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5.5   대학 과정

연립일차방정식

Systems of Linear Equations

정의 · 공식과 증명

이 절은 5.1–5.2의 행렬식(825·828·829번)과 5.4의 행렬 연산(851·855·856·859번)을 종합해 연립일차방정식을 행렬방정식 Ax=b로 표현하고, 이 방정식을 푸는 세 가지 표준적인 방법―역행렬을 이용한 풀이, 크래머 공식(Cramer’s Rule), 가우스 소거법(Gaussian Elimination)―을 다룹니다. 이 장에서 아직 정의하지 않은 역행렬(inverse matrix) 개념을 이 절에서 새로 정의하며, 이를 위해 딸림행렬(adjugate matrix)이라는 새 개념도 함께 도입합니다. 새 표기 컴포넌트로 첨가행렬(augmented matrix, 계수행렬과 상수벡터를 점선으로 구분한 .matrix 변형)을 하나 추가했습니다―나머지는 5.1–5.4의 대괄호 행렬·세로선 행렬식·Σ 합 표기(3권 11.1 749번, 여기서는 세 항 이하의 합을 줄여 쓰는 데만 씀)를 그대로 재사용합니다. 이 챕터의 다른 절과 마찬가지로 일반 n×n이 아니라 2×2·3×3 두 구체적인 경우를 나란히 증명하는 방식을 유지합니다.

864정의연립일차방정식의 행렬 표현과 첨가행렬(Matrix Form of a Linear System and the Augmented Matrix)Ax = b,   [A|b]

미지수가 x, y인 두 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 생각합시다(계수를 824번과 같은 방식으로 a_ij로, 상수항은 b_i로 씁니다).

a₁₁x + a₁₂y = b₁
a₂₁x + a₂₂y = b₂

계수를 모아 만든 2×2 계수행렬(coefficient matrix) A := (a_ij)(824번), 미지수 x, y를 성분으로 하는 미지수벡터 x := xy(845번의 열벡터), 상수항을 성분으로 하는 상수벡터 b := b₁b₂(845번의 열벡터)를 놓으면, A = a₁₁a₁₂a₂₁a₂₂이고 855번(행렬의 곱셈)에 의해

Ax = a₁₁a₁₂a₂₁a₂₂xy = a₁₁x+a₁₂ya₂₁x+a₂₂y

이므로, Ax의 (1,1)·(2,1) 성분은 정확히 원래 두 방정식의 좌변과 일치합니다. 따라서 844번(행렬의 상등)에 의해 Ax=b는 성분별로 원래의 두 방정식 a₁₁x+a₁₂y=b₁, a₂₁x+a₂₂y=b₂와 정확히 동치이며, 연립방정식 전체를 하나의 행렬방정식

Ax = b

로 표현할 수 있습니다. 미지수가 x, y, z인 세 방정식의 연립방정식도 3×3 계수행렬 A=(a_ij) (i, j=1, 2, 3), 열벡터 x=(x, y, z)의 전치(―세로로 쓴 것), b=(b₁, b₂, b₃)의 전치에 대해 완전히 같은 방식으로 Ax=b로 표현되며, 이 절 전체에서 2×2·3×3 두 경우를 나란히 다룹니다.

연립방정식의 계수와 상수항을 하나의 표로 압축한 것이 첨가행렬(augmented matrix) [A|b]입니다―계수행렬 A의 오른쪽에 상수벡터 b를 한 열로 덧붙이되, 계수 부분과 상수 부분을 시각적으로 구분하기 위해 점선을 긋습니다.

[A|b] = a₁₁a₁₂b₁a₂₁a₂₂b₂

872번(가우스 소거법)에서 이 첨가행렬에 행 연산을 직접 적용해 연립방정식을 풉니다.

사용 : 824번 · 844번 · 845번 · 855번

865정의가역행렬과 역행렬(Invertible Matrix and the Inverse)AB=BA=I_n  ⇒  B =: A⁻¹

n차 정사각행렬(824번) A에 대해, 855번(행렬의 곱셈)으로

AB = BA = I_n

를 만족하는 n차 정사각행렬 B가 존재하면(831번의 단위행렬 I_n), A를 가역행렬(invertible matrix, 또는 정칙행렬 nonsingular matrix)이라 하고, 이러한 B를 A의 역행렬(inverse matrix)이라 하여 A⁻¹로 씁니다. 즉

A A⁻¹ = A⁻¹ A = I_n

이며, 이는 A와 A⁻¹이 행렬 곱셈(855번)에 대해 서로 항등원 I_n(859번, 단위행렬은 곱셈의 항등원)을 만들어 주는 관계에 있음을 뜻합니다. A가 가역이 아니면(그러한 B가 존재하지 않으면) A를 특이행렬(singular matrix)이라 부릅니다. AB, BA가 모두 정의되면서 둘 다 n×n이어야 하므로, A와 B는 반드시 같은 차수의 정사각행렬이어야 합니다―즉 이러한 의미의 역행렬은 정사각행렬(m=n)에 대해서만 정의됩니다.

