Home

3.40   범위 밖(백과사전)

원환체(토러스)

Circular Torus

3.30(원기둥)·3.32(원뿔)이 각각 축 위에 놓인 직사각형·직각삼각형을 그 축 주위로 회전시켜 얻는 회전체였다면, 이 절의 원환체(circular torus, 토러스)는 축과 만나지 않는 원(생성원, generating circle)을 그 축 주위로 360° 회전시켜 얻는 회전체입니다(401번)—생성원의 중심 C에서 축 ℓ까지의 거리를 R(중심선 반지름), 생성원 자체의 반지름을 r(관 반지름)이라 하면, 이 절에서는 R>r인 경우(생성원이 축과 만나지 않고, 회전시켜도 표면이 스스로 겹치지 않는 “고리형” 원환체)만 다룹니다. 겉넓이 S=4π²Rr(402번)과 부피 V=2π²Rr²(403번)을 각각 유도하는데, 두 증명 모두 이미 확립된 도구—3.19(원의 둘레·넓이), 3.33(원뿔대의 옆넓이), 3.34 376번(회전면의 넓이의 뜻)과 3.22의 부피의 공리—를 새로운 방식으로 조합해 재사용합니다 : 부피는 생성원을 얇은 띠(strip)로, 겉넓이는 생성원에 내접하는 다각형의 변(회전시키면 원뿔대의 옆면이 됨)으로 나누어 계산합니다.

원환체(토러스) — 생성원(반지름 r)의 중심 C가 축 ℓ로부터 거리 R만큼 떨어져 있고, 이 원을 축 주위로 360° 회전시켜 얻는 입체입니다. 축을 비스듬히 내려다본 모습을 관용적으로 나타내기 위해, 중심선 원(반지름 R)·바깥 경계원(반지름 R+r)·안쪽 경계원(반지름 R−r)을 모두 같은 기울기(장반경 대비 단반경 비율 sin18°≈0.309)의 타원으로 눌러 그렸습니다—세 타원은 모두 같은 중심을 공유하며, 가운데를 지나는 가로선 위의 점들(O, C, 안쪽·바깥쪽 경계)은 원근 왜곡이 없는 실제 길이입니다(예시 : R=5, r=3).

401정의원환체(토러스)평면 위의 원 Γ(중심 C, 반지름 r>0)를 그 평면 안에서 Γ와 만나지 않는 직선 ℓ(축) 주위로 360° 회전시킬 때 쓸고 지나가는 입체 (R = C에서 ℓ까지의 거리, R>r)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 한 평면 위에 원 Γ(중심 C, 반지름 r>0)가 있고, 같은 평면 안에서 Γ와 만나지 않는 직선 ℓ(축)이 있다고 합시다. O를 C에서 ℓ에 내린 수선의 발이라 하고, R = OC(>0)라 합니다. 원 Γ를 축 ℓ 주위로 360° 회전시킬 때 Γ가 쓸고 지나가는 곡면과 그 곡면으로 둘러싸인 입체(곧 원판 — Γ와 그 내부 — 이 쓸고 지나가는 입체)를 원환체(circular torus, 토러스)라 합니다. 겉넓이는 그 곡면의 넓이, 부피는 그 입체의 부피입니다. Γ를 생성원(generating circle), R을 중심선 반지름(C가 그리는 원의 반지름), r을 관 반지름(tube radius)이라 합니다.

좌표에 의한 표현. ℓ을 축으로 하는 원기둥좌표 (ρ,φ,z)—ρ≥0은 축으로부터의 거리, z는 축 방향의 높이, φ∈[0,2π)는 C를 포함하는 반평면을 기준(φ=0)으로 잰 회전각—를 쓰면, 생성원은 φ=0인 반평면 위에서 (ρ−R)²+z²=r²(ρ≥0)을 만족하는 점들의 자취이므로, 원환체(속을 채운 입체)는

(ρ−R)²+z² ≤ r²,  φ∈[0,2π)

를 만족하는 점 (ρ,φ,z) 전체입니다. 생성원 위의 한 점을 각 θ(0≤θ<2π, 축에서 먼 방향을 0으로 잡아 C를 중심으로 잰 각)로 매개변수화하면

ρ(θ) = R + r cosθ,  z(θ) = r sinθ

입니다. 이 절에서는 R>r인 경우만 다룹니다—이때는 ρ(θ) ≥ R−r > 0이 모든 θ에서 성립해 생성원이 축과 만나지 않고, 회전시킨 곡면도 자기 자신과 겹치지 않는 “고리형” 원환체(ring torus)가 됩니다.

