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11.4   수능 핵심

무한급수

Infinite Series

정의 · 공식과 증명

769–770번은 무한급수 자체를 엄밀하게 정의하는 절입니다 ― 769번에서 무한히 많은 항을 형식적으로 나열한 식(아직 실수가 아닌 표기)과 그 부분합 수열을 도입하고, 770번에서 부분합 수열의 n→∞ 극한(ε−N으로 정의)으로 급수의 수렴·발산과 합을 정의합니다. 771번은 수렴하는 급수라면 반드시 만족해야 하는 필요조건(제n항이 0으로 수렴)을 증명하고, 772번은 이 조건이 충분조건은 아니라는 것을 보여주는 대표적인 예(조화급수)를 오렘(Oresme)의 고전적인 논증으로 다룹니다. 773번은 등비수열 rⁿ의 극한을 베르누이 부등식과 조임정리로 확립한 뒤, 774번에서 11.2의 760번(등비수열의 합 공식)과 결합해 무한등비급수의 합 공식을 증명합니다. 마지막으로 775번에서 이를 순환소수를 분수로 나타내는 실용적인 문제에 적용합니다. 수열의 극한은 770번에서 8.2의 극한(629번·637번)과 같은 꼴로 직접 정의하고, 8.2에서 증명한 극한의 성질(632~634번)이 수열에도 그대로 성립함을 770번 뒤의 보조정리에 모아 둡니다.

769정의무한급수와 부분합 수열(Infinite Series and Sequence of Partial Sums)∞Σk=1a_k := a₁+a₂+a₃+…,   S_n := nΣk=1a_k

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 수열 {a_k}(11.1의 749번)이 주어졌을 때, 이 수열의 모든 항을 형식적으로 차례로 더한 식

∞Σk=1a_k := a₁+a₂+a₃+…

를 무한급수(infinite series)라 하고, a_k를 이 급수의 제k항이라 합니다. 무한히 많은 항을 실제로 다 더하는 것은 불가능하므로, 이 단계의 좌변은 아직 하나의 실수를 나타내는 것이 아니라 단지 형식적인 나열 표기일 뿐입니다 ― «더한 결과가 실제로 얼마인가, 또는 애초에 결과가 존재하기는 하는가»는 770번에서 별도로(엄밀하게) 정의합니다.

이 급수의 처음 n개 항의 합

S_n := nΣk=1a_k (749번의 표기를 그대로 사용)

로 이루어진 수열 {S_n}을 이 급수의 부분합 수열(sequence of partial sums)이라 합니다. n이 커질 때 부분합이 어디로 가는지(극한)로 급수의 값을 정하는 것이 770번입니다.

정의에서 바로 S₁=a₁이고, n≥2인 모든 자연수 n에 대해

S_n = S_n−1 + a_n

이 성립합니다(부분합에서 마지막 항 a_n을 분리한 것 ― 749번 Σ 표기의 정의를 그대로 풀어 쓴 것). 이 등식은 771번에서 반복적으로 사용됩니다.

사용 : 11.1의 749번(수열의 정의와 Σ 표기)

770정의무한급수의 수렴·발산과 합(Convergence, Divergence, and Sum)limn→∞ S_n = S  ⇒  ∞Σk=1a_k := S

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 먼저 수열의 극한을 정하고, 그것으로 급수의 합을 정합니다.

수열의 극한. 읽는 법은 «n이 한없이 커질 때 a_n이 일정한 실수 L에 한없이 가까워진다»이고, 정확한 정의는 8.2 629번·637번과 같은 꼴입니다. 수열 {a_n}(749번)에 대하여, 임의의 양수 ε에 대하여 적당한 자연수 N이 있어서