사용 : 824번 · 831번 · 855번 · 859번

866정리역행렬의 유일성(Uniqueness of the Inverse)A의 역행렬이 존재하면 유일하다

증명법 : 직접증명법(가정한 두 역행렬이 실제로 같은 행렬임을 대수적으로 확인)

A가 가역행렬이고, B₁, B₂가 모두 A의 역행렬이라고, 즉 865번에 의해 AB₁=B₁A=I이고 AB₂=B₂A=I라고 가정합시다. 그러면

B1
= B1I	859번(항등원)
= B1(AB2)	AB2=I 대입
= (B1A)B2	856번(곱셈의 결합법칙)
= IB2	B1A=I 대입
= B2	859번(항등원)

즉 B₁=B₂입니다. 따라서 A의 역행렬은 존재한다면 유일하며, 이것이 표기 A⁻¹이 여러 개가 아니라 특정한 하나의 행렬을 가리킬 수 있는 근거입니다.

사용 : 856번 · 859번 · 865번

증명 끝

867정의정리2×2 역행렬 공식과 가역성의 필요충분조건(Formula for the 2×2 Inverse; det A≠0 ⇔ Invertible)A⁻¹ = 1detA·adjA,   A는 가역 ⇔ det A ≠ 0

증명법 : 직접증명법(딸림행렬을 직접 곱해 항등행렬이 나옴을 확인)과 귀류법(det A=0이면 가역일 수 없음)

A = abcd (825번)에 대해, 딸림행렬(adjugate matrix) adjA를 다음과 같이 정의합니다―주대각선 성분(a, d)은 자리를 맞바꾸고, 나머지 두 성분(b, c)은 부호만 반전합니다.

adjA := d−b−ca

855번(행렬의 곱셈)으로 직접 계산하면

A·adjA = abcdd−b−ca = ad−bc00ad−bc = (ad−bc)I₂

이고, 순서를 바꾸어 곱해도

adjA·A = d−b−caabcd = da−bcdb−bd−ca+ac−cb+ad = (ad−bc)I₂

입니다(곱셈의 교환법칙으로 db−bd=0, −ca+ac=0). 825번(det A=ad−bc)에 의해

A·adjA = adjA·A = (det A)I₂

를 얻습니다.

(⇐) det A≠0이면 A는 가역. 위 식의 양변에 852번(스칼라배)으로 1detA을 곱하면

A·(1detAadjA) = (1detAadjA)·A = I₂

이므로, 865번의 정의에 의해 A는 가역이고

A⁻¹ = 1detAadjA

입니다.

(⇒) A가 가역이면 det A≠0. 대우를 증명하는 대신, A가 가역인데 det A=0이라고 가정하고 모순을 이끌어냅니다(귀류법). A가 가역이므로 AB=I₂인 B가 존재하는데, 841번(det(AB)=det A·det B)과 831번(det I₂=1)에 의해

det A·det B = det I₂ = 1

이어야 합니다. 그런데 det A=0이라 가정했으므로 좌변은 0·det B=0이 되어 0=1이라는 모순을 얻습니다. 따라서 A가 가역이면 반드시 det A≠0입니다.

두 방향을 합치면 A는 가역이다 ⇔ det A≠0이고, 이때 A⁻¹=1detAadjA입니다.

수치 확인. A=231−2이면 det A=2·(−2)−3·1=−7≠0이므로 A는 가역이고, adjA=−2−3−12이므로

A⁻¹ = −17−2−3−12 = 273717−27

이며, 실제로 직접 곱해 보면 A·A⁻¹=1001임을 확인할 수 있습니다.

