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3.33   범위 밖(백과사전)

원뿔대

Frustum of a Right Circular Cone

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 원뿔(3.32)을 밑면에 평행하되 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 잘라 두 조각으로 나눌 때, 밑면을 포함하는 조각인 원뿔대(frustum of a right circular cone)를 다룹니다. 아래 밑면(원래 원뿔의 밑면)의 반지름을 R, 위 밑면(자른 단면)의 반지름을 r(0<r<R), 두 밑면 사이의 거리를 높이 h, 모선의 길이를 l이라 하고, 옆넓이 S_lat, 겉넓이 S, 부피 V, 축 단면, 내접구·외접구의 반지름을 차례로 구합니다. 3.27의 각뿔대(정각뿔을 잘라 얻는 각뿔대)와 완전히 같은 구조이지만, 밑면이 다각형이 아니라 원이므로 3.32의 원뿔이 3.26의 정각뿔에서 그랬듯 몇 가지가 더 간단해집니다 — 특히 옆모서리와 빗면의 높이가 하나로 합쳐진 모선 l 하나만 있으면 되고, 옆넓이·부피는 (3.32에서 이미 증명해 둔) 원뿔 전체의 공식을 직접 이용해 큰 원뿔에서 작은 원뿔을 빼는 방식으로 얻으므로, 3.32에서처럼 내접·외접 정n각뿔의 조임(squeeze)을 새로 반복할 필요가 없습니다. 이 절의 공식 8개(365~372번)를 정리합니다.

원뿔대 — 아래 밑면(중심 O₁, 반지름 R)과 위 밑면(중심 O₂, 반지름 r), 높이 h=O₁O₂, 모선 l=A₁A₂=C₁C₂

365정의원뿔대원뿔대 = 원뿔을 밑면에 평행한 평면(꼭짓점을 지나지 않음)으로 잘라 두 조각으로 나눌 때, 밑면을 포함하는 조각

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 원뿔(3.32의 356번)을 꼭짓점 P를 지나지 않고 밑면에 평행한 평면으로 자르면 두 조각으로 나뉘는데, 꼭짓점 쪽 조각은 원래와 닮음인 더 작은 원뿔이고, 밑면 쪽 조각을 원뿔대(frustum) 또는 절두체라 합니다. 자르는 평면이 밑면과 평행하므로, 자른 단면(위 밑면)은 원래 밑면(아래 밑면)과 중심이 축 위에 있는 닮음인 원이 됩니다(꼭짓점을 중심으로 하는 확대·축소 변환의 성질). 아래 밑면의 반지름을 R, 위 밑면의 반지름을 r(0<r<R), 두 밑면 사이의 거리를 높이 h라 합니다.

아래 밑면의 중심을 O₁, 위 밑면의 중심을 O₂라 하면 축 O₁O₂⊥두 밑면이고 O₁O₂=h입니다. 아래 밑면 둘레 위의 한 점과, 원래 원뿔의 같은 모선 위에 있는 위 밑면 둘레의 대응점을 잇는 선분을 모선이라 하며, 그 길이는 366번에서 구합니다. 원뿔의 모든 모선이 서로 같으므로(3.32의 358번), 원뿔대의 모선도 어느 것을 택하든 서로 같습니다. 옆면은 옆면은 두 개의 곡선(위·아래 밑면 둘레)과 모선들로 둘러싸인 곡면입니다.

사용 : 3.32의 356번(원뿔의 정의) · 3.32의 358번(모선의 길이가 항상 같음)

366정리모선의 길이l = h²+(R−r)²

증명법 : 직접증명법

아래 밑면 둘레 위의 한 점을 A₁, 원래 원뿔의 같은 모선 위에서 대응하는 위 밑면 둘레의 점을 A₂라 하면, O₁A₁=R, O₂A₂=r이고(365번), O₁A₁와 O₂A₂는 둘 다 같은 모선이 지나는 평면과 각 밑면의 교선이므로 서로 평행합니다. 따라서 네 점 O₁, A₁, A₂, O₂는 축을 지나는 한 평면 위에 있습니다 — 이 평면과 원뿔대의 교집합을 축 단면이라 합니다 (370번에서 자세히 다룹니다).

