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3.4   심화·배경

일반삼각형

Scalene Triangle

정의 · 공식과 증명

일반 삼각형(부등변삼각형)의 성질 15개(181~195번, 184a 포함)와 보조정리 1개(각이등분선 정리)를 정리합니다. 이 절의 공식들은 3.1~3.3에서 이미 여러 차례 인용되었을 만큼 삼각형 전체를 다루는 가장 기본적인 도구들입니다.

이 절부터 두 직선의 평행 관계를 다루는 증명에 평행선의 다음 세 성질을 중학교 과정 수준에서 이미 알려진 사실로 받아들이고 사용합니다(유클리드의 평행선 공준과 동치인 내용이며, 엄밀한 공리적 전개는 이 사이트가 다루는 범위를 벗어납니다) : ① 두 직선이 평행하면, 이 두 직선을 가로지르는 임의의 횡단선에 대해 엇각의 크기가 서로 같고 동위각의 크기도 서로 같습니다(역도 성립 — 엇각 또는 동위각이 같으면 두 직선은 평행합니다), ② 두 직선이 평행하면, 횡단선을 사이에 두고 같은 쪽에 있는 동측내각(같은쪽 내각)의 합은 180°입니다(역도 성립), ③ 평면 위의 한 점을 지나고 주어진 직선에 평행한 직선은 오직 하나뿐입니다 (평행선의 유일성). 아래 181번의 증명이 이 성질 중 ①(엇각)을 처음 사용합니다. 같은 이유로 다음 다섯 가지도 중학교 과정에서 다룬 사실로 받아들여, 이 절과 3.1~3.21(사각형·다각형을 다루는 3.5~3.17 포함)에서 근거로 씁니다 : ④ 합동조건 — 세 변이 각각 같거나(SSS), 두 변과 그 끼인각이 각각 같거나(SAS), 한 변과 그 양 끝 각이 각각 같은(ASA) 두 삼각형은 합동이고, 빗변과 다른 한 변이 각각 같은 두 직각삼각형도 합동입니다(RHS), ⑤ 닮음조건 — 두 각이 각각 같거나(AA), 두 변의 비가 같고 그 끼인각이 같은(SAS) 두 삼각형은 닮음이고, 닮은 삼각형의 대응변의 비는 모두 같습니다, ⑥ 최단 경로 — 점 C가 선분 AB 위에 있지 않으면 꺾은선 A→C→B의 길이는 선분 AB의 길이보다 깁니다, ⑦ 넓이 — 삼각형의 넓이는 (밑변)×(높이)÷2이고, 도형을 겹치지 않게 몇 조각으로 나누면 전체 넓이는 조각 넓이의 합이며, 평행한 두 직선 사이의 거리(한 직선 위의 점에서 다른 직선에 내린 수선의 길이)는 어느 점에서 재도 같습니다, ⑧ 같은 거리 — 선분의 수직이등분선 위의 점은 그 선분의 두 끝점에서 같은 거리에 있고(역도 성립), 각의 이등분선 위의 점은 그 각의 두 변에서 같은 거리에 있습니다(각의 안쪽에서는 역도 성립).

일반 삼각형 : 변 a(=BC, 대각 α), b(=CA, 대각 β), c(=AB, 대각 γ)

181정리삼각형의 내각의 합α + β + γ = 180°

증명법 : 직접증명법

꼭짓점 C를 지나고 변 AB(c)에 평행한 직선을 긋습니다. 평행선의 엇각 성질에 의해, 이 평행선과 CA, CB가 이루는 두 각은 각각 α, β와 크기가 같습니다(엇각). 이 두 각과 원래의 γ가 평행선 위에서 일직선(180°)을 이루므로

α + β + γ = 180°

사용 : 평행선의 엇각 성질(단원 서두의 약속 ①)

증명 끝

182정리삼각부등식a+b>c, b+c>a, a+c>b

증명법 : 귀류법

결론을 부정하여 a+b≤c라고 가정합니다. 삼각형은 세 점 A,B,C가 한 직선 위에 있지 않은 도형인데, 만약 변 a와 b의 길이의 합이 c보다 작거나 같다면, A에서 B로 가는 두 경로(직접 c를 따라가는 것과 C를 거쳐 a+b를 따라가는 것) 중 후자가 더 짧거나 같아지는데, C는 선분 AB 위에 있지 않으므로 이는 단원 서두의 약속 ⑥(꺾은선 A→C→B는 선분 AB보다 길다)에 모순됩니다. 따라서 a+b>c. 나머지 두 부등식도 같은 논리를 다른 변에 적용하면 됩니다.