사용 : 825번 · 831번 · 841번 · 852번 · 855번 · 865번 · 귀류법

증명 끝

868정의정리3×3 역행렬 공식 — 딸림행렬(Formula for the 3×3 Inverse via the Adjugate Matrix)adjA := (C_ji),   A(adjA)=(adjA)A=(det A)I₃,   A는 가역 ⇔ det A≠0

증명법 : 직접증명법(성분별로 A·adjA의 대각·비대각 성분을 각각 계산하고, adjA·A는 전치로 옮겨 얻음)

① 준비 — 임의의 행에 대한 여인수전개. 829번은 제1행에 대한 여인수전개 det A=a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃만 증명했습니다. 제2행·제3행은 834번(행 교환)으로 제1행의 경우로 옮겨 증명합니다. A의 1·2·3행을 r₁, r₂, r₃이라 하고, M_ij·C_ij는 827번의 소행렬식·여인수입니다.

(제2행) 1·2행을 맞바꾼 A′(행 순서 r₂, r₁, r₃)의 제1행은 (a₂₁,a₂₂,a₂₃)이고, A′에서 1행·j열을 지운 소행렬은 r₁, r₃에서 j열을 지운 것―A에서 2행·j열을 지운 소행렬과 같으므로 M′_1j=M_2j입니다. 829번을 A′에 쓰면

det A′ = 3Σj=1 a_2j(−1)^1+jM_2j = −3Σj=1 a_2j(−1)^2+jM_2j = −(a₂₁C₂₁+a₂₂C₂₂+a₂₃C₂₃)

이고, 834번에 의해 det A′=−det A이므로 a₂₁C₂₁+a₂₂C₂₂+a₂₃C₂₃ = det A입니다.

(제3행) 1·3행을 맞바꾼 A′(행 순서 r₃, r₂, r₁)에서 1행·j열을 지운 소행렬은 (r₂, r₁)에서 j열을 지운 것으로, A에서 3행·j열을 지운 소행렬(r₁, r₂ 순서)의 두 행을 맞바꾼 것입니다. 834번 (1)(2×2 행 교환)에 의해 M′_1j=−M_3j이고, (−1)^1+j=(−1)^3+j이므로 829번을 A′에 쓰면

det A′ = 3Σj=1 a_3j(−1)^1+j(−M_3j) = −(a₃₁C₃₁+a₃₂C₃₂+a₃₃C₃₃)

이고, 834번에 의해 det A′=−det A이므로 a₃₁C₃₁+a₃₂C₃₂+a₃₃C₃₃ = det A입니다(제2행을 828번에 직접 대입해 여섯 항을 맞춰 보아도 같은 결과가 나옵니다). 즉 어느 행을 따라 여인수전개를 하든 결과는 항상 det A이며, 이하에서는 이 사실을 일반화된 829번으로 사용합니다.

② 딸림행렬의 정의. 827번의 여인수 C_ij를 이용해, A의 딸림행렬(adjugate matrix) adjA를 여인수행렬의 전치―(i,j) 성분이 C_ji인 행렬―로 정의합니다.

adjA := C11C21C31C12C22C32C13C23C33

③ A·adjA의 대각성분. 855번(행렬의 곱셈)에 의해 (A·adjA)의 (i,i) 성분은

(A·adjA)_ii = 3Σk=1 a_ik(adjA)_ki = 3Σk=1 a_ikC_ik

인데, 이는 정확히 ①에서 확인한 «제i행에 대한 여인수전개»이므로 i=1,2,3 어느 경우든 det A와 같습니다.

④ A·adjA의 비대각성분(i≠j). 마찬가지로

(A·adjA)_ij = 3Σk=1 a_ik(adjA)_kj = 3Σk=1 a_ikC_jk

입니다. 827번의 정의에 의해 여인수 C_jk는 «j행, k열을 지운 소행렬의 행렬식»이므로, j행 자체의 성분과는 무관하게 나머지 행들만으로 결정됩니다. 따라서 A의 j행을 (원래 j행 대신) i행의 성분 (a_i1,a_i2,a_i3)로 바꿔치기한 행렬 A*를 만들어도, A*의 여인수 C_jk(A*)는 A의 C_jk(A)와 정확히 같습니다(j행을 지우고 계산하므로 j행에 무엇이 들어있든 상관없음). 그러므로

3Σk=1 a_ikC_jk(A) = 3Σk=1 a_ikC_jk(A*) = 3Σk=1(A*의 j행 성분)_kC_jk(A*)

인데(A*의 j행이 바로 (a_i1,a_i2,a_i3)이므로), 이는 ①에 의해 A*의 j행에 대한 여인수전개―즉 det A*―와 같습니다. 그런데 A*는 i행과 j행이 둘 다 (a_i1,a_i2,a_i3)로 똑같으므로, 835번(두 행이 같으면 det=0)에 의해 det A*=0입니다. 따라서 i≠j이면 (A·adjA)_ij=0.