이 평면에서, A₂에서 직선 O₁A₁에 내린 수선의 발을 F라 하면, O₁O₂⊥O₁A₁이고 O₂A₂∭O₁A₁이므로 사각형 O₁O₂A₂F는 직사각형이고, O₁F=O₂A₂=r, FA₂=O₁O₂=h입니다. 따라서 FA₁=O₁A₁−O₁F=R−r이고, 삼각형 FA₁A₂는 F에서 직각인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리(3.1의 163번)에 의해

A₁A₂² = FA₁²+FA₂²	피타고라스 정리(3.1의 163번)
= (R−r)²+h²	FA₁=R−r, FA₂=h 대입

l = A₁A₂ = h²+(R−r)²

원뿔대의 축을 지나는 단면(직사각형 O₁O₂A₂F) — O₁A₁=R, O₂A₂=r, O₁O₂=FA₂=h, FA₁=R−r인 직각삼각형 FA₁A₂의 빗변이 모선 l

사용 : 365번(원뿔대의 정의) · 3.1의 163번(피타고라스 정리)

증명 끝

367정리옆넓이S_lat = π(R+r)l

증명법 : 직접증명법

원뿔대의 모선을 꼭짓점 방향으로 연장하면 한 점에서 만나 원래의 원뿔을 복원할 수 있습니다(3.32의 358번에 의해 원뿔의 모든 모선이 같으므로, 어느 모선을 연장해도 같은 점 P에서 만납니다 — 이는 3.27 각뿔대(323번)에서 옆모서리 연장이 한 점에서 만남을 닮음비가 모든 변에서 같음을 이용해 확인해야 했던 것과 달리, 원뿔은 회전대칭 덕분에 곧바로 성립합니다). O₁로부터 P까지의 거리를 H라 하면, 큰 원뿔(밑면 반지름 R, 높이 H)과 작은 원뿔(밑면 반지름 r, 높이 H−h)은 닮음이고, 닮음비를 k=r/R라 하면

H−hH = k,   ∴  H = h1−k

큰 원뿔의 모선(꼭짓점 P부터 아래 밑면 둘레까지)을 l₁, 작은 원뿔의 모선(꼭짓점 P부터 위 밑면 둘레까지)을 l₂라 하면, 두 원뿔이 닮음이므로 l₂=kl₁이고, P, A₂, A₁이 한 모선 위에 순서대로 있으므로(366번의 그림) l₁−l₂=A₁A₂=l입니다. 따라서

l1(1−k) = l	l1−l2=l1−kl1=l
l1 = l1−k	양변을 (1−k)로 나눔

원뿔대의 옆넓이는, 큰 원뿔의 옆넓이에서 작은 원뿔의 옆넓이를 뺀 것과 같습니다. 원뿔의 옆넓이 공식(3.32의 359번, S_lat=πrl)을 큰 원뿔과 작은 원뿔에 각각 적용하면

Slat = πRl1 − πr(kl1)	3.32 f359를 두 원뿔에 적용, l2=kl1 대입
= πl1(R−rk)	l1로 묶음
= πl1·R²−r²R	k=r/R 대입, rk=r²/R
= π·l1−k·(R−r)(R+r)R	l1=l/(1−k) 대입, R²−r²=(R−r)(R+r)
= π·lRR−r·(R−r)(R+r)R	1−k=1−r/R=(R−r)/R

S_lat = π(R+r)l

((R−r), R이 약분됩니다.)

사용 : 365번(정의) · 366번(모선의 길이, 연장선의 교점) · 3.32의 358번(모선이 항상 같음) · 3.32의 359번(원뿔의 옆넓이)

증명 끝

368정리겉넓이S = πR² + πr² + π(R+r)l = B₁ + B₂ + S_lat

증명법 : 직접증명법

원뿔대의 겉면은 아래 밑면(넓이 B₁=πR²), 위 밑면(넓이 B₂=πr², 두 값 모두 원의 넓이 공식 3.19의 263번을 각 밑면에 적용), 그리고 옆면 전체(옆넓이 π(R+r)l, 367번)로 이루어져 있으므로, 겉넓이는 이 세 부분의 넓이의 합입니다 :

S = B₁ + B₂ + S_lat = πR² + πr² + π(R+r)l

사용 : 3.19의 263번(원의 넓이) · 367번(옆넓이)

증명 끝

369정리부피V = πh3(R²+Rr+r²)

증명법 : 직접증명법

367번에서 쓴 연장의 교점 P, 큰 원뿔(밑면 반지름 R, 높이 H)과 작은 원뿔(밑면 반지름 r, 높이 H−h=kH, 닮음비 k=r/R)을 그대로 사용합니다. 원뿔대의 부피는, 큰 원뿔의 부피에서 작은 원뿔의 부피를 뺀 것과 같습니다. 원뿔의 부피 공식(3.32의 361번, V=13πr²h′ 꼴, 여기서는 h′=H, kH에 대입)을 두 원뿔에 각각 적용하면

