타원체

Ellipsoid

3.34의 구는 중심에서 모든 방향으로 반지름이 똑같은 도형이었습니다. 이 절의 타원체(ellipsoid)는 이 조건을 완화해, 서로 수직인 세 방향(주축)마다 반지름이 서로 다를 수 있는 도형입니다(398번) — a=b=c인 특수한 경우가 정확히 구가 됩니다. 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 언제나 타원이고(399번, 7.5의 f568번·f570번―타원의 정의·넓이 공식을 재사용), 이 단면의 넓이가 반지름 c인 구의 대응하는 단면 넓이와 항상 일정한 비율 abc²를 이룬다는 사실과, 3.34 f377처럼 안쪽·바깥쪽 기둥으로 조이는 논법을 함께 써서 부피 V=43πabc를 얻습니다(400번). 일반적인 삼축 타원체(세 반지름이 모두 다른 경우)의 겉넓이는 초등함수로 정확히 표현할 수 없고 타원적분(elliptic integral)이 필요하다는 사실이 알려져 있으므로 — 이는 이 절의 범위를 넘는 사실이라 겉넓이 공식은 다루지 않고, 정의·단면·부피 세 가지만 정리합니다.

타원체 — 서로 수직인 세 반지름 a, b, c(예시로 a>b>c인 경우를 그림). 자오면(xz단면, 진하게)은 원근 왜곡 없는 실제 타원이고, 적도면(xy)·시상면(yz) 단면(점선)은 지면 안쪽으로 들어가는 방향(깊이)을 나타내기 위해 관용적인 45° 캐비닛 투영(깊이 축소율 2분의 1)으로 그렸습니다 — 좌표는 예시값 a=6, b=4, c=3을 그대로 대입해 계산한 값입니다.

398정의타원체공간에 원점 O에서 서로 수직인 세 축(주축)을 잡고, 그 방향의 반지름을 각각 a, b, c(>0)라 하면 x²a² + y²b² + z²c² = 1을 만족하는 점 전체로 둘러싸인 입체

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 공간에 한 점 O를 잡고, O에서 서로 수직인 세 방향을 각각 x축, y축, z축(주축, principal axes)이라 합니다. 세 양수 a, b, c(>0)에 대해, 이 좌표계에서

x²a² + y²b² + z²c² = 1

을 만족하는 점 (x,y,z) 전체로 이루어진 곡면으로 둘러싸인 입체(곧 좌변이 1 이하인 점 전체)를 타원체(ellipsoid)라 하고, a, b, c를 각각 x축, y축, z축 방향의 반지름(semi-axis)이라 합니다. 이 곡면과 x축, y축, z축이 만나는 여섯 점 (±a,0,0), (0,±b,0), (0,0,±c)를 꼭짓점이라 합니다.

구를 포함하는 일반화. a=b=c(=R)인 특수한 경우, 위 식은 x²+y²+z²=R²—즉 원점 O로부터의 거리 x²+y²+z²(7.8의 590번, 공간의 거리 공식)가 R과 같다는 뜻—이 되고, 이는 정확히 3.34의 373번이 정의한 “O로부터 거리 R인 점 전체의 자취”와 같습니다. 이 조건 |OP|=R은 애초에 어느 축을 x, y, z로 골랐는지에 의존하지 않으므로 (거리는 좌표축의 방향과 무관한 양입니다), a=b=c인 타원체는 주축을 어떻게 잡아도 항상 똑같은 도형—중심 O, 반지름 R인 구—이 됩니다. 즉 타원체는 구를 “세 반지름이 모두 같은” 특수한 경우로 포함하는 더 일반적인 도형입니다. 반대로 a, b, c가 모두 다르면(삼축 타원체, triaxial ellipsoid) 구처럼 중심에서 모든 방향으로 같은 반지름을 갖지는 않습니다.

타원체 위의 한 점 P(x,y,z)와 그 좌표—O에서 P까지, 그리고 세 좌표축·적도면(xy) 위로의 정사영(점선)을 함께 표시. P가 곡면 위에 있다는 것은 정확히 398번의 등식이 성립한다는 뜻입니다.

사용 : 3.34의 373번(구의 정의, a=b=c인 특수한 경우로 포함됨을 확인) · 7.8의 590번(공간의 거리 공식)

399정리축에 수직인 단면(타원)z=z₀(−c<z₀<c)로 자른 단면은 반지름 aλ, bλ(λ=1−z₀²c²)인 타원, 넓이 S(z₀) = πab ⋅ (1−z₀²c²)

증명법 : 직접증명법(대입)