③·④를 합치면 A·adjA는 대각성분이 전부 det A, 비대각성분이 전부 0인 행렬, 즉

A·adjA = (det A)I₃

입니다.

⑤ adjA·A도 마찬가지 — 전치로 옮기기. (가) 832번에 의해 A^T의 (i,j) 성분은 a_ji이므로, A^T에서 i행·j열을 지운 2×2 소행렬은 A에서 j행·i열을 지운 소행렬의 전치입니다. 833번 (1)(2×2에서 det X^T=det X)에 의해 두 소행렬식은 같고, 부호 (−1)^i+j=(−1)^j+i도 같으므로 C_ij(A^T)=C_ji(A)입니다. 따라서 adj(A^T)의 (i,j) 성분 C_ji(A^T)=C_ij(A)는 adjA의 (j,i) 성분이므로

adj(A^T) = (adjA)^T

입니다. (나) ③·④는 어떤 3×3 행렬에 대해서나 증명되었으므로 A^T에 적용하면, 833번(det A^T=det A)과 함께

A^T(adjA)^T = A^T·adj(A^T) = (det A^T)I₃ = (det A)I₃

입니다. (다) 양변을 전치합니다. 좌변은 861번((XY)^T=Y^TX^T)과 (X^T)^T=X(860번, 두 번 전치하면 성분이 제자리로 돌아옴)에 의해 ((adjA)^T)^T(A^T)^T=adjA·A, 우변은 861번((kX)^T=kX^T)과 I₃^T=I₃에 의해 (det A)I₃이므로

adjA·A = (det A)I₃

를 얻습니다. 이 등식의 (i,i) 성분을 855번으로 적으면 C_1ia_1i+C_2ia_2i+C_3ia_3i = det A, 즉 어느 열(i열)을 따라 여인수전개를 해도 결과는 det A입니다(871번에서 씁니다).

⑥ 가역성의 필요충분조건과 역행렬 공식. 867번과 완전히 같은 논증입니다. det A≠0이면 ③·④·⑤의 두 등식 양변에 1detA을 곱해 A(1detAadjA)=(1detAadjA)A=I₃을 얻으므로 865번에 의해 A는 가역이고 A⁻¹=1detAadjA입니다. 역으로 A가 가역이면 AB=I₃인 B가 있고, 841번 (2)(3×3 곱셈정리)와 831번(det I₃=1)에 의해 det A·det B=1이어야 하므로, det A=0이라 하면 0=1이라는 모순이 나옵니다(867번과 같은 귀류법). 따라서 det A≠0은 가역성의 필요조건이기도 합니다.

즉 3×3에서도 A는 가역이다 ⇔ det A≠0이고, 이때 A⁻¹=1detAadjA입니다.

수치 확인. A=123014560에 대해 827번의 정의로 아홉 개의 여인수를 모두 계산하면 adjA=−2418520−15−4−541이고, 829번(제1행 전개)으로 det A=1·(−24)+2·20+3·(−5)=−24+40−15=1≠0이므로 A는 가역이며

A⁻¹ = 11·adjA = adjA = −2418520−15−4−541

이고, 실제로 직접 곱해 보면 A·adjA=100010001(det A=1이므로 A⁻¹과 adjA가 이 예에서는 같은 행렬)임을 확인할 수 있습니다.

사용 : 825번 · 827번 · 828번 · 829번 · 831번 · 832번 · 833번 · 834번 · 835번 · 841번 · 852번 · 855번 · 860번 · 861번 · 865번 · 867번

증명 끝

869정리역행렬의 성질(Properties of the Inverse)(A⁻¹)⁻¹=A,   (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹

증명법 : 직접증명법(정의를 만족함을 확인한 뒤 866번의 유일성으로 마무리―861번과 같은 전략)

① (A⁻¹)⁻¹=A. 865번에 의해 AA⁻¹=A⁻¹A=I인데, 이 등식은 정확히 «A가 A⁻¹의 역행렬이다»라는 뜻입니다. 866번(유일성)에 의해 A⁻¹의 역행렬은 하나뿐이므로 (A⁻¹)⁻¹=A.