n ≥ N인 모든 자연수 n에서  |a_n−L| < ε

이면 {a_n}은 L에 수렴한다고 하고 limn→∞ a_n = L로 씁니다. 임의의 실수 K에 대하여 자연수 N이 있어서 n≥N인 모든 n에서 a_n>K이면 limn→∞ a_n = ∞(양의 무한대로 발산), a_n<K이면 limn→∞ a_n = −∞라 씁니다. 어떤 실수로도 수렴하지 않는 수열은 발산한다고 합니다 (±∞로 발산하는 경우와, 1, −1, 1, −1, …처럼 진동하는 경우를 모두 포함). (참고 : 749번의 참고처럼 수열을 정의역이 N인 함수(8.1의 615번)로 보면, 이 정의는 637번 ⑴의 조건 «x>M»을 자연수 n에 대해 «n≥N»으로 쓴 것입니다.)

급수의 수렴·발산과 합. 무한급수 ∞Σk=1a_k(769번)의 부분합 수열 {S_n}이 어떤 실수 S에 수렴할 때, 즉

limn→∞ S_n = S

일 때, 무한급수 ∞Σk=1a_k는 S에 수렴(converge)한다고 하고, S를 이 급수의 합(sum)이라 하며

∞Σk=1a_k = S

로 씁니다 ― 769번에서 형식적인 나열 표기로만 남겨두었던 좌변에, 이제 비로소 실수로서의 의미가 부여됩니다. {S_n}이 발산하면 이 급수는 발산(diverge)한다고 합니다.

a₁=1, r=12인 등비수열의 부분합(774번에서 다시 등장) ― S_n=2(1−(12)ⁿ)이 n이 커질수록 점 하나씩 극한 S=2에 한없이 다가가는 모습. 각 점이 S에 도달하지는 않지만, 원하는 만큼 가까워질 수 있다는 것이 수렴의 의미입니다.

사용 : 11.1의 749번(수열) · 769번

·받아들이는 사실아르키메데스 성질모든 실수 M에 대하여 n > M인 자연수 n이 있다

받아들이는 사실입니다. 아무리 큰 실수 M이 주어져도 그보다 큰 자연수 n이 있습니다. 1.2의 31번은 실수를 «소수로 나타낼 수 있는 수»로 약속했는데, 이 성질은 그 약속과 같은 내용입니다 — M≤0이면 n=1이 M보다 크고, M>0이면 M을 소수로 쓴 정수 부분을 m이라 할 때 M ≤ m+1 < m+2이므로 n=m+2가 M보다 큽니다. 다만 실수를 처음부터 정확하게 세우고 이 성질을 증명하려면 실수의 완비성이 필요하므로(대학 해석학), 이 책에서는 받아들여 씁니다.

쓰는 곳 : 보조정리 ⑷ · 772번 · 773번

·보조정리수열 극한의 기본 성질유일성 · 사칙연산 · 대소 · 조임 · 한 칸 이동 · 수렴하면 유계 · lim 1/n = 0

증명법 : 직접증명법(770번의 정의를 그대로 확인)

수열 {a_n}, {b_n}이 limn→∞ a_n = L, limn→∞ b_n = M이라 합시다(770번).

⑴ 8.2의 성질이 수열에도 성립 : 극한값은 하나뿐이고, limn→∞(a_n±b_n) = L±M, limn→∞ c·a_n = cL(c는 상수), limn→∞ a_nb_n = LM이며, 모든 n에서 b_n≠0이고 M≠0이면 limn→∞ a_n/b_n = L/M입니다. 또 어떤 N₀ 이후의 모든 n에서 a_n≤b_n이면 L≤M이고, a_n≤c_n≤b_n(N₀ 이후)이고 L=M이면 limn→∞ c_n = L입니다(조임). 증명 : 8.2 629번(유일성)·632번·633번·634번의 증명에서 조건 «0<|x−a|<δ»를 «n≥N»으로, «δ:=min(δ₁, δ₂, …)»을 «N:=max(N₁, N₂, …)»로, «x:=a+δ/2를 넣는다»를 «n:=N을 넣는다»로 바꾸면 증명이 한 줄씩 그대로 옮겨집니다. 두 조건 «n≥N₁이면 …»과 «n≥N₂이면 …»이 n≥max(N₁, N₂)에서 함께 성립하기 때문입니다. 보기로 합을 적으면 : 양수 ε가 주어지면 N₁, N₂가 있어 n≥N₁이면 |a_n−L|<ε/2, n≥N₂이면 |b_n−M|<ε/2이므로, N:=max(N₁, N₂)로 두면 n≥N에서 |(a_n+b_n)−(L+M)| ≤ |a_n−L| + |b_n−M| < ε입니다 (2.7의 146번, 삼각부등식).

