3.26 범위 밖(백과사전)
정각뿔
Regular Pyramid
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 밑면이 정n각형이고, 꼭짓점(정점)에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심과 일치하는 각뿔인 정각뿔(regular pyramid)을 다룹니다. 3.25의 정사면체는 n=3이고 옆모서리의 길이까지 밑변과 같은 특수한 경우였지만, 이 절에서는 임의의 n에 대해 성립하는 일반적인 공식 8개(310~317번)를 정리합니다. 대표 도형에서는 n=4인 정사각뿔을 예로 들어 밑면을 ABCD, 정점을 P, 밑면의 중심을 O로 표기하며, 밑면 한 변의 길이를 a, 높이 PO를 h로 둡니다. 밑면이 정n각형이므로 3.18의 외접원의 반지름(256번)과 내접원의 반지름/아포템(257번)을 그대로 가져와 각각 R₀, r₀으로 표기합니다(이 절 자체의 내접구·외접구의 반지름 r, R과 구분하기 위한 아래첨자입니다).
정각뿔 ABCD-P(n=4인 정사각뿔을 예로 그림) — 밑면의 중심 O, 정점 P, 높이 PO=h (점선은 보이지 않는 모서리 AD, DC, PD와 내부의 축 PO)
310정의정각뿔정각뿔 = 밑면이 정n각형이고, 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심과 일치하는 각뿔
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 각뿔(3.25의 302번)의 밑면이 정n각형이고, 정점(apex) P에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심 O(외심=내심=무게중심, 정n각형이므로 세 중심이 일치)와 일치할 때 이를 정각뿔(regular pyramid) 또는 정n각뿔이라 합니다. 중심 O에서 밑면의 한 꼭짓점까지의 거리는 밑면의 외접원의 반지름 R₀(3.18의 256번)이고, O에서 밑면의 한 변의 중점까지의 거리는 밑면의 내접원의 반지름(아포템) r₀(3.18의 257번)입니다. 정점 P는 O의 바로 위, 즉 밑면으로부터 거리 h(높이)만큼 떨어진 곳에 있습니다. O가 밑면의 모든 꼭짓점으로부터 같은 거리 R₀에, 모든 변의 중점으로부터 같은 거리 r₀에 있으므로, PO⊥밑면이라는 사실과 피타고라스 정리에 의해 P 역시 밑면의 모든 꼭짓점으로부터 같은 거리(옆모서리의 길이 l, 311번)에, 모든 변의 중점으로부터 같은 거리(빗면의 높이 m, 312번)에 있게 됩니다. 따라서 정각뿔의 옆모서리는 모두 길이가 같고, 옆면은 모두 합동인 이등변삼각형(밑변 a, 옆변 l)입니다. 3.25의 정사면체는 n=3이고 특별히 l=a인 경우(여섯 모서리의 길이가 모두 같음)의 예입니다.
사용 : 3.25의 302번(각뿔의 정의) · 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.18의 257번(내접원의 반지름/아포템)
311정리옆모서리의 길이l = h²+R₀²
증명법 : 직접증명법
정점 P에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심 O이므로 PO⊥밑면이고 PO=h(310번). 밑면의 한 꼭짓점을 A라 하면 OA=R₀(밑면의 외접원의 반지름, 3.18의 256번)이고, PO⊥밑면이므로 특히 PO⊥OA입니다. 따라서 삼각형 POA는 O에서 직각인 직각삼각형이고, 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 PA²=PO²+OA²=h²+R₀²이므로, 옆모서리의 길이는
l = PA = h²+R₀²
입니다. 정n각형은 어느 꼭짓점을 택해도 중심 O로부터의 거리가 항상 R₀이므로, 이 값은 밑면의 꼭짓점을 어떻게 고르든 동일합니다(옆모서리의 길이가 모두 같음, 310번).