V = 13πR²H − 13πr²(kH)	3.32 f361을 두 원뿔에 적용
= 13πR²H − 13π(k²R²)(kH)	r=kR 대입
= 13πR²H(1−k³)	πR²H로 묶음
= 13πR²· h1−k·(1−k)(1+k+k²)	1−k³=(1−k)(1+k+k²), H=h/(1−k) 대입(367번)
= 13πR²h(1+k+k²)	(1−k) 약분

k=r/R이므로 k²=r²/R²이고, 1+k+k²=(R²+Rr+r²)/R²입니다. 대입하면

V = 13πR²h·R²+Rr+r²R²

k=r/R 대입

V = πh3(R²+Rr+r²)

(R²이 약분됩니다.) 이 결과는 3.27 각뿔대의 부피(323번, V=h3(B₁+B₂+B₁B₂)와도 일치합니다 — B₁=πR², B₂=πr²를 대입하면 B₁B₂=π²R²r²=πRr이 되어 h3(πR²+πr²+πRr)=πh3(R²+Rr+r²)로 같은 식이 됩니다(검산).

원뿔대 — 모선을 연장하면 만나는 꼭짓점 P에서 큰 원뿔(밑면 반지름 R, 높이 H)과 작은 원뿔(밑면 반지름 r, 높이 H−h)의 부피 차로 원뿔대의 부피 V를 구함

사용 : 367번(닮음, 비례관계, H) · 3.32의 361번(원뿔의 부피) · 3.27의 323번(검산용 일반형과의 비교)

증명 끝

370정리축 단면등변사다리꼴(평행한 두 변 2R, 2r, 높이 h, 다리 l), 넓이 = (R+r)h

증명법 : 직접증명법

축 O₁O₂를 포함하는 평면으로 원뿔대를 자릅니다. 이 평면은 아래 밑면과 O₁을 지나는 지름 C₁A₁에서 만나고(3.19의 261번, C₁A₁=2R), 위 밑면과는 O₂를 지나는 지름 C₂A₂(C₂A₂=2r)에서 만납니다(C₁, C₂는 각각 A₁, A₂의 반대쪽 대응점). 이 단면(사다리꼴 A₁C₁C₂A₂)을 축 단면이라 합니다.

평행. 두 밑면이 평행이고 C₁A₁, C₂A₂가 각각 그 밑면 위에 있으므로 C₁A₁∭C₂A₂입니다 — 곧 사다리꼴의 두 밑변입니다.

다리. A₁A₂, C₁C₂는 모두 모선이므로 366번·3.32의 358번에 의해 A₁A₂=C₁C₂=l입니다 — 곧 사다리꼴은 등변사다리꼴입니다.

높이. 축 O₁O₂는 두 밑면(따라서 C₁A₁, C₂A₂ 모두)에 수직이므로, O₁O₂가 그대로 사다리꼴의 높이이고 그 길이는 h입니다.

원뿔대를 축 O₁O₂와 지름 C₁A₁, C₂A₂를 지나는 평면(남색 면)으로 자른 위치 — 이 평면 안에서 아래의 축 단면을 얻습니다

넓이. 사다리꼴의 넓이 공식(3.9의 217번, S=a+b2·h)에 의해

넓이 = 2R+2r2·h

3.9의 217번

넓이 = (R+r)h

어느 지름을 골라도(즉 축 단면 평면을 축 둘레로 어떻게 회전시켜 잡아도) 위 성질이 그대로 성립하므로, 축 단면은 회전대칭에 의해 항상 합동입니다.

축 단면의 2D 정확 도형 — 등변사다리꼴 A₁C₁C₂A₂(평행한 두 변 2R, 2r, 높이 h, 다리 l)

사용 : 365번(정의) · 366번(모선의 길이) · 3.32의 358번(모선이 항상 같음) · 3.19의 261번(지름) · 3.9의 217번(사다리꼴의 넓이)

증명 끝

371정리내접구의 반지름(존재 조건 R+r=l)ρ = h2 = Rr

증명법 : 직접증명법

(구의 정의는 3.34의 373번을 참고하세요.) 원뿔대의 내부에 두 밑면과 옆면 전체에 동시에 접하는 구(내접구)가 존재한다고 합시다. 내접구는 평행한 두 밑면 평면에 동시에 접해야 하는데, 평행한 두 평면 사이의 거리가 h이므로 이 두 평면에 동시에 접하는 구는 지름이 정확히 h인 구뿐입니다. 따라서 내접구의 중심 I는 대칭성에 의해 축 O₁O₂ 위, O₁O₂의 중점(O₁I=IO₂=h2)에 있고, 반지름은 h2입니다.

I가 옆면 전체에도 접하는지는, 원뿔의 회전대칭에 의해(3.32의 363번과 같은 논법으로) 축 단면(370번의 등변사다리꼴 A₁C₁C₂A₂) 안에서 I로부터 변 A₁A₂까지의 거리가 h2와 같은지만 확인하면 됩니다. 이는 정확히 이 등변사다리꼴이 내접원을 가지는지를 묻는 것과 같습니다.