사용 : 최단 경로(단원 서두의 약속 ⑥) · 귀류법

증명 끝 (귀류법)

183정리삼각부등식의 변형(차)|a-b|<c, |b-c|<a, |a-c|<b

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

182번의 나머지 두 부등식을 이항해 c에 대한 양쪽 부등식을 만듭니다.

b+c > a	182번
→ c > a-b	이항
a+c > b	182번
→ c > b-a = -(a-b)	이항

두 부등식 c>a-b와 c>-(a-b)를 합치면 -c<a-b<c, 즉 |a-b|<c(2.7의 147번, 절댓값 부등식). 나머지 두 부등식도 같은 방식으로 얻어집니다.

사용 : 182번(삼각부등식) · 2.7의 147번(절댓값 부등식)

증명 끝

184정리중위선(미드라인)중위선 q = a2, q∥a

증명법 : 직접증명법

두 변의 중점을 잇는 선분(중위선)이 나머지 변에 평행하고 길이가 그 절반임을 보입니다. 변 AB, AC의 중점을 각각 M, N이라 하면, 삼각형 AMN과 ABC에서

AMAB = ANAC = 12

이고 각 A가 공통이므로 △AMN ∽ △ABC(SAS 닮음, 닮음비 12). 닮음이므로 MN∥BC이고

MN = 12BC = a2

사용 : SAS 닮음조건과 대응변의 비(단원 서두의 약속 ⑤)

증명 끝

184a정리두 변과 끼인각으로 구하는 넓이S = 12ab sin γ = 12bc sin α = 12ca sin β

증명법 : 직접증명법

변 a를 밑변으로 잡으면 넓이는 S=12·a·h_a이고, 191번(아래)에 의해 h_a=b sin γ이므로

S = 12ab sin γ

나머지도 밑변을 바꿔 같은 논리를 적용하면 됩니다. 끼인각이 직각이나 둔각이어도 191번이 그 경우까지 다루므로 식은 그대로 성립합니다.

사용 : 191번(높이를 각으로 표현) · 삼각형의 기본 넓이 공식(단원 서두의 약속 ⑦)

증명 끝

185정리코사인법칙 (Law of Cosines)a² = b²+c²-2bc cos α (그리고 순환)

증명법 : 직접증명법 (좌표 이용)

A를 원점에 두고 AC를 x축의 양의 방향 위에, B를 x축 위쪽에 놓으면 C=(b,0), B=(c cos α, c sin α)입니다. B의 좌표의 근거 : 반직선 AB는 x축의 양의 방향에서 반시계 방향으로 α(0<α<180°)만큼 돈 방향이므로, 이 반직선 위에서 A로부터 거리 1인 점은 4.2의 409번의 P(α)=(cos α, sin α)입니다. B는 같은 반직선 위에서 거리가 c인 점이므로 그 좌표를 c배 한 점입니다(점 (cx, cy)는 (x, y)와 같은 반직선 위에 있고 원점에서의 거리가 c배). 409번의 값은 α가 예각이면 4.4의 420번, 직각이면 423번, 둔각이면 4.6의 433번에 의해 3.1의 157-162번(③의 약속 포함)과 같으므로, 경우를 나누지 않고 모든 α에 대해 성립합니다.

좌표 설정 : A를 원점에, AC를 x축에 둠 → B의 좌표는 (c cosα, c sinα)

두 점 B, C 사이 거리의 제곱이 a²이므로

a² = (c cos α - b)² + (c sin α)²	거리 공식
= c²cos²α - 2bc cos α + b² + c²sin²α	전개
= c²(cos²α+sin²α) - 2bc cos α + b²	c² 묶기
= c² + b² - 2bc cos α	4.5의 f425번(sin²α+cos²α=1)

사용 : 4.2의 f409번(단위원 정의, B의 좌표) · 좌표를 이용한 거리 공식(피타고라스 정리, 3.1의 163번) · 4.5의 f425번(삼각함수의 기본 항등식, sin²+cos²=1)

증명 끝

186정리사인법칙 (Law of Sines)asin α = bsin β = csin γ = 2R

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

외접원의 중심 O에서 변 a(=BC)에 수선의 발 M을 내리면, 이등변삼각형 OBC(OB=OC=R)의 성질에 의해 M은 a의 중점이고 OM은 ∠BOC를 이등분합니다. 호 BC(A를 포함하지 않는 쪽)에 대한 중심각은 그 호에 대한 원주각 α의 2배입니다(3.19의 267번, 원주각의 정리). α의 크기에 따라 세 경우로 나눕니다.

