3.24 범위 밖(백과사전)
각기둥
Prism
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 정육면체(3.22)·직육면체(3.23)를 일반화한 각기둥을 다룹니다. 밑면이 임의의 볼록다각형인 경우로 확장하여 공식 4개(298~301번)를 정리합니다. 밑면 다각형의 꼭짓점을 A₁, A₂, …, Aₙ (이 절의 대표 도형에서는 오각형 A₁, A₂, A₃, A₄, A₅를 예로 듭니다)로 표기하고, 옆모서리로 대응하는 윗면의 꼭짓점은 같은 순서로 A₁′, A₂′, …, Aₙ′로 표기합니다(사각기둥의 경우 A₁A₂A₃A₄-A₁′A₂′A₃′A₄′가 3.22·3.23의 ABCD-EFGH에 해당합니다). 밑면 다각형의 둘레를 P, 넓이를 B, 두 밑면 사이의 거리(직각기둥에서는 옆모서리의 길이와 같음)를 높이 h로 둡니다.
오각기둥 A₁A₂A₃A₄A₅-A₁′A₂′A₃′A₄′A₅′ — 밑면 A₁A₂A₃A₄A₅와 옆모서리로 평행이동한 윗면 A₁′A₂′A₃′A₄′A₅′, 높이 h (점선은 보이지 않는 모서리)
298정의각기둥과 직각기둥각기둥 = 합동·평행인 두 다각형(밑면)과 이를 잇는 평행사변형(옆면)으로 둘러싸인 다면체
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 서로 합동이고 평행인 두 개의 다각형 면(밑면, base)과, 두 밑면의 대응하는 변을 잇는 평행사변형 면들(옆면, lateral face)로 둘러싸인 다면체를 각기둥(prism)이라 합니다 — 3.22의 283번(다면체의 정의)을 만족하는 입체의 한 종류입니다. 두 밑면을 잇는 모서리(옆모서리, lateral edge)는 모두 평행이고 길이가 같습니다. 옆모서리가 밑면에 수직인 경우 직각기둥(right prism)이라 하며, 이때 각 옆면은 직사각형이 됩니다 — 옆모서리는 밑면과 수직이므로 밑면 위의 변과도 수직이고(3.22 단원 서두의 약속 ②), 한 각이 직각인 평행사변형은 이웃각의 합이 180°(3.7의 205번)이라 네 각이 모두 직각인 직사각형이기 때문입니다(옆모서리가 수직이 아니면 빗각기둥, oblique prism이라 하고 옆면은 일반적인 평행사변형이 됩니다). 밑면이 정n각형인 직각기둥은 정n각기둥(regular prism)이라 부르지만, 이는 직각기둥의 특수한 경우이므로 별도의 공식 항목으로 다루지 않습니다. 이 절의 이후 공식(299~301번)은 모두 직각기둥을 기준으로 합니다. 정육면체 (3.22)와 직육면체(3.23)는 밑면이 정사각형·직사각형인 사각기둥의 특수한 경우입니다.
사용 : 3.22의 283번(다면체의 정의) · 3.22 단원 서두의 약속 ②(직선과 평면의 수직) · 3.7의 205번(이웃각의 합)
299정리옆넓이Slat = Ph
증명법 : 직접증명법
직각기둥이므로 각 옆면은 옆모서리(길이 h)와 밑면의 한 변(길이 a1, a2, …, an)을 두 변으로 하는 직사각형입니다(정의 298번). 3.6의 204번 (직사각형의 넓이 S=ab)에 의해 i번째 옆면의 넓이는 aih이므로, 옆넓이는 이 모든 옆면 넓이의 합입니다.
Slat = a1h + a2h + ⋯ + anh = (a1+a2+⋯+an)h = Ph (P는 밑면의 둘레)
옆면을 펼친 전개도 — n개의 직사각형(각 변 ai, 높이 h)이 이어 붙은 하나의 띠, 전체 넓이 = Ph
사용 : 298번(옆면은 직사각형) · 3.6의 204번(직사각형의 넓이)
증명 끝
300정리겉넓이S = 2B + Ph
301정리부피V = Bh
증명법 : 직접증명법
(1) 삼각기둥으로의 분할. 밑면 다각형의 한 꼭짓점(예 : A₁)에서 나머지 꼭짓점으로 대각선을 그으면 밑면은 (n-2)개의 삼각형 t1, …, tn−2로 나누어지고, 그 넓이의 합은 밑면의 넓이 B와 같습니다. 이 대각선들을 포함하고 밑면에 수직인 평면들로 각기둥 전체를 자르면, 각기둥은 각 ti를 밑면으로 하고 높이가 똑같이 h인 (n-2)개의 삼각기둥으로 나누어집니다. 3.22의 285번(부피의 공리) 성질 ②(입체를 유한 개로 나누면 전체 부피는 각 부분의 부피의 합과 같다)에 의해 V = V1+V2+⋯+Vn−2 (Vi : ti 위 삼각기둥의 부피).
