이론/ 도형/ 3.36 구부채꼴

3.36 범위 밖(백과사전)

구부채꼴

Spherical Sector

3.35(구관)에서 구를 평면으로 잘라 얻는 캡(높이 h, 밑면 반지름 r=379번)을 다루었습니다. 이 절에서는 그 캡에 원뿔 하나를 덧붙이거나(h≤R) 파내어(h>R) 얻는 새로운 입체—구부채꼴 (spherical sector)—을 다룹니다. 구부채꼴은 평면 위의 원의 부채꼴(3.20)을 축에 대해 회전시켜 얻는 입체로 정의되며(384번), 그 정의로부터 곧바로 캡과 원뿔의 합집합 또는 차집합이라는 분해가 따라옵니다. 이 분해를 이용해 이미 3.35·3.32에서 증명된 캡의 부피·옆넓이와 원뿔의 부피·옆넓이 공식을 그대로 재사용해서, 구부채꼴의 부피(386번)와 겉넓이(387번)를 새로운 극한 논증 없이 대수적으로 얻습니다—축 단면이 원의 부채꼴(3.20)과 합동이라는 사실(385번)도 함께 확인합니다. 이 절의 공식 4개(384~387번)를 정리합니다.

구부채꼴(h≤R인 경우, 3D 느낌) — 캡(구면 부분, 갈색)과 원뿔(꼭짓점 O, 남색 쐐기)의 합집합. 원뿔의 모선(O에서 밑면 원까지)은 구의 반지름과 같이 항상 R

384정의구부채꼴반지름 R인 구의 대원 Γ 위에서, 캡(3.35 f378)의 꼭짓점 P₀, 구의 중심 O, 밑면 원 위의 한 점 A(378번의 M에 대해 MA=r)를 잇는 두 반지름 OP₀, OA와 호 P₀A로 둘러싸인 평면 부채꼴(3.20 f272)을, 축 OP₀를 중심으로 회전시켜 얻는 입체

3.35의 378번에서 이미 도입한 기호를 그대로 씁니다 : 캡의 꼭짓점 P₀, 구의 중심 O, 절단면과 축의 교점 M(OM=d=R−h, 부호 있는 값), 밑면 원 위의 한 점 A(MA=r, 379번). 축(직선 OP₀)을 포함하는 평면(자오면) π₀ 하나를 고정하고, 그 안에서 A를 하나 고정합니다. 그러면 두 선분 OP₀, OA(둘 다 길이 R—구의 정의, 3.34 373번에 의해 P₀, A 모두 구 위의 점이므로)와 호 P₀A로 둘러싸인 평면 도형은 정확히 3.20의 272번(부채꼴의 정의 : 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 도형)이 말하는 원의 부채꼴—반지름 R, 중심각 ∠P₀OA=θ₀(3.35 380번에서 이미 cosθ₀=(R−h)/R로 확정된 바로 그 각)—입니다.

구부채꼴은 이 평면 부채꼴(OP₀A)을 축 OP₀를 중심으로 한 바퀴 회전시켜 얻는 입체로 정의합니다.

정의(h≤R, 예각 θ₀) — 두 반지름 OP₀, OA(길이 R)와 호 P₀A로 둘러싸인 평면 부채꼴(강조 영역). M은 O와 P₀ 사이(d=R−h≥0)

정의(h>R, 둔각 θ₀) — 같은 방식의 평면 부채꼴이지만 이번에는 O가 M과 P₀ 사이에 있어(d=R−h<0) θ₀가 둔각. 어느 경우든 부채꼴 OP₀A 자체는 두 반지름과 호로 둘러싸인 하나의 온전한 평면 도형으로, 정의(272번)를 그대로 만족함

캡·원뿔로의 분해(따름 사실, 386번에서 사용). 축 위에서 O, M, P₀의 순서는 d=R−h의 부호에 따라 둘로 나뉩니다(3.35 378번) :

• d≥0 (h≤R) : 순서는 O, M, P₀. 이때 평면 부채꼴 OP₀A는 두 조각—축 선분 MP₀·호 P₀A·현 MA로 둘러싸인 반(半)활꼴(3.35 378–380번의 캡의 축 단면 절반)과, 직각삼각형 OMA(∠M이 직각)—로 겹치지 않게 나뉘고, 그 합이 정확히 OP₀A입니다(M이 O, P₀ 사이에 있으므로 선분 OP₀가 OM과 MP₀로 이어짐). 이 둘을 축에 대해 회전시키면 반활꼴은 캡(3.35 378번)이 되고 직각삼각형은 꼭짓점 O, 밑면 반지름 r, 높이 OM=d인 원뿔이 되므로,

구부채꼴 = 캡 ∪ 원뿔 (h≤R)