① α가 예각일 때 : 중심각 2α는 180°보다 작고, 직각삼각형 OMB에서 ∠BOM=α이므로

sin α = a2R	직각삼각형 OMB, 대변/빗변
a = 2R sin α	정리
asin α = 2R	양변을 sinα로 나눔

② α=90°일 때 : 중심각이 2×90°=180°이므로 B, O, C가 한 직선 위에 있고 BC는 지름입니다. 따라서 a=2R이고, sin 90°=1(3.1의 157-162번 ③)이므로 역시 a=2R sin α.

③ α가 둔각일 때 : 중심각 2α가 180°보다 크므로, 이등변삼각형 OBC의 꼭지각 ∠BOC는 360°−2α이고 ∠BOM은 그 절반인 180°−α(예각)입니다. 직각삼각형 OMB에서 sin(180°−α)=a2R이고, 둔각의 약속(3.1의 157-162번 ③) sin α=sin(180°−α)에 의해 역시 a=2R sin α.

나머지 변도 같은 논리로 bsin β=2R, csin γ=2R.

외접원 중심 O에서 변 a(=BC)에 내린 수선은 a를 이등분 → 중심각·원주각 관계(3.19 f267)로 sinα=a2R

사용 : 이등변삼각형의 성질(3.2의 보조정리) · 3.19의 267번(원주각의 정리) · 3.1의 157-162번(삼각비, 직각·둔각의 약속 ③)

증명 끝

187정리외접원 반지름의 여러 표현R = a2sin α = abc4S = abc4p(p-a)(p-b)(p-c)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

186번(사인법칙)에서 R=a2sin α. 184a번(넓이 공식) S=12bc sin α에서 sin α=2Sbc이므로

R = a2·(2Sbc)	sinα 대입
= abc4S	정리

여기에 헤론의 공식(190번의 따름, S=p(p-a)(p-b)(p-c))을 대입하면 마지막 표현 R=abc4p(p-a)(p-b)(p-c)을 얻습니다.

사용 : 186번(사인법칙) · 184a번(넓이 공식) · 190번(헤론의 공식)

증명 끝

188정리내접원 반지름r = Sp, r² = (p-a)(p-b)(p-c)p, 1r = 1h_a+1h_b+1h_c

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

r = Sp : 내접원의 중심(내심)에서 세 변에 내린 수선은 모두 반지름 r이고, 삼각형 전체를 세 개의 작은 삼각형(각 변을 밑변, r을 높이로)으로 나누면

S = 12ar+12br+12cr	세 작은 삼각형의 넓이 합
= 12r(a+b+c) = rp	공통인수 r 묶고 p=(a+b+c)/2

r = Sp

r² = (p-a)(p-b)(p-c)p : 헤론의 공식(190번) S²=p(p-a)(p-b)(p-c)와 r=Sp를 결합하면

r² = S²p² = (p-a)(p-b)(p-c)p

1r=1h_a+1h_b+1h_c : 191번에서 살펴볼 h_a=2Sa(그리고 순환)을 이용하면

1ha+1hb+1hc	191번, h=2S/(대응하는 변)
= a+b+c2S = 2p2S = pS = 1r	a+b+c=2p, r=S/p

사용 : 190번(헤론의 공식) · 191번(높이 공식) · 삼각형의 기본 넓이 공식(단원 서두의 약속 ⑦)

증명 끝

189정리반각공식 (변으로 표현)sin(α/2)=(p-b)(p-c)bc, cos(α/2)=p(p-a)bc, tan(α/2)=(p-b)(p-c)p(p-a)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

185번(코사인법칙) cos α=b²+c²-a²2bc에서 출발하여, 반각공식(4.12 f471번, cos²(α/2)=1+cos α2)을 대입합니다.

