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9.1   수능 핵심

부정적분

Indefinite Integral

정의 · 공식과 증명

이 절부터 8장에서 다진 미분법의 결과를 거꾸로 사용하는 적분법(integral calculus)이 시작됩니다. 먼저 어떤 함수의 도함수가 주어진 함수와 같아지는 함수, 곧 원시함수(689번)를 정의하고, 그런 함수가 항상 상수 차이를 두고 유일하게 결정됨(690번, 8.6의 평균값 정리를 이용)을 보입니다. 이를 바탕으로 그 전체 모임을 부정적분(691번)으로 정의하고, 미분과 적분이 서로 되돌리는 연산임(692번)과 부정적분의 선형성(693번)을 확인한 뒤, 8.4의 도함수 공식표를 거꾸로 적용해 거듭제곱함수·1x·삼각함수·지수함수의 기본 부정적분 공식(694–698번)을 차례로 유도합니다. 유리함수·무리함수·삼각함수의 더 복잡한 적분에 필요한 치환·부분적분 등의 기법은 이어지는 절들에서 다룹니다.

689정의원시함수F′(x) = f(x) (x∈I)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 구간 I에서 정의되어 있다고 합시다. 구간 I에서 정의된 함수 F가 I의 모든 점에서 미분가능하고

F′(x) = f(x)  (x∈I)

를 만족하면, F를 f의 I에서의 원시함수(antiderivative, «역도함수»라고도 부릅니다)라고 합니다.

사용 : 8.3의 642번(미분가능성의 정의)

690정리원시함수의 완전한 특징 ― 상수 차이G가 f의 원시함수 ⇔ G(x)=F(x)+C인 상수 C 존재

증명법 : 쌍조건문의 증명(양방향)

F가 구간 I에서 f의 (한) 원시함수라 하고, I에서 정의된 또 다른 함수 G를 생각합니다. «G도 I에서 f의 원시함수»와 «G(x)=F(x)+C인 상수 C가 존재»가 서로 동치임을 양방향으로 보입니다.

(⇐) G(x)=F(x)+C이면 G도 f의 원시함수. 689번에 의해 F′=f이고, 상수함수의 도함수는 0(8.4 f652)이므로 8.3 f648(선형성)에 의해

G′(x) = (F(x)+C)′ = F′(x) + 0 = f(x)

가 I의 모든 점에서 성립하여, 689번의 정의에 의해 G는 f의 원시함수입니다.

(⇒) G도 f의 원시함수이면 G(x)=F(x)+C인 상수 C가 존재. h(x):=F(x)−G(x)라 하면, 8.3 f648(선형성)에 의해 h′(x)=F′(x)−G′(x)=f(x)−f(x)=0이 I의 모든 점에서 성립합니다. I에 속하는 임의의 점 x₀를 하나 고정합니다. I에 속하는 임의의 다른 점 x에 대해, h는 미분가능(따라서 8.3 f646에 의해 연속)이므로 x₀와 x 사이의 구간에서 8.6 f672(평균값 정리)의 가정을 만족하고, 이에 의해

h(x) − h(x₀) = h′(c)·(x−x₀)

인 c가 x와 x₀ 사이에 존재합니다. h′≡0이므로 우변은 0이고, 따라서 h(x)=h(x₀)입니다. x∈I는 임의였으므로 h는 I 전체에서 상수함수이며, 그 상수를 k:=h(x₀)라 하면 모든 x∈I에서 F(x)−G(x)=k, 즉 G(x)=F(x)−k=F(x)+C(C:=−k)입니다.

대학 위 (⇒) 방향의 논증은 I가 하나의 구간(interval, «끊어지지 않고 이어진» 집합)일 때만 성립합니다 ― I가 서로 떨어진 두 구간의 합집합이면 각 구간에서 따로 다른 상수를 더해도 도함수는 여전히 f와 같아지므로, 원시함수는 구간별로 각각 다른 임의의 상수만큼 달라질 수 있습니다. 수능 범위의 함수는 대부분 하나의 구간(또는 정의역 전체)에서 다루므로 이 구분은 크게 중요하지 않지만, 695번(1x의 부정적분)에서 정의역이 x≠0으로 끊어져 있는 경우를 실제로 다루게 됩니다.

