3.39 범위 밖(백과사전)
타원체
Ellipsoid
3.34의 구는 중심에서 모든 방향으로 반지름이 똑같은 도형이었습니다. 이 절의 타원체(ellipsoid)는 이 조건을 완화해, 서로 수직인 세 방향(주축)마다 반지름이 서로 다를 수 있는 도형입니다(398번) — a=b=c인 특수한 경우가 정확히 구가 됩니다. 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 언제나 타원이고(399번, 7.5의 f568번·f570번―타원의 정의·넓이 공식을 재사용), 이 단면의 넓이가 반지름 c인 구의 대응하는 단면 넓이와 항상 일정한 비율 abc²를 이룬다는 사실을 3.34 f377이 세운 것과 똑같은 리만 합·극한 논법에 그대로 적용해 부피 V=43πabc를 얻습니다(400번). 일반적인 삼축 타원체(세 반지름이 모두 다른 경우)의 겉넓이는 초등함수로 정확히 표현할 수 없고 타원적분(elliptic integral)이 필요하다는 사실이 알려져 있으므로 — 이는 이 절의 범위를 넘는 사실이라 겉넓이 공식은 다루지 않고, 정의·단면·부피 세 가지만 정리합니다.
타원체 — 서로 수직인 세 반지름 a, b, c(예시로 a>b>c인 경우를 그림). 자오면(xz단면, 진하게)은 원근 왜곡 없는 실제 타원이고, 적도면(xy)·시상면(yz) 단면(점선)은 지면 안쪽으로 들어가는 방향(깊이)을 나타내기 위해 관용적인 45° 캐비닛 투영(깊이 축소율 2분의 1)으로 그렸습니다 — 좌표는 예시값 a=6, b=4, c=3을 그대로 대입해 계산한 값입니다.
398정의타원체공간에 원점 O에서 서로 수직인 세 축(주축)을 잡고, 그 방향의 반지름을 각각 a, b, c(>0)라 하면 x²a² + y²b² + z²c² = 1을 만족하는 점 전체로 둘러싸인 입체
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 공간에 한 점 O를 잡고, O에서 서로 수직인 세 방향을 각각 x축, y축, z축(주축, principal axes)이라 합니다. 세 양수 a, b, c(>0)에 대해, 이 좌표계에서
x²a² + y²b² + z²c² = 1
을 만족하는 점 (x,y,z) 전체로 이루어진 곡면으로 둘러싸인 입체를 타원체(ellipsoid)라 하고, a, b, c를 각각 x축, y축, z축 방향의 반지름(semi-axis)이라 합니다. 이 곡면과 x축, y축, z축이 만나는 여섯 점 (±a,0,0), (0,±b,0), (0,0,±c)를 꼭짓점이라 합니다.
구를 포함하는 일반화. a=b=c(=R)인 특수한 경우, 위 식은 x²+y²+z²=R²—즉 원점 O로부터의 거리 x²+y²+z²가 R과 같다는 뜻—이 되고, 이는 정확히 3.34의 373번이 정의한 “O로부터 거리 R인 점 전체의 자취”와 같습니다. 이 조건 |OP|=R은 애초에 어느 축을 x, y, z로 골랐는지에 의존하지 않으므로 (거리는 좌표축의 방향과 무관한 양입니다), a=b=c인 타원체는 주축을 어떻게 잡아도 항상 똑같은 도형—중심 O, 반지름 R인 구—이 됩니다. 즉 타원체는 구를 “세 반지름이 모두 같은” 특수한 경우로 포함하는 더 일반적인 도형입니다. 반대로 a, b, c가 모두 다르면(삼축 타원체, triaxial ellipsoid) 이런 회전 대칭이 없고, 어느 축을 x, y, z로 부르는지가 도형 자체에 실제로 영향을 줍니다(단, 세 축의 길이 a, b, c의 값 자체는 축의 이름을 바꾸어 붙여도 변하지 않습니다).
타원체 위의 한 점 P(x,y,z)와 그 좌표—O에서 P까지, 그리고 세 좌표축·적도면(xy) 위로의 정사영(점선)을 함께 표시. P가 곡면 위에 있다는 것은 정확히 398번의 등식이 성립한다는 뜻입니다.
