3.26 범위 밖(백과사전)
정각뿔
Regular Pyramid
정의 · 공식과 증명
이 절에서는 밑면이 정n각형이고, 꼭짓점(정점)에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심과 일치하는 각뿔인 정각뿔(regular pyramid)을 다룹니다. 3.25의 정사면체는 n=3이고 옆모서리의 길이까지 밑변과 같은 특수한 경우였지만, 이 절에서는 임의의 n에 대해 성립하는 정의 1개와 일반적인 공식 7개(310~317번)를 정리합니다. 대표 도형에서는 n=4인 정사각뿔을 예로 들어 밑면을 ABCD, 정점을 P, 밑면의 중심을 O로 표기하며, 밑면 한 변의 길이를 a, 높이 PO를 h로 둡니다. 밑면이 정n각형이므로 3.18의 외접원의 반지름(256번)과 내접원의 반지름/아포템(257번)을 그대로 가져와 각각 R₀, r₀으로 표기합니다(이 절 자체의 내접구·외접구의 반지름 r, R과 구분하기 위한 아래첨자입니다).
정각뿔 ABCD-P(n=4인 정사각뿔을 예로 그림) — 밑면의 중심 O, 정점 P, 높이 PO=h (점선은 보이지 않는 모서리 AD, DC, PD와 내부의 축 PO)
310정의정각뿔정각뿔 = 밑면이 정n각형이고, 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심과 일치하는 각뿔
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 각뿔(3.25의 302번)의 밑면이 정n각형이고, 정점(apex) P에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심 O(외심=내심=무게중심, 정n각형이므로 세 중심이 일치)와 일치할 때 이를 정각뿔(regular pyramid) 또는 정n각뿔이라 합니다. 중심 O에서 밑면의 한 꼭짓점까지의 거리는 밑면의 외접원의 반지름 R₀(3.18의 256번)이고, O에서 밑면의 한 변의 중점까지의 거리는 밑면의 내접원의 반지름(아포템) r₀(3.18의 257번)입니다. 정점 P는 O의 바로 위, 즉 밑면으로부터 거리 h(높이)만큼 떨어진 곳에 있습니다. 이 정의로부터 옆모서리의 길이가 모두 같고(311번) 옆면이 모두 합동인 이등변삼각형(밑변 a, 옆변 l)이며 그 높이도 모두 같다는 것(312번)이 아래에서 증명됩니다. 3.25의 정사면체는 n=3이고 특별히 l=a인 경우(여섯 모서리의 길이가 모두 같음)의 예입니다.
사용 : 3.25의 302번(각뿔의 정의) · 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.18의 257번(내접원의 반지름/아포템)
311정리옆모서리의 길이l = h²+R₀²
증명법 : 직접증명법
정점 P에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 중심 O이므로 PO⊥밑면이고 PO=h(310번). 밑면의 한 꼭짓점을 A라 하면 OA=R₀(밑면의 외접원의 반지름, 3.18의 256번)이고, PO⊥밑면이므로 특히 PO⊥OA입니다. 따라서 삼각형 POA는 O에서 직각인 직각삼각형이고, 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 PA²=PO²+OA²=h²+R₀²이므로, 옆모서리의 길이는
l = PA = h²+R₀²
입니다. 정n각형은 어느 꼭짓점을 택해도 중심 O로부터의 거리가 항상 R₀이므로, 이 값은 밑면의 꼭짓점을 어떻게 고르든 동일합니다(옆모서리의 길이가 모두 같음, 310번).
정각뿔의 축 단면 — 밑면의 중심 O, 꼭짓점 A, 정점 P가 이루는 직각삼각형(직각은 O). OA=R₀(밑면의 외접원의 반지름), OP=h(높이), 빗변 PA=l(옆모서리의 길이)
사용 : 310번(정각뿔의 정의) · 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)
증명 끝
312정리빗면의 높이m = h²+r₀²
증명법 : 직접증명법
밑면의 한 변의 중점을 M이라 하면 OM=r₀(밑면의 내접원의 반지름/아포템, 3.18의 257번)이고, PO⊥밑면이므로 PO⊥OM입니다. 삼각형 POM은 O에서 직각인 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 PM²=PO²+OM²=h²+r₀²이므로
PM = h²+r₀²
입니다. 이 PM이 실제로 옆면의 높이임을 확인해야 합니다 — 밑변이 M을 중점으로 갖는 변 AB인 옆면 삼각형 PAB는 PA=PB=l(311번)인 이등변삼각형이고 M은 밑변 AB의 중점이므로, 이등변삼각형의 대칭축 성질(3.2의 보조정리 : 이등변삼각형에서 꼭짓점과 밑변의 중점을 잇는 중선은 밑변에 수직)에 의해 PM은 AB에 수직입니다. 따라서 PM은 옆면 PAB의 밑변 AB 위의 높이이며, 그 값은
m = h²+r₀²
입니다. 이 값을 빗면의 높이(slant height, 사면의 높이)라 부릅니다.
