4.5 수능 핵심
가장 중요한 공식들
Most Important Formulas
정의 · 공식과 증명
1.4의 모듈러스 공식과 3.4의 f185번(코사인법칙)은 증명 중간에 "sin²φ+cos²φ=1(삼각함수의 기본 항등식)"을 4장에서 다시 증명하겠다고 예고하고 먼저 빌려 썼습니다. 이 절은 그 약속을 지키는 것으로 시작합니다(425번) — 4.2의 f409번(단위원 정의)과 f411번(정의역)만을 근거로 삼아 모든 실수 θ에 대해 성립함을 보이고, 이로부터 1+tan²θ=sec²θ(426번), 1+cot²θ=csc²θ(427번), tan θ·cot θ=1(428번)을 차례로 끌어냅니다. 마지막으로 이 네 항등식과 4.3의 사분면 부호 규칙을 함께 사용해 여섯 삼각함수 중 하나의 값과 사분면만 알면 나머지 다섯 값이 전부 결정된다는 실전적인 활용법을 정리합니다(429번). 이 절의 이름이 "가장 중요한 공식들"인 이유는, 이후 4.6~4.21의 모든 항등식(화각공식·덧셈정리·배각공식 등)이 결국 이 절의 네 항등식과 단위원의 기하학적 성질을 조합해 얻어지기 때문입니다.
단위원 위의 일반각 θ(그림은 제2사분면의 경우) — 발 A′에서 이루는 직각삼각형 O-A′-P(θ)에 피타고라스 정리를 적용하는 것이 425번 증명의 핵심입니다. 사분면에 따라 cos θ, sin θ의 부호만 달라질 뿐 (|cos θ|, |sin θ|는) 논증은 동일합니다.
425정리피타고라스 항등식(사인·코사인의 기본 관계식)sin²θ + cos²θ = 1
증명법 : 임의의 원소를 택하는 방법 + 경우를 나누는 방법
주장. 모든 실수 θ에 대해 sin²θ + cos²θ = 1이 성립합니다.
준비. θ를 임의로 택합니다. 4.2의 f409번에 의해 P(θ) = (cos θ, sin θ)이고, P(θ)는 단위원(원점 O가 중심, 반지름 1) 위의 점이므로 OP(θ) = 1 입니다. θ에 대해 다음 두 경우로 나누어 보입니다 — 이 두 경우는 "cos θ=0 또는 sin θ=0"과 "cos θ≠0 그리고 sin θ≠0"으로, 한 명제와 그 부정을 나눈 것이므로(드모르간의 법칙) 서로 배타적이고 모든 θ를 빠짐없이 다룹니다.
경우 ① — 축 위의 경계각(cos θ=0 또는 sin θ=0인 경우). 4.2의 f411번에 의해 cos θ=0 ⟺ θ=π2+kπ이고 sin θ=0 ⟺ θ=kπ(k는 정수)입니다. f411번의 증명 ①,②단계는 이 두 조건 각각에서 단위원 위의 점이 만족하는 방정식 x²+y²=1(원의 방정식, 3.19의 f260번을 r=1로 특수화)에 직접 x=0(또는 y=0)을 대입해 나머지 좌표가 정확히 ±1임을 이미 보였습니다. 즉 이 경우 (cos θ, sin θ)는 (0, ±1) 또는 (±1, 0) 중 하나이므로, 두 좌표 중 하나는 0이고 다른 하나는 ±1이라 그 제곱의 합은 예외 없이 0²+1²=1 또는 1²+0²=1, 즉 sin²θ+cos²θ=1이 즉시 성립합니다. (cos θ=0과 sin θ=0이 동시에 성립하는 경우는 없습니다 — 그러면 P(θ)=(0,0)=O가 되어 OP(θ)=1에 모순이기 때문입니다.)