사용 : 3.34의 373번(구의 정의, a=b=c인 특수한 경우로 포함됨을 확인)
399정리축에 수직인 단면(타원)z=z₀(−c<z₀<c)로 자른 단면은 반지름 ak, bk(k=1−z₀²c²)인 타원, 넓이 S(z₀) = πab ⋅ (1−z₀²c²)
증명법 : 직접증명법(대입)
398번의 등식에 z=z₀(−c<z₀<c, 즉 극점이 아닌 높이)를 대입하면
| x²a² + y²b² = 1 − z₀²c² | 398번(타원체의 정의), z=z₀ 대입 |
−c<z₀<c이므로 우변 k²:=1−z₀²c²>0입니다. k=1−z₀²c²(>0)로 놓으면 위 식의 양변을 k²으로 나누어
x²(ak)² + y²(bk)² = 1
을 얻습니다. 이는 xy평면 위에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 ak, bk인 타원의 방정식과 정확히 같은 꼴입니다(타원의 정식 정의는 7.5 f568번에서 다룹니다. 여기서는 “중심이 원점이고 두 축의 길이가 각각 2ak, 2bk인 타원”이라는 표준형만 사용합니다). 즉 타원체를 평면 z=z₀로 자른 단면은 반지름 aₖ=ak, bₖ=bk인 타원입니다.
타원의 넓이 공식(7.5 f570번) S=π·(한 반지름)·(다른 반지름)에 의해
| S(z₀) = π·aₖ·bₖ = π·ak·bk = πabk² | 타원의 넓이(7.5 f570번), aₖbₖ=abk²에서 k² 정리 |
| = πab ⋅ (1−z₀²c²) | k²=1−z₀²c² 대입 |
S(z₀) = πab ⋅ (1 − z₀²c²)
경계 확인 : z₀=0(적도면)이면 k=1이고 S(0)=πab—가장 큰 단면(반지름이 그대로 a, b)입니다. z₀→±c(극점에 가까워짐)이면 k→0이고 S→0—타원이 한 점(꼭짓점 (0,0,±c))으로 퇴화합니다. z₀=±c 자체에서는 k=0이라 398번의 등식이 x=y=0인 한 점만을 나타내므로(“타원”이라 부를 수 없는 퇴화한 경우), 이 정리는 −c<z₀<c 범위로 한정합니다.
검산 : a=6, b=4, c=3, z₀=c2=1.5이면 k=1−14=32≈0.866, aₖ=6k≈5.196, bₖ=4k≈3.464, S(z₀)=π·6·4·34=18π≈56.55 — 가장 큰 단면 πab=24π의 정확히 34(=1−z₀²c²=1−0.25)와 일치합니다.
왼쪽 : 자오면(xz) 단면(진짜 타원, 반지름 a, c)을 높이 z₀에서 자른 모습—교선 AB. 오른쪽 : 그 단면 자체를 자신의 평면 위에 참값 그대로 그린 모습—반지름 aₖ=ak, bₖ=bk인 타원(예시 : a=6, c=3, z₀=1.5)
사용 : 398번(타원체의 정의) · 7.5의 f568번·f570번(타원의 표준형과 넓이 공식, S=π×반지름×반지름)
증명 끝
400정리부피V = 43πabc
증명법 : 직접증명법(단면의 비율·극한)
1단계 — 단면 넓이의 비율이 일정함. 399번에 의해 타원체를 높이 x(−c≤x≤c)에서 자른 단면의 넓이는 SE(x)=πab(1−x²c²)입니다. 이를 반지름 c인 구(중심 O, 축 위의 같은 범위 −c≤x≤c)와 비교합니다—3.34의 374번에 의해 이 구를 높이 x에서 자른 단면은 반지름 c²−x²인 원이므로 그 넓이는 SS(x)=π(c²−x²)=πc²(1−x²c²)입니다. 두 식을 나누면 모든 x(−c≤x≤c)에 대해
SE(x)SS(x) = abc² (x에 관계없이 항상 일정)
가 성립합니다—즉 타원체의 단면은 높이 x에 상관없이 언제나 “반지름 c인 구의 같은 높이의 단면을 abc²배 확대한 넓이”를 가집니다.