② (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹. A, B가 모두 같은 차수의 가역행렬이라 합시다. 856번(결합법칙)과 865번(AA⁻¹=A⁻¹A=I, BB⁻¹=B⁻¹B=I)에 의해

(AB)(B−1A−1)
= A(BB−1)A−1	856번(결합법칙)
= AIA−1	BB−1=I
= AA−1 = I	859번·865번

이고, 같은 방식으로 (B⁻¹A⁻¹)(AB)=B⁻¹(A⁻¹A)B=B⁻¹IB=B⁻¹B=I도 확인됩니다. 즉 865번의 정의에 의해 B⁻¹A⁻¹은 AB의 역행렬이고, 866번(유일성)에 의해 그것이 바로 (AB)⁻¹입니다―861번(전치의 곱은 순서가 뒤바뀜, (AB)^T=B^TA^T)과 정확히 같은 형태로 순서가 뒤바뀝니다.

사용 : 856번 · 859번 · 865번 · 866번

증명 끝

870정리역행렬을 이용한 연립방정식의 풀이(Solving Ax=b via the Inverse Matrix)det A≠0  ⇒  Ax=b는 유일한 해 x=A⁻¹b를 갖는다

증명법 : 직접증명법(존재성은 대입 확인, 유일성은 양변에 A⁻¹을 곱해 확인)

A가 n차 정사각행렬(n=2 또는 3)이고 det A≠0이라 합시다(867·868번에 의해 A⁻¹이 존재). 864번의 Ax=b에 대해:

① 존재성. x₀ := A⁻¹b라 놓으면, 856번(결합법칙)과 865번에 의해

Ax₀ = A(A⁻¹b) = (AA⁻¹)b = Ib = b

(마지막 등호는 859번, 단위행렬은 곱셈의 항등원)이므로 x₀=A⁻¹b는 실제로 Ax=b의 해입니다.

② 유일성. x₁이 Ax₁=b를 만족하는 임의의 해라 합시다. 양변의 왼쪽에 A⁻¹을 곱하면

A⁻¹(Ax₁) = A⁻¹b  ⇒  (A⁻¹A)x₁ = A⁻¹b  ⇒  Ix₁ = A⁻¹b  ⇒  x₁ = A⁻¹b

(차례로 856번, 865번, 859번)이므로 어떤 해든 반드시 A⁻¹b와 같습니다. 따라서 Ax=b는 유일한 해 x=A⁻¹b를 갖습니다.

수치 확인. A=231−2, b=35(867번의 예)이면 A⁻¹=273717−27이므로

x = A⁻¹b = 3−1

즉 x=3, y=−1이며, 실제로 2·3+3·(−1)=3, 1·3−2·(−1)=5로 원래 두 방정식을 모두 만족합니다.

사용 : 856번 · 859번 · 864번 · 865번 · 867번 · 868번

증명 끝

871정리크래머 공식(Cramer’s Rule)det A≠0이면   x_i = det A_idet A  (A_i는 A의 i번째 열을 b로 바꾼 행렬)

증명법 : 직접증명법(2×2는 867번의 역행렬 공식을 대입해 직접 계산, 3×3은 868번 ⑤의 열 여인수전개를 이용)

① 2×2. A=a11a12a21a22, b=b1b2인 연립방정식 Ax=b(a₁₁x+a₁₂y=b₁, a₂₁x+a₂₂y=b₂)에 대해, det A≠0이면 870번에 의해 유일한 해 x=A⁻¹b가 있고, 867번(A⁻¹=1detAa22−a12−a21a11)을 대입하면

x = a22·b1−a12·b2det A,     y = a11·b2−a21·b1det A

를 얻습니다. 그런데 a₂₂b₁−a₁₂b₂는 정확히 A의 제1열을 b로 바꾼 행렬 A₁=b1a12b2a22의 행렬식(825번, det A₁=b₁a₂₂−a₁₂b₂)과 같고, a₁₁b₂−a₂₁b₁은 제2열을 b로 바꾼 A₂=a11b1a21b2의 행렬식(det A₂=a₁₁b₂−b₁a₂₁)과 같으므로

x = det A₁det A,     y = det A₂det A

입니다. 예를 들어 A=231−2, b=35(867·870번의 예)이면 det A=−7, det A₁=335−2=−21, det A₂=2315=7이므로 x=−21−7=3, y=7−7=−1로 870번의 결과와 일치합니다.