1+cos α = 1+b²+c²-a²2bc = (b+c)²-a²2bc	통분, 완전제곱 정리
= (b+c-a)(b+c+a)2bc = 2(p-a)·2p2bc = 2p(p-a)bc	인수분해, b+c-a=2(p-a), b+c+a=2p
cos²(α/2) = 1+cos α2 = p(p-a)bc	반각공식 대입

같은 방식으로 sin²(α/2)=1-cos α2에 1-cosα=a²-(b-c)²2bc=(a-b+c)(a+b-c)2bc=2(p-b)(p-c)bc를 대입하면 sin²(α/2)=(p-b)(p-c)bc. 두 식을 서로 나누면 tan(α/2)=(p-b)(p-c)p(p-a)도 얻어집니다.

부호 : 삼각형의 내각이므로 0<α<180°(181번), 곧 0<α/2<90°라 sin(α/2), cos(α/2), tan(α/2)는 모두 양수입니다. 또 182번(삼각부등식)에 의해 p−a, p−b, p−c>0이라 근호 안도 양수이므로, 위 제곱식의 양의 제곱근을 취하면 됩니다.

사용 : 185번(코사인법칙) · 4.12의 f471번(코사인 반각공식) · f470번(사인 반각공식)

증명 끝

190정리헤론의 공식과 높이h_a = 2ap(p-a)(p-b)(p-c),  S = p(p-a)(p-b)(p-c) (그리고 순환)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

직선 BC 위에 B를 눈금 0, C를 눈금 a에 두고, 꼭짓점 A에서 직선 BC에 내린 수선의 발 H의 눈금을 x라 합니다. H는 선분 BC 밖에 있어도 됩니다(그때 x는 음수이거나 a보다 큼). 어느 경우든 BH²=x², CH²=(a−x)², AH=h_a이므로, 두 직각삼각형 ABH, ACH에 3.1의 163번(피타고라스 정리)을 쓰면 다음과 같습니다 (H가 B나 C와 겹치면 그 식은 c=h_a 또는 b=h_a라는 뜻이 되어 그대로 맞습니다).

c² = x² + ha²	163번, △ABH
b² = (a−x)² + ha²	163번, △ACH
c² − b² = 2ax − a²	두 식을 빼서 ha²를 없앰
2ax = a² + c² − b²	이항
4a²ha² = 4a²c² − (2ax)² = 4a²c² − (a²+c²−b²)²	첫 식 ha²=c²−x²에 4a²를 곱함
= (b² − a² + 2ac − c²)(a² + 2ac + c² − b²)	합차공식
= (b² − (a−c)²)((a+c)² − b²)	완전제곱
= (b−a+c)(b+a−c)(a+c−b)(a+c+b)	합차공식 두 번
= 2(p−a)·2(p−c)·2(p−b)·2p = 16p(p−a)(p−b)(p−c)	a+b+c=2p

182번(삼각부등식)에 의해 p−a, p−b, p−c는 모두 양수이고 h_a>0이므로, 양변을 4a²로 나누고 양의 제곱근을 취하면

h_a = 2ap(p-a)(p-b)(p-c)

따름(헤론의 공식). 삼각형의 넓이는 S=12a·h_a(단원 서두의 약속 ⑦)이므로

S = 12a · 2ap(p-a)(p-b)(p-c) = p(p-a)(p-b)(p-c)

다른 변을 밑변으로 잡아도 같은 방법으로 h_b, h_c를 얻습니다.

사용 : 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 182번(삼각부등식) · 삼각형의 기본 넓이 공식(단원 서두의 약속 ⑦) · 합차공식

증명 끝

191정리높이를 각으로 표현h_a = b sin γ = c sin β (그리고 순환)

증명법 : 직접증명법

꼭짓점 A에서 직선 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면, AH=h_a입니다. 먼저 β, γ가 모두 예각인 경우, H는 선분 BC 위에 놓여 직각삼각형 ABH와 ACH를 만듭니다.

직각삼각형 ABH : ∠B=β, 빗변 AB=c	ha=AH=c sin β
직각삼각형 ACH : ∠C=γ, 빗변 AC=b	ha=AH=b sin γ

(직각삼각형의 삼각비 정의, 3.1의 157-162번). 나머지 경우는 다음과 같습니다(β, γ 중 예각이 아닌 것은 많아야 하나 — 181번).