⑵ 한 칸 이동 : limn→∞ a_n−1 = L(n≥2에서 생각). 양수 ε에 대해 N이 있어 n≥N이면 |a_n−L|<ε입니다. 그러면 n≥N+1일 때 n−1≥N이므로 |a_n−1−L|<ε이고, 문턱 N+1로 770번의 정의가 성립합니다.

⑶ 수렴하면 유계 : 모든 n에서 |a_n|≤B인 실수 B가 있을 때 {a_n}을 유계라 합니다. 수렴하는 수열은 유계입니다. ε=1로 정의를 쓰면 N이 있어 n≥N에서 |a_n−L|<1이고, 삼각부등식으로 |a_n| ≤ |a_n−L| + |L| < |L|+1입니다. 그러므로 |a₁|, |a₂|, …, |a_N−1|, |L|+1 가운데 가장 큰 수(유한개이므로 늘 있음)를 B로 두면 모든 n에서 |a_n|≤B입니다. 대우로, 유계가 아닌 수열은 수렴하지 않습니다.

⑷ limn→∞ 1n = 0 : 양수 ε가 주어지면 아르키메데스 성질로 N>1/ε인 자연수 N이 있습니다. n≥N이면 n>1/ε>0이고, 양변에 양수 ε/n을 곱하면 ε>1/n(2.7의 133번), 즉 |1/n−0|<ε입니다.

사용 : 770번(수열의 극한) · 8.2의 629·632·633·634번 · 2.7의 133·146번 · 아르키메데스 성질

증명 끝

771정리급수 수렴의 필요조건(Necessary Condition for Convergence)∞Σk=1a_k 수렴  ⇒  limk→∞a_k = 0

증명법 : a_n=S_n−S_n−1(769번)에 극한을 취함

∞Σk=1a_k가 어떤 실수 S에 수렴한다고 합시다(770번), 즉 limn→∞S_n=S. 769번에서 확인했듯이 n≥2일 때 a_n=S_n−S_n−1입니다.

보조정리 ⑵(한 칸 이동)에 의해 limn→∞ S_n−1 = S입니다. 이제 보조정리 ⑴(차의 법칙)을 적용하면

limn→∞ an = limn→∞(Sn−Sn−1)	769번(an의 정의, n≥2)
= limn→∞Sn − limn→∞Sn−1	보조정리 ⑴(차의 법칙)
= S − S = 0	가정(770번)과 위에서 확인한 lim Sn−1=S

을 얻습니다.

주의. 이 정리는 필요조건일 뿐 충분조건이 아닙니다 ― 즉 a_k→0이라고 해서 ∞Σk=1a_k가 반드시 수렴하는 것은 아닙니다. 대우로 사용할 때 (a_k가 0으로 수렴하지 않으면 급수는 발산한다―774번에서 실제로 이렇게 사용됩니다)는 유용하지만, a_k→0을 확인한 것만으로 수렴을 결론지을 수는 없습니다. 772번에서 이 사실을 보여주는 가장 유명한 예(조화급수)를 살펴봅니다.