범위 밖(경계 경우). R=r이면 생성원이 축에 한 점에서 접하고, 회전시킨 원환체는 축 위의 그 한 점(원점)에서 안쪽이 맞닿는 뿔 모양(horn torus)이 됩니다. R<r이면 생성원이 축과 두 점에서 만나고, 회전시킨 곡면은 스스로 겹치는 방추형(self-intersecting spindle torus)이 되어 “겉넓이”· “부피”라는 말 자체가 겹치는 부분을 어떻게 셀 것인지에 대한 더 세심한 정의를 필요로 합니다. 두 경우 모두 이 절의 범위 밖으로 남겨둡니다.

축 ℓ을 지나는 평면(자오면)으로 원환체를 자른 정확한 단면—반지름 r인 두 원(하나는 φ=0인 생성원 자체, 다른 하나는 φ=π인 그 반대쪽)이 축 양쪽에 나타납니다. 생성원 위의 점 P는 각 θ로 매개변수화되며, 축으로부터의 거리 ρ(θ)=R+r cosθ와 높이 z(θ)=r sinθ는 402·403번 증명에서 그대로 사용됩니다(그림은 θ=50°인 경우).

사용 : 3.30의 342번(원기둥의 정의, 회전체 개념 비교) · 3.32의 356번(원뿔의 정의, 회전체 개념 비교)

402정리겉넓이S = 4π²Rr

증명법 : 직접증명법(내접 다각형·극한)

생성원(401번)에 내접하는 정n각형(n은 4의 배수)을 생각합니다. 꼭짓점을 P₀, P₁, …, P_n−1이라 하고, 축에서 먼 방향을 0으로 잡아 C를 중심으로 잰 각을 θ_k = 2πkn(k=0,1,…,n−1)라 하면, 401번의 매개변수화에 의해 P_k는 축으로부터 거리

ρ_k = R + r cosθ_k

에 있는 점입니다.

1단계 — 변의 길이. 꼭짓점들은 생성원 위에 같은 중심각 2πn 간격으로 놓여 있으므로, 이웃한 두 꼭짓점과 C가 만드는 n개의 이등변삼각형 CP_kP_k+1(첨자는 mod n, 두 변이 r)은 SAS로 모두 합동입니다 (3.4 단원 서두의 약속 ④). 그래서 변의 길이가 모두 같고 밑각도 모두 같아 내각도 모두 같으므로, P₀P₁…P_n−1은 생성원에 내접하는 정n각형입니다. 3.18의 256번(외접원의 반지름이 r)에서 한 변의 길이는

L := |P_kP_k+1| = 2r sinπn

이고, 둘레는 nL입니다(3.18의 258번) — 곧 nL은 3.19 262번의 ‘내접 정n각형의 둘레’입니다.

2단계 — 변 하나를 회전시키면 원뿔대의 옆면. 변 P_kP_k+1을 축 ℓ 주위로 360° 회전시키면, 두 반지름이 ρ_k, ρ_k+1이고 모선의 길이가 L인 원뿔대의 옆면을 쓸고 지나갑니다. n이 4의 배수이므로 어떤 변도 축과 평행하지(ρ_k=ρ_k+1) 않고 축과 수직이지(높이가 같음) 않습니다 — 그러려면 cosθ_k=cosθ_k+1 또는 sinθ_k=sinθ_k+1이어야 하고, 두 각의 차 θ_k+1−θ_k=2πn은 2π의 정수배가 아니므로 θ_k+θ_k+1=(2k+1)·2πn가 π의 정수배, 곧 2k+1이 n2의 정수배여야 하는데, 2k+1은 홀수이고 n2는 짝수입니다. (n=6처럼 4의 배수가 아닌 짝수이면 축에 수직인 변이 생겨, 돌린 도형이 원뿔대의 옆면이 아니라 평평한 고리가 됩니다.) 3.33의 367번(원뿔대의 옆넓이 S_lat=π(r₁+r₂)l, r₁·r₂는 두 밑면의 반지름, l은 모선의 길이)에 의해 이 옆면의 넓이는

S_k = π(ρ_k+ρ_k+1)L

이고, 이 n개의 옆넓이의 합을 S_n이라 합니다.

3단계 — 합을 정리. 첨자 k가 0부터 n−1까지 한 바퀴를 돌므로 Σρ_k과 Σρ_k+1은 같은 값들의 합(순서만 한 칸 밀린 것)이라 Σ(ρ_k+ρ_k+1) = 2Σρ_k입니다. 따라서

Sn = Σk=0n−1π(ρk+ρk+1)L	2단계의 합
= 2πL·Σk=0n−1ρk	Σ(ρk+ρk+1)=2Σρk
= 2πL·Σk=0n−1(R + r cosθk)	1단계의 ρk 정의(401번)
= 2πL·[nR + r·Σk=0n−1cosθk]	합의 분배