정각뿔의 축 단면 — 밑면의 중심 O, 꼭짓점 A, 정점 P가 이루는 직각삼각형(직각은 O). OA=R₀(밑면의 외접원의 반지름), OP=h(높이), 빗변 PA=l(옆모서리의 길이)
사용 : 310번(정각뿔의 정의) · 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
312정리빗면의 높이m = h²+r₀²
증명법 : 직접증명법
밑면의 한 변의 중점을 M이라 하면 OM=r₀(밑면의 내접원의 반지름/아포템, 3.18의 257번)이고, PO⊥밑면이므로 PO⊥OM입니다. 삼각형 POM은 O에서 직각인 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 PM²=PO²+OM²=h²+r₀²이므로
PM = h²+r₀²
입니다. 이 PM이 실제로 옆면의 높이임을 확인해야 합니다 — 밑변이 M을 중점으로 갖는 변 AB인 옆면 삼각형 PAB는 PA=PB=l(311번)인 이등변삼각형이고 M은 밑변 AB의 중점이므로, 이등변삼각형의 대칭성(3.2의 173번과 같은 논리로 밑변의 중점을 지나는 중선은 밑변 위의 높이와 일치)에 의해 PM은 AB에 수직입니다. 따라서 PM은 옆면 PAB의 밑변 AB 위의 높이이며, 그 값은
m = h²+r₀²
입니다. 이 값을 빗면의 높이(slant height, 사면의 높이)라 부릅니다.
정각뿔의 축 단면 — 밑면의 중심 O, 한 변의 중점 M, 정점 P가 이루는 직각삼각형 (직각은 O). OM=r₀(밑면의 아포템), OP=h(높이), 빗변 PM=m(빗면의 높이)
사용 : 310번 · 3.18의 257번(내접원의 반지름/아포템) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.2의 173번과 같은 논리(이등변삼각형의 대칭성, 중선과 높이의 일치)
증명 끝
313정리옆넓이Slat = pm (p = na2, 밑면 둘레의 절반)
증명법 : 직접증명법
옆면은 밑변 a, 높이 m(312번)인 합동인 이등변삼각형 n개(310번)로 이루어져 있으므로, 삼각형의 넓이 공식(3.4의 195번, S=밑변·높이2)에 의해 옆면 하나의 넓이는 12am입니다. 옆넓이는 이 n개의 넓이의 합이므로
Slat = n·12am = 12(na)m
이고, 밑면의 둘레는 L=na(3.18의 258번)이므로, 그 절반을
p = L2 = na2
라 두면(3.18의 259번에서 정n각형의 넓이를 나타낼 때 쓰인 것과 같은 표기),
Slat = pm
정각뿔의 한 옆면 PAB(밑변 a, 정점 P) — M은 밑변 AB의 중점이며 PM=m(312번)은 이 옆면의 높이. 합동인 옆면 n개의 넓이의 합이 옆넓이 Slat = pm(p=na/2)
사용 : 310번 · 312번(빗면의 높이) · 3.4의 195번(삼각형의 넓이) · 3.18의 258번(둘레)
증명 끝
314정리겉넓이S = B + pm
315정리부피V = 13Bh
증명법 : 직접증명법
각뿔의 부피 공리(3.25의 304번)에 의해 밑면의 넓이가 B이고 높이가 h인 각뿔의 부피는
V = 13Bh
입니다. 정각뿔도 밑면이 정n각형인 각뿔의 하나이므로 이 공리가 그대로 적용되며, 밑면의 넓이 B는 정n각형의 넓이 공식(3.18의 259번, B=pr₀, p=na2는 313번의 반둘레, r₀은 아포템)으로 구할 수 있습니다.
정각뿔 ABCD-P(n=4 예시) — 밑면(넓이 B)과 높이 h, 부피 V = (1/3)Bh
사용 : 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리) · 3.18의 259번(밑면의 넓이)
증명 끝
316정리내접구의 반지름r = r₀hr₀+m
증명법 : 직접증명법
축 PO 위에 O로부터 거리 r만큼 떨어진 점 I를 하나 잡습니다(r의 값은 아래에서 결정합니다). I가 밑면에 접하려면 I에서 밑면까지의 거리가 반지름과 같아야 하는데, I가 축 위에 있고 축은 밑면에 수직이므로 이 거리는 바로 OI이고, 따라서 OI=r입니다.