F(x)=x²/2+C, C=−1,0,1의 세 원시함수. 어느 x₀에서 보아도 세 곡선은 정확히 같은 기울기(파·검·남 점선 접선)를 가지며, 서로의 높이 차이는 x에 관계없이 항상 일정한 상수 C(회색 화살표)입니다.

사용 : 689번(원시함수의 정의) · 8.3의 648번(미분법의 선형성) · 8.3의 646번(미분가능이면 연속) · 8.6의 672번(평균값 정리)

증명 끝

691정의부정적분∫f(x)dx := F(x)+C

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 구간 I에서 원시함수 F를 가진다고 합시다 (그런 F가 항상 존재하는 것은 아니지만, 이 절 이후에서 다룰 함수들은 모두 원시함수를 가짐을 실제로 보일 것입니다). 690번에 의해 f의 I에서의 원시함수 전체는 정확히 {F(x)+C : C∈R}의 형태를 갖습니다. 이 원시함수 전체의 모임(family)을 f의 부정적분(indefinite integral)이라 부르고

∫f(x)dx := F(x) + C

로 씁니다. 여기서 ∫는 적분 기호(integral sign), f(x)는 피적분함수(integrand), x는 적분변수(variable of integration), dx(8.7 f682의 미분 표기를 그대로 씀)는 그 적분변수가 x임을 나타내며, C는 임의의 실수인 적분상수(constant of integration)라 부릅니다.

사용 : 690번(원시함수의 완전한 특징) · 8.7의 682번(dx의 표기)

692정리미분과 부정적분은 서로 되돌리는 연산ddx[∫f(x)dx] = f(x),   ∫F′(x)dx = F(x)+C

증명법 : 직접증명법(691번의 정의를 그대로 사용)

① 미분한 뒤 적분하면 상수 오차만 남습니다. F를 f의 한 원시함수라 하면 689번의 정의 그 자체가 F′=f이므로, 691번에 의해

∫F′(x)dx = ∫f(x)dx = F(x)+C

입니다. 즉 F를 한 번 미분한 F′을 다시 적분하면, 원래의 F로 — 적분상수 C만큼의 불확정성을 사이에 두고 — 되돌아갑니다.

② 적분한 뒤 미분하면 정확히 원래 함수로 돌아갑니다. 691번의 정의에서 ∫f(x)dx의 어느 한 대표원 F(x)+C를 잡아 미분하면, 8.4 f652(상수함수의 도함수)와 8.3 f648(선형성)에 의해

ddx[F(x)+C] = F′(x) + 0 = f(x)

이고(마지막 등호는 F′=f, 689번), C의 값에 관계없이 이 미분값은 항상 f(x)로 같습니다. ①과 달리 이 방향에는 불확정성(+C)이 남지 않습니다 — 부정적분의 모호함(+C)은 오직 «미분해서 f가 되는 함수가 유일하지 않다»는 690번의 사실에서만 비롯되며, 미분 자체는 그 상수를 소거해 버리기 때문입니다. 이 ②의 성질을 미분 검산법이라 부르기로 하고, 이어지는 694–698번에서 어떤 함수가 주어진 함수의 부정적분임을 확인하는 표준 방법으로 반복해 사용합니다.

