sin β

증명법 : 직접증명법

변 b와 밑변 a 사이의 각 α로 만들어지는 직각삼각형에서, 높이는 "빗변×sin(각)"이므로(3.1의 삼각비 정의)

h = b sin α

205번(α+β=180°)과 4.6 f433번(보각공식 sin(π-θ)=sinθ)에 의해 sin α=sin β이므로, 같은 높이를

h = b sin β

로도 쓸 수 있습니다.

사용 : 3.1의 157-162번(삼각비의 정의) · 205번 · 4.6의 f433번(보각공식)

증명 끝

208정리둘레L = 2(a+b)

증명법 : 직접증명법

마주보는 두 쌍의 변이 각각 a,a와 b,b이므로(3.6과 같은 논리),

L = a + b + a + b = 2(a+b)

사용 : 둘레의 정의

증명 끝

209정리넓이S = ah = ab sin α = 12d₁d₂ sin φ

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

S = ah (밑변×높이의 기본 넓이 공식)은 207번(h=b sin α)을 대입하면 바로 두 번째 표현이 됩니다.

S = ah	밑변×높이
= ab sin α	207번(h=b sin α) 대입

세 번째 표현은 대각선을 이용합니다. 평행사변형은 두 대각선에 의해 넓이가 같은 4개의 작은 삼각형으로 나뉘고, 이 중 마주보는 두 쌍이 각각 합동입니다. 대각선의 절반끼리(d₁2, d₂2)와 그 사이각 φ로 만들어지는 삼각형 하나에 3.4의 184a번(두 변과 끼인각의 넓이 공식)을 적용합니다.

S₁ = 12·d₁2·d₂2·sin φ	184a번(작은 삼각형 하나의 넓이)
S = 4S₁	합동인 두 쌍 → 넓이가 같은 삼각형 4개, sin(180°-φ)=sinφ로 전부 같은 값
= 4·12·d₁2·d₂2·sin φ	S₁ 대입
= 12d₁d₂ sin φ	약분

S = ah = ab sin α = 12d₁d₂ sin φ

사용 : 207번 · 3.4의 184a번(두 변과 끼인각의 넓이 공식)

증명 끝

chapter:03-geometry section:3.7