I가 밑면의 한 변 AB(중점 M)를 밑변으로 하는 옆면 PAB에도 접하려면, 앞서 312번에서 다룬 축 단면(점 O, M, P를 지나는 평면)에서 I로부터 직선 PM에 내린 수선의 발을 K라 할 때 IK=r이어야 합니다. 직각삼각형 PIK와 직각삼각형 PMO를 비교하면, 두 삼각형 모두 각 P를 공유하고(I가 선분 PO 위에, K가 선분 PM 위에 있으므로 ∠IPK=∠OPM, 동일한 각) 각각 K, O에서 직각이므로 AA 닮음조건에 의해 △PIK ∽ △PMO입니다. 닮음삼각형의 대응변 비례에 의해
IK/MO = PI/PM, 즉 r/r₀ = (h-r)/m
(PI=PO-OI=h-r, MO=r₀, PM=m은 312번)이고, 이를 정리하면 :
| rm = r₀(h-r) | 위 식의 양변에 mr₀ 곱함 |
| = r₀h - r₀r | 전개 |
즉 rm + r₀r = r₀h, r(m+r₀) = r₀h이므로, 밑면과 옆면 PAB에 동시에 접하는 (유일한) 점의 반지름은
r = r₀hr₀+m
입니다. 그런데 이 값 r은 h, r₀, m 세 상수만으로 결정되고, 이 세 값은 밑면의 변을 어느 것으로 택하든(즉 다른 변의 중점 M′을 지나는 축 단면 삼각형 PM′O를 잡아도) 동일합니다(OM′=r₀는 정n각형의 아포템이 모든 변에 대해 같기 때문, 3.18의 257번; PM′=m은 312번에서 이미 모든 변의 중점에 대해 성립함을 보였습니다). 따라서 같은 계산을 다른 어떤 옆면에 대해 반복해도 축 위의 같은 점(O로부터 거리 r)이 그 옆면까지의 거리도 r로 같게 만들며, 결국 I는 n개의 옆면 전부와 밑면에 동시에 접합니다. 이로써 밑면과 모든 옆면에 동시에 접하는 구(내접구)가 실제로 존재하며 그 중심이 축 PO 위의 점 I, 반지름이 위 r임이 확인됩니다(구 자체의 정의와 성질은 3.34에서 다룹니다, 선행 인용).
정각뿔의 축 단면(O, M, P를 지나는 평면) — 내접구의 중심 I는 축 OP 위의 점으로, O로부터의 거리(OI)와 옆면까지의 거리(IK, K는 I에서 PM에 내린 수선의 발)가 모두 반지름 r로 같음 (작은 눈금은 OI=IK를 표시)
사용 : 310번(정각뿔의 정의) · 312번 (빗면의 높이 m, 밑면의 아포템 r₀) · 3.18의 257번 (아포템은 모든 변에 대해 동일) · AA 닮음조건 · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝
317정리외접구의 반지름R = h²+R₀²2h
증명법 : 직접증명법
정각뿔의 축 PO 위에는 정점 P와 밑면의 모든 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있는 점 Q가 존재합니다 (이 점을 중심으로 정점과 밑면의 모든 꼭짓점을 지나는 구(외접구)를 그릴 수 있습니다 — 구의 정의와 성질은 3.34의 373번을 참고하세요). Q가 O로부터 축을 따라 P쪽으로 거리 x만큼 떨어져 있다고 하면, OQ⊥밑면이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 Q에서 밑면의 한 꼭짓점 A까지의 거리는 x²+OA² = x²+R₀²이고 (OA=R₀은 밑면의 외접원의 반지름, 3.18의 256번), Q에서 P까지의 거리는 h-x입니다(h는 높이). Q가 구하는 점이 되려면 이 두 거리가 같아야 하므로 :
| x²+R₀² = h-x | 거리가 같음 |
| x²+R₀² = h²-2hx+x² | 양변 제곱 |
| R₀² = h²-2hx | x² 소거 |
이를 x에 대해 풀면
x = h²-R₀²2h
이므로, 외접구의 반지름은
| R = h-x | 정의 |
| = h - h²-R₀²2h | 위 x 대입 |
| = 2h²-h²+R₀²2h | 통분 |
R = h²+R₀²2h
정각뿔의 축 단면 — 외접구의 중심 Q는 축 OP 위의 점으로, 정점 P와 밑면의 꼭짓점 A로부터 같은 거리 R에 있음(OQ=x, QP=QA=R)
사용 : 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