경우 ② — 일반각(cos θ≠0 그리고 sin θ≠0인 경우). 이때 P(θ)는 두 좌표축 어디에도 있지 않습니다. P(θ)에서 x축에 내린 수선의 발을 A′=(cos θ, 0)이라 하면, 삼각형 O-A′-P(θ)는 A′에서 직각을 이루는 직각삼각형입니다(위 그림 참고 — 그림은 제2사분면의 경우를 예시로 들었지만 아래 논증은 사분면에 무관하게 동일합니다). O, A′는 모두 x축(y=0) 위의 점이므로 좌표를 이용한 거리 공식(피타고라스 정리, 3.1의 f163번을 두 점 사이의 거리에 적용한 것)에 의해
OA′ = |cos θ − 0| = |cos θ| , A′P(θ) = |sin θ − 0| = |sin θ|
입니다(A′, P(θ)는 x좌표가 같으므로 그 사이 거리는 y좌표 차의 절댓값). 직각삼각형 O-A′-P(θ)에 3.1의 f163번(피타고라스 정리)을 적용하면 :
| OA′² + A′P(θ)² = OP(θ)² | 3.1 f163번(피타고라스 정리), 직각은 A′ |
| |cos θ|² + |sin θ|² = 1² | 위에서 구한 세 변의 길이 대입 |
| cos²θ + sin²θ = 1 | |x|²=x²(절댓값의 제곱은 원래 값의 제곱과 같음) |
결론. 경우 ①, ②가 서로 배타적이며 모든 실수 θ를 남김없이 다루므로, 임의로 택한 θ에서 성립을 보인 위 논증에 의해 모든 실수 θ에 대해
sin²θ + cos²θ = 1
이 성립합니다.
사용 : 4.2의 f409번(단위원 정의) · f411번(정의역, 축 위의 점의 좌표) · 3.19의 f260번(원의 정의) · 3.1의 f163번(피타고라스 정리)
증명 끝
426정리탄젠트·시컨트의 피타고라스 항등식(θ≠π2+kπ)1 + tan²θ = sec²θ
증명법 : 직접증명법 (425번을 cos²θ로 나눔)
주장. cos θ≠0인(4.2의 f411번에 의해 θ≠π2+kπ, k는 정수) 모든 θ에 대해 1 + tan²θ = sec²θ가 성립합니다. 이 조건은 정확히 4.2의 f410번에서 tan θ, sec θ가 정의되는 범위와 일치합니다.
425번(sin²θ+cos²θ=1)의 양변을 cos θ≠0이므로 cos²θ(≠0)로 나누면 :
| sin²θcos²θ + cos²θcos²θ = 1cos²θ | 425번 양변을 cos²θ로 나눔 |
| (sin θcos θ)² + 1 = (1cos θ)² | 지수 법칙(같은 분모의 제곱을 분수의 제곱으로 재배열) |
| tan²θ + 1 = sec²θ | 4.2 f410번(tan θ:=sin θcos θ, sec θ:=1cos θ) |
1 + tan²θ = sec²θ
사용 : 425번(피타고라스 항등식) · 4.2의 f410번(탄젠트·시컨트의 정의) · f411번(정의역)
증명 끝
427정리코탄젠트·코시컨트의 피타고라스 항등식(θ≠kπ)1 + cot²θ = csc²θ
증명법 : 직접증명법 (425번을 sin²θ로 나눔)
주장. sin θ≠0인(4.2의 f411번에 의해 θ≠kπ, k는 정수) 모든 θ에 대해 1 + cot²θ = csc²θ가 성립합니다. 이 조건은 정확히 4.2 f410번에서 cot θ, csc θ가 정의되는 범위와 일치합니다.
425번의 양변을 sin θ≠0이므로 sin²θ(≠0)로 나누면, 426번과 완전히 같은 방식으로 :
| cos²θsin²θ + sin²θsin²θ = 1sin²θ | 425번 양변을 sin²θ로 나눔 |
| (cos θsin θ)² + 1 = (1sin θ)² | 지수 법칙 |
| cot²θ + 1 = csc²θ | 4.2 f410번(cot θ:=cos θsin θ, csc θ:=1sin θ) |
1 + cot²θ = csc²θ
사용 : 425번(피타고라스 항등식) · 4.2의 f410번(코탄젠트·코시컨트의 정의) · f411번(정의역)
증명 끝
428정리곱셈·역수 관계(θ≠kπ2, k는 정수)tan θ·cot θ = 1
증명법 : 직접증명법 (4.2 f410번의 정의를 직접 대입)
주장. tan θ, cot θ가 모두 정의되는(즉 cos θ≠0 그리고 sin θ≠0인) θ, 다시 말해 θ가 π2의 정수배가 아닌(θ≠kπ 그리고 θ≠π2+kπ를 합치면 정확히 "θ≠kπ2, k는 정수"와 같습니다) 모든 θ에 대해 tan θ·cot θ = 1이 성립합니다.
