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11.4   수능 핵심

무한급수

Infinite Series

정의 · 공식과 증명

769–770번은 무한급수 자체를 엄밀하게 정의하는 절입니다 ― 769번에서 무한히 많은 항을 형식적으로 나열한 식(아직 실수가 아닌 표기)과 그 부분합 수열을 도입하고, 770번에서 부분합 수열의 n→∞ 극한(8.2 637번의 «x→∞» 극한을 수열에 그대로 적용)으로 급수의 수렴·발산과 합을 정의합니다. 771번은 수렴하는 급수라면 반드시 만족해야 하는 필요조건(제n항이 0으로 수렴)을 증명하고, 772번은 이 조건이 충분조건은 아니라는 것을 보여주는 대표적인 예(조화급수)를 오렘(Oresme)의 고전적인 논증으로 다룹니다. 773번은 등비수열 rⁿ의 극한을 베르누이 부등식과 조임정리로 확립한 뒤, 774번에서 11.2의 760번(등비수열의 합 공식)과 결합해 무한등비급수의 합 공식을 증명합니다. 마지막으로 775번에서 이를 순환소수를 분수로 나타내는 실용적인 문제에 적용합니다. 이 절 전체에서 «수열도 함수다»(749번)라는 관점이 핵심적으로 쓰입니다 ― 부분합 수열의 극한을 논하는 데 8.2에서 함수의 극한에 대해 이미 증명해 둔 도구(637번의 정의, 632번의 사칙연산, 634번의 조임정리)를 새로 만들지 않고 그대로 재사용합니다.

769정의무한급수와 부분합 수열(Infinite Series and Sequence of Partial Sums)∞Σk=1a_k := a₁+a₂+a₃+…,   S_n := nΣk=1a_k

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 수열 {a_k}(11.1의 749번)이 주어졌을 때, 이 수열의 모든 항을 형식적으로 차례로 더한 식

∞Σk=1a_k := a₁+a₂+a₃+…

를 무한급수(infinite series)라 하고, a_k를 이 급수의 제k항이라 합니다. 무한히 많은 항을 실제로 다 더하는 것은 불가능하므로, 이 단계의 좌변은 아직 하나의 실수를 나타내는 것이 아니라 단지 형식적인 나열 표기일 뿐입니다 ― «더한 결과가 실제로 얼마인가, 또는 애초에 결과가 존재하기는 하는가»는 770번에서 별도로(엄밀하게) 정의합니다.

이 급수의 처음 n개 항의 합

S_n := nΣk=1a_k (749번의 표기를 그대로 사용)

로 이루어진 수열 {S_n}을 이 급수의 부분합 수열(sequence of partial sums)이라 합니다. 749번의 정의에 의해 수열은 그 자체로 함수 S : N→R이므로, {S_n}의 극한을 논하는 데 8.2(함수의 극한)에서 이미 확립한 도구를 새로 만들 필요 없이 그대로 적용할 수 있습니다 ― 이것이 770번에서 수렴을 정의하는 방법입니다.

정의에서 바로 S₁=a₁이고, n≥2인 모든 자연수 n에 대해

S_n = S_n−1 + a_n

이 성립합니다(부분합에서 마지막 항 a_n을 분리한 것 ― 749번 Σ 표기의 정의를 그대로 풀어 쓴 것). 이 등식은 771번에서 반복적으로 사용됩니다.

사용 : 11.1의 749번(수열의 정의와 Σ 표기)

770정의무한급수의 수렴·발산과 합(Convergence, Divergence, and Sum)limn→∞ S_n = S  ⇒  ∞Σk=1a_k := S