정각뿔의 축 단면 — 밑면의 중심 O, 한 변의 중점 M, 정점 P가 이루는 직각삼각형 (직각은 O). OM=r₀(밑면의 아포템), OP=h(높이), 빗변 PM=m(빗면의 높이)
사용 : 310번 · 3.18의 257번(내접원의 반지름/아포템) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.2의 보조정리(이등변삼각형의 중선과 밑변의 수직)
증명 끝
313정리옆넓이Slat = pm (p = na2, 밑면 둘레의 절반)
증명법 : 직접증명법
옆면은 밑변 a, 높이 m(312번)인 합동인 이등변삼각형 n개(310번)로 이루어져 있으므로, 삼각형의 넓이 공식(3.4의 195번, S=밑변·높이2)에 의해 옆면 하나의 넓이는 12am입니다. 옆넓이는 이 n개의 넓이의 합이므로
Slat = n·12am = 12(na)m
이고, 밑면의 둘레는 L=na(3.18의 258번)이므로, 그 절반을
p = L2 = na2
라 두면(3.18의 259번에서 정n각형의 넓이를 나타낼 때 쓰인 것과 같은 표기),
Slat = pm
정각뿔의 한 옆면 PAB(밑변 a, 정점 P) — M은 밑변 AB의 중점이며 PM=m(312번)은 이 옆면의 높이. 합동인 옆면 n개의 넓이의 합이 옆넓이 Slat = pm(p=na/2)
사용 : 310번 · 312번(빗면의 높이) · 3.4의 195번(삼각형의 넓이) · 3.18의 258번(둘레)
증명 끝
314정리겉넓이S = B + pm
315정리부피V = 13Bh
증명법 : 직접증명법
각뿔의 부피 공리(3.25의 304번)에 의해 밑면의 넓이가 B이고 높이가 h인 각뿔의 부피는
V = 13Bh
입니다. 정각뿔도 밑면이 정n각형인 각뿔의 하나이므로 이 공리가 그대로 적용되며, 밑면의 넓이 B는 정n각형의 넓이 공식(3.18의 259번, B=pr₀, p=na2는 313번의 반둘레, r₀은 아포템)으로 구할 수 있습니다.
정각뿔 ABCD-P(n=4 예시) — 밑면(넓이 B)과 높이 h, 부피 V = 13Bh
사용 : 3.25의 304번(각뿔의 부피 공리) · 3.18의 259번(밑면의 넓이)
증명 끝
316정리내접구의 반지름r = r₀hr₀+m
증명법 : 직접증명법
축 PO 위의 점 I를 중심으로 하고 반지름이 r인 구가 밑면과 모든 옆면에 접하도록 I와 r을 정합니다. 이 구가 밑면에 접하려면 I에서 밑면이 놓인 평면까지의 거리가 r이어야 하는데, 축은 밑면에 수직이므로 그 수선의 발은 O이고(3.22 단원 서두의 약속 ⑤) 거리는 OI입니다. 따라서 OI=r입니다.
다음으로 밑면의 한 변 AB(중점 M)를 밑변으로 하는 옆면 PAB를 봅니다. 312번에서 다룬 축 단면(점 O, M, P를 지나는 평면)에서 I로부터 직선 PM에 내린 수선의 발을 K라 합니다. 먼저 IK가 I에서 평면 PAB까지의 거리임을 확인합니다 : OA=OB이고 M은 AB의 중점이므로 OM⊥AB(3.2의 보조정리)이고, PO⊥밑면이므로 PO⊥AB입니다. AB가 평면 POM 위의 만나는 두 직선 OM, PO와 수직이므로 AB는 평면 POM과 수직이고(3.22 단원 서두의 약속 ②), 따라서 이 평면 위의 직선 IK와도 수직입니다. 그러면 IK는 평면 PAB 위의 만나는 두 직선 PM, AB와 모두 수직이므로 평면 PAB와 수직이고, K는 I에서 평면 PAB에 내린 수선의 발입니다(약속 ②·⑤). 또 ∠IPM과 ∠IMP가 모두 예각이므로 K는 선분 PM 위, 곧 옆면 PAB 위에 있습니다. 따라서 구가 옆면 PAB에 접할 조건은 IK=r입니다. 직각삼각형 PIK와 직각삼각형 PMO를 비교하면, 두 삼각형 모두 각 P를 공유하고(I가 선분 PO 위에, K가 선분 PM 위에 있으므로 ∠IPK=∠OPM, 동일한 각) 각각 K, O에서 직각이므로 AA 닮음조건에 의해 △PIK ∽ △PMO입니다. 닮음삼각형의 대응변 비례에 의해
IK/MO = PI/PM, 즉 r/r₀ = (h-r)/m