사용 : 769번 · 770번 · 보조정리 ⑴·⑵

증명 끝

772정리조화급수의 발산(Divergence of the Harmonic Series)∞Σk=11k 발산 (단, limk→∞1/k = 0)

증명법 : 수학적 귀납법으로 S_2ⁿ ≥ 1+n/2를 보이고, 유계가 아닌 수열은 수렴하지 않음(보조정리 ⑶)을 씀

조화수열 a_k:=1/k은 771번의 필요조건 limk→∞a_k=0을 만족합니다(보조정리 ⑷). 그러나 이 절이 보이려는 것은, 그럼에도 불구하고 이 급수 ∞Σk=1(1/k) 자체는 발산한다는 것입니다 ― 771번의 역은 성립하지 않는다는 것을 보여주는 표준적인 예입니다.

핵심 부등식. 모든 자연수 n에 대하여 S_2ⁿ ≥ 1+n2임을 n에 대한 수학적 귀납법으로 보입니다.

Ⅰ	n=1일 때, S2 = 1+12이므로 등호로 성립합니다.
Ⅱ	Sm ≥ 1+n2(m:=2n, 귀납법의 가정)라 합시다. 먼저 j=0, 1, …, m에 대하여 Sm+j ≥ Sm + j2m임을 j에 대하여 차례로 보입니다. j=0이면 자명합니다. j<m에서 성립하면, 11.1 749번의 합의 정의에 의해 Sm+j+1 = Sm+j + 1m+j+1이고, 0 < m+j+1 ≤ 2m이므로 1m+j+1 ≥ 12m(양변에 양수 1(m+j+1)·2m을 곱함, 2.7의 133번)입니다. 따라서 Sm+j+1 ≥ Sm + j+12m입니다. j=m을 넣으면 S2n+1 = S2m ≥ Sm + 12 ≥ 1+n+12이므로 n+1에서도 성립합니다.

Ⅰ·Ⅱ에 의해 모든 자연수 n에서 S_2ⁿ ≥ 1+n/2입니다.

참고(묶어서 보기, 오렘의 생각). 위 귀납법은 항을 2^m−1개씩 묶어 보는 다음 생각을 정확하게 쓴 것입니다.

S_2ⁿ = 1 + 12 + (13+14) + (15+…+18) + … + (12ⁿ⁻¹+1+…+12ⁿ)

m=1,…,n에 대해, m번째 괄호는 지표가 2^m−1+1부터 2^m까지인 2^m−1개의 항으로 이루어져 있습니다. 이 괄호 안의 모든 항은 지표 k가 2^m 이하이므로 1/k ≥ 12^m을 만족하고, 항의 개수가 2^m−1개이므로 이 괄호의 합은

(m번째 괄호) ≥ 2^m−1 × 12^m = 12

보다 크거나 같습니다(옆 그림에서, 실제 값으로 이루어진 파랑·빨강 막대가 항상 그 괄호의 최솟값으로 채운 회색 점선 기준 막대보다 높거나 같다는 사실이 바로 이 부등식입니다). 괄호가 n개이므로 S_2ⁿ은 1+n/2 이상이 되어, 위 귀납법의 결과와 같습니다.

그룹1{1}·그룹2{12}는 그 자체로 각각 1, 12이고, 그룹3{13,14}· 그룹4{15,…,18}은 실제 항(파랑·빨강)이 그 그룹의 최솟값으로 채운 기준 막대(회색 점선)보다 높거나 같아 각 그룹의 합이 12 이상임을 보여줍니다.

이제 {S_n}이 위로 한없이 커짐을 보입니다. 임의의 실수 K가 주어지면 아르키메데스 성질로 n>2(K−1)인 자연수 n을 잡을 수 있고, 그러면 S_2ⁿ ≥ 1+n/2 > K입니다. 모든 항 1/k가 양수이므로 S_k+1=S_k+1/(k+1)>S_k, 즉 부분합은 증가하고, 따라서 k≥2ⁿ인 모든 k에서 S_k ≥ S_2ⁿ > K입니다. 770번의 정의에 의해 limn→∞ S_n = ∞(양의 무한대로 발산)이고, 특히 {S_n}은 유계가 아닙니다.