사용 : 689번 · 691번 · 8.3의 648번 · 8.4의 652번

증명 끝

693정리부정적분의 선형성∫[af(x)+bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

f, g가 구간 I에서 각각 원시함수 F, G를 갖고(689번), a, b가 상수라고 합시다. aF+bG가 af+bg의 한 원시함수임을 8.3 f648(선형성)로 확인합니다 :

(aF+bG)′(x) = aF′(x) + bG′(x) = af(x) + bg(x)

즉 689번의 정의에 의해 aF+bG는 af+bg의 원시함수이고, 691번에 의해

∫[af(x)+bg(x)]dx = aF(x)+bG(x)+C

입니다. 한편 ∫f(x)dx=F(x)+C₁, ∫g(x)dx=G(x)+C₂(각각 691번)이므로

a∫f(x)dx + b∫g(x)dx = aF(x)+bG(x) + (aC₁+bC₂)

이고, 적분상수 C₁, C₂가 임의의 실수이므로(a, b 중 적어도 하나가 0이 아니라면) aC₁+bC₂ 역시 임의의 실수 전체를 나타냅니다. 따라서 양변은 «aF(x)+bG(x)에 임의의 상수를 더한 모임» 으로 같은 집합을 나타내며, 부정적분의 등호는 이렇게 «적분상수를 포함한 함수의 모임»이 같다는 뜻으로 이해합니다.

사용 : 689번 · 691번 · 8.3의 648번(미분법의 선형성)

증명 끝

694정리거듭제곱함수의 부정적분∫x^rdx = x^r+1r+1 + C (r≠−1)

증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

① r이 −1이 아닌 정수인 경우 : n:=r+1이라 하면 r≠−1이므로 n≠0인 정수입니다. 8.4 f653(거듭제곱함수의 도함수, 정수 지수)을 지수 n에 적용하면

ddxx^r+1r+1 = 1r+1·(r+1)x^r+1−1 = x^r

가 653번의 정의역(n=r+1>0, 즉 r≥0이면 모든 실수 x, n=r+1<0, 즉 r≤−2이면 x≠0)에서 성립하므로, 692번의 미분 검산법에 의해 그 정의역에서 ∫x^rdx = x^r+1r+1+C입니다.

② r이 정수가 아닌 실수인 경우 : r+1도 정수가 아닌 실수이므로, 8.4 f662(일반 실수 거듭제곱함수의 도함수)를 지수 r+1에 적용하면 x>0에서

ddxx^r+1r+1 = 1r+1·(r+1)x^r+1−1 = x^r

이 성립하고, 마찬가지로 692번에 의해 x>0에서 ∫x^rdx = x^r+1r+1+C입니다. 두 경우를 종합하면, r≠−1인 모든 실수 r에 대해 위 공식이 (각 경우에 맞는 정의역에서) 성립합니다.

사용 : 692번(미분과 부정적분의 관계) · 8.4의 653번(거듭제곱함수의 도함수, 정수 지수) · 8.4의 662번(일반 실수 거듭제곱함수의 도함수)

증명 끝

695정리1x의 부정적분∫1xdx = ln|x| + C (x≠0)

증명법 : 경우 나누기 + 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

694번의 공식은 r=−1을 제외하므로, x⁻¹=1x의 부정적분은 따로 다뤄야 합니다. x≠0을 x>0인 경우와 x<0인 경우로 나누어, ln|x|를 미분해 692번으로 검산합니다.

① x>0인 경우 : 이때 |x|=x이므로 ln|x|=ln x이고, 8.4 f660(자연로그함수의 도함수)에 의해

ddx[ln|x|] = ddx[ln x] = 1x

가 성립합니다.

② x<0인 경우 : 이때 |x|=−x>0이므로 ln|x|=ln(−x)입니다. u:=−x라 하면 u>0이고, 8.3 f651(연쇄법칙)에 의해 ln(−x)는 x에 대해 미분가능하며, du/dx=−1(8.4 f652, 8.3 f648)이므로

ddx[ln(−x)] = 1u·dudx = 1−x·(−1) = 1x

를 얻습니다(첫 등호는 660번을 u에 적용한 것으로, u>0이므로 적용 가능합니다).