4단계 — Σcosθ_k = 0(정확한 등식, n이 짝수). n이 짝수이므로 m := n2(자연수)이라 하면, k와 k+m(첨자는 mod n)을 짝지을 수 있고, θ_k+m = θ_k+π입니다. 4.6의 433번(반바퀴공식 cos(θ+π) = −cosθ)에 의해

cosθ_k + cosθ_k+m = cosθ_k + cos(θ_k+π) = cosθ_k − cosθ_k = 0

이고, k=0,…,m−1과 k=m,…,n−1을 이렇게 짝지으면 정확히 m개의 쌍이 각각 0이 되어, 모든(짝수) n에 대해

Σ_k=0ⁿ⁻¹cosθ_k = 0 (정확한 등식—극한이 아님)

이 성립합니다. 이를 3단계의 마지막 식에 대입하면

S_n = 2πL·nR = 2πR·(nL)

5단계 — n→∞ 극한. 1단계에서 nL은 생성원에 내접하는 정n각형의 둘레이므로, 3.19의 262번(받아들이는 사실 — 곡선의 길이의 뜻)에 의해 n→∞이면 nL → 2πr입니다. 그러면 nL은 어느 수(예를 들어 2πr+1)보다 커지지 않으므로 한 변의 길이 L = nLn은 0으로 갑니다(263번 증명과 같은 이유). 내접 정n각형을 돌린 곡면은 생성원 위에 차례로 찍은 점을 이은 꺾은선을 축 둘레로 돌려 원뿔대의 옆면을 이어 붙인 곡면이고 그 선분의 길이 L이 모두 0으로 가므로, 3.34 376번의 받아들이는 사실 ①(회전면의 넓이의 뜻)에 의해 S_n은 원환체의 겉넓이 S로 다가갑니다. 따라서

S = limn→∞ Sn = 2πR·limn→∞(nL)	4단계 결과, 극한의 상수배 성질
= 2πR·2πr = 4π²Rr	5단계, nL→2πr

참고(대학 과정) : 곡면의 넓이를 엄밀하게 정의하고 받아들이는 사실 ①의 극한이 존재함을 보이는 일은 3.34 376번의 참고와 같은 사정으로 대학 미적분학(곡면적분)의 내용입니다.

검산 : R=5, r=3이면 S=4π²·5·3=60π²≈592.18.

생성원에 내접하는 정n각형(그림은 n=8)의 한 변 P_kP_k+1—이 변을 축 주위로 회전시키면 반지름 ρ_k, ρ_k+1, 모선 L인 원뿔대의 옆면이 됩니다(3.33 f367).

사용 : 401번(원환체의 정의·매개변수화) · 3.4 단원 서두의 약속 ④(SAS 합동) · 3.18의 256번·258번(정n각형의 변과 둘레) · 3.19의 262번(원의 둘레 — 곡선의 길이의 뜻) · 3.33의 367번(원뿔대의 옆넓이) · 4.6의 f433번(반바퀴공식 cos(θ+π)=−cosθ) · 3.34의 376번 받아들이는 사실 ①(회전면의 넓이의 뜻)

증명 끝

403정리부피V = 2π²Rr²

증명법 : 직접증명법(안쪽·바깥쪽 띠와 조임)

401번의 매개변수화에서, 생성원 내부의 점을 축으로부터의 거리 ρ=R+u(u∈[−r,r]는 축에 수직인 방향으로 C에서 잰 변위)와 높이 z로 나타내면, 생성원의 원판(Γ와 그 내부)은 u²+z²≤r²을 만족하는 (u,z) 전체이므로, u를 고정했을 때 z의 범위는

−h(u) ≤ z ≤ h(u),  h(u) := r²−u²

입니다(h(u)는 원의 방정식에서 바로 나오는 우함수, h(−u)=h(u)).

1단계 — 안쪽 띠와 바깥쪽 띠. n을 짝수로 하고 [−r,r]을 n등분해 Δu=2rn, u_k=−r+kΔu (k=0,1,…,n)라 합니다. n이 짝수이므로 가운데 분점은 u_n/2=0입니다. h는 [−r,0]에서 증가하고 [0,r]에서 감소하므로 (u²이 각각 감소·증가), k번째 소구간 [u_k−1, u_k]에서 h의 가장 작은 값 m_k과 가장 큰 값 M_k는 두 끝점에서의 값입니다. (u,z) 평면에서 이 소구간 위에

안쪽 띠 [u_k−1, u_k]×[−m_k, m_k],   바깥쪽 띠 [u_k−1, u_k]×[−M_k, M_k]

인 직사각형을 만듭니다. 안쪽 띠는 모두 원판 안에 들어가고(그 점은 |z| ≤ m_k ≤ h(u)), 바깥쪽 띠를 모두 합치면 원판을 덮습니다 (원판의 점은 |z| ≤ h(u) ≤ M_k). 띠끼리는 경계만 공유합니다(높이가 0인 띠는 빈 도형). 안쪽·바깥쪽 띠의 넓이의 합을 각각 A_n, A_n^′이라 합니다.