따라서 {S_n}은 어떤 실수로도 수렴할 수 없고(수렴한다면 유계여야 하는데 유계가 아니므로), 조화급수 ∞Σk=1(1/k)는 발산합니다. 이것이 바로 771번의 역은 성립하지 않는다는 것을 보여주는 예입니다 ― 항 1/k는 0으로 수렴하지만 급수 자체는 발산합니다.

사용 : 수학적 귀납법 · 11.1의 749번(합의 정의) · 769번 · 770번 · 771번 · 아르키메데스 성질 · 보조정리 ⑶·⑷ · 2.7의 133번

증명 끝

773정리등비수열의 극한(Limit of a Geometric Sequence)|r|<1 ⇒ limn→∞rⁿ = 0;   |r|≥1 (r≠1) ⇒ 발산

증명법 : 베르누이 부등식(수학적 귀납법) + 조임(보조정리 ⑴)

⑴ 보조정리(베르누이 부등식). 모든 실수 h>0과 모든 자연수 n에 대해

(1+h)ⁿ ≥ 1+nh

가 성립합니다. 수학적 귀납법으로 확인합니다.

Ⅰ	n=1일 때, 양변 모두 1+h이므로 등호로 성립합니다.
Ⅱ	(1+h)m ≥ 1+mh(귀납법의 가정)라 합시다. h>0이므로 1+h>0이고, 부등식의 양변에 양수 (1+h)를 곱해도 방향이 바뀌지 않으므로

(1+h)m+1 = (1+h)m(1+h) ≥ (1+mh)(1+h)	귀납법의 가정 × (1+h)>0
= 1+(m+1)h+mh² ≥ 1+(m+1)h	mh²≥0(m≥1, h²≥0)이므로 버려도 부등식 유지

이므로 n=m+1에서도 성립합니다. Ⅰ·Ⅱ에 의해 모든 자연수 n에서 성립합니다.

⑵ 0<r<1인 경우. 1/r>1이므로 h:=1/r−1>0으로 두면 1/r=1+h입니다. ⑴을 적용하면

(1/r)n = (1+h)n ≥ 1+nh	⑴(베르누이 부등식)
0 < rn ≤ 11+nh	역수(0<r<1이므로 rn>0), 1+nh>0이므로 부등식 방향 유지

h>0이므로 n→∞이면 1+nh→∞이고(양수 ε가 주어지면 아르키메데스 성질로 N>(1/ε−1)/h인 자연수 N을 잡을 수 있고, n≥N이면 1+nh>1/ε, 즉 1/(1+nh)<ε), 따라서

limn→∞ 11+nh = 0

입니다. 0 < rⁿ ≤ 1/(1+nh)이고 아래끝(상수 0)과 위끝(1/(1+nh))이 모두 0에 수렴하므로, 보조정리 ⑴(조임)에 의해

limn→∞ rⁿ = 0 (0<r<1)

를 얻습니다.

⑶ −1<r<0인 경우. 0<|r|<1이므로 ⑵를 |r|에 적용하면 limn→∞|r|ⁿ=0입니다. |rⁿ−0|=|rⁿ|=|r|ⁿ이므로(770번의 ε−N 서술에서 거리는 절댓값으로 잰다는 사실 그대로), |r|ⁿ→0은 곧 rⁿ→0을 뜻합니다. r=0인 경우는 n≥1에서 rⁿ=0으로 자명합니다. ⑵·⑶을 종합하면 |r|<1인 모든 r에서 limn→∞rⁿ=0입니다.

⑷ r>1인 경우(발산). k:=r−1>0으로 두면 ⑴에 의해 rⁿ=(1+k)ⁿ≥1+nk이고, 실수 K가 주어지면 아르키메데스 성질로 N>(K−1)/k인 자연수 N을 잡을 수 있고, n≥N이면 rⁿ ≥ 1+nk > K입니다. 따라서 770번의 정의에 의해 limn→∞ rⁿ = ∞(양의 무한대로 발산)이고, 특히 {rⁿ}은 유계가 아니므로 보조정리 ⑶에 의해 어떤 실수로도 수렴하지 않습니다.