두 경우 모두 ddx[ln|x|] = 1x이므로, 692번의 미분 검산법에 의해 x≠0인 모든 x에서 ∫1xdx = ln|x|+C입니다.

대학 정의역 x≠0은 (−∞,0)과 (0,∞)이라는 서로 떨어진 두 구간의 합집합입니다. 690번의 univ-note에서 언급했듯, 이렇게 정의역이 끊어진 경우에는 각 구간에서 적분상수가 독립적으로 정해질 수 있습니다 ― 엄밀하게는 ∫1xdx = ln|x| + C가 아니라, x>0에서는 ln x+C₁, x<0에서는 ln(−x)+C₂로 서로 다른 두 상수를 허용하는 것이 원칙입니다. 다만 수능을 포함한 대부분의 응용에서는 적분 구간이 한쪽으로 고정되어 있어 이 구분이 결과에 영향을 주지 않으므로, 관행적으로 하나의 C로 통일해 씁니다.

y=ln|x|는 x>0에서 y=ln x(파랑), x<0에서 y=ln(−x)(빨강)인 두 갈래로 이루어지며 x=0에서 점근선을 가집니다. x=2, x=−2에서의 접선(점선)의 기울기는 각각 12, −12 ― 정확히 그 점에서의 1x 값과 일치합니다.

사용 : 692번 · 690번(구간에 대한 주석) · 8.4의 660번(자연로그함수의 도함수) · 8.3의 651번(연쇄법칙) · 8.4의 652번 · 8.3의 648번

증명 끝

696정리사인·코사인함수의 부정적분∫sin x dx = −cos x + C,   ∫cos x dx = sin x + C

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

8.4 f655(코사인함수의 도함수)에 의해 (−cos x)′ = −(−sin x) = sin x이므로, 692번에 의해 ∫sin x dx = −cos x+C입니다. 또 8.4 f654(사인함수의 도함수)에 의해 (sin x)′=cos x이므로, 마찬가지로 ∫cos x dx = sin x+C입니다.

사용 : 692번 · 8.4의 654번 · 8.4의 655번

증명 끝

697정리탄젠트 계열 함수의 부정적분∫sec²x dx=tan x+C, ∫csc²x dx=−cot x+C, ∫sec x tan x dx=sec x+C, ∫csc x cot x dx=−csc x+C

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법을 8.4 f656의 네 공식에 각각 적용)

8.4 f656(탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트함수의 도함수)의 네 공식 각각의 우변을 피적분함수로, 좌변의 함수를 원시함수 후보로 놓고 692번의 미분 검산법을 적용합니다 :

(tan x)′=sec²x	8.4 f656
⇒ ∫sec²x dx = tan x + C	692번
(−cot x)′=csc²x	8.4 f656의 (cot x)′=−csc²x에 −1배
⇒ ∫csc²x dx = −cot x + C	692번
(sec x)′=sec x tan x	8.4 f656
⇒ ∫sec x tan x dx = sec x + C	692번
(−csc x)′=csc x cot x	8.4 f656의 (csc x)′=−csc x cot x에 −1배
⇒ ∫csc x cot x dx = −csc x + C	692번

사용 : 692번 · 8.4의 656번

증명 끝

698정리지수함수의 부정적분∫e^xdx = e^x+C,   ∫a^xdx = a^xln a+C (a>0, a≠1)

증명법 : 직접증명법(692번의 미분 검산법 사용)

8.4 f657(자연지수함수의 도함수)에 의해 (e^x)′=e^x이므로, 692번에 의해 ∫e^xdx = e^x+C입니다.

8.4 f658(지수함수의 도함수, 밑 a)에 의해 a>0, a≠1일 때 (a^x)′=a^x·ln a이므로, 양변을 ln a(a≠1이므로 ≠0)로 나누면

ddxa^xln a = a^x

이고, 692번에 의해 ∫a^xdx = a^xln a+C입니다.

사용 : 692번 · 8.4의 657번 · 8.4의 658번

증명 끝