② 3×3. A가 3×3이고 det A≠0이면, 870번(x=A⁻¹b)과 868번(A⁻¹=1detAadjA)에 의해 x_i=1detA(adjA·b)_i이고,

(adjA·b)_i = 3Σj=1(adjA)_ijb_j = 3Σj=1C_jib_j

입니다(868번, (adjA)_ij=C_ji). 827번의 정의에 의해 여인수 C_ji는 A의 i번째 열을 지운 소행렬로 결정되므로 i번째 열의 성분과는 무관하고, 따라서 A의 i번째 열을 b로 바꾼 행렬 A_i에 대해서도 C_ji(A_i)=C_ji(A)입니다. 그러므로

3Σj=1C_ji(A)b_j = 3Σj=1(A_i의 i열 성분)_jC_ji(A_i)

이고(A_i의 i열 성분이 바로 b₁, b₂, b₃), 이는 868번 ⑤의 adjA_i·A_i=(det A_i)I₃의 (i,i) 성분―A_i의 i번째 열에 대한 여인수전개―이므로 det A_i와 같습니다. 즉 (adjA·b)_i=det A_i이고, 따라서

x_i = det A_idet A    (i=1,2,3)

입니다. 예를 들어 A=123014560(868번의 예), b=334이면 열을 차례로 바꾼 행렬식은 det A₁=2, det A₂=−1, det A₃=1(828번으로 각각 직접 계산 가능)이고 det A=1이므로

x₁=21=2,   x₂=−11=−1,   x₃=11=1

이며, 실제로 1·2+2·(−1)+3·1=3, 0·2+1·(−1)+4·1=3, 5·2+6·(−1)+0·1=4로 b=(3,3,4)와 정확히 일치합니다.

사용 : 825번 · 827번 · 828번 · 864번 · 867번 · 868번 · 870번

증명 끝

872정리가우스 소거법을 이용한 풀이(Solving by Gaussian Elimination)첨가행렬 [A|b]에 행 연산을 반복해 삼각 형태로 만든 뒤 후진대입

증명법 : 직접증명법(행 연산이 해집합을 보존함을 확인하고, 소거가 항상 위삼각형으로 끝남과 유일해 조건을 증명한 뒤 예에 적용)

① 행 연산은 연립방정식의 해집합을 보존한다. 838번이 보장하는 것은 이 행 연산이 행렬식을 보존한다는 사실이지만, 지금 필요한 것은 이 행 연산이 연립방정식의 해 자체를 보존한다는, 별도로 확인해야 할 사실입니다. 제i식을 (제i식) + k·(제j식)으로 바꾼다고 합시다. x가 원래 연립방정식의 모든 식을 만족하면 특히 제i식·제j식을 만족하므로 그 k배 조합인 새 제i식도 만족하고, 나머지 식(제j식 포함)은 그대로이므로 x는 바뀐 연립방정식도 만족합니다. 거꾸로 x가 바뀐 연립방정식을 만족하면, 새 제i식에서 k·(제j식)(바뀌지 않은 그대로)을 도로 빼면 원래 제i식이 복원되므로 x는 원래 연립방정식도 만족합니다. 즉 두 연립방정식의 해집합은 정확히 같습니다―두 식을 맞바꾸는 연산은 식의 나열 순서만 바꾸므로 해집합이 그대로입니다.

② 방법 — 소거는 항상 위삼각형으로 끝난다. 864번의 첨가행렬 [A|b]에 다음 행 연산을 합니다.

(가) 첫째 열. 첫째 열 성분이 모두 0이면 그대로 둡니다. 아니면 첫째 열 성분이 0이 아닌 행을 (필요하면) 제1행과 맞바꾸고, 그 아래 각 행에서 제1행의 알맞은 배수(그 행의 첫째 열 성분 ÷ 제1행의 첫째 열 성분)를 빼서 제1행 아래의 첫째 열 성분을 모두 0으로 만듭니다.
(나) 둘째 열(3×3일 때). 제2·3행만 보고 둘째 열에 같은 일을 합니다. 제2·3행의 첫째 열은 이미 0이므로, 이 행들끼리 맞바꾸거나 배수를 더해도 첫째 열은 0 그대로입니다.

그러면 계수 부분은 주대각선 아래가 모두 0인 839번의 위삼각행렬 U가 되고, ①에 의해 [U|c]가 나타내는 삼각 연립방정식은 원래 연립방정식과 해가 정확히 같습니다.