(PI=PO-OI=h-r, MO=r₀, PM=m은 312번)이고, 이를 정리하면 :
| rm = r₀(h-r) | 위 식의 양변에 mr₀ 곱함 |
| = r₀h - r₀r | 전개 |
즉 rm + r₀r = r₀h, r(m+r₀) = r₀h이므로, 축 위에서 밑면과 옆면 PAB에 동시에 접하는 구는 하나뿐이고 그 반지름은
r = r₀hr₀+m
입니다(0<r<h이므로 I는 선분 PO 위, 각뿔 안에 있습니다). 거꾸로 OI=r을 이 값으로 잡으면 위 닮음에서 IK=r이 되어 구는 밑면과 옆면 PAB에 접합니다. 그런데 이 값 r은 h, r₀, m 세 상수만으로 결정되고, 이 세 값은 밑면의 변을 어느 것으로 택하든(즉 다른 변의 중점 M′을 지나는 축 단면 삼각형 PM′O를 잡아도) 동일합니다(OM′=r₀는 정n각형의 아포템이 모든 변에 대해 같기 때문, 3.18의 257번; PM′=m은 312번에서 이미 모든 변의 중점에 대해 성립함을 보였습니다). 따라서 같은 계산을 다른 어떤 옆면에 대해 반복해도 축 위의 같은 점(O로부터 거리 r)이 그 옆면까지의 거리도 r로 같게 만들며, 결국 I는 n개의 옆면 전부와 밑면에 동시에 접합니다. 이로써 밑면과 모든 옆면에 동시에 접하는 구(내접구)가 실제로 존재하며 그 중심이 축 PO 위의 점 I, 반지름이 위 r임이 확인됩니다(구 자체의 정의와 성질은 3.34에서 다룹니다).
정각뿔의 축 단면(O, M, P를 지나는 평면) — 내접구의 중심 I는 축 OP 위의 점으로, O로부터의 거리(OI)와 옆면까지의 거리(IK, K는 I에서 PM에 내린 수선의 발)가 모두 반지름 r로 같음 (작은 눈금은 OI=IK를 표시)
사용 : 310번(정각뿔의 정의) · 312번 (빗면의 높이 m, 밑면의 아포템 r₀) · 3.18의 257번 (아포템은 모든 변에 대해 동일) · 3.2의 보조정리 · AA 닮음조건 · 3.22 단원 서두의 약속 ②·⑤(수직 판정, 수선의 발) · 3.34의 373번(구·내접구의 정의)
증명 끝
317정리외접구의 반지름R = h²+R₀²2h
증명법 : 직접증명법
정각뿔의 축 PO 위에서 정점 P와 밑면의 모든 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있는 점 Q를 찾습니다 (이 점을 중심으로 정점과 밑면의 모든 꼭짓점을 지나는 구(외접구)를 그릴 수 있습니다 — 구의 정의와 성질은 3.34의 373번을 참고하세요). 축 위에서 O를 기준으로 P 쪽을 양(+)으로 잰 Q의 위치를 x라 하면(x<0이면 Q는 밑면 아래쪽에 있습니다), OQ⊥밑면이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해 Q에서 밑면의 한 꼭짓점 A까지의 거리는 x²+OA² = x²+R₀²이고 (OA=R₀은 밑면의 외접원의 반지름, 3.18의 256번), Q에서 P까지의 거리는 x<h일 때 h-x입니다(h는 높이). Q가 구하는 점이 되려면 이 두 거리가 같아야 하므로 :
| x²+R₀² = h-x | 거리가 같음 |
| x²+R₀² = h²-2hx+x² | 양변 제곱 |
| R₀² = h²-2hx | x² 소거 |
이를 x에 대해 풀면
x = h²-R₀²2h
입니다. 이 x에 대해 h-x = h²+R₀²2h > 0이므로 x<h이고, 제곱하기 전의 식(양변이 모두 양수)도 성립합니다. h<R₀이면 x<0, 곧 중심 Q는 밑면 아래에 있습니다. 따라서 외접구의 반지름은
| R = h-x | 정의 |
| = h - h²-R₀²2h | 위 x 대입 |
| = 2h²-h²+R₀²2h | 통분 |
R = h²+R₀²2h
정각뿔의 축 단면 — 외접구의 중심 Q는 축 OP 위의 점으로, 정점 P와 밑면의 꼭짓점 A로부터 같은 거리 R에 있음(OQ=x, QP=QA=R)
사용 : 3.18의 256번(외접원의 반지름) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.34의 373번(구의 정의)
증명 끝