398번의 등식에 z=z₀(−c<z₀<c, 즉 극점이 아닌 높이)를 대입하면

x²a² + y²b² = 1 − z₀²c²

398번(타원체의 정의), z=z₀ 대입

−c<z₀<c이므로 우변 λ²:=1−z₀²c²>0입니다. λ=1−z₀²c²(>0)로 놓으면 위 식의 양변을 λ²으로 나누어

x²(aλ)² + y²(bλ)² = 1

을 얻습니다. 이는 xy평면 위에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 aλ, bλ인 타원의 방정식과 정확히 같은 꼴입니다(타원의 정식 정의는 7.5 f568번에서 다룹니다. 여기서는 “중심이 원점이고 두 축의 길이가 각각 2aλ, 2bλ인 타원”이라는 표준형만 사용합니다). 즉 타원체를 평면 z=z₀로 자른 단면은 반지름 a′=aλ, b′=bλ인 타원입니다. (a′<b′이면 x와 y의 역할을 바꾼 표준형이고, a′=b′이면 반지름 a′인 원입니다. 넓이는 어느 경우나 π·a′·b′입니다 — 원은 3.19의 263번, 타원은 7.5 f570번이며, f570번의 증명은 두 반지름의 크기 순서를 쓰지 않습니다.)

타원의 넓이 공식(7.5 f570번) S=π·(한 반지름)·(다른 반지름)에 의해

S(z₀) = π·a′·b′ = π·aλ·bλ = πabλ²	타원의 넓이(7.5 f570번), a′b′=abλ²에서 λ² 정리
= πab ⋅ (1−z₀²c²)	λ²=1−z₀²c² 대입

S(z₀) = πab ⋅ (1 − z₀²c²)

경계 확인 : z₀=0(적도면)이면 λ=1이고 S(0)=πab—가장 큰 단면(반지름이 그대로 a, b)입니다. z₀→±c(극점에 가까워짐)이면 λ→0이고 S→0—타원이 한 점(꼭짓점 (0,0,±c))으로 퇴화합니다. z₀=±c 자체에서는 λ=0이라 398번의 등식이 x=y=0인 한 점만을 나타내므로(“타원”이라 부를 수 없는 퇴화한 경우), 이 정리는 −c<z₀<c 범위로 한정합니다.

검산 : a=6, b=4, c=3, z₀=c2=1.5이면 λ=1−14=32≈0.866, a′=6λ≈5.196, b′=4λ≈3.464, S(z₀)=π·6·4·34=18π≈56.55 — 가장 큰 단면 πab=24π의 정확히 34(=1−z₀²c²=1−0.25)와 일치합니다.

왼쪽 : 자오면(xz) 단면(진짜 타원, 반지름 a, c)을 높이 z₀에서 자른 모습—교선 AB. 오른쪽 : 그 단면 자체를 자신의 평면 위에 참값 그대로 그린 모습—반지름 a′=aλ, b′=bλ인 타원(예시 : a=6, c=3, z₀=1.5)

사용 : 398번(타원체의 정의) · 7.5의 f568번·f570번(타원의 표준형과 넓이 공식, S=π×반지름×반지름) · 3.19의 263번(원의 넓이, a=b인 경우)

증명 끝

400정리부피V = 43πabc

증명법 : 직접증명법(안쪽·바깥쪽 기둥과 조임)

1단계 — 단면은 구의 단면의 abc²배. 높이를 z로 나타내고 λ(z)=1−z²c²로 둡니다. 399번에 의해 −c<z<c에서 타원체를 높이 z인 평면으로 자른 단면은 반지름 aλ(z), bλ(z)인 타원이고, 그 넓이는

S_E(z) = πab(1−z²c²) = abc² · π(c²−z²)

입니다. 여기서 π(c²−z²)는 반지름 c인 구를 중심에서 거리 z인 평면으로 자른 단면(반지름 c²−z²인 원, 3.34의 374번)의 넓이입니다. 양 끝 z=±c에서는 단면이 한 점(꼭짓점)이고 λ(±c)=0입니다.

2단계 — 보조정리(타원 기둥의 부피). 밑면이 반지름 p, q인 타원(속 포함)이고, 그 밑면을 밑면에 수직인 방향으로 높이 h만큼 평행이동하며 쓸고 간 입체(타원 기둥)의 부피는 πpq·h입니다.

증명. 7.5 f570번의 대응 φ(X,Y)=(pX,qY)는 단위원판(X²+Y²≤1)을 타원판(x²p²+y²q²≤1)으로 보내고, 각 좌표를 상수배하므로 선분을 선분으로 보냅니다. 단위원에 내접하는 정n각형과 외접하는 정n각형을 φ로 옮긴 n각형을 각각 P_n, P_n^′이라 하면 P_n ⊂ (타원판) ⊂ P_n^′입니다. 원점과 이웃한 두 꼭짓점이 만드는 n개의 삼각형으로 나누어 재면 (f570번 증명의 ‘좌표를 이용한 삼각형의 넓이’) 삼각형마다 넓이가 정확히 pq배가 되므로, (P_n의 넓이)=pq·B_n, (P_n^′의 넓이)=pq·B_n^′입니다. 여기서 B_n, B_n^′은 단위원에 내접·외접하는 정n각형의 넓이입니다(3.30의 346번 1단계, r=1). P_n, P_n^′을 밑면으로 하는 높이 h인 각기둥(3.24의 301번, V=Bh)은 각각 타원 기둥 안에 들어가고, 타원 기둥을 덮으므로, 부피의 단조성(346번 2단계와 같은 이유 — 3.22의 285번 ②, 부피는 음이 아님)에 의해

pq·B_n·h ≤ V ≤ pq·B_n^′·h

입니다. n→∞이면 B_n→π, B_n^′→π(346번 3단계)이므로 양 끝이 모두 πpq·h로 가고, 조임(11.4의 보조정리)에 의해 V=πpq·h입니다. (p=q이면 원기둥의 부피 346번과 같습니다.)