③ 유일해 조건과 후진대입. 각 단계는 행 맞바꾸기(834번, 행렬식의 부호만 바뀜) 또는 한 행에 다른 행의 배수 더하기(838번, 행렬식 불변)이므로 det U=±det A이고, 839번에 의해 det U는 U의 대각성분의 곱입니다. 따라서

det A ≠ 0  ⇔  U의 대각성분이 모두 0이 아니다

입니다. 이때 마지막 식부터 거슬러 올라가며 대입하는 후진대입(back-substitution)을 하면―3×3이면 u₃₃z=c₃에서 z=c₃/u₃₃, 이어서 u₂₂y=c₂−u₂₃z에서 y, 마지막으로 u₁₁x=c₁−u₁₂y−u₁₃z에서 x―매 단계 0이 아닌 대각성분으로 나누므로 각 미지수의 값이 하나로 정해지고, 그렇게 구한 값은 세 식을 모두 만족합니다. 즉 해가 정확히 하나이며, 870번의 x=A⁻¹b와 같습니다.

예. 871번과 같은 연립방정식 x+2y+3z=3, y+4z=3, 5x+6y=4의 첨가행렬은

[A|b] = 123301435604

입니다. 제3행에서 제1행의 5배를 빼면(제3행−5·제1행 : 5−5·1=0, 6−5·2=−4, 0−5·3=−15, 4−5·3=−11)

123301430−4−15−11

를 얻고, 이제 제3행에서 제2행의 4배를 더하면(−4+4·1=0, −15+4·4=1, −11+4·3=1)

123301430011

로 계수 부분이 위삼각행렬이 됩니다. 이 첨가행렬이 나타내는 연립방정식 x+2y+3z=3, y+4z=3, z=1을 마지막 식부터 거슬러 풀면: 제3식에서 즉시 z=1, 이를 제2식 y+4z=3에 대입하면 y+4=3에서 y=−1, 다시 이 둘을 제1식 x+2y+3z=3에 대입하면 x−2+3=3에서 x=2를 얻습니다. 즉 (x,y,z)=(2,−1,1)로, 870·871번(역행렬·크래머 공식)의 결과와 정확히 일치합니다.

가우스 소거법은 역행렬·크래머 공식과 달리 det A=0인 경우에도 그대로 적용할 수 있다는 장점이 있습니다―이 경우 ③에 의해 U의 대각성분 가운데 0이 있고, 해가 없거나 무수히 많다는 것을 873번에서 증명하고 예로 확인합니다.

사용 : 834번 · 838번 · 839번 · 864번 · 870번

증명 끝

·보조정리det A=0이면 Av=0인 영 아닌 v가 있다det A=0  ⇒  ∃v≠0  (Av=0)  (A는 2×2 또는 3×3)

증명법 : 직접증명법(adjA≠O이면 그 열을, adjA=O이면 직접 만든 벡터를 v로)

A가 n×n(n=2 또는 3)이고 det A=0이라 합시다. 0은 영벡터(성분이 모두 0인 열벡터), O는 영행렬입니다.

(1) adjA≠O인 경우. 867번·868번에 의해 A·adjA=(det A)I=0·I=O(854번)입니다. 855번(행렬의 곱셈)에 의해 A·adjA의 j번째 열은 A와 «adjA의 j번째 열»의 곱이므로, adjA의 영 아닌 열 하나를 v라 하면 Av=0, v≠0입니다.

(2) adjA=O인 경우. A=O이면 영 아닌 아무 v나 Av=0을 만족합니다. A≠O이면 0이 아닌 성분 a_rc(r행 c열)를 하나 고르고, c와 다른 열 d를 하나 고릅니다. v의 c번째 성분을 −a_rd, d번째 성분을 a_rc, 나머지(3×3일 때 남은 한 성분)를 0으로 놓으면 a_rc≠0이므로 v≠0입니다. 855번에 의해 Av의 s번째 성분은

a_sc(−a_rd) + a_sda_rc = a_rca_sd − a_rda_sc

입니다. s=r이면 이 값은 바로 0입니다. s≠r이면 이 값은 r·s행과 c·d열로 만든 2×2 행렬식(행 순서에 따라 부호만 다름)인데, 2×2에서는 이것이 ±det A=0이고, 3×3에서는 A에서 남은 한 행·남은 한 열을 지운 소행렬식 M_lm의 ±이며(827번) adjA=O이므로 C_lm=±M_lm=0입니다. 따라서 Av=0입니다.

두 경우 모두 Av=0인 v≠0이 있습니다. 특히 b=0인 연립방정식 Ax=0(동차 연립방정식)은 det A=0이면 영 아닌 해를 가집니다.