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 무한급수 ∞Σk=1a_k(769번)의 부분합 수열 {S_n}이, 8.2 637번의 의미에서 (부분합 수열도 자연수 집합을 정의역으로 하는 함수이므로, 637번의 x를 n으로, «x→∞»를 «n→∞»로 그대로 옮겨 적용합니다) 어떤 실수 S에 수렴한다고 합시다, 즉

limn→∞ S_n = S

라 합시다. 이때 무한급수 ∞Σk=1a_k는 S에 수렴(converge)한다고 하고, S를 이 급수의 합(sum)이라 하며

∞Σk=1a_k = S

로 씁니다 ― 769번에서 형식적인 나열 표기로만 남겨두었던 좌변에, 이제 비로소 실수로서의 의미가 부여됩니다. {S_n}이 (어떤 실수로도, 그리고 637번의 ±∞로도) 수렴하지 않으면 이 급수는 발산(diverge)한다고 합니다.

a₁=1, r=1/2인 등비수열의 부분합(774번에서 다시 등장) ― S_n=2(1−(1/2)ⁿ)이 n이 커질수록 점 하나씩 극한 S=2에 한없이 다가가는 모습. 각 점이 S에 도달하지는 않지만, 원하는 만큼 가까워질 수 있다는 것이 수렴의 의미입니다.

대학 8.2 629번의 «x→a» 극한은 x가 a를 연속적으로(a를 포함하는 열린구간 안에서) 지나가며 가까워지는 상황을 다루지만, 여기서 n은 1,2,3,…처럼 이산적으로(자연수만) 움직입니다. 그럼에도 637번이 이미 «x→∞»라는, x가 특정 실수가 아니라 한없이 커지는 경우의 극한을 정의해 두었으므로, n도 자연수 값을 가지며 한없이 커진다는 점에서 그 정의를 그대로 옮겨 쓸 수 있습니다. 완전히 형식적으로 쓰면 : 임의의 ε>0에 대해 적당한 자연수 N이 존재하여, n>N인 모든 n에서 |S_n−S|<ε이 성립한다―이것이 629번의 «ε−δ» 논법의 이산적인 대응물인 «ε−N» 논법이며, 이 절 전체(특히 771–773번)의 증명은 이 정의에 실질적으로 의존합니다.

사용 : 769번 · 8.2의 637번(x→∞ 극한의 정의)

771정리급수 수렴의 필요조건(Necessary Condition for Convergence)∞Σk=1a_k 수렴  ⇒  limk→∞a_k = 0

증명법 : a_n=S_n−S_n−1(769번)에 극한을 취함

∞Σk=1a_k가 어떤 실수 S에 수렴한다고 합시다(770번), 즉 limn→∞S_n=S. 769번에서 확인했듯이 n≥2일 때 a_n=S_n−S_n−1입니다.

먼저 {S_n−1}도 {S_n}과 같은 값 S로 수렴함을 확인합니다 ― 이는 색인을 한 칸 미루는 것에 지나지 않습니다. {S_n}이 S로 수렴한다는 것은(770번의 ε−N 서술로) «임의의 ε>0에 대해 적당한 N이 있어 n>N이면 |S_n−S|<ε»이라는 뜻이므로, n−1>N(즉 n>N+1)인 모든 n에서도 |S_n−1−S|<ε이 그대로 성립합니다(문턱을 N+1로 한 칸 옮긴 것뿐). 따라서

limn→∞ S_n−1 = S

도 성립합니다.

대학 이 색인 이동 논증과, 아래에서 사용하는 극한의 차 법칙은 8.2 632번이 함수의 x→a 극한에 대해 증명한 것과 형식적으로 동일한 논증을, x 대신 n을, a 대신 ∞을 대입해 옮겨 적용한 것입니다. 632번의 증명은 «ε에 대해 적당한 문턱을 잡을 수 있다»는 성질만을 사용할 뿐 정의역이 실수 구간인지 자연수 집합인지에는 의존하지 않으므로, 같은 논증이 수열의 극한에도 그대로 성립합니다. «함수의 극한 법칙이 수열의 극한에도 예외 없이 적용된다»는 사실의 완전히 일반적인 서술과 증명은 대학 해석학(수열의 극한을 함수의 특수한 경우로 다루는 이론)에서 체계적으로 다룹니다.

