3.11 심화·배경
내접원을 가진 등변사다리꼴
Isosceles Trapezoid with Inscribed Circle
정의 · 공식과 증명
내접원을 가진 등변사다리꼴의 성질 7개(223~229번)를 정리합니다. 사각형이 내접원을 가지려면 마주보는 변의 합이 같아야 합니다(피토의 정리, Pitot theorem).
내접원을 가진 등변사다리꼴: a+b=2c (피토의 정리)
223정리내접원을 갖기 위한 조건a + b = 2c
증명법 : 직접증명법
사각형이 내접원을 가지려면 마주보는 두 쌍의 변의 합이 서로 같아야 합니다(원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 사실로부터, 3.15의 242번에서 일반적으로 증명). 사다리꼴 ABCD(AB∥CD, AB=a, CD=b)에서 마주보는 변의 짝은 (AB, CD)=(a, b)와 (BC, DA)=(c, c)이므로, 조건은
a + b = c + c = 2c
이 조건은 필요조건입니다(내접원이 있으면 a+b=2c). 역(a+b=2c이면 내접원이 있음)도 참이지만, 이 절의 다른 정리는 모두 "내접원을 가진" 사다리꼴을 전제로 하므로 역은 쓰지 않으며 여기서 다루지 않습니다.
사용 : 3.15의 242번(외접사각형의 조건)
증명 끝
224정리중위선q = a+b2 = c
225정리대각선d² = h² + c²
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
3.10의 219번(d²=ab+c²)과 220번(h²=c²-(a-b2)²)을 결합해, 중위선 q=a+b2에 대해 d²-h²=q²가 성립함을 먼저 보입니다.
| d² - h² = (ab+c²) - (c² - (a-b2)²) | 219번, 220번 대입 |
| = ab + (a-b2)² | c² 소거 |
| = (a+b2)² | (a+b2)² - (a-b2)² = ab (2.1의 65번 형태의 전개)를 역으로 사용 |
| = q² | q=a+b2(3.9의 216번) |
따라서 d²=h²+q². 여기에 224번(q=c)을 대입하면
d² = h² + c²
사용 : 3.10의 219번 · 220번 · 224번 · 2.1의 65번
증명 끝
226정리내접원의 반지름r = h2 = ab2
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
넓이를 두 가지로 표현합니다 : 중위선을 이용한 S=qh(3.9의 217번)와, 내접원의 반지름과 반둘레를 이용한 S=r·p(3.15의 244번 — 내접원의 중심에서 각 변에 내린 수선이 모두 반지름 r이므로 성립).
| p = a+b+2c2 = 2c+2c2 = 2c | 223번(a+b=2c) |
| q = c | 224번 |
| qh = rp → ch = r·2c | S=qh=rp에 위 두 값 대입 |
| → r = h2 | 양변을 2c로 나눔 |
이제 h를 a, b로 나타냅니다. 220번(h²=c²-(a-b2)²)에 223번에서 얻은 c=a+b2를 대입하면
| h² = (a+b2)² - (a-b2)² | 220번에 c=a+b2 대입 |
| = ab | 2.1의 65번 형태의 전개 |
h = ab ⇒ r = ab2
사용 : 3.9의 217번 · 3.15의 244번 · 3.10의 220번 · 223번, 224번 · 2.1의 65번
증명 끝
227정리외접원의 반지름R = c·d2h = cab+c²2ab
증명법 : 직접증명법
등변사다리꼴은 항상 원에 내접하므로(3.10 참고), 3.10의 221번 (R=cab+c²(2c-a+b)(2c+a-b))의 근호 속 두 인수를 223번(a+b=2c, 즉 b=2c-a)으로 정리합니다.
| 2c - a + b = 2c - a + (2c-a) = 2(2c-a) = 2b | 223번에서 b=2c-a |
| 2c + a - b = 2c + a - (2c-a) = 2a | 223번에서 b=2c-a |
| (2c-a+b)(2c+a-b) = 4ab = 2ab = 2h | 위 두 결과 대입, 226번(h=ab) |
또한 225번에서 d²=ab+c²이므로 근호 속의 ab+c²는 곧 d². 따라서
R = c·d2h = cab+c²2ab
(주의 : 등변사다리꼴은 원에 내접하지만, 대각선 d가 그 원의 지름은 아닙니다 — 대각선이 지름이 되려면 대각선이 마주보는 꼭짓점에서 직각을 이루어야 하는데(원주각의 성질), 이는 직사각형처럼 네 각이 모두 직각인 특수한 경우에만 성립합니다. 따라서 R=d/2로 단순화할 수 없고, 위와 같이 c, d, h를 모두 사용한 식이 맞는 결과입니다.)
사용 : 3.10의 221번 · 223번 · 225번(d²=ab+c²) · 226번(h=ab)
증명 끝