β=90°일 때 : H=B이므로 h_a=AB=c=c sin 90°(sin 90°=1, 3.1의 157-162번 ③). β가 둔각일 때 : H는 C의 반대쪽으로 B 바깥에 놓이고, 직각삼각형 ABH에서 ∠ABH=180°−β(예각)이므로 h_a=c sin(180°−β)=c sin β(둔각의 약속, 3.1의 157-162번 ③). 이때 γ는 예각이라 직각삼각형 ACH의 식 h_a=b sin γ는 그대로입니다. γ가 직각·둔각일 때도 B와 C의 역할을 바꾸어 같습니다. 따라서 어느 경우든

h_a = c sin β = b sin γ

사용 : 3.1의 157-162번(삼각비의 정의, 직각·둔각의 약속 ③) · 181번(내각의 합)

증명 끝

192정리중선의 길이m_a² = b²+c²2 - a²4 (그리고 순환)

M은 변 a(BC)의 중점 → 삼각형 ABM, ACM에 코사인법칙 적용(∠AMB, ∠AMC는 보각)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

중선 정리(파푸스의 중선 정리)를 씁니다. 변 a(=BC)의 중점을 M이라 하면 BM=CM=a2이고, ∠AMB와 ∠AMC는 서로 보각(cos∠AMC = -cos∠AMB)입니다. 삼각형 ABM, ACM에 코사인법칙을 각각 적용합니다.

c² = AM²+BM²-2·AM·BM cos∠AMB	△ABM, 코사인법칙
b² = AM²+CM²+2·AM·CM cos∠AMB	△ACM, cos∠AMC=-cos∠AMB
b²+c² = 2AM²+2BM²	두 식을 더하면 cos 항 상쇄(BM=CM)
= 2ma²+2(a2)² = 2ma²+a²2	AM=ma, BM=a/2

m_a²에 대해 정리하면

m_a² = b²+c²2 - a²4

사용 : 185번(코사인법칙, 두 차례 적용) · 4.6의 f433번(보각공식 cos(π-θ)=-cosθ)

증명 끝

·보조정리각이등분선 정리 (194번의 근거)BD:DC = AB:AC = c:b

증명법 : 직접증명법

각 A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 합니다. 꼭짓점 C를 지나고 AD에 평행한 직선을 그어 BA의 연장선과 만나는 점을 E라 하면,

∠BAD = ∠AEC	AD∥CE, 동위각(전선 BE)
∠DAC = ∠ACE	AD∥CE, 엇각(전선 AC)
∠BAD = ∠DAC	AD는 ∠A의 이등분선

세 식을 결합하면 ∠AEC = ∠ACE이므로 삼각형 ACE는 이등변삼각형이고 AE=AC=b(3.2의 보조정리, 밑각이 같으면 이등변삼각형).

이제 삼각형 BAD와 BEC를 비교합니다 : 각 B가 공통이고, AD∥CE이므로 ∠BDA=∠BCE(동위각, 전선 BC). 따라서 △BAD ∽ △BEC(AA 닮음)이고

BA:BE = BD:BC	닮음비
BA(BD+DC) = BD(BA+AE)	BC=BD+DC, BE=BA+AE 대입 후 교차곱
BA·DC = BD·AE	양변에서 BA·BD 상쇄
BD:DC = BA:AE	정리

AE=AC=b이므로

BD:DC = AB:AC = c:b

사용 : 평행선의 동위각·엇각 성질(단원 서두의 약속 ①) · 3.2의 보조정리 4단계(밑각이 같으면 이등변삼각형) · AA 닮음조건(단원 서두의 약속 ⑤)

증명 끝

193정리무게중심의 2:1 내분AG = 23m_a, BG = 23m_b, CG = 23m_c (G=무게중심)

D=BC의 중점, E=CA의 중점, 중선 AD와 BE의 교점 G → 중위선 DE(184번, 점선)가 AB에 평행

증명법 : 직접증명법

1단계 — 두 중선의 교점에서 닮음삼각형. 변 BC, CA의 중점을 각각 D, E라 하고, 중선 AD와 BE의 교점을 G라 합니다. 184번(중위선)에 의해 DE∥AB이고 DE=12AB입니다. DE∥AB이므로(엇각) ∠GDE=∠GAB, ∠GED=∠GBA이고, 맞꼭지각 ∠DGE=∠AGB와 함께 △GDE ∽ △GAB(AA 닮음, 닮음비 1:2)입니다. 따라서