이제 632번(사칙연산 중 차의 법칙)을 그대로 적용하면

limn→∞ an = limn→∞(Sn−Sn−1)	769번(an의 정의, n≥2)
= limn→∞Sn − limn→∞Sn−1	8.2 632번(차의 법칙)
= S − S = 0	가정(770번)과 위에서 확인한 lim Sn−1=S

을 얻습니다.

주의. 이 정리는 필요조건일 뿐 충분조건이 아닙니다 ― 즉 a_k→0이라고 해서 ∞Σk=1a_k가 반드시 수렴하는 것은 아닙니다. 대우로 사용할 때 (a_k가 0으로 수렴하지 않으면 급수는 발산한다―774번에서 실제로 이렇게 사용됩니다)는 유용하지만, a_k→0을 확인한 것만으로 수렴을 결론지을 수는 없습니다. 772번에서 이 사실을 보여주는 가장 유명한 예(조화급수)를 살펴봅니다.

사용 : 769번 · 770번 · 8.2의 632번(극한의 사칙연산)

증명 끝

772정리조화급수의 발산(Divergence of the Harmonic Series)∞Σk=11k 발산 (단, limk→∞1/k = 0)

증명법 : 오렘(Oresme)의 묶음 ― 부분합을 2의 거듭제곱 크기의 블록으로 묶어 한계 없이 커짐을 보임

조화수열 a_k:=1/k은 771번의 필요조건 limk→∞a_k=0을 만족합니다(8.2에서 확립한 기본적인 극한―k가 커질수록 1/k는 0에 한없이 가까워짐). 그러나 이 절이 보이려는 것은, 그럼에도 불구하고 이 급수 ∞Σk=1(1/k) 자체는 발산한다는 것입니다 ― 771번의 역은 성립하지 않는다는 것을 보여주는 표준적인 예입니다.

임의의 자연수 n에 대해 부분합 S_2ⁿ을 항을 2^m−1개씩 묶어 살펴봅니다 :

S_2ⁿ = 1 + 12 + (13+14) + (15+…+18) + … + (12ⁿ⁻¹+1+…+12ⁿ)

m=1,…,n에 대해, m번째 괄호는 지표가 2^m−1+1부터 2^m까지인 2^m−1개의 항으로 이루어져 있습니다. 이 괄호 안의 모든 항은 지표 k가 2^m 이하이므로 1/k ≥ 1/2^m을 만족하고, 항의 개수가 2^m−1개이므로 이 괄호의 합은

(m번째 괄호) ≥ 2^m−1 × 12^m = 12

보다 크거나 같습니다(옆 그림에서, 실제 값으로 이루어진 파랑·빨강 막대가 항상 그 괄호의 최솟값으로 채운 회색 점선 기준 막대보다 높거나 같다는 사실이 바로 이 부등식입니다). 따라서

S2n = 1 + nΣm=1(m번째 괄호)	769번(부분합의 정의를 괄호로 재배열―유한합의 결합법칙)
≥ 1 + nΣm=112 = 1 + n2	위 부등식을 m=1,…,n에서 각각 적용 후 11.3 762번⑶(상수항의 합)

을 얻습니다.

그룹1{1}·그룹2{1/2}는 그 자체로 각각 1, 1/2이고, 그룹3{1/3,1/4}· 그룹4{1/5,…,1/8}은 실제 항(파랑·빨강)이 그 그룹의 최솟값으로 채운 기준 막대(회색 점선)보다 높거나 같아 각 그룹의 합이 1/2 이상임을 보여줍니다.

n→∞이면 1+n/2→∞이므로(오른쪽 변이 한계 없이 커짐―임의로 큰 값 M이 주어져도 n>2(M−1)로 잡으면 1+n/2>M), 부분합 수열의 부분수열 {S_2ⁿ}은 위로 유계가 아닙니다.