• d<0 (h>R) : 순서는 M, O, P₀—즉 O가 선분 MP₀의 내부에 있습니다. 이번에는 반활꼴(축 선분 MP₀·호 P₀A·현 MA로 둘러싸인 영역, 이제는 O를 내부에 포함)에서 직각삼각형 OMA(∠M이 직각, O가 그 반활꼴 안에 있으므로 반활꼴의 일부)를 제거하면 남는 영역은 정확히 축 선분 OP₀(전체 MP₀가 아닌, O부터 P₀까지만)·호 P₀A·선분 AO로 둘러싸인 부채꼴 OP₀A입니다. 회전시키면

구부채꼴 = 캡 − 원뿔 (h>R, 원뿔의 높이는 |d|=h−R)

두 경우 모두 원뿔은 꼭짓점 O(구의 중심), 밑면은 캡의 밑면 원(반지름 r)과 정확히 같은 원이라는 점이 핵심입니다—이 사실을 386번(부피)·387번(겉넓이)에서 그대로 사용합니다.

사용 : 3.35의 378번(캡의 정의, d=R−h)·379번(r²=h(2R−h))·380번(θ₀, cosθ₀=(R−h)/R) · 3.34의 373번(구의 정의) · 3.20의 272번(부채꼴의 정의)

385정리축 단면(원의 부채꼴과 합동)구부채꼴의 축을 지나는 평면 단면은 반지름 R, 중심각 2θ₀인 원의 부채꼴(3.20)과 합동

증명법 : 직접증명법

384번의 자오면 π₀ 위에서, 부채꼴 OP₀A(384번, 반지름 R, 중심각 θ₀)를 축 OP₀에 대해 180° 회전시키면, 이는 π₀ 안에서 축에 대한 반사와 같은 효과를 냅니다—A의 반사상을 B라 하면(B도 축과 이루는 각이 θ₀로 같고, 3.35 379번과 같은 이유로 MB=r, B도 대원 Γ 위의 점), 부채꼴 OP₀A는 회전에 의해 부채꼴 OP₀B로 옮겨집니다.

구부채꼴은 OP₀A를 축에 대해 한 바퀴(0°부터 360°까지) 회전시킨 입체이므로, 특히 180° 회전한 상(像)도 구부채꼴에 포함됩니다. 따라서 π₀와 구부채꼴의 교선(축 단면)은 원래의 부채꼴 OP₀A와 그 180° 회전상인 부채꼴 OP₀B를 모두 포함하며, 회전체의 축 단면은 회전 전 평면 도형과 그 축에 대한 반사상의 합집합과 정확히 같으므로(3.35 380번의 축 단면=활꼴 증명에서도 같은 사실을 암묵적으로 사용했습니다—캡의 축 단면이 활꼴 전체였던 것도 반(半)활꼴과 그 반사상의 합집합이기 때문입니다), 축 단면은 정확히

(부채꼴 OP₀A) ∪ (부채꼴 OP₀B)

입니다. 두 부채꼴이 공유하는 부분은 선분 OP₀(측도 0인 경계)뿐이므로, 이 합집합은 두 반지름 OA, OB(길이 R)와 P₀를 지나는 호 AB로 둘러싸인 하나의 평면 도형—3.20의 272번이 말하는 원의 부채꼴, 반지름 R—입니다. 중심각은 ∠AOB=∠AOP₀+∠P₀OB=θ₀+θ₀=2θ₀(3.35 380번의 θ₀, cosθ₀=(R−h)/R)입니다.

주의(혼동 방지) : 3.35의 380번에서와 마찬가지로, 여기서 말하는 “부채꼴”은 어디까지나 축 단면이라는 2차원 평면 도형일 뿐입니다. 이 부채꼴 자체의 둘레·넓이(3.20의 277번·275번)는 구부채꼴의 겉넓이(387번, 곡면+평면이라는 3차원 입체의 겉넓이)나 부피(386번)와는 전혀 다른 양이며, 서로 대입하거나 혼동해서는 안 됩니다—385번은 오직 축 단면의 모양이 원의 부채꼴과 합동이라는 사실만을 말합니다.

참고 : h≤R(θ₀≤90°)이면 2θ₀≤180°로 열각 부채꼴(우각이 아닌 일반적인 부채꼴)이고, h>R(θ₀>90°)이면 2θ₀>180°로 우각(優角) 부채꼴(중심각이 180°를 넘는 부채꼴—3.20 f272의 정의 자체는 중심각의 크기를 제한하지 않으므로 여전히 유효한 부채꼴)이 됩니다.

검산 : R=5, h=2이면 θ₀=arccos(3/5)≈53.13°→2θ₀≈106.26°(열각). R=5, h=8이면 θ₀=arccos(−3/5)≈126.87°→2θ₀≈253.74°(우각)—h와 2R−h=2가 서로 “맞바꿔진” 관계라서 r=4로 같지만(3.35 379번의 대칭성), θ₀는 서로 다릅니다(cos의 부호가 반대이므로).