AG:GD = BG:GE = AB:DE = 2:1

2단계 — 세 번째 중선도 같은 점을 지남. 같은 논리를 중선 AD와 CF(F=AB의 중점)의 교점 G′에 적용하면(184번을 변 CA, AB의 중점에 대해 적용) 마찬가지로 AG′:G′D = 2:1을 얻습니다. 그런데 선분 AD 위에서 A로부터 2:1로 내분하는 점은 오직 하나뿐이므로 G′=G. 즉 중선 CF도 점 G를 지나고, 세 중선 AD, BE, CF는 모두 한 점 G(무게중심)에서 만납니다.

3단계 — 내분비를 중선 전체에 대해 정리. 1단계의 결과 AG:GD=2:1은 AD 전체에 대해 AG=23AD=23m_a를 뜻합니다. 나머지 두 중선(BE, CF)에도 같은 논리(각각 변 CA·AB의 중점과 변 AB·BC의 중점을 잇는 중위선을 이용)를 적용하면

AG = 23m_a, BG = 23m_b, CG = 23m_c

사용 : 184번(중위선, 세 변의 중점 쌍에 반복 적용) · AA 닮음조건 · 맞꼭지각·엇각

증명 끝

194정리각의 이등분선의 길이t_a² = 4bc·p(p-a)(b+c)² (그리고 순환)

각 A의 이등분선이 BC와 만나는 점 D → 각이등분선 정리 : BD:DC = AB:AC = c:b

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

각 A의 이등분선이 변 a(=BC)와 만나는 점을 D, t_a=AD라 하면 ∠BAD=∠DAC=α/2이고, D가 변 BC 위에 있으므로 삼각형 ABC는 두 삼각형 ABD, ADC로 나뉩니다. 세 넓이를 184a번(두 변과 끼인각)으로 씁니다.

12bc sinα = 12c·ta sin(α/2) + 12b·ta sin(α/2)	△ABC=△ABD+△ADC, 184a번
bc·2sin(α/2)cos(α/2) = (b+c)ta sin(α/2)	양변에 2를 곱함, 4.10 f459번(sinα=2sin(α/2)cos(α/2))
ta = 2bc·cos(α/2)b+c	0<α/2<90°라 sin(α/2)>0으로 양변을 나눔
ta² = 4b²c²(b+c)²·p(p-a)bc = 4bc·p(p-a)(b+c)²	제곱한 뒤 189번(cos²(α/2)=p(p-a)bc) 대입

참고로 D의 위치는 위 보조정리(각이등분선 정리, BD:DC=c:b)에 의해 BD=acb+c, DC=abb+c입니다.

사용 : 184a번(두 변과 끼인각으로 구하는 넓이) · 4.10의 f459번(사인의 배각공식) · 189번(반각공식)

증명 끝

195정리삼각형 넓이 공식 총정리S = ah_a2 = bh_b2 = ch_c2 = ab sinγ2 = bc sinα2 = ac sinβ2 = p(p-a)(p-b)(p-c) = pr = abc4R = 2R²sinα sinβ sinγ = p²tan(α/2)tan(β/2)tan(γ/2)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (이미 증명된 것들의 모음)

앞에서 각각 따로 증명한 넓이 공식들을 한자리에 모은 것입니다.

밑변×높이 형태	단원 서두의 약속 ⑦
두 변과 끼인각 형태	184a번
헤론의 공식	190번의 따름
반둘레×내접원 반지름(pr)	188번
외접원 반지름을 이용한 형태(abc4R)	187번을 뒤집은 것

나머지 두 형태는 다음과 같이 유도됩니다.

2R²sinα sinβ sinγ	사인법칙(186번, a=2Rsinα 등)을 S=ab sinγ2에 대입
p²tan(α/2)tan(β/2)tan(γ/2)	반각공식(189번)의 세 tan을 곱하면 (p-a)(p-b)(p-c)p³이므로, p²을 곱하면 p(p-a)(p-b)(p-c)=S(헤론의 공식)

사용 : 단원 서두의 약속 ⑦ · 184a번 · 186번 · 187번 · 188번 · 189번

증명 끝