사용 : 827번 · 854번 · 855번 · 867번 · 868번

증명 끝

873정리활용 — 세 가지 풀이법의 일관성과 det A=0인 경우(Worked Examples: Consistency of the Three Methods, and the Case det A=0)865–872번의 방법을 비교하고, det A=0이면 해가 없거나 무수히 많음을 증명

증명법 : 직접증명법(865–872번의 결과를 종합하고, det A=0인 두 예를 직접 푼 뒤, 보조정리로 일반적인 경우를 증명)

① det A≠0일 때 세 방법의 일관성. 870번(역행렬)·871번(크래머 공식)·872번(가우스 소거법)을 같은 연립방정식(867·870·871번의 2×2 예, 868·871·872번의 3×3 예)에 각각 적용한 결과는 모두 정확히 같은 해―2×2는 (x,y)=(3,−1), 3×3은 (x,y,z)=(2,−1,1)―로 일치했습니다. 이는 우연이 아니라 870번(유일성)이 보장하는 바입니다―det A≠0이면 애초에 해가 유일하므로, 어떤 방법으로 구하든 같은 답에 도달할 수밖에 없습니다.

② det A=0 — 해가 없는 경우. x+y=1, x+y=3을 생각합시다. 계수행렬 A=1111은 두 행이 같으므로(835번) det A=0이고, 867번에 의해 A는 가역이 아니므로 870·871번(역행렬·크래머 공식)은 애초에 적용할 수 없습니다. 872번(가우스 소거법)으로 첨가행렬

[A|b] = 111113

에 제2행−제1행을 적용하면

111002

을 얻습니다. 이 둘째 행은 «0x+0y=2», 즉 0=2라는 거짓인 식을 뜻하므로―872번(①)에 의해 이 첨가행렬은 원래 연립방정식과 해집합이 같으므로―원래 연립방정식은 해가 없습니다(두 직선 x+y=1, x+y=3은 서로 평행하고 겹치지 않으므로 교점이 없다는 사실과 정확히 대응합니다).

③ det A=0 — 해가 무수히 많은 경우. x+y=2, 2x+2y=4를 생각합시다. A=1122은 제2행이 제1행의 2배이므로(837번) det A=0입니다. 첨가행렬

[A|b] = 112224

에 제2행−2·제1행을 적용하면

112000

를 얻습니다. 이번에는 둘째 행이 «0x+0y=0», 즉 0=0이라는 항상 참인(아무 정보도 주지 않는) 식이 되므로―이 연립방정식은 사실상 첫째 식 x+y=2 하나뿐이고, 이를 만족하는 (x,y)는 무수히 많습니다(예 : x=t, y=2−t, t는 임의의 실수―직선 x+y=2 위의 모든 점).

④ det A=0이면 해가 없거나 무수히 많다(2×2·3×3). det A=0이고 Ax=b가 해 x₀를 하나라도 가진다고 합시다. 보조정리에 의해 Av=0인 v≠0이 있고, 임의의 실수 t에 대해 857번(분배법칙, A(tv)=t(Av))에 의해

A(x₀+tv) = Ax₀ + t(Av) = b + t·0 = b

이므로 x₀+tv는 모두 해입니다. t≠t′이면 (x₀+tv)−(x₀+t′v)=(t−t′)v는 v의 0이 아닌 성분에 0이 아닌 수 t−t′를 곱한 성분을 가지므로 영벡터가 아니고, 이 해들은 서로 다릅니다. 따라서 해가 무수히 많습니다. 즉 det A=0이면 Ax=b는 해가 없거나 무수히 많으며, ②·③이 보이듯 두 경우가 모두 실제로 일어납니다.

요약. det A≠0이면 Ax=b는 항상 유일한 해를 가지며(870번), det A=0이면 (상수항의 값에 따라) 해가 전혀 없거나 무수히 많습니다(④). ②·③의 예에서는 소거 뒤 계수가 전부 0인 행이 생겨, 상수항이 0이 아니면(②) 해가 없고 0이면(③) 무수히 많았습니다.

대학 참고. 3×3 이상, 나아가 미지수와 방정식의 개수가 다른 일반적인 연립방정식까지 포함한 완전한 분류(«해가 없다·유일하다·무수히 많다»를 계수행렬과 첨가행렬의 계수(rank)를 비교해 결정하는 로우셰–카펠리 정리, Rouché–Capelli theorem)는 대학 선형대수학의 표준 결과입니다. 이 장은 계수(rank)를 다루지 않으며, 위 증명 어디에도 이 정리를 쓰지 않습니다(참고).

사용 : 835번 · 837번 · 867번 · 868번 · 870번 · 871번 · 872번 · 857번 · 보조정리

증명 끝