⑸ r≤−1인 경우(발산). r=−1이면 rⁿ은 1,−1,1,−1,…로 진동합니다 ― 짝수 번째 항은 항상 1, 홀수 번째 항은 항상 −1이므로, 만약 {rⁿ}이 어떤 L로 수렴한다면(770번의 ε−N 정의에 의해 충분히 큰 모든 n에서 rⁿ이 L에 원하는 만큼 가까워져야 하는데), 짝수 번째 항은 항상 1이고 홀수 번째 항은 항상 −1이므로 ε=1로 잡으면 L에서 거리가 1 미만인 구간 안에 1과 −1이 동시에 들어올 수는 없어(두 수 사이의 거리가 2이므로) 모순입니다. r<−1이면 |r|>1이므로 ⑷를 |r|에 적용해 |rⁿ|=|r|ⁿ→∞, 즉 {rⁿ}은 부호를 바꿔가며 크기가 한없이 커집니다. 따라서 {rⁿ}은 유계가 아니므로 보조정리 ⑶에 의해 수렴하지 않습니다(발산).

⑵–⑸를 종합하면, r=1(항상 1이므로 자명하게 1로 수렴―|r|<1의 범위 밖이라 이 정리의 결론과는 별개)을 제외하면, |r|<1일 때만 {rⁿ}이 0으로 수렴하고, 그 밖의 모든 경우(r>1, r=−1, r<−1)에는 발산합니다.

사용 : 선행학습 수학적 귀납법 · 770번(수열의 극한) · 아르키메데스 성질 · 보조정리 ⑴·⑶

증명 끝

774정리무한등비급수의 합 공식(Sum of an Infinite Geometric Series)|r|<1 ⇒ ∞Σk=1a₁r^k−1 = a₁1−r;   |r|≥1 ⇒ 발산

증명법 : |r|<1은 11.2 760번+773번(극한), |r|≥1은 771번(필요조건의 대우)

{a_k}가 11.2 756번의 등비수열(첫째항 a₁≠0, 공비 r≠0)이라 합시다.

⑴ |r|<1인 경우(수렴). |r|<1이면 특히 r≠1이므로, 11.2 760번⑴에 의해

S_n = a₁(1−rⁿ)1−r

입니다. 773번에 의해 |r|<1이면 limn→∞rⁿ=0이므로, 보조정리 ⑴(상수배·차)을 적용하면

limn→∞ Sn = limn→∞ a1(1−rn)1−r = a1(1−0)1−r	773번(lim rn=0) + 보조정리 ⑴
= a11−r	정리

를 얻습니다. 770번의 정의에 의해 이는 급수가 수렴하고 그 합이 a₁/(1−r)이라는 뜻입니다.

⑵ |r|≥1인 경우(발산). 756번에 의해 a_k=a₁r^k−1이고 a₁≠0입니다. |r|≥1이면 |r|^k−1≥1(k≥1)이므로

|a_k| = |a₁|·|r|^k−1 ≥ |a₁| > 0 (모든 k)

입니다. 즉 a_k는 항상 0으로부터 적어도 |a₁|만큼 떨어져 있어 0에 가까워질 수 없습니다 ― 만약 a_k→0이면 ε=|a₁|에 대해 |a_k|<|a₁|인 k가 있어야 하므로 모순이고, 따라서 a_k는 0으로 수렴하지 않습니다. 771번(필요조건)의 대우 ― a_k가 0으로 수렴하지 않으면 급수는 발산한다 ― 에 의해, 이 경우 급수 ∞Σk=1a_k는 발산합니다(r=1, r=−1, |r|>1을 모두 한 번에 처리합니다).

a₁=1, r=13인 예 ― 부분합 S₁=1, S₂=43, …이 극한 S=32에 다가가는 모습을, 각 항의 실제 폭(1, 13, 19, 127, …)을 그대로 누적한 막대로 시각화. 남은 폭(회색 점선)은 0으로 수렴합니다.