등변사다리꼴이 내접원을 갖기 위한 조건은 평행한 두 변의 길이의 합이 다리의 길이의 합과 같다는 것(3.11의 223번, a+b=2c)이므로, 여기서는 2R+2r=2l, 즉 R+r=l이 원뿔대가 내접구를 가지기 위한 필요충분조건입니다. 이 조건이 성립하면 내접원의 반지름은 3.11의 226번에 의해

ρ = h2 = (2R)(2r)2 = Rr

이고(3.11 f226의 두 표현이 여기서 h2와 Rr로 나타납니다), 이는 대칭축(축 O₁O₂) 위에서 정확히 우리가 구한 내접구의 중심 I와 반지름에 대응하므로 일관됩니다. 참고로 R+r=l 조건은 h²=4Rr, 곧 h=2Rr와도 동치입니다 ((R+r)²=l²=h²+(R−r)²를 전개하면 4Rr=h²).

조건 R+r=l을 만족할 때의 축 단면(R=4k, r=k, h=4k 꼴의 예시, l=5k) — 내접구의 중심 I는 O₁O₂의 중점이며 반지름 ρ=h/2

원뿔대와 내접구를 함께 나타낸 그림(입체감을 위한 개략도 — 조건 R+r=l이 성립할 때만 실제로 존재하며, 실제 논증의 근거는 위 2D 정확 단면입니다)

사용 : 370번(축 단면) · 3.32의 363번(원뿔의 회전대칭을 이용한 환원과 같은 논법) · 3.11의 223번(등변사다리꼴이 내접원을 갖기 위한 조건) · 3.11의 226번 (내접원의 반지름) · 3.34의 373번(구의 정의)

증명 끝

372정리외접구의 반지름R_sph = x²+R²  (x = h²+r²−R²2h)

증명법 : 직접증명법

3.32의 원뿔과 달리(원뿔의 외접구, 364번도 항상 존재했습니다), 원뿔대 역시 조건 없이 항상 외접구(두 밑면 둘레 전체를 지나는 구)를 가집니다. 축 O₁O₂ 위에 점 Q를 잡되, O₁로부터 O₂ 방향으로 거리 x만큼 떨어진 점이라 합시다. 370번의 축 단면에서, 아래 밑면 둘레 위의 점 A₁까지의 거리는 QA₁²=x²+R₁² (QO₁⊥O₁A₁, 피타고라스 정리 3.1의 163번), 여기서 R₁은 R을 뜻합니다(원뿔대이므로 밑면 반지름을 그대로 씀). 이 값은 O₁A₁=R이 A₁의 선택에 관계없이 항상 같으므로 아래 밑면 둘레 위의 모든 점에 대해 동일합니다. 같은 방법으로 위 밑면 둘레의 점 A₂까지의 거리는 QA₂²=(h−x)²+r²이고, 이 역시 위 밑면 둘레 위의 모든 점에 대해 동일합니다.

Q가 두 밑면 둘레의 모든 점으로부터 같은 거리에 있으려면(원의 대칭성에 의해 밑면 내에서는 자동으로 성립하므로, 아래 밑면과 위 밑면 사이에서만) QA₁=QA₂이어야 하므로

x²+R² = (h−x)²+r²	QA₁=QA₂
= h²−2hx+x²+r²	전개
R² = h²−2hx+r²	양변에서 x² 소거

x = h²+r²−R²2h

이 x는 R, r, h의 값에 따라 O₁O₂ 구간의 안쪽에 있을 수도, 바깥쪽(원뿔대의 외부)에 있을 수도 있으나, 어느 경우든 위 방정식을 만족하는 점 Q는 항상 유일하게 존재합니다. 외접구의 반지름은

R_sph = QA₁ = x²+R²

검산 : r→0(위 밑면이 한 점, 즉 원뿔이 되는 극한)에서 x→h²−R²2h이고 이때 R_sph→h²+R²2h로, 3.32의 364번과 정확히 같은 형태가 됩니다.

축 단면 — 외접구의 중심 Q는 축 O₁O₂ 위의 점으로, 아래 밑면 둘레의 점 A₁와 위 밑면 둘레의 점 A₂로부터 같은 거리 R_sph에 있음(O₁Q=x)

원뿔대와 외접구를 함께 나타낸 그림(입체감을 위한 개략도 — 실제 논증의 근거는 위 2D 정확 단면입니다)

사용 : 370번(축 단면, R, r) · 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 3.32의 364번(검산용 극한 비교) · 3.34의 373번(구의 정의)

증명 끝