축 단면(전체, h≤R 경우) — 반지름 R, 중심각 2θ₀인 원의 부채꼴(3.20)과 합동. A, B는 축에 대해 대칭인 두 점

사용 : 384번(정의) · 3.35의 379번(MB=r)·380번(θ₀) · 3.20의 272번(부채꼴의 정의)

증명 끝

386정리부피V = 23πR²h

증명법 : 직접증명법(384번의 분해를 이용)

384번에서 확인한 분해—구부채꼴은 캡(3.35 383번, 부피 πh²3(3R−h))과, 꼭짓점 O·밑면 반지름 r(3.35 379번, r²=h(2R−h))인 원뿔(3.32 361번, 부피 13πr²·(높이))의 합집합 또는 차집합—을 그대로 이용합니다. h와 R의 대소에 따라 두 경우로 나눠 계산합니다.

경우 1 — h≤R (d=R−h≥0, 합집합) : 원뿔의 높이는 OM=d=R−h이므로, 384번에 의해

V = (캡의 부피) + (원뿔의 부피)	384번(합집합, 겹치는 부분 없음)
= πh²3(3R−h) + 13πr²(R−h)	3.35 f383(캡) · 3.32 f361(원뿔, 높이 R−h)
= 13π[h²(3R−h) + r²(R−h)]	π/3 묶어 정리

여기에 379번(r²=h(2R−h))을 대입해 대괄호 안을 h로 묶어 전개합니다 :

h²(3R−h) + r²(R−h) = h²(3R−h) + h(2R−h)(R−h)	379번(r²=h(2R−h)) 대입
= h [ h(3R−h) + (2R−h)(R−h) ]	공통인수 h로 묶기
= h [ (3Rh−h²) + (2R²−3Rh+h²) ]	각 인수 전개
= h [ 2R² ] = 2R²h	−h²+h² 소거, 3Rh−3Rh 소거

V = 13π·2R²h = 23πR²h

경우 2 — h>R (d=R−h<0, 차집합) : 원뿔의 높이는 |d|=h−R이므로, 384번에 의해

V = (캡의 부피) − (원뿔의 부피)	384번(차집합)
= πh²3(3R−h) − 13πr²(h−R)	3.35 f383(캡) · 3.32 f361(원뿔, 높이 h−R)
= 13π[h²(3R−h) + r²(R−h)]	−(h−R)=(R−h)이므로 경우 1의 대괄호와 정확히 동일

대괄호 안이 경우 1과 완전히 같은 식이므로, 앞서의 전개(h²(3R−h)+r²(R−h)=2R²h)가 그대로 적용되어

V = 13π·2R²h = 23πR²h

로 경우 1과 완전히 같은 결과를 얻습니다. 즉 h≤R이든 h>R이든 (부호가 반대인 두 연산, 덧셈과 뺄셈으로 시작했음에도) 대수적으로 똑같은 식 23πR²h로 귀결됩니다.

경계 확인(h=R) : d=0이면 원뿔의 높이가 0이 되어 원뿔의 부피도 0—구부채꼴은 캡 그 자체이고, 캡의 부피(3.35 f383)에 h=R을 대입하면 πR²3(3R−R)= 13πR²·2R= 23πR³로, V= 23πR²h에 h=R을 대입한 값과 정확히 일치해 두 경우의 경계에서 연속으로 이어짐을 확인합니다.

검산 : R=5, h=2(경우 1, r=4)이면 V= 23π·25·2=100π/3≈104.72—캡의 부피 52π/3(3.35 f383의 검산값)에 원뿔의 부피 13π·16·3=16π=48π/3을 더한 값과 일치합니다. R=5, h=8(경우 2, 379번의 대칭성으로 역시 r=4)이면 V= 23π·25·8=400π/3≈418.88—캡의 부피(h=8을 3.35 f383에 대입) 13π·64·7=448π/3에서 원뿔의 부피 13π·16·3=16π=48π/3을 뺀 값과 일치합니다.