수치 검산(활용). a₁=1, r=13인 경우 ⑴의 공식은 11−13=123=32를 줍니다. 직접 부분합을 계산해도 S₄=1+13+19+127=4027≈1.481로, 실제로 32=1.5에 빠르게 가까워지고 있음을 확인할 수 있습니다. 반대로 a₁=1, r=2(11.2 761번의 예)는 |r|=2≥1이므로 ⑵에 의해 발산합니다 ― 실제로 761번에서 이 급수의 부분합은 2ⁿ−1로 한없이 커짐을 이미 확인했습니다.

사용 : 11.2의 756번(등비수열의 정의) · 760번(등비수열의 합 공식) · 761번 · 770번(수렴·합의 정의) · 771번(필요조건) · 773번(등비수열의 극한) · 보조정리 ⑴

증명 끝

775정리활용 ― 순환소수를 분수로 나타내기(Repeating Decimals as Fractions)0.d = d/9,   0.ab = (10a+b)/99

증명법 : 순환소수를 무한등비급수로 풀어 쓴 뒤 774번을 적용

⑴ 한 자리 순환(0.d, d∈{1,…,9}). 소수의 뜻 : 1.2의 29~31번에서 써 온 소수 0.d₁d₂d₃…(각 d_k는 0~9의 숫자)의 값은 급수 d₁10+d₂100+d₃1000+…의 합(770번)으로 정합니다. 순환소수 0.ddd…는 이 뜻에 따라

0.d = d10 + d100 + d1000 + … = ∞Σk=1 d10·110^k−1

이는 첫째항 a₁=d/10, 공비 r=110(|r|=110<1)인 무한등비급수이므로, 774번⑴을 적용하면

0.d = d/101−110 = d/10910	774번⑴(a1=d/10, r=110)
= d9	분모·분자에 10을 곱해 약분

를 얻습니다. 예를 들어 0.7=0.777…=7/9입니다.

⑵ 두 자리 순환(0.ab). 두 자리 블록이 나타내는 정수를 N:=10a+b(0≤N≤99)라 하면, 완전히 같은 방식으로

0.ab = N100 + N10000 + … = ∞Σk=1 N100·1100^k−1

는 a₁=N/100, r=1100인 무한등비급수이고, 774번⑴에 의해

0.ab = N/1001−1100 = N/10099100 = N99 = 10a+b99

를 얻습니다. 같은 방법으로 L자리 순환마디가 나타내는 정수가 N이면 0.(L자리) = N/(10^L−1)이 됨을 완전히 같은 논증(a₁=N/10^L, r=110^L)으로 일반화할 수 있습니다.

⑶ 활용 예 : 0.34를 분수로. a=3, b=4이므로 N=34이고, ⑵에 의해 0.34=34/99입니다. 검산 : 34÷99를 직접 나눗셈하면 0.343434…가 되어 일치합니다.

⑷ 활용 예 : 0.999… = 1(놀랍지만 엄밀한 사실). ⑴에 d=9를 대입하면 0.9=99=1입니다. 이는 역설이 아니라 774번을 그대로 적용한 결과입니다 ― 0.999…는 «1에 아주 가깝지만 1은 아닌 어떤 수»가 아니라, 부분합 0.9, 0.99, 0.999,…의 극한(770번)으로 정의된 하나의 실수이고, 그 극한값이 정확히 1이라는 뜻입니다.

덧붙임. 같은 방법(⑵의 일반화)으로, 소수점 바로 아래부터 순환하는 소수는 모두 분수(유리수)입니다. 1.2의 29번이 받아들인 «유리수 ⇔ 유한소수 또는 순환소수» 가운데 «순환소수이면 유리수» 쪽을 이 경우에 증명한 것입니다.

사용 : 770번(급수의 합, 소수의 뜻) · 774번(무한등비급수의 합 공식)

증명 끝