2단계 — 밑면이 타원인 기둥형 입체의 부피는 (넓이)×(높이). 부피를 비교하려면 먼저, 밑면이 원이 아니라 타원이어도 “기둥형 입체(밑면을 평행하게 높이 h만큼 평행이동한 입체)의 부피 = (밑면의 넓이)×h”가 성립함을 확인해야 합니다. 3.30의 346번은 원기둥에 대해 이 사실을, 원을 내접·외접 정n각형으로 조이는 방법(3.24의 301번, 각기둥의 부피 V=Bh를 정n각기둥에 적용)으로 증명했습니다. 이 논증은 원의 넓이가 아니라 “내접·외접 다각형의 넓이가 도형 자체의 넓이로 수렴한다”는 사실만을 쓰므로, 타원(7.5 f570번―단위원과의 아핀 대응을 이용한 같은 방식의 증명)에도 글자 그대로 적용됩니다—타원을 내접·외접하는 다각형(원을 내접·외접하는 정n각형을 x, y 방향으로 각각 a, b배 늘인 도형)의 넓이도 n→∞일 때 타원의 넓이 πab로 수렴하기 때문입니다. 따라서 밑면이 타원(반지름 p, q)이고 높이가 h인 기둥형 입체의 부피도 똑같이 πpq·h입니다.
3단계 — 리만 합의 비례. 3.34 f377과 똑같이 [0,c]를 n등분해 Δ=cn, xk=kΔ라 하고, k번째 조각에서 타원체 쪽은 399번의 단면—반지름 a1−xk²c², b1−xk²c²인 타원—을 밑면으로, 구 쪽은 반지름 c²−xk²인 원을 밑면으로 하는 내접 기둥형 입체(높이 Δ)를 만듭니다—2단계에 의해 둘 다 부피는 (밑면 넓이)×Δ입니다. 두 입체의 부피의 비는 1단계에 의해 매 조각마다 정확히 abc²이므로, n개를 모두 더한 근사합끼리도
Vn(E) = Δ·Σk=1nSE(xk) = abc² ⋅ Δ·Σk=1nSS(xk) = abc² ⋅ Vn(S)
가 모든 n에 대해 성립합니다(반구 쪽 절반, 0≤x≤c만 우선 봅니다). 3.34 f377은 이미 Vn(S)→23πc³(반구의 부피)임을 증명했으므로, 수열의 극한의 성질 (상수배의 극한=극한의 상수배)에 의해
| V(E)반구 = abc² ⋅ 23πc³ | 3.34 f377(반구 부피의 극한값), 극한의 상수배 성질 |
| = 23πabc | c²c³=1c 약분 |
를 얻습니다. 이 극한을 타원체의 “위쪽 반쪽”(0≤x≤c)의 부피로 정의합니다(3.34 f377과 똑같은 방식—극한의 존재성과 이것이 부피의 엄밀한 정의라는 사실 자체는 f377의 univ-note와 같은 이유로 대학 미적분학의 내용입니다).
4단계 — 대칭. SE(x)=πab(1−x²c²)는 x²에만 의존하므로 짝함수입니다 (SE(−x)=SE(x))—아래쪽 반쪽(−c≤x≤0)도 완전히 같은 계산으로 같은 부피 23πabc를 줍니다. 따라서
V = 2·23πabc = 43πabc
일반성 확인(구로 환원) : a=b=c=R을 대입하면 V=43πR·R·R=43πR³—정확히 3.34 f377(구의 부피)과 일치합니다. 398번에서 확인한 “타원체는 구를 특수한 경우로 포함한다”는 사실이 부피 공식에서도 그대로 확인됩니다.
검산 : a=6, b=4, c=3이면 V=43π·6·4·3=43π·72=96π≈301.59.
타원체의 자오면 옆모습 hE(x) = a1−x²c²(실선)와 반지름 c인 구의 단면 hS(x) = c²−x²(점선)—두 곡선은 모든 x에서 정확히 ac=2배 차이가 나도록 비례합니다(예시 : a=6, c=3). 내접 사각형 4개(k=1~4)는 3단계의 리만 합 근사를 시각화합니다.
사용 : 399번(단면의 넓이) · 3.34의 374번(평면과 구의 교선) · 377번(구의 부피, 리만 합·극한) · 3.30의 346번(원기둥의 부피, 내접·외접 다각형 논법) · 3.24의 301번(각기둥의 부피 V=Bh) · 7.5의 f570번(타원의 넓이 ―내접·외접 다각형의 극한)
증명 끝