더 나아가 전체 수열 {S_n}도 유계가 아님을 확인합니다. 모든 항 a_k=1/k가 양수이므로 S_n은 (엄밀히) 증가하는 수열입니다(S_n+1=S_n+1/(n+1)>S_n). 임의의 상한 M이 주어지면 위에서 어떤 n에 대해 S_2ⁿ>M이고, 증가성에 의해 그보다 큰 모든 지표에서도 부분합은 M을 넘습니다 ― 즉 {S_n} 전체가 위로 유계가 아닙니다.

대학 이 증명의 마지막 단계는 «수렴하는 수열은 반드시 유계다»라는 사실(대우로, 유계가 아닌 수열은 발산한다)입니다. 직접 확인하면 : {S_n}이 어떤 S로 수렴한다면 770번의 정의에 의해 어떤 지표 이후로는 S_n이 구간 (S−1,S+1) 안에 들어오므로, 그 앞의 유한개 항의 최댓값과 S+1 중 큰 값이 전체 수열의 상계가 됩니다―이 논증 자체는 초등적이지만, 그 완전한 이론적 배경(유계인 단조수열은 반드시 수렴한다는 사실 등, 실수의 완비성에서 나오는 성질)은 대학 해석학에서 체계적으로 다룹니다.

따라서 {S_n}은 어떤 실수로도 수렴할 수 없고(수렴한다면 유계여야 하는데 유계가 아니므로), 조화급수 ∞Σk=1(1/k)는 발산합니다. 이것이 바로 771번의 역은 성립하지 않는다는 것을 보여주는 예입니다 ― 항 1/k는 0으로 수렴하지만 급수 자체는 발산합니다.

사용 : 769번 · 770번 · 771번 · 11.3의 762번(Σ의 기본 성질)

증명 끝

773정리등비수열의 극한(Limit of a Geometric Sequence)|r|<1 ⇒ limn→∞rⁿ = 0;   |r|≥1 (r≠1) ⇒ 발산

증명법 : 베르누이 부등식(수학적 귀납법) + 8.2 634번(조임정리)

⑴ 보조정리(베르누이 부등식). 모든 실수 h>0과 모든 자연수 n에 대해

(1+h)ⁿ ≥ 1+nh

가 성립합니다. 수학적 귀납법으로 확인합니다.

Ⅰ	n=1일 때, 양변 모두 1+h이므로 등호로 성립합니다.
Ⅱ	(1+h)m ≥ 1+mh(귀납법의 가정)라 합시다. h>0이므로 1+h>0이고, 부등식의 양변에 양수 (1+h)를 곱해도 방향이 바뀌지 않으므로

(1+h)m+1 = (1+h)m(1+h) ≥ (1+mh)(1+h)	귀납법의 가정 × (1+h)>0
= 1+(m+1)h+mh² ≥ 1+(m+1)h	mh²≥0(m≥1, h²≥0)이므로 버려도 부등식 유지

이므로 n=m+1에서도 성립합니다. Ⅰ·Ⅱ에 의해 모든 자연수 n에서 성립합니다.

⑵ 0<r<1인 경우. 1/r>1이므로 h:=1/r−1>0으로 두면 1/r=1+h입니다. ⑴을 적용하면

(1/r)n = (1+h)n ≥ 1+nh	⑴(베르누이 부등식)
0 < rn ≤ 11+nh	역수(0<r<1이므로 rn>0), 1+nh>0이므로 부등식 방향 유지

h>0이므로 n→∞이면 1+nh→∞이고(임의의 ε>0에 대해 n>(1/ε−1)/h로 잡으면 1+nh>1/ε, 즉 1/(1+nh)<ε), 따라서

limn→∞ 11+nh = 0

입니다. 0 < rⁿ ≤ 1/(1+nh)이고 아래끝(상수 0)과 위끝(1/(1+nh))이 모두 0에 수렴하므로, 8.2 634번(조임정리―n→∞에 그대로 적용)에 의해

limn→∞ rⁿ = 0 (0<r<1)

를 얻습니다.