3단계 — 안쪽 기둥. 위쪽 반쪽(0≤z≤c)을 먼저 봅니다. 3.34의 377번처럼 [0,c]를 n등분해 Δ=cn, z_k=kΔ(k=0,1,…,n)라 합니다. λ(z)는 z에 대해 감소하므로, k번째 조각 [z_k−1, z_k]에서 반지름 aλ(z_k), bλ(z_k), 높이 Δ인 타원 기둥은 반쪽 타원체 안에 들어갑니다 — 그 기둥의 점 (x,y,z)는 x²a²+y²b² ≤ λ(z_k)² ≤ λ(z)² = 1−z²c²를 만족하기 때문입니다(398번). (k=n이면 반지름이 0이라 빈 기둥이고 부피는 0입니다.) 2단계에 의해 이 기둥들의 부피의 합은

V_n^(E) = Σ_k=1ⁿ πab λ(z_k)²Δ = abc² · πΔ Σ_k=1ⁿ(c²−z_k²)	2단계(p=aλ(z_k), q=bλ(z_k)), λ²=(c²−z²)/c²
= abc² · V_n	V_n : 3.34 377번 1단계의 안쪽 원기둥 합(R=c, x를 z로 읽음)

4단계 — 바깥쪽 기둥과 조임. 같은 조각에서 반지름 aλ(z_k−1), bλ(z_k−1)인 타원 기둥은 같은 이유(λ(z) ≤ λ(z_k−1))로 그 조각의 반쪽 타원체를 덮습니다. 이 기둥들의 부피의 합 V_n^′(E)는 V_n^(E)와 첫 항과 끝 항만 달라

V_n^′(E) − V_n^(E) = πabΔ(λ(z₀)² − λ(z_n)²) = πabΔ = πabcn

입니다. 기둥을 쌓은 입체의 부피는 각 기둥 부피의 합이고(285번 ②), 안쪽 기둥들은 반쪽 타원체 안에, 반쪽 타원체는 바깥쪽 기둥들 안에 들어 있으므로, 부피의 단조성(285번 ②)에 의해 위쪽 반쪽의 부피 V_위는

V_n^(E) ≤ V_위 ≤ V_n^′(E) = V_n^(E) + πabcn

를 만족합니다. 377번 2단계에서 V_n → 23πc³이므로 V_n^(E) → abc² · 23πc³ = 23πabc이고, 오른쪽 끝도 같은 값으로 갑니다. 조임(11.4의 보조정리)에 의해

V_위 = 23πabc

5단계 — 아래쪽 반쪽과 전체. 아래쪽 반쪽(−c≤z≤0)은 같은 기둥들을 높이 −z_k 쪽에 쌓으면 됩니다. λ(−z)=λ(z)이므로 3·4단계의 포함 관계와 부피의 합이 그대로 성립해 V_아래=23πabc입니다. 두 반쪽은 적도면(z=0)의 타원판만 공유하므로(285번 ②)

V = 23πabc + 23πabc = 43πabc

일반성 확인(구로 환원) : a=b=c=R을 대입하면 V=43πR·R·R=43πR³—정확히 3.34 f377(구의 부피)과 일치합니다. 398번에서 확인한 “타원체는 구를 특수한 경우로 포함한다”는 사실이 부피 공식에서도 그대로 확인됩니다.

검산 : a=6, b=4, c=3이면 V=43π·6·4·3=43π·72=96π≈301.59.

타원체의 자오면 옆모습 h_E(z) = a1−z²c²(실선)와 반지름 c인 구의 단면 h_S(z) = c²−z²(점선)—두 곡선은 모든 z에서 정확히 ac=2배 차이가 나도록 비례합니다(예시 : a=6, c=3). 채운 사각형은 3단계의 안쪽 기둥, 점선 사각형은 4단계의 바깥쪽 기둥의 옆모습입니다(n=5).

사용 : 398번(정의) · 399번(단면) · 3.34의 374번(평면과 구의 교선) · 377번(구의 부피 — 안쪽 원기둥 합과 그 극한) · 3.30의 346번(부피의 단조성, 정n각형 넓이의 극한) · 3.24의 301번(각기둥의 부피 V=Bh) · 7.5의 f570번(타원과 단위원의 대응, 좌표로 구하는 삼각형의 넓이) · 3.22의 285번 ②(부피의 공리) · 11.4의 보조정리(수열 극한의 조임)

증명 끝

chapter:03-geometry section:3.39