2단계 — 띠 하나를 돌린 판의 부피(정확한 값). 높이 2H(H=m_k 또는 M_k)인 띠를 축 ℓ 둘레로 돌리면, 반지름 R+u_k인 원기둥에서 반지름 R+u_k−1인 원기둥을 뺀 원환 모양의 판(높이 2H)이 됩니다. R>r이므로 R+u_k−1 ≥ R−r > 0이라 판은 축을 관통하지 않습니다. 3.30의 346번(원기둥의 부피)과 3.22의 285번 ②에 의해 그 부피는

ΔV = π[(R+uk)² − (R+uk−1)²]·2H	346번, 두 원기둥의 차(285번 ②)
= π(2R+uk−1+uk)·Δu·2H	a²−b²=(a+b)(a−b), (R+uk)−(R+uk−1)=Δu
= 2π(R+ck)·(2HΔu)	ck := uk−1+uk2(소구간의 가운데)

이고, 2HΔu는 그 띠의 넓이입니다. 이 등식은 근사가 아니라 정확합니다.

3단계 — 대칭으로 소거. k번째와 (n+1−k)번째 소구간은 0에 대해 대칭이므로 c_n+1−k = −c_k이고, h가 우함수라 두 소구간의 m_k, M_k도 각각 같아 두 띠의 넓이가 같습니다. 그래서 두 판의 부피의 합은 2π(R+c_k)·(넓이) + 2π(R−c_k)·(넓이) = 2πR·(두 띠의 넓이의 합)입니다. n이 짝수라 소구간은 정확히 n2쌍으로 짝지어지므로, 안쪽 판 전체의 부피 V_n과 바깥쪽 판 전체의 부피 V_n^′은

V_n = 2πR·A_n,   V_n^′ = 2πR·A_n^′ (모든 짝수 n에서 정확히)

4단계 — 끼워 넣기. 401번의 좌표 표현으로 보면 원환체는 (ρ−R, z)가 원판에 드는 점 전체이고, 판은 (ρ−R, z)가 띠에 드는 점 전체입니다. 따라서 안쪽 판들은 원환체 안에, 원환체는 바깥쪽 판들 안에 들어 있고, 판끼리는 경계만 공유하므로 부피의 단조성 (346번 2단계와 같은 이유 — 285번 ②, 부피는 음이 아님)에 의해

2πR·A_n ≤ V ≤ 2πR·A_n^′

입니다. 평면에서도 같은 이유(3.4 단원 서두의 약속 ⑦ — 겹치지 않는 조각으로 나누면 넓이는 조각 넓이의 합, 넓이는 0 이상)와 원의 넓이(3.19의 263번)에 의해 A_n ≤ πr² ≤ A_n^′입니다.

5단계 — 차가 0으로 감, 조임. 오른쪽 반 [0,r]에서는 h가 감소하므로 M_k−m_k = h(u_k−1)−h(u_k)이고, 이것을 모두 더하면 가운데 항이 지워져 h(0)−h(r) = r−0 = r입니다. 왼쪽 반도 같은 이유로 r입니다. 따라서

A_n^′ − A_n = Σ_k=1ⁿ 2(M_k−m_k)Δu = 2Δu·2r = 8r²n

이고, πr² − 8r²n ≤ A_n^′ − 8r²n = A_n ≤ πr²입니다. 짝수 n이 한없이 커지면 조임(11.4의 보조정리)에 의해 A_n → πr²이고 A_n^′ = A_n + 8r²n → πr²입니다. 그러면 4단계의 양 끝이 모두 2πR·πr²으로 가므로, 다시 조임에 의해

V = 2πR·πr² = 2π²Rr²

R>r의 쓰임 : 이 증명은 R>r을 판의 안쪽 반지름 R+u_k−1 ≥ R−r > 0(판이 축을 관통하지 않음, 2단계)에서만 썼습니다.

검산 : R=5, r=3이면 V=2π²·5·3²=2π²·5·9=90π²≈888.26.

생성원의 원판(단면)을 폭 Δu인 소구간 n=6개로 나눈 모습 — 채운 직사각형은 원판 안에 드는 안쪽 띠, 점선 직사각형은 원판을 덮는 바깥쪽 띠입니다. 각 띠를 축 주위로 돌리면 정확히 원기둥의 차(원환 판)가 되고, 그 부피의 합은 2πR·(띠 넓이의 합)입니다.

사용 : 401번(원환체의 정의·좌표 표현) · 3.30의 346번(원기둥의 부피, 부피의 단조성) · 3.22의 285번 ②(부피의 공리) · 3.4 단원 서두의 약속 ⑦(넓이의 덧셈) · 3.19의 263번(원의 넓이) · 11.4의 보조정리(수열 극한의 조임)

증명 끝