⑶ −1<r<0인 경우. 0<|r|<1이므로 ⑵를 |r|에 적용하면 limn→∞|r|ⁿ=0입니다. |rⁿ−0|=|rⁿ|=|r|ⁿ이므로(770번의 ε−N 서술에서 거리는 절댓값으로 잰다는 사실 그대로), |r|ⁿ→0은 곧 rⁿ→0을 뜻합니다. r=0인 경우는 n≥1에서 rⁿ=0으로 자명합니다. ⑵·⑶을 종합하면 |r|<1인 모든 r에서 limn→∞rⁿ=0입니다.

⑷ r>1인 경우(발산). k:=r−1>0으로 두면 ⑴에 의해 rⁿ=(1+k)ⁿ≥1+nk이고, 1+nk→∞이므로(⑵와 같은 논증) {rⁿ}은 위로 유계가 아닙니다. 772번의 univ-note에서 확인한 «수렴하는 수열은 유계다»의 대우에 의해 {rⁿ}은 발산합니다(양의 무한대로 발산 ― 8.2 637번의 의미).

⑸ r≤−1인 경우(발산). r=−1이면 rⁿ은 1,−1,1,−1,…로 진동합니다 ― 짝수 번째 항은 항상 1, 홀수 번째 항은 항상 −1이므로, 만약 {rⁿ}이 어떤 L로 수렴한다면(770번의 ε−N 정의에 의해 충분히 큰 모든 n에서 rⁿ이 L에 원하는 만큼 가까워져야 하는데), 짝수 번째 항은 항상 1이고 홀수 번째 항은 항상 −1이므로 ε=1로 잡으면 L에서 거리가 1 미만인 구간 안에 1과 −1이 동시에 들어올 수는 없어(두 수 사이의 거리가 2이므로) 모순입니다. r<−1이면 |r|>1이므로 ⑷를 |r|에 적용해 |rⁿ|=|r|ⁿ→∞, 즉 {rⁿ}은 부호를 바꿔가며 크기가 한없이 커져 역시 발산합니다.

⑵–⑸를 종합하면, r=1(항상 1이므로 자명하게 1로 수렴―|r|<1의 범위 밖이라 이 정리의 결론과는 별개)을 제외하면, |r|<1일 때만 {rⁿ}이 0으로 수렴하고, 그 밖의 모든 경우(r>1, r=−1, r<−1)에는 발산합니다.

사용 : 선행학습 수학적 귀납법 · 8.2의 634번(조임정리) · 637번(무한대에서의 극한) · 770번(수렴의 정의) · 772번(수렴하는 수열의 유계성)

증명 끝

774정리무한등비급수의 합 공식(Sum of an Infinite Geometric Series)|r|<1 ⇒ ∞Σk=1a₁r^k−1 = a₁1−r;   |r|≥1 ⇒ 발산

증명법 : |r|<1은 11.2 760번+773번(극한), |r|≥1은 771번(필요조건의 대우)

{a_k}가 11.2 756번의 등비수열(첫째항 a₁≠0, 공비 r≠0)이라 합시다.

⑴ |r|<1인 경우(수렴). |r|<1이면 특히 r≠1이므로, 11.2 760번⑴에 의해

S_n = a₁(1−rⁿ)1−r

입니다. 773번에 의해 |r|<1이면 limn→∞rⁿ=0이므로, 8.2 632번(사칙연산―상수배·차, n→∞로 그대로 적용됨은 771번의 univ-note에서 확인)을 적용하면

limn→∞ Sn = limn→∞ a1(1−rn)1−r = a1(1−0)1−r	773번(lim rn=0) + 632번(사칙연산)
= a11−r	정리

를 얻습니다. 770번의 정의에 의해 이는 급수가 수렴하고 그 합이 a₁/(1−r)이라는 뜻입니다.