(2) 직각삼각형 위의 삼각기둥. 직각을 낀 두 변이 p, q인 직각삼각형을 밑면으로 하는 삼각기둥의 부피가 pq2h임을 먼저 보입니다. 이와 합동인 삼각기둥을 하나 더 준비하여 빗변을 포함하는 옆면끼리, 한쪽 빗변의 양 끝에 다른 쪽의 두 예각이 서로 엇갈려 오도록 맞붙입니다. 그러면 두 밑면 삼각형은 빗변의 양 끝에서 두 예각의 합 (90°, 3.4의 181번)을 이루므로 네 각이 모두 직각인 사각형, 곧 두 변이 p, q인 직사각형이 되고, 맞붙인 입체는 이 직사각형을 밑면으로 하는 직각기둥이므로 여섯 면이 모두 직사각형(위 298번), 즉 세 모서리의 길이가 p, q, h인 직육면체(3.23의 292번)입니다. 285번의 성질 ①(합동인 두 입체의 부피는 같다)과 ②에 의해 이 두 삼각기둥의 부피의 합은 이 직육면체의 부피 pqh(285번의 성질 ③)와 같으므로, 삼각기둥 하나의 부피는
(직각삼각기둥의 부피) = pq2h
입니다. 3.1의 171번(직각삼각형의 넓이 pq2)에 의해 이는 (직각삼각형의 넓이)×h와 같습니다.
(3) 일반 삼각형 위의 삼각기둥. 밑면이 일반 삼각형인 삼각기둥의 부피도 (삼각형의 넓이)×h임을 보입니다. 삼각형의 한 꼭짓점에서 마주보는 변(또는 그 연장선)에 내린 수선의 발을 H라 하면, H의 위치에 따라 두 가지 경우로 나누어집니다(어느 경우가 되는지는 어느 변을 밑변으로 고르느냐에 달려 있습니다).
① H가 밑변 위에 있는 경우(밑변 양 끝의 두 각이 모두 예각 또는 직각) — H가 밑변의 한 끝점이면 원래 삼각형이 이미 직각삼각형이므로 (2)로 끝납니다. 그렇지 않으면 H가 밑변을 r, s(r+s = 밑변)로 나누고, 두 조각은 공통의 높이 m을 갖는 직각삼각형이 되며, H를 지나고 밑면에 수직인 평면이 삼각기둥도 그와 같은 두 개의 직각삼각형기둥으로 나눕니다. (2)를 각 조각에 적용하고 285번의 성질 ②(부분의 부피의 합=전체의 부피)를 쓰면, 부피의 합은
rm2h + sm2h = (r+s)m2h
② H가 밑변의 연장선 위에 있는 경우(밑변의 한 끝각이 둔각) — 이때는 원래 삼각형이 더 큰 직각삼각형(밑변 t, 높이 m — t는 밑변에 연장된 부분 s를 더한 길이, 즉 t = 밑변+s)에서 작은 직각삼각형(밑변 s, 높이 m)을 뺀 조각이고, 원래의 삼각기둥도 이 두 직각삼각형기둥의 차입니다. 285번의 성질 ②를 “부분의 합=전체” 방향이 아니라 그 역(어느 한 부분의 부피 = 전체의 부피 − 나머지 부분의 부피) 방향으로 적용하면 — 두 경우 모두 같은 성질 ②를 쓴 것으로, 셋 중 어느 것을 전체로 볼지만 다릅니다 — 부피의 차는
tm2h − sm2h = (t-s)m2h = (밑변)m2h
로, ①과 똑같은 형태 (밑변)m2h가 나옵니다. 두 경우 모두 3.4의 195번(삼각형의 넓이 = 밑변×높이÷2)에 의해 (밑변)m2은 밑변, 높이 m인 원래 삼각형의 넓이와 같으므로, 삼각기둥의 부피는 (삼각형의 넓이)×h입니다.
(4) 종합. (1)에서 나눈 각 ti에 (3)을 적용하면 Vi = ti·h이므로
V = t1h + t2h + ⋯ + tn−2h = (t1+t2+⋯+tn−2)h = Bh
밑면의 삼각분할(꼭짓점 A₁에서의 대각선) — 오각기둥은 t1, t2, t3 세 삼각기둥으로 나누어지고, 각각의 부피는 (삼각형의 넓이)×h이므로 합은 Bh
사용 : 3.22의 285번(부피의 공리, 성질 ①②③) · 298번(직각기둥의 옆면) · 3.23의 292번(직육면체) · 3.4의 181번(내각의 합) · 3.1의 171번(직각삼각형의 넓이) · 3.4의 195번(삼각형의 넓이)
증명 끝