부피 증명(경우 1, h≤R) — 반활꼴(갈색, 캡이 됨) ∪ 직각삼각형 OMA(남색, 원뿔이 됨)

부피 증명(경우 2, h>R) — 반활꼴 전체(갈색, 캡이 됨)에서 직각삼각형 OMA(점선, 원뿔로서 제외됨)를 뺌

사용 : 384번(캡·원뿔로의 분해) · 3.35의 379번(r²=h(2R−h))·383번(캡의 부피) · 3.32의 361번(원뿔의 부피)

증명 끝

387정리겉넓이S = 2πRh + πrR = πR(2h+r)

증명법 : 직접증명법

구부채꼴의 겉면은 두 부분으로 이루어집니다—곡면인 구면 조각(캡의 옆면, 3.35 381번, S_lat=2πRh)과, 평평한 원뿔의 옆면(꼭짓점 O, 밑면은 캡의 밑면 원과 같은 원, 반지름 r). 이 둘이 겉면의 전부임을 h≤R, h>R 두 경우 모두에서 확인합니다.

h≤R(합집합)인 경우 : 캡의 겉면은 원래 구면(2πRh)과 평평한 밑면 원판(3.35 382번의 πr² 부분)으로 이루어지는데, 여기에 원뿔을 붙이면 캡의 밑면 원판은 더 이상 겉면이 아니라 캡과 원뿔이 만나는 내부 경계가 되어 사라지고, 대신 원뿔의 옆면(비스듬한 면)이 새로 겉면에 추가됩니다. 즉 겉면 = 구면 + 원뿔의 옆면.

h>R(차집합)인 경우 : 이번에는 캡(더 큰 쪽, 구면 2πRh + 밑면 원판 πr²)에서 원뿔을 파내면, 캡의 밑면 원판(πr²)은 정확히 파낸 자리이므로 더 이상 겉면이 아니라 내부(빈 공간의 경계)가 되어 사라지고, 대신 파낸 자리에 새로 드러나는 면—바로 그 원뿔의 옆면—이 겉면에 추가됩니다. 즉 이번에도 겉면 = 구면 + 원뿔의 옆면으로, 386번(부피)과 달리 부호가 갈리지 않고 두 경우가 완전히 같은 식으로 합쳐집니다.

따라서 두 경우 모두 S = (구면의 넓이) + (원뿔의 옆넓이)입니다. 구면 부분은 3.35 381번 그대로 S_lat=2πRh입니다. 원뿔의 옆넓이는 3.32의 359번(S_lat=πr⋅l, l : 모선의 길이)을 쓰는데, 이 원뿔의 모선 길이 l을 구해야 합니다.

모선의 길이 l=R. 원뿔의 밑면 원(반지름 r) 위의 임의의 점은 구부채꼴의 밑면 원—곧 3.35 378번의 밑면 원, 대원(또는 소원) 위의 점—이므로 구 위의 점입니다. 구의 정의(3.34 373번, 중심 O로부터 거리가 항상 R인 점의 자취)에 의해, 이 점과 원뿔의 꼭짓점 O 사이의 거리는 항상 정확히 R입니다. 그런데 원뿔의 모선은 정확히 꼭짓점에서 밑면 원 위의 점까지의 선분이므로, l=R입니다.

교차 검산(3.32 f358로 재확인) : 3.32의 358번(l=r²+(높이)²—여기서 원뿔의 높이는 |d|)을 그대로 적용하면 l²=r²+d²입니다. 379번(r²=h(2R−h))과 d=R−h를 대입하면

l² = r²+d² = h(2R−h) + (R−h)²	3.32 f358, 379번(r²), d=R−h
= 2Rh−h² + R²−2Rh+h² = R²	전개, 2Rh−2Rh 및 −h²+h² 소거

l = R² = R

로, 373번(구의 정의)에서 바로 얻은 l=R과 정확히 일치합니다(h>R이면 d²=(R−h)²=(h−R)²로 부호에 무관하게 같은 값이므로, 이 계산은 두 경우 모두에 대해 성립합니다).

3.32 359번(S_lat=πrl)에 l=R을 대입하면 원뿔의 옆넓이는 πrR입니다. 따라서

S = S_구면 + S_{원뿔 옆면} = 2πRh + πrR	3.35 f381(구면) + 3.32 f359(원뿔, l=R)
= πR(2h+r)	πR 묶어 정리

S = 2πRh + πrR = πR(2h+r)

검산 : R=5, h=2, r=4(경우 1)이면 S=2π·5·2+π·4·5=20π+20π=40π≈125.66, 그리고 π·5·(4+4)=40π로 일치합니다. R=5, h=8, r=4(경우 2)이면 S=2π·5·8+π·4·5=80π+20π=100π≈314.16, 그리고 π·5·(16+4)=100π로 역시 일치합니다—386번(부피)과 달리 h≤R, h>R 두 경우가 애초에 같은 덧셈식 하나로 처리되었으므로, 당연한 결과입니다.

겉넓이 = 구면(갈색, 3.35 381번) + 원뿔의 옆면(남색, 모선 l=R, 3.32 359번)

사용 : 384번(캡·원뿔로의 분해) · 3.35의 379번(r²=h(2R−h))·381번(캡의 옆넓이)·382번(캡의 겉넓이 구성) · 3.34의 373번(구의 정의) · 3.32의 358번(모선의 길이)·359번(원뿔의 옆넓이)

증명 끝

chapter:03-geometry section:3.36