⑵ |r|≥1인 경우(발산). 756번에 의해 a_k=a₁r^k−1이고 a₁≠0입니다. |r|≥1이면 |r|^k−1≥1(k≥1)이므로

|a_k| = |a₁|·|r|^k−1 ≥ |a₁| > 0 (모든 k)

입니다. 즉 a_k는 항상 0으로부터 적어도 |a₁|만큼 떨어져 있어 0에 가까워질 수 없습니다(limk→∞a_k≠0). 771번(필요조건)의 대우 ― a_k가 0으로 수렴하지 않으면 급수는 발산한다 ― 에 의해, 이 경우 급수 ∞Σk=1a_k는 발산합니다(r=1, r=−1, |r|>1을 모두 한 번에 처리합니다).

a₁=1, r=1/3인 예 ― 부분합 S₁=1, S₂=4/3, …이 극한 S=3/2에 다가가는 모습을, 각 항의 실제 폭(1, 1/3, 1/9, 1/27, …)을 그대로 누적한 막대로 시각화. 남은 폭(회색 점선)은 0으로 수렴합니다.

수치 검산(활용). a₁=1, r=1/3인 경우 ⑴의 공식은 1/(1−1/3)=1/(2/3)=3/2를 줍니다. 직접 부분합을 계산해도 S₄=1+1/3+1/9+1/27=40/27≈1.481로, 실제로 3/2=1.5에 빠르게 가까워지고 있음을 확인할 수 있습니다. 반대로 a₁=1, r=2(11.2 761번의 예)는 |r|=2≥1이므로 ⑵에 의해 발산합니다 ― 실제로 761번에서 이 급수의 부분합은 2ⁿ−1로 한없이 커짐을 이미 확인했습니다.

사용 : 11.2의 756번(등비수열의 정의) · 760번(등비수열의 합 공식) · 761번 · 770번(수렴·합의 정의) · 771번(필요조건) · 773번(등비수열의 극한)

증명 끝

775정리활용 ― 순환소수를 분수로 나타내기(Repeating Decimals as Fractions)0.d = d/9,   0.ab = (10a+b)/99

증명법 : 순환소수를 무한등비급수로 풀어 쓴 뒤 774번을 적용

⑴ 한 자리 순환(0.d, d∈{1,…,9}). 순환소수 0.ddd…는 정의상 자릿값을 무한히 더한 것입니다 :

0.d = d10 + d100 + d1000 + … = ∞Σk=1 d10·110^k−1

이는 첫째항 a₁=d/10, 공비 r=1/10(|r|=1/10<1)인 무한등비급수이므로, 774번⑴을 적용하면

0.d = d/101−1/10 = d/109/10	774번⑴(a1=d/10, r=1/10)
= d9	분모·분자에 10을 곱해 약분

를 얻습니다. 예를 들어 0.7=0.777…=7/9입니다.

⑵ 두 자리 순환(0.ab). 두 자리 블록이 나타내는 정수를 N:=10a+b(0≤N≤99)라 하면, 완전히 같은 방식으로

0.ab = N100 + N10000 + … = ∞Σk=1 N100·1100^k−1

는 a₁=N/100, r=1/100인 무한등비급수이고, 774번⑴에 의해

0.ab = N/1001−1/100 = N/10099/100 = N99 = 10a+b99

를 얻습니다. 같은 방법으로 L자리 순환마디가 나타내는 정수가 N이면 0.(L자리) = N/(10^L−1)이 됨을 완전히 같은 논증(a₁=N/10^L, r=1/10^L)으로 일반화할 수 있습니다.

⑶ 활용 예 : 0.34를 분수로. a=3, b=4이므로 N=34이고, ⑵에 의해 0.34=34/99입니다. 검산 : 34÷99를 직접 나눗셈하면 0.343434…가 되어 일치합니다.

⑷ 활용 예 : 0.999… = 1(놀랍지만 엄밀한 사실). ⑴에 d=9를 대입하면 0.9=9/9=1입니다. 이는 역설이 아니라 774번을 그대로 적용한 결과입니다 ― 0.999…는 «1에 아주 가깝지만 1은 아닌 어떤 수»가 아니라, 부분합 0.9, 0.99, 0.999,…의 극한(770번)으로 정의된 하나의 실수이고, 그 극한값이 정확히 1이라는 뜻입니다.

사용 : 774번(무한등비급수의 합 공식)

증명 끝