4.2의 f410번의 정의를 그대로 대입하면 :
| tan θ·cot θ = sin θcos θ · cos θsin θ | 4.2 f410번(tan θ, cot θ의 정의) |
| = sin θ·cos θcos θ·sin θ | 분수의 곱셈 |
| = 1 | 분자·분모가 같은 곱(sin θ·cos θ≠0이므로 약분 가능) |
tan θ·cot θ = 1
참고 — 나머지 곱셈·역수 관계. 4.2의 f410번은 정의를 내리면서 다음 세 관계도 함께 확립해 두었습니다 (정의에 값을 대입하면 곧바로 확인되므로 별도 증명 없이 정의의 일부로 다루어졌습니다) :
sec θ·cos θ = 1 (cos θ≠0) csc θ·sin θ = 1 (sin θ≠0) cot θ = 1tan θ (tan θ≠0)
이 절에서 새로 증명한 tan θ·cot θ=1과 위 세 관계를 모두 모으면, 여섯 삼각함수 중 어느 하나를 알면 그 역수(또는 비율) 관계에 있는 상대방의 값도 즉시 정해진다는 것을 알 수 있습니다 — 429번에서 이 사실을 425~428번 전체와 함께 실제로 활용합니다.
사용 : 4.2의 f410번(탄젠트·코탄젠트의 정의와 곱셈·역수 관계) · f411번(정의역)
증명 끝
429정리활용 — 한 함숫값과 사분면으로 나머지 다섯 함숫값 결정425~428번 + 4.3(사분면 부호)
증명법 : 직접증명법 (425~428번과 4.3의 부호 규칙을 순서대로 적용)
주장. θ가 축 위의 경계각이 아니라고 할 때, 여섯 삼각함수 중 어느 하나의 값과 θ가 어느 사분면에 속하는지(4.3의 f416번)를 알면, 425~428번과 4.3의 f417번·f418번(사분면별 부호)을 차례로 적용해 나머지 다섯 함숫값이 유일하게 결정됩니다.
일반적인 절차.
| ① sin θ가 주어지면 | 425번(cos²θ=1−sin²θ)으로 cos θ의 절댓값을 얻고, 4.3 f417번(사분면별 부호)으로 부호를 정해 cos θ를 확정. (cos θ가 주어지면 대칭적으로 sin θ를 얻음) |
| ② sin θ, cos θ가 모두 확정되면 | 4.2 f410번(tan θ:=sin θcos θ, sec θ:=1cos θ)으로 tan θ, sec θ를 계산 |
| ③ 이어서 | 4.2 f410번(cot θ:=cos θsin θ, csc θ:=1sin θ) 또는 428번(cot θ=1tan θ)으로 cot θ, csc θ를 계산 |
| ④ 검산 | 426번(1+tan²θ=sec²θ), 427번(1+cot²θ=csc²θ)에 대입해 일치하는지 확인 |
①에서 부호가 사분면 정보 없이는 ± 두 가지로 갈리지만(제곱을 풀 때 생기는 근본적인 모호함), 4.3의 f417번이 사분면마다 sin θ, cos θ의 부호를 정확히 하나로 고정해 주므로 이 모호함이 완전히 해소됩니다 — 이것이 "사분면 정보"가 반드시 함께 필요한 이유입니다.
구체적인 예. sin θ=45이고 θ가 제2사분면에 속한다고 합시다.
| cos²θ = 1 − sin²θ = 1 − 1625 = 925 | 425번 |
| cos θ = ±35 | 제곱근(부호 미정) |
| cos θ = −35 | 4.3 f417번(제2사분면 ⟹ cos θ<0)으로 부호 확정 |
| tan θ = 45÷−35 = −43 | 4.2 f410번(tan θ=sin θcos θ) |
| cot θ = −34 | 428번(cot θ=1tan θ) |
| sec θ = 1÷−35 = −53 | 4.2 f410번(sec θ=1cos θ) |
| csc θ = 1÷45 = 54 | 4.2 f410번(csc θ=1sin θ) |
검산 : 426번으로 1+tan²θ = 1+169 = 259이고 sec²θ = (−53)² = 259로 일치합니다. 427번으로 1+cot²θ = 1+916 = 2516이고 csc²θ = (54)² = 2516로 역시 일치합니다.
경계각의 경우. θ가 축 위의 경계각(0, π2, π, 3π2 등)이면 "사분면"이라는 개념 자체가 없으므로 이 절차가 적용되지 않습니다 — 이 경우는 4.2 f409·f411번(경계각에서의 좌표)이나 4.4의 f423번과 같은 방식으로 직접 계산해야 합니다(이미 4.3·4.4에서 다룬 범위).
사용 : 425번~428번(이 절 전체) · 4.2의 f410번(여섯 함수의 정의) · 4.3의 f416번(사분면의 정의) · f417번(사인·